Fișă de exersare: perpendicularitate și simetrie

Unitatea: Perpendicularitate · Clasa a VI-a · Matematică

Exerciții

Exercițiul 1. Definiție și notație (4 puncte)

a) Completați: două drepte care se intersectează sunt perpendiculare dacă unul dintre unghiurile formate are măsura de ______. Scrieți și notația matematică pentru „$a$ perpendiculară pe $b$". (2p) b) Dacă $a\perp b$ și unul dintre cele patru unghiuri din $O$ are $90^{\circ }$, care sunt măsurile celorlalte trei unghiuri? Justificați. (2p)

Exercițiul 2. Adevărat sau fals, cu motivare (5 puncte)

Stabiliți valoarea de adevăr a fiecărei afirmații și motivați răspunsul.

a) Dintr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură perpendiculară pe acea dreaptă. (1,5p) b) Distanța de la un punct la o dreaptă se măsoară pe orice segment care unește punctul cu dreapta. (2p) c) Dacă $a\perp c$ și $b\perp c$ (în același plan), atunci dreptele $a$ și $b$ sunt perpendiculare. (1,5p)

Exercițiul 3. Construcția perpendicularei (5 puncte)

Se dau o dreaptă $d$ și un punct $P$ care nu se află pe $d$.

a) Descrieți pașii prin care construiți, cu echerul, perpendiculara din $P$ pe dreapta $d$. (3p) b) Notați cu $P^{\prime }$ punctul în care perpendiculara întâlnește dreapta $d$. Cum se numește $P^{\prime }$ față de dreapta $d$ și ce reprezintă segmentul $[P{P}^{\prime }]$? (2p)

Exercițiul 4. Distanța de la un punct la o dreaptă (6 puncte)

O dronă $P$ plutește deasupra unei șosele rectilinii $d$. Pe o rețea de pătrate cu latura $1\text{cm}$, unde $1\text{cm}$ reprezintă $10\text{m}$ în realitate, drona $P$ se află exact deasupra șoselei, la $4$ pătrate față de dreapta $d$.

a) Construiți piciorul perpendicularei, adică proiecția $P^{\prime }$ a punctului $P$ pe șoseaua $d$, și precizați ce reprezintă segmentul $[P{P}^{\prime }]$. (2p) b) Care este distanța de la $P$ la dreapta $d$, exprimată în centimetri pe desen? (2p) c) Câți metri reprezintă această distanță în realitate? (2p)

Exercițiul 5. Mediatoarea: definiție și proprietate (5 puncte)

a) Scrieți definiția mediatoarei unui segment $[AB]$. (2p) b) Punctul $M$ aparține mediatoarei segmentului $[AB]$, iar $MA=7\text{cm}$. Determinați lungimea $MB$ și justificați răspunsul folosind o proprietate a mediatoarei. (3p)

Exercițiul 6. Construcția mediatoarei cu compasul (6 puncte)

Se dă un segment $[AB]$ cu $AB=6\text{cm}$.

a) Descrieți pașii construirii mediatoarei segmentului $[AB]$ folosind compasul și rigla. (4p) b) În ce punct al segmentului $[AB]$ întâlnește mediatoarea segmentul și la ce distanță se află acest punct față de $A$? (2p)

Exercițiul 7. Simetria față de o dreaptă (6 puncte)

a) Construiți punctul $A^{\prime }$, simetricul punctului $A$ față de dreapta $d$. (2p) b) Ce relație există între dreapta $d$ și segmentul $[A{A}^{\prime }]$? (2p) c) Dacă $A{A}^{\prime }=6\text{cm}$, la ce distanță se află punctul $A$ față de dreapta $d$? (2p)

Exercițiul 8. Simetricul unei figuri (5 puncte)

a) Construiți triunghiul $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, simetricul triunghiului $ABC$ față de axa $d$. (3p) b) Ce relație există între triunghiul $ABC$ și simetricul său $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (laturi și unghiuri)? (2p)

Exercițiul 9. Unghiuri și bisectoare (6 puncte)

Se știe că $OA\perp OB$ și că $m(\widehat{AOC})=35^{\circ }$, unde $OC$ este în interiorul unghiului $AOB$.

a) Calculați $m(\widehat{COB})$. (2p) b) Construiți $OD$, bisectoarea unghiului $AOB$, și calculați $m(\widehat{AOD})$. (2p) c) Calculați $m(\widehat{COD})$. (2p)

Exercițiul 10. Problemă de perpendicularitate (6 puncte)

Semidreptele $OA$ și $OC$ sunt perpendiculare, iar $OB$ se află în interiorul unghiului $AOC$, astfel încât $m(\widehat{AOB})=2\cdot m(\widehat{BOC})$.

a) Ce măsură are unghiul $AOC$? (1p) b) Determinați $m(\widehat{BOC})$ și $m(\widehat{AOB})$. (4p) c) Este $OB$ bisectoarea unghiului $AOC$? Motivați. (1p)

Exercițiul 11. Mediatoarea în context real (6 puncte)

Două sate, $A$ și $B$, sunt situate la $AB=8\text{km}$ unul de celălalt. Primăriile vor să sape o fântână $F$ așezată la distanțe egale față de cele două sate.

a) Pe ce dreaptă remarcabilă a segmentului $[AB]$ trebuie să se afle fântâna $F$? (2p) b) Dacă fântâna $F$ se află pe această dreaptă, iar $FA=5\text{km}$, cât este $FB$? Justificați. (2p) c) Care este cel mai apropiat punct de cele două sate aflat pe această dreaptă și la ce distanță se află el față de fiecare sat? (2p)

Exercițiul 12. Cea mai scurtă distanță (6 puncte)

Din punctul $P$ se duc spre dreapta $d$ segmentul $[PA]$, perpendicular pe $d$, și segmentul oblic $[PB]$.

a) Care dintre segmentele $[PA]$ și $[PB]$ reprezintă distanța de la $P$ la dreapta $d$? Justificați. (2p) b) Care dintre segmentele $[PA]$ și $[PB]$ este mai lung? Pe ce proprietate vă bazați? (2p) c) Distanța de la $P$ la dreapta $d$ este de $6\text{cm}$. Poate exista pe dreapta $d$ un punct $M$ pentru care $PM=5\text{cm}$? Motivați. (2p)

Exercițiul 13. Axe de simetrie (5 puncte)

a) Câte axe de simetrie are fiecare dintre figurile: un pătrat, un dreptunghi (care nu este pătrat), un cerc? (3p) b) Dintre literele mari de tipar A, E, F, H, M, care au o axă de simetrie verticală? (2p)

Exercițiul 14. Raționament: perpendiculare pe aceeași dreaptă (6 puncte)

În același plan, dreptele $a$ și $b$ sunt amândouă perpendiculare pe dreapta $d$.

a) Ce relație există între dreptele $a$ și $b$? (2p) b) Adevărat sau fals: „dacă $a\perp d$, atunci dreptele $a$ și $d$ se intersectează". Motivați. (2p) c) Printr-un punct $T$ situat pe dreapta $d$, câte drepte perpendiculare pe $d$ se pot duce? (2p)

Exercițiul 15. Planul unui parc (6 puncte)

Planul unui parc este desenat pe o rețea de pătrate, unde $1$ pătrat reprezintă $10\text{m}$. Aleea principală urmează dreapta $d$. În parc se află fântâna $F$, situată la $3$ pătrate față de aleea $d$, și două bănci $A$ și $B$.

a) Determinați distanța reală, în metri, de la fântâna $F$ la aleea $d$. (2p) b) Se dorește amplasarea unei statui $S$, simetrica fântânii $F$ față de aleea $d$. Descrieți cum se obține poziția lui $S$ și la ce distanță de alee se află ea. (2p) c) Un coș de gunoi trebuie așezat la distanțe egale față de băncile $A$ și $B$. Pe ce dreaptă trebuie să se afle coșul? (2p)

Exercițiul 16. Sinteză: mediatoare și simetrie (7 puncte)

Dreapta $d$ este mediatoarea segmentului $[AB]$, iar punctele $M$ și $N$ se află pe dreapta $d$.

a) Justificați că $MA=MB$ și $NA=NB$. (2p) b) Ce fel de triunghiuri sunt $MAB$ și $NAB$? Justificați. (2p) c) Arătați că simetricul punctului $A$ față de dreapta $d$ este chiar punctul $B$. (3p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 100 p = 10 p din oficiu + 90 p pe itemi.

Exercițiul 1 (4p)

a) Măsura de $90^{\circ }$ (unghi drept). Notația: $a\perp b$. (2p) b) Toate celelalte trei unghiuri au tot $90^{\circ }$. Două unghiuri alăturate (adiacente suplementare) dau $180^{\circ }$, deci $180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$; unghiurile opuse la vârf sunt congruente. Astfel toate patru sunt drepte. (2p)

Exercițiul 2 (5p)

a) ADEVĂRAT. Printr-un punct exterior unei drepte trece o singură perpendiculară pe acea dreaptă (este unică). (1,5p) b) FALS. Distanța se măsoară doar pe perpendiculara dusă din punct pe dreaptă; perpendiculara este cel mai scurt segment dintre punct și dreaptă. (2p) c) FALS. În același plan, două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele între ele, nu perpendiculare. (1,5p)

Exercițiul 3 (5p)

a) Pași: așezăm echerul cu o catetă pe dreapta $d$; alunecăm echerul de-a lungul lui $d$ până când cealaltă catetă (latura perpendiculară) trece prin punctul $P$; trasăm pe această latură dreapta din $P$ până la $d$. (3p — câte 1p pe pas) b) $P^{\prime }$ este piciorul perpendicularei (proiecția lui $P$ pe $d$); $[P{P}^{\prime }]$ reprezintă distanța de la $P$ la dreapta $d$ (cel mai scurt segment). (2p)

Exercițiul 4 (6p)

a) $P^{\prime }$ este punctul în care perpendiculara din $P$ întâlnește $d$ (sub $P$, pe dreaptă); $[P{P}^{\prime }]$ este distanța de la $P$ la $d$. (2p) b) $4$ pătrate $\times 1\text{cm}=4\text{cm}$. (2p) c) $4\text{cm}\times 10\text{m}=40\text{m}$. (2p)

Exercițiul 5 (5p)

a) Mediatoarea segmentului $[AB]$ este dreapta perpendiculară pe segment, dusă prin mijlocul lui (perpendiculară în mijlocul segmentului). (2p) b) $MB=7\text{cm}$. Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de capetele segmentului (proprietatea de echidistanță): $MA=MB$. (3p)

Exercițiul 6 (6p)

a) Pași: 1) deschidem compasul la o rază mai mare decât jumătate din $AB$; 2) cu vârful în $A$ trasăm un arc deasupra și dedesubtul segmentului; 3) cu aceeași rază și vârful în $B$ trasăm încă două arce care le intersectează pe primele; 4) unim cu rigla cele două puncte de intersecție — dreapta obținută este mediatoarea. (4p — câte 1p pe pas) b) Mediatoarea întâlnește $[AB]$ în mijlocul segmentului, la $6:2=3\text{cm}$ față de $A$. (2p)

Exercițiul 7 (6p)

a) $A^{\prime }$ se obține de cealaltă parte a dreptei $d$, la aceeași distanță (3 pătrate în dreapta lui $d$), pe perpendiculara din $A$ pe $d$. (2p) b) Dreapta $d$ este mediatoarea segmentului $[A{A}^{\prime }]$: este perpendiculară pe $[A{A}^{\prime }]$ și trece prin mijlocul lui. (2p) c) $A$ se află la jumătatea lui $A{A}^{\prime }$ față de $d$: $6:2=3\text{cm}$. (2p)

Exercițiul 8 (5p)

a) Fiecare vârf $A$, $B$, $C$ se reflectă față de $d$ (la aceeași distanță, pe perpendiculara din vârf pe $d$); se unesc $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$. (3p) b) Triunghiul $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ este congruent cu $ABC$: are laturile respectiv egale și unghiurile respectiv egale (simetria axială păstrează lungimile și măsurile unghiurilor). (2p)

Exercițiul 9 (6p)

a) $OA\perp OB\Rightarrow m(\widehat{AOB})=90^{\circ }$. $m(\widehat{COB})=90^{\circ }-35^{\circ }=55^{\circ }$. (2p) b) Bisectoarea împarte unghiul în două părți egale: $m(\widehat{AOD})=90^{\circ }:2=45^{\circ }$. (2p) c) Cum $m(\widehat{AOC})=35^{\circ }<45^{\circ }=m(\widehat{AOD})$, $OC$ este între $OA$ și $OD$, deci $m(\widehat{COD})=45^{\circ }-35^{\circ }=10^{\circ }$. (2p)

Exercițiul 10 (6p)

a) $OA\perp OC\Rightarrow m(\widehat{AOC})=90^{\circ }$. (1p) b) $OB$ în interior: $m(\widehat{AOB})+m(\widehat{BOC})=90^{\circ }$. Cu $m(\widehat{AOB})=2m(\widehat{BOC})$ obținem $2m(\widehat{BOC})+m(\widehat{BOC})=90^{\circ }\Rightarrow 3m(\widehat{BOC})=90^{\circ }\Rightarrow m(\widehat{BOC})=30^{\circ }$ și $m(\widehat{AOB})=60^{\circ }$. (4p) c) NU. Bisectoarea ar împărți unghiul $AOC$ în două unghiuri de câte $45^{\circ }$, dar aici părțile sunt $60^{\circ }$ și $30^{\circ }$, deci $OB$ nu este bisectoare. (1p)

Exercițiul 11 (6p)

a) Pe mediatoarea segmentului $[AB]$ (locul punctelor egal depărtate de $A$ și $B$). (2p) b) $FB=5\text{km}$, deoarece orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capete: $FA=FB$. (2p) c) Mijlocul segmentului $[AB]$ (intersecția mediatoarei cu segmentul), aflat la $8:2=4\text{km}$ de fiecare sat. (2p)

Exercițiul 12 (6p)

a) $[PA]$ reprezintă distanța de la $P$ la $d$, fiindcă este perpendiculara dusă din $P$ pe $d$, adică cel mai scurt segment dintre punct și dreaptă. (2p) b) $[PB]$ este mai lung. Orice segment oblic dus dintr-un punct la o dreaptă este mai lung decât perpendiculara dusă din acel punct. (2p) c) NU. Distanța (perpendiculara) de $6\text{cm}$ este cel mai scurt segment de la $P$ la $d$; orice alt segment, deci și $PM$, are lungimea cel puțin $6\text{cm}$. Un segment de $5\text{cm}$ ($<6$) este imposibil. (2p)

Exercițiul 13 (5p)

a) Pătrat: 4 axe; dreptunghi (nepătrat): 2 axe; cerc: o infinitate de axe (orice diametru). (3p — câte 1p) b) Au axă de simetrie verticală: A, H, M. (E are axă orizontală, iar F nu are axă de simetrie.) (2p)

Exercițiul 14 (6p)

a) Dreptele $a$ și $b$ sunt paralele ($a\parallel b$): două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă, în același plan, sunt paralele. (2p) b) ADEVĂRAT. Două drepte perpendiculare se intersectează (într-un punct), formând acolo un unghi de $90^{\circ }$. (2p) c) O singură dreaptă perpendiculară pe $d$ trece prin punctul $T\in d$. (2p)

Exercițiul 15 (6p)

a) $3$ pătrate $\times 10\text{m}=30\text{m}$. (2p) b) $S$ este de cealaltă parte a aleii $d$, pe perpendiculara din $F$ pe $d$, la aceeași distanță ca $F$: la 3 pătrate, adică $30\text{m}$ de alee. (Aleea $d$ este mediatoarea segmentului $[FS]$.) (2p) c) Pe mediatoarea segmentului $[AB]$ (punctele egal depărtate de $A$ și $B$). (2p)

Exercițiul 16 (7p)

a) $M$ și $N$ se află pe mediatoarea lui $[AB]$, iar orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capete; deci $MA=MB$ și $NA=NB$ (proprietatea de echidistanță). (2p) b) Triunghiurile $MAB$ și $NAB$ sunt isoscele: $MAB$ are $MA=MB$, iar $NAB$ are $NA=NB$ (două laturi congruente). (2p) c) Mediatoarea $d$ este perpendiculară pe $[AB]$ și trece prin mijlocul $O$ al lui $[AB]$, deci $OA=OB$ și $AB\perp d$. Atunci $B$ este punctul de pe perpendiculara din $A$ pe $d$, situat de partea opusă, la aceeași distanță de $d$ ca $A$ — adică exact simetricul lui $A$ față de $d$. (3p)

Felicitări! Ai terminat fișa de exersare la unitatea Perpendicularitate. Recitește itemii la care ai greșit și reface construcțiile cu rigla, echerul și compasul.

Pentru părinți

Această fișă consolidează unitatea Perpendicularitate: definiția și construcția dreptelor perpendiculare, distanța de la un punct la o dreaptă, mediatoarea unui segment și construcția ei cu compasul, simetria față de o dreaptă (simetria axială) și probleme de perpendicularitate cu calcul de unghiuri.

• Punctaj total: 100 de puncte (10 puncte din oficiu + 90 de puncte pe itemi).
• Timp recomandat: 80–90 de minute, de lucru continuu.
• Materiale necesare: riglă gradată, echer (sau colțul unei coli) și compas. Itemii de construcție se rezolvă pe hârtie, cu instrumentele, și se descriu pașii.
• Cum se aplică: elevul lucrează singur, fără ajutor, ca la o evaluare. La sfârșit verificați împreună cu Baremul și răspunsurile. Punctaje orientative pe note: 45–59 p ≈ nota 6; 60–74 p ≈ nota 7–8; 75–89 p ≈ nota 9; 90–100 p ≈ nota 10.
• Sfat: la itemii cu „justificați" sau „adevărat/fals cu motivare", răspunsul fără explicație nu primește punctaj integral. La construcții se punctează și descrierea pașilor, nu doar desenul.

Notație folosită: $a\perp b$ se citește „dreapta $a$ este perpendiculară pe dreapta $b$"; $[AB]$ este segmentul, $AB$ este lungimea lui; $m(\widehat{AOB})$ înseamnă „măsura unghiului $AOB$". Două drepte sunt perpendiculare dacă, intersectându-se, formează un unghi drept ($90^{\circ }$).