Fișă de exersare: triunghiuri particulare și Pitagora

Exerciții

Exercițiul 1. (4 puncte)

Asociază fiecare linie importantă din triunghi cu elementul corespunzător. Scrie perechile (literă – cifră).

Linia importantă		Element asociat
a) Bisectoarele		1) Ortocentrul
b) Mediatoarele		2) Centrul cercului înscris
c) Înălțimile		3) Centrul de greutate
d) Medianele		4) Centrul cercului circumscris

Exercițiul 2. (5 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt răspunsul.

a) Într-un triunghi echilateral, toate cele trei înălțimi au lungimi egale. b) Un triunghi cu laturile de 9 cm, 40 cm și 41 cm este dreptunghic. c) Centrul de greutate al unui triunghi este punctul de intersecție al înălțimilor. d) Mediatoarea unei laturi a unui triunghi oarecare trece întotdeauna prin vârful opus laturii. e) Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este cea mai lungă latură.

Exercițiul 3. (4 puncte)

Într-un triunghi isoscel, unghiul dintre laturile egale (unghiul de la vârf) măsoară $40°$ . a) Calculează măsura fiecăruia dintre unghiurile de la bază. b) Explică ce proprietate a triunghiului isoscel ai folosit.

Exercițiul 4. (4 puncte)

Triunghiul $A B C$ este echilateral, cu latura de $7$ cm. a) Cât măsoară fiecare unghi al triunghiului? b) Calculează perimetrul triunghiului.

Exercițiul 5. (5 puncte)

Un triunghi dreptunghic are catetele de $20$ cm și $21$ cm. a) Calculează lungimea ipotenuzei folosind teorema lui Pitagora. b) Scrie relația lui Pitagora pentru acest triunghi, notând ipotenuza cu $i$ și catetele cu $c_{1}$ și $c_{2}$ .

Exercițiul 6. (5 puncte)

Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are $26$ cm, iar una dintre catete are $10$ cm. Calculează lungimea celeilalte catete.

Exercițiul 7. (6 puncte)

În triunghiul $A B C$ , $A M$ este mediană ( $M$ pe latura $B C$ ), iar $G$ este centrul de greutate. Se știe că $B C = 18$ cm. a) Calculează lungimile segmentelor $B M$ și $M C$ . Justifică. b) Precizează ce reprezintă punctul $G$ și ce proprietate a medianelor ai folosit.

Exercițiul 8. (6 puncte)

Triunghiul $A B C$ este isoscel, cu $A B = A C = 13$ cm și baza $B C = 10$ cm. Fie $M$ mijlocul bazei $B C$ . a) Justifică de ce $A M$ este, în același timp, mediană, înălțime, bisectoare și mediatoare a triunghiului. b) Calculează lungimea înălțimii $A M$ . c) Calculează perimetrul triunghiului $A B C$ .

Exercițiul 9. (6 puncte)

O scară de $2, 5$ m lungime este rezemată de un perete vertical. Piciorul scării este la $0, 7$ m de perete (pe sol orizontal). a) La ce înălțime pe perete ajunge capătul de sus al scării? b) Ce triunghi particular se formează între perete, sol și scară? Justifică.

Exercițiul 10. (6 puncte)

Un teren are forma unui dreptunghi cu lungimea de $24$ m și lățimea de $7$ m. O alee dreaptă unește două colțuri opuse ale terenului (de-a lungul diagonalei). a) Calculează lungimea aleii. b) Cu cât este mai scurt drumul pe alee față de drumul pe două laturi (lungime + lățime)?

Exercițiul 11. (6 puncte)

Triunghiul $A B C$ este echilateral, cu latura de $8$ cm. Fie $A H$ înălțimea din $A$ ( $H$ pe $B C$ ). a) Arată că $H$ este mijlocul laturii $B C$ și calculează $B H$ . b) Calculează măsura unghiului $B A H$ , apoi verifică în triunghiul $A B H$ proprietatea catetei opuse unghiului de $30°$ .

Exercițiul 12. (6 puncte)

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu catetele $A B = 6$ cm și $A C = 8$ cm. a) Calculează lungimea ipotenuzei $B C$ . b) Calculează perimetrul triunghiului $A B C$ . c) Calculează lungimea medianei din $A$ corespunzătoare ipotenuzei.

Exercițiul 13. (6 puncte)

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu $A B = 6$ cm și $A C = 8$ cm. Se construiește cercul circumscris triunghiului. a) Unde se află centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic? Justifică. b) Calculează raza cercului circumscris.

Exercițiul 14. (6 puncte)

În triunghiul $A B C$ , bisectoarele celor trei unghiuri se intersectează în punctul $I$ . a) Ce reprezintă punctul $I$ pentru triunghi? b) Adevărat sau fals (cu justificare): „Punctul $I$ este egal depărtat de cele trei vârfuri ale triunghiului."

Exercițiul 15. (7 puncte)

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu $A B = 9$ cm și $A C = 12$ cm. a) Calculează lungimea ipotenuzei $B C$ . b) Calculează perimetrul triunghiului $A B C$ . c) Arată că unghiurile $B$ și $C$ sunt complementare. d) Fie $A M$ mediana din $A$ ( $M$ mijlocul ipotenuzei). Calculează $A M$ și explică legătura dintre $A M$ și cercul circumscris.

Exercițiul 16. (6 puncte)

Un televizor are ecranul dreptunghiular cu lățimea de $80$ cm și înălțimea de $60$ cm. Producătorii indică „diagonala" ecranului. a) Calculează lungimea diagonalei ecranului. b) Justifică prin ce teoremă ai obținut rezultatul.

Exercițiul 17. (6 puncte)

Răspunde, cu justificare scurtă: a) Poate exista un triunghi dreptunghic care să fie și echilateral? De ce? b) Într-un triunghi dreptunghic isoscel, care sunt măsurile celor trei unghiuri?

Exercițiul 18. (6 puncte)

Triunghiul $A B C$ are $A B = A C$ . Mediatoarea laturii $B C$ intersectează latura $B C$ în punctul $M$ . a) Justifică de ce dreapta $A M$ este mediatoarea laturii $B C$ . b) Pe mediatoarea lui $B C$ se află un punct $P$ cu $P B = 5$ cm. Cât este $P C$ ? Justifică folosind proprietatea mediatoarei.

Barem și răspunsuri

Exercițiul 1 (4 p — câte 1 p pentru fiecare pereche corectă) a–2 (bisectoarele → centrul cercului înscris); b–4 (mediatoarele → centrul cercului circumscris); c–1 (înălțimile → ortocentrul); d–3 (medianele → centrul de greutate).

Exercițiul 2 (5 p — câte 1 p: 0,5 p verdict + 0,5 p justificare) a) A — în triunghiul echilateral cele trei înălțimi sunt congruente (toate liniile importante coincid și sunt egale). b) A — $9^{2} + 4 0^{2} = 81 + 1600 = 1681 = 4 1^{2}$ , deci reciproca teoremei lui Pitagora arată că triunghiul este dreptunghic. c) F — intersecția înălțimilor este ortocentrul; centrul de greutate este intersecția medianelor. d) F — în general mediatoarea (perpendiculara pe mijlocul laturii) nu trece prin vârful opus; acest lucru se întâmplă doar pentru baza unui triunghi isoscel/echilateral. e) A — ipotenuza se opune unghiului de $90°$ , cel mai mare unghi, deci este latura cea mai lungă.

Exercițiul 3 (4 p) a) Suma unghiurilor = $180°$ . Unghiurile de la bază sunt egale: $(180° - 40°) : 2 = 140° : 2 = 70°$ . Fiecare unghi de la bază = $70°$ . (3 p) b) S-a folosit proprietatea: într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază (alăturate laturilor egale) sunt congruente. (1 p)

Exercițiul 4 (4 p) a) Triunghiul echilateral are toate unghiurile egale: $180° : 3 = 60°$ . Fiecare unghi = $60°$ . (2 p) b) $P = 3 \cdot 7 = 21$ cm. (2 p)

Exercițiul 5 (5 p) a) $i^{2} = 2 0^{2} + 2 1^{2} = 400 + 441 = 841$ , deci $i = 841 = 29$ cm. Ipotenuza = 29 cm. (3 p) b) $i^{2} = c_{1}^{2} + c_{2}^{2}$ (pătratul ipotenuzei = suma pătratelor catetelor). (2 p)

Exercițiul 6 (5 p) Fie cealaltă catetă $c$ . Din teorema lui Pitagora: $c^{2} = 2 6^{2} - 1 0^{2} = 676 - 100 = 576$ , deci $c = 576 = 24$ cm. Cealaltă catetă = 24 cm.

Exercițiul 7 (6 p) a) $A M$ fiind mediană, $M$ este mijlocul laturii $B C$ (definiția medianei), deci $B M = M C = 18 : 2 = 9$ cm. (4 p) b) $G$ este centrul de greutate al triunghiului; proprietatea folosită: cele trei mediane sunt concurente (trec toate prin punctul $G$ ). (2 p)

Exercițiul 8 (6 p) a) Triunghiul fiind isoscel cu $A B = A C$ , segmentul $A M$ dus din vârful $A$ spre mijlocul bazei este în același timp mediană, înălțime, bisectoare și mediatoare (proprietatea liniilor importante din triunghiul isoscel relativ la bază). (2 p) b) $A M ⊥ B C$ și $M$ mijlocul lui $B C$ , deci $B M = 5$ cm. În triunghiul dreptunghic $A B M$ : $A M^{2} = A B^{2} - B M^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144$ , deci $A M = 12$ cm. (2 p) c) $P = A B + A C + B C = 13 + 13 + 10 = 36$ cm. (2 p)

Exercițiul 9 (6 p) a) Scara este ipotenuza ( $2, 5$ m), distanța la perete o catetă ( $0, 7$ m). Înălțimea $h$ : $h^{2} = 2, 5^{2} - 0, 7^{2} = 6, 25 - 0, 49 = 5, 76$ , deci $h = 5, 76 = 2, 4$ m. Înălțimea = 2,4 m. (4 p) b) Se formează un triunghi dreptunghic, deoarece peretele este vertical, iar solul orizontal, deci între ele este un unghi de $90°$ . (2 p)

Exercițiul 10 (6 p) a) Diagonala $d$ : $d^{2} = 2 4^{2} + 7^{2} = 576 + 49 = 625$ , deci $d = 625 = 25$ m. Aleea = 25 m. (4 p) b) Drumul pe două laturi: $24 + 7 = 31$ m. Diferența: $31 - 25 = 6$ m. Aleea este cu 6 m mai scurtă. (2 p)

Exercițiul 11 (6 p) a) În triunghiul echilateral, înălțimea din $A$ este și mediană, deci $H$ este mijlocul lui $B C$ și $B H = 8 : 2 = 4$ cm. (2 p) b) În triunghiul echilateral, înălțimea din $A$ este și bisectoare, deci $∠ B A H = 60° : 2 = 30°$ . În triunghiul dreptunghic $A B H$ , cateta opusă unghiului de $30°$ este $B H = 4$ cm, adică exact jumătate din ipotenuza $A B = 8$ cm — proprietatea se verifică. (4 p)

Exercițiul 12 (6 p) a) $B C^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$ , deci $B C = 10$ cm. (2 p) b) $P = A B + A C + B C = 6 + 8 + 10 = 24$ cm. (2 p) c) Mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză: $A M = \frac{B C}{2} = \frac{10}{2} = 5$ cm. (2 p)

Exercițiul 13 (6 p) a) Centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este mijlocul ipotenuzei (ipotenuza este diametrul cercului circumscris). (3 p) b) Ipotenuza: $B C^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 100$ , $B C = 10$ cm. Raza $R = \frac{B C}{2} = \frac{10}{2} = 5$ cm. (3 p)

Exercițiul 14 (6 p) a) $I$ este centrul cercului înscris în triunghi (este egal depărtat de cele trei laturi). (3 p) b) Fals — punctul $I$ este egal depărtat de cele trei laturi, nu de vârfuri. Egal depărtat de vârfuri este centrul cercului circumscris (intersecția mediatoarelor). (3 p)

Exercițiul 15 (7 p) a) $B C^{2} = 9^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225$ , deci $B C = 15$ cm. (2 p) b) $P = A B + A C + B C = 9 + 12 + 15 = 36$ cm. (1 p) c) Suma unghiurilor triunghiului este $180°$ ; cum $∠ A = 90°$ , rezultă $∠ B + ∠ C = 180° - 90° = 90°$ , deci unghiurile ascuțite $B$ și $C$ sunt complementare. (2 p) d) $A M$ este mediana spre ipotenuză, egală cu jumătate din ipotenuză: $A M = \frac{B C}{2} = 7, 5$ cm. $M$ este mijlocul ipotenuzei, deci centrul cercului circumscris, iar $A M$ este o rază a acestui cerc. (2 p)

Exercițiul 16 (6 p) a) Diagonala $d$ : $d^{2} = 8 0^{2} + 6 0^{2} = 6400 + 3600 = 10000$ , deci $d = 10000 = 100$ cm. Diagonala = 100 cm (1 m). (4 p) b) Diagonala dreptunghiului împarte ecranul în două triunghiuri dreptunghice; s-a folosit teorema lui Pitagora (diagonala = ipotenuza). (2 p)

Exercițiul 17 (6 p) a) Nu. Un triunghi echilateral are toate unghiurile de $60°$ , deci nu poate avea un unghi de $90°$ ; nu poate fi simultan dreptunghic și echilateral. (3 p) b) Unul drept ( $90°$ ) și două egale: $(180° - 90°) : 2 = 45°$ . Unghiurile sunt $90°$ , $45°$ , $45°$ . (3 p)

Exercițiul 18 (6 p) a) Triunghiul fiind isoscel cu $A B = A C$ , vârful $A$ este egal depărtat de capetele bazei $B C$ ; cum și $M$ (mijlocul lui $B C$ ) este egal depărtat de $B$ și $C$ , dreapta $A M$ este mediatoarea lui $B C$ (locul punctelor egal depărtate de $B$ și $C$ ). (3 p) b) Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de capetele lui, deci $P C = P B = 5$ cm. (3 p)

Total: 100 de puncte. Pentru itemii cu justificare, răspunsul corect fără explicație primește jumătate din punctaj.

Pentru părinți

Această fișă consolidează unitatea „Linii importante în triunghi și triunghiuri particulare": bisectoare, mediatoare, înălțimi, mediane (cu cercul înscris, cercul circumscris, ortocentrul și centrul de greutate), proprietățile triunghiurilor isoscel, echilateral și dreptunghic, precum și teorema lui Pitagora aplicată în contexte practice.

Punctaj total: 100 de puncte (fără punct din oficiu). Itemii sunt gradați de la simplu la complex.
Timp recomandat: 50 de minute, în condiții de liniște, fără calculator (calculele sunt cu numere alese convenabil).
Cum se aplică: copilul rezolvă singur, pe foaie separată, scriind clar pașii și justificările. Verificați apoi cu baremul de la final. La itemii de tip adevărat/fals și justificare, răspunsul fără motivare nu primește punctaj integral.
Interpretare orientativă: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se reia unitatea.

Notă: la geometrie, marcajul 🖼️ indică o figură de desenat pe caiet după datele din enunț. Desenul corect ajută la rezolvare, dar punctajul se acordă pentru raționament și calcul.