Fișă de exersare: triunghiul și construcții

Unitatea: Triunghiul: proprietăți fundamentale · Clasa a VI-a · Matematică

Exerciții

Exercițiul 1. Clasificarea triunghiului (4 puncte)

Un triunghi $ABC$ are măsurile unghiurilor de $35^{\circ }$, $55^{\circ }$ și $90^{\circ }$.

a) Clasificați triunghiul după unghiuri. (2p) b) Clasificați triunghiul după laturi și justificați răspunsul. (2p)

Exercițiul 2. Suma măsurilor unghiurilor (5 puncte)

Măsurile unghiurilor unui triunghi sunt direct proporționale cu numerele $2$, $3$ și $4$, adică sunt de forma $2x$, $3x$ și $4x$.

a) Determinați valoarea lui $x$. (2p) b) Calculați măsura fiecărui unghi. (2p) c) Precizați natura triunghiului după unghiuri. (1p)

Exercițiul 3. Triunghi isoscel (4 puncte)

Într-un triunghi isoscel, unghiul de la vârf (dintre laturile congruente) are măsura de $40^{\circ }$.

Calculați măsura fiecăruia dintre cele două unghiuri de la bază.

Exercițiul 4. Teorema unghiului exterior (5 puncte)

În triunghiul $ABC$, unghiul exterior din vârful $C$ are măsura de $120^{\circ }$, iar $m(\hat{A})=50^{\circ }$.

a) Calculați $m(\hat{B})$, folosind teorema unghiului exterior. (3p) b) Calculați măsura unghiului interior $\hat{C}$. (2p)

Exercițiul 5. Unghiuri exterioare (6 puncte)

În triunghiul $MNP$, unghiul exterior din vârful $N$ are $130^{\circ }$, iar unghiul exterior din vârful $P$ are $110^{\circ }$.

a) Calculați măsurile unghiurilor interioare $\hat{N}$ și $\hat{P}$. (2p) b) Calculați $m(\hat{M})$. (2p) c) Verificați că suma măsurilor celor trei unghiuri exterioare (câte unul în fiecare vârf) este $360^{\circ }$. (2p)

Exercițiul 6. Inegalitatea triunghiului (6 puncte)

Pentru fiecare set de trei lungimi, stabiliți dacă se poate construi un triunghi cu laturile respective. Justificați prin verificarea inegalității triunghiului.

a) $3$ cm, $4$ cm, $5$ cm (1,5p) b) $2$ cm, $3$ cm, $6$ cm (1,5p) c) $5$ cm, $5$ cm, $9$ cm (1,5p) d) $4$ cm, $4$ cm, $8$ cm (1,5p)

Exercițiul 7. Intervalul celei de-a treia laturi (5 puncte)

Două laturi ale unui triunghi au lungimile de $7$ cm și $10$ cm.

a) Determinați intervalul în care se poate afla lungimea $x$ a celei de-a treia laturi. (3p) b) Dacă $x$ este un număr natural, scrieți cea mai mică și cea mai mare valoare posibilă. (2p)

Exercițiul 8. Triunghi isoscel și perimetru (5 puncte)

Un triunghi isoscel are o latură de $6$ cm și o latură de $13$ cm.

a) Arătați care dintre cele două lungimi nu poate fi lungimea laturilor congruente și justificați cu inegalitatea triunghiului. (3p) b) Calculați perimetrul triunghiului. (2p)

Exercițiul 9. Teren triunghiular (6 puncte)

Un teren triunghiular are perimetrul de $48$ m. Două dintre laturi măsoară $15$ m și $18$ m.

a) Calculați lungimea celei de-a treia laturi. (3p) b) Stabiliți natura triunghiului după laturi și verificați inegalitatea triunghiului. (3p)

Exercițiul 10. Adevărat sau fals, cu motivare (6 puncte)

Stabiliți dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justificați pe scurt.

a) Un triunghi poate avea două unghiuri obtuze. (1,5p) b) Suma măsurilor celor trei unghiuri exterioare ale unui triunghi (câte unul în fiecare vârf) este $360^{\circ }$. (1,5p) c) Într-un triunghi, laturii mai lungi i se opune unghiul mai mare. (1,5p) d) Există un triunghi cu laturile de $1$ cm, $2$ cm și $3$ cm. (1,5p)

Exercițiul 11. Construcție LUL (latură–unghi–latură) (6 puncte)

Construiți triunghiul $ABC$ în care $AB=5$ cm, $m(\hat{A})=60^{\circ }$ și $AC=4$ cm.

Descrieți pașii construcției și realizați desenul cu instrumentele (riglă, raportor).

Exercițiul 12. Construcție ULU (unghi–latură–unghi) (6 puncte)

Construiți triunghiul $MNP$ în care $NP=6$ cm, $m(\hat{N})=45^{\circ }$ și $m(\hat{P})=70^{\circ }$.

a) Înainte de construcție, calculați $m(\hat{M})$. (2p) b) Descrieți pașii construcției și realizați desenul. (4p)

Exercițiul 13. Construcție LLL (latură–latură–latură) (6 puncte)

Se cere construirea unui triunghi cu laturile de $4$ cm, $5$ cm și $6$ cm.

a) Verificați, prin inegalitatea triunghiului, că triunghiul există. (2p) b) Descrieți pașii construcției cu rigla și compasul și realizați desenul. (4p)

Exercițiul 14. Ordonarea unghiurilor (6 puncte)

În triunghiul $ABC$ avem $AB<AC<BC$.

a) Precizați, pentru fiecare latură, unghiul opus ei. (3p) b) Ordonați crescător măsurile unghiurilor $\hat{A}$, $\hat{B}$, $\hat{C}$ și justificați folosind relația dintre laturi și unghiuri. (3p)

Exercițiul 15. Unghiuri într-un triunghi (5 puncte)

În triunghiul $ABC$ se cunosc $m(\hat{B})=80^{\circ }$ și $m(\hat{C})=40^{\circ }$.

a) Calculați măsura unghiului exterior din vârful $A$. (2p) b) Calculați $m(\hat{A})$. (1p) c) Precizați natura triunghiului după unghiuri. (2p)

Exercițiul 16. Problemă aplicată — grindă de acoperiș (9 puncte)

O grindă metalică pentru un acoperiș are forma unui triunghi isoscel $ABC$, cu $AB=AC$. Unghiul de la vârful $A$ (cel de sus) are măsura de $100^{\circ }$.

a) Calculați măsurile unghiurilor de la bază, $\hat{B}$ și $\hat{C}$. (2p) b) Calculați măsura unghiului exterior din vârful $B$. (2p) c) Știind că $AB=AC=2,5$ m și $BC=3,8$ m, calculați câți metri de profil metalic sunt necesari pentru întreaga grindă (perimetrul). (2p) d) Verificați, prin inegalitatea triunghiului, că grinda cu aceste dimensiuni se poate realiza. (3p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 100 p = 10 p din oficiu + 90 p pe itemi.

Exercițiul 1 (4p)

a) Triunghi dreptunghic — are un unghi de $90^{\circ }$. (2p) b) Triunghi scalen (oarecare). Cele trei unghiuri au măsuri diferite ($35^{\circ }$, $55^{\circ }$, $90^{\circ }$), deci și cele trei laturi au lungimi diferite (unor unghiuri diferite li se opun laturi diferite). (2p)

Exercițiul 2 (5p)

a) $2x+3x+4x=180^{\circ }\Rightarrow 9x=180^{\circ }\Rightarrow x=20^{\circ }$. (2p) b) Unghiurile sunt $2\cdot 20^{\circ }=40^{\circ }$, $3\cdot 20^{\circ }=60^{\circ }$, $4\cdot 20^{\circ }=80^{\circ }$. (2p) c) Toate unghiurile sunt ascuțite ($<90^{\circ }$) → triunghi ascuțitunghic. (1p)

Exercițiul 3 (4p)

Suma celor două unghiuri de la bază: $180^{\circ }-40^{\circ }=140^{\circ }$. (2p) Fiind congruente: $140^{\circ }:2=70^{\circ }$ fiecare. (2p)

Exercițiul 4 (5p)

a) Teorema unghiului exterior: un unghi exterior este egal cu suma celor două unghiuri interioare neadiacente. $120^{\circ }=m(\hat{A})+m(\hat{B})=50^{\circ }+m(\hat{B})\Rightarrow m(\hat{B})=70^{\circ }$. (3p) b) Unghiul interior și cel exterior din $C$ sunt suplementare: $m(\hat{C})=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$. Verificare: $50^{\circ }+70^{\circ }+60^{\circ }=180^{\circ }$. ✓ (2p)

Exercițiul 5 (6p)

a) $\hat{N}=180^{\circ }-130^{\circ }=50^{\circ }$; $\hat{P}=180^{\circ }-110^{\circ }=70^{\circ }$. (2p) b) $m(\hat{M})=180^{\circ }-50^{\circ }-70^{\circ }=60^{\circ }$. (2p) c) Unghiul exterior din $M$ este $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$. Suma: $130^{\circ }+110^{\circ }+120^{\circ }=360^{\circ }$. ✓ (2p)

Exercițiul 6 (6p)

Se poate construi un triunghi dacă orice latură este mai mică decât suma celorlalte două (suficient: cea mai lungă < suma celorlalte). a) $5<3+4=7$ ✓ → DA. (1,5p) b) $6>2+3=5$ ✗ → NU. (1,5p) c) $9<5+5=10$ ✓ → DA. (1,5p) d) $8=4+4$, nu este strict mai mic ✗ → NU (laturile s-ar suprapune pe o dreaptă). (1,5p)

Exercițiul 7 (5p)

a) $10-7<x<10+7\Rightarrow 3\text{cm}<\mathbf{x}<17\text{cm}$. (3p) b) Cea mai mică valoare naturală: $x=4$ cm; cea mai mare: $x=16$ cm. (2p)

Exercițiul 8 (5p)

a) Dacă laturile congruente ar fi de $6$ cm, triunghiul ar avea laturile $6$, $6$, $13$, dar $6+6=12<13$ — imposibil. Deci laturile congruente nu pot fi de $6$ cm; ele sunt de $13$ cm. (3p) b) Triunghiul are laturile $13$, $13$, $6$ → perimetrul $=13+13+6=32$ cm. (2p)

Exercițiul 9 (6p)

a) A treia latură $=48-(15+18)=48-33=15$ m. (3p) b) Laturile sunt $15$, $18$, $15$ → două laturi egale → triunghi isoscel. Inegalitatea: $18<15+15=30$ ✓ (și evident $15<18+15$) → triunghiul există. (3p)

Exercițiul 10 (6p)

a) F. Două unghiuri obtuze ar însuma peste $180^{\circ }$, depășind suma unghiurilor unui triunghi. (1,5p) b) A. Suma unghiurilor exterioare ale oricărui triunghi este $360^{\circ }$. (1,5p) c) A. Într-un triunghi, laturii mai lungi i se opune unghiul mai mare (și reciproc). (1,5p) d) F. $1+2=3$, nu este strict mai mare decât $3$, deci inegalitatea triunghiului nu este îndeplinită. (1,5p)

Exercițiul 11 (6p)

Pași (cazul LUL):

1. Se desenează segmentul $[AB]$ de $5$ cm. (1p)
2. În vârful $A$, cu raportorul, se construiește un unghi de $60^{\circ }$. (2p)
3. Pe a doua latură a unghiului se măsoară $AC=4$ cm și se marchează $C$. (2p)
4. Se unește $C$ cu $B$ → triunghiul $ABC$. (1p) Observație: construcția este unic determinată (caz de congruență LUL).

Exercițiul 12 (6p)

a) $m(\hat{M})=180^{\circ }-45^{\circ }-70^{\circ }=65^{\circ }$. (2p) b) Pași (cazul ULU):

1. Se desenează segmentul $[NP]$ de $6$ cm.
2. În $N$ se construiește un unghi de $45^{\circ }$.
3. În $P$ se construiește un unghi de $70^{\circ }$ (de aceeași parte a dreptei $NP$).
4. Cele două laturi ale unghiurilor se intersectează în $M$ → triunghiul $MNP$. (4p — câte 1p pe pas)

Exercițiul 13 (6p)

a) Cea mai lungă latură: $6<4+5=9$ ✓ → triunghiul există. (2p) b) Pași (cazul LLL):

1. Se desenează segmentul $[BC]$ de $6$ cm (latura cea mai lungă).
2. Cu compasul deschis la $4$ cm și vârful în $B$, se trasează un arc.
3. Cu compasul deschis la $5$ cm și vârful în $C$, se trasează al doilea arc.
4. Punctul de intersecție al arcelor este $A$; se unește $A$ cu $B$ și cu $C$. (4p — câte 1p pe pas)

Exercițiul 14 (6p)

a) Laturii $[AB]$ i se opune $\hat{C}$; laturii $[AC]$ i se opune $\hat{B}$; laturii $[BC]$ i se opune $\hat{A}$. (3p) b) Din $AB<AC<BC$ și „laturii mai mari i se opune unghiul mai mare": $\hat{C}<\hat{B}<\hat{A}$. (3p)

Exercițiul 15 (5p)

a) Unghiul exterior din $A$ $=m(\hat{B})+m(\hat{C})=80^{\circ }+40^{\circ }=120^{\circ }$. (2p) b) $m(\hat{A})=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$ (sau $180^{\circ }-80^{\circ }-40^{\circ }$). (1p) c) Unghiurile sunt $60^{\circ }$, $80^{\circ }$, $40^{\circ }$, toate ascuțite → triunghi ascuțitunghic. (2p)

Exercițiul 16 (9p)

a) Triunghi isoscel cu $AB=AC$ → unghiurile de la bază sunt congruente: $m(\hat{B})=m(\hat{C})=(180^{\circ }-100^{\circ }):2=80^{\circ }:2=40^{\circ }$. (2p) b) Unghiul exterior din $B$ $=180^{\circ }-40^{\circ }=140^{\circ }$ (sau, prin teorema unghiului exterior, $m(\hat{A})+m(\hat{C})=100^{\circ }+40^{\circ }=140^{\circ }$). (2p) c) Perimetrul $=AB+AC+BC=2,5+2,5+3,8=8,8$ m de profil metalic. (2p) d) Verificare (latura cea mai lungă, $BC=3,8$ m): $3,8<2,5+2,5=5$ ✓. De asemenea $2,5<3,8+2,5$ ✓. Inegalitatea triunghiului este îndeplinită → grinda se poate realiza. (3p)

Total: 90 p pe itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Pentru părinți

Această fișă consolidează capitolul despre triunghi: clasificare, perimetru, suma măsurilor unghiurilor, teorema unghiului exterior, inegalitatea triunghiului și construcția triunghiurilor în cazurile LUL (latură–unghi–latură), ULU (unghi–latură–unghi) și LLL (latură–latură–latură).

• Punctaj total: 100 de puncte (10 puncte din oficiu + 90 de puncte pe itemi).
• Timp recomandat: 80–90 de minute, de lucru continuu.
• Materiale necesare: riglă gradată, raportor și compas (itemii de construcție se rezolvă pe hârtie, cu instrumente).
• Cum se aplică: elevul lucrează singur, fără ajutor, ca la o evaluare. La sfârșit verificați împreună cu Baremul și răspunsurile. Punctaje orientative pe note: 45–59 p ≈ nota 6; 60–74 p ≈ nota 7–8; 75–89 p ≈ nota 9; 90–100 p ≈ nota 10.
• Sfat: la itemii cu „justificați", răspunsul fără explicație nu primește punctaj integral. La construcții se cere și descrierea pașilor, nu doar desenul.

Notație folosită: $\hat{A}$ sau $m(\hat{A})$ înseamnă „măsura unghiului $A$"; $[AB]$ este segmentul, iar $AB$ lungimea lui. Suma măsurilor unghiurilor oricărui triunghi este $180^{\circ }$.