Simularea 1 — Evaluarea Națională la clasa a VI-a (accent pe numere și divizibilitate)

Pentru părinți

Acest test reproduce formatul probei de matematică de la Evaluarea Națională pentru clasa a VI-a: itemi pe competențe, în contexte practice (model PISA), gradate ca dificultate, mulți cu subpuncte.

• Timp recomandat: 60 de minute, în condiții de liniște, fără telefon și fără calculator de buzunar.
• Punctaj total: 100 de puncte, dintre care 10 puncte se acordă din oficiu. Cele 18 cerințe însumează 90 de puncte (punctajul fiecărui item este scris în paranteză).
• Cum se aplică: elevul scrie rezolvările pe o foaie separată, numerotând clar fiecare item. La itemii de „adevărat/fals" și la cei de justificare se cere și motivarea, nu doar răspunsul final.
• Cum se notează: folosiți secțiunea Barem și răspunsuri de la final. Nota se obține împărțind punctajul la 10 (ex.: 78 de puncte → nota 7,80).
• Accentul acestei simulări: mulțimi, divizibilitate (criterii, numere prime, c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.) și operații cu numere întregi și raționale, integrate cu rapoarte, procente, organizarea datelor și geometrie.

Exerciții

Citește cu atenție fiecare enunț. Scrie rezolvarea completă, nu doar răspunsul.

Exercițiul 1 — Mulțimi și divizori (5 puncte)

Într-un atelier, piesele de tip A se așază în cutii care încap exact un număr egal cu un divizor al lui 24, iar piesele de tip B în cutii cu un număr egal cu un divizor al lui 36. Notăm cu $A$ mulțimea divizorilor naturali ai lui 24 și cu $B$ mulțimea divizorilor naturali ai lui 36.

a) (2p) Scrie elementele mulțimii $A\cap B$. b) (1p) Care este cel mai mare element al mulțimii $A\cap B$? Ce reprezintă el pentru numerele 24 și 36? c) (2p) Scrie elementele mulțimii $A\setminus B$.

Exercițiul 2 — Criterii de divizibilitate (4 puncte)

Pe un bilet de tombolă este tipărit numărul de forma $\overline{1a4}$, unde $a$ este o cifră.

a) (2p) Determină toate valorile cifrei $a$ pentru care numărul este divizibil cu 3. b) (2p) Determină cifra $a$ pentru care numărul este divizibil cu 9.

Exercițiul 3 — Cel mai mic multiplu comun (context) (5 puncte)

Două panouri luminoase ale unei reclame se aprind simultan la pornire. Primul panou se aprinde apoi din nou la fiecare 18 secunde, iar al doilea la fiecare 24 de secunde.

a) (3p) După câte secunde de la pornire se vor aprinde din nou simultan, pentru prima dată? b) (2p) De câte ori s-a aprins fiecare panou până la acel moment (inclusiv aprinderea de coincidență)?

Exercițiul 4 — Cel mai mare divizor comun (context) (5 puncte)

O florăreasă are 48 de trandafiri și 60 de lalele. Vrea să facă buchete identice, folosind toate florile, fără să rămână vreo floare nefolosită, și să obțină cât mai multe buchete.

a) (3p) Câte buchete poate face cel mult? b) (2p) Câți trandafiri și câte lalele are fiecare buchet?

Exercițiul 5 — Numere prime și divizori (5 puncte)

Se consideră numărul natural $N=84$.

a) (2p) Scrie descompunerea lui $N$ în produs de factori primi. b) (2p) Câți divizori naturali are numărul $N$? c) (1p) Care este suma celor mai mici doi divizori primi ai lui $N$?

Exercițiul 6 — Numere întregi (context) (5 puncte)

La un experiment de fizică, temperatura era de $-7^{\circ }\text{C}$ dimineața. Până la prânz a crescut cu $12^{\circ }\text{C}$, iar până seara a scăzut cu $9^{\circ }\text{C}$ față de valoarea de la prânz.

a) (3p) Ce temperatură s-a măsurat seara? b) (2p) Cu câte grade a fost temperatura de la prânz mai mare decât cea de seara?

Exercițiul 7 — Operații cu numere raționale (5 puncte)

Calculează, respectând ordinea operațiilor: $$\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\cdot \frac{8}{5}.$$ Scrie rezultatul ca fracție.

Exercițiul 8 — Rapoarte și împărțire în părți proporționale (4 puncte)

Doi frați împart 35 de timbre în raportul $3:4$. Câte timbre primește fiecare?

Exercițiul 9 — Proporționalitate directă (context) (5 puncte)

La un magazin, 4 kg de mere costă 18 lei. Prețul pe kilogram este același indiferent de cantitate.

a) (3p) Cât costă 10 kg de mere? b) (2p) Câte kilograme de mere se pot cumpăra cu 27 de lei?

Exercițiul 10 — Procente (context) (6 puncte)

Un telefon costă 1200 de lei.

a) (3p) În cadrul unei promoții, prețul se reduce cu 15%. Care este prețul redus? b) (3p) La prețul redus se adaugă o garanție extinsă care costă 5% din prețul redus. Ce sumă totală plătește cumpărătorul?

Exercițiul 11 — Adevărat / Fals cu motivare (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată sau falsă și justifică răspunsul.

a) (2p) „Orice număr natural divizibil cu 6 este divizibil cu 3." b) (2p) „Numărul 1 este număr prim." c) (2p) „Dacă un număr natural este divizibil și cu 2, și cu 3, atunci este divizibil cu 6."

Exercițiul 12 — Organizarea și interpretarea datelor (5 puncte)

Notele obținute de elevii unei clase la o lucrare sunt date în tabel:

a) (1p) Câți elevi sunt în clasă? b) (3p) Calculează media notelor pe clasă, rotunjită la două zecimale. c) (1p) Câți elevi au obținut cel puțin nota 9?

Exercițiul 13 — Probabilități (context) (4 puncte)

Într-o urnă sunt 4 bile roșii, 6 bile albastre și 2 bile verzi, identice la pipăit. Se extrage la întâmplare o bilă.

a) (2p) Care este probabilitatea ca bila extrasă să fie roșie? Scrie rezultatul ca fracție ireductibilă. b) (2p) Care este probabilitatea ca bila extrasă să nu fie verde?

Exercițiul 14 — Geometrie: unghiuri (6 puncte)

Unghiurile $\widehat{AOB}$ și $\widehat{BOC}$ sunt suplementare, iar măsura unghiului $\widehat{AOB}$ este de două ori mai mare decât măsura unghiului $\widehat{BOC}$.

a) (4p) Determină măsurile celor două unghiuri. b) (2p) Precizează, pentru fiecare unghi, dacă este ascuțit, drept sau obtuz.

Exercițiul 15 — Geometrie: perimetru și arie (context) (5 puncte)

O grădină dreptunghiulară are lungimea de 24 m și lățimea de 15 m.

a) (2p) Calculează perimetrul grădinii. b) (2p) Calculează aria grădinii. c) (1p) Dacă grădina se împrejmuiește cu gard, lăsând o poartă de 3 m, câți metri de gard sunt necesari?

Exercițiul 16 — Divizibilitate și raționament (context) (6 puncte)

La un spectacol, un grup de elevi se poate aranja exact, fără să rămână vreunul, în rânduri de câte 6, de câte 8 sau de câte 9 elevi.

a) (3p) Care este cel mai mic număr posibil de elevi din grup (numărul fiind mai mare decât 0)? b) (2p) Se știe că numărul elevilor este cuprins între 100 și 200. Câți elevi sunt în grup? c) (1p) Verifică, prin calcul, că numărul găsit la punctul a) este divizibil cu 6, cu 8 și cu 9.

Exercițiul 17 — Justificare matematică (5 puncte)

a) (3p) Arată că suma a trei numere naturale consecutive este întotdeauna divizibilă cu 3. b) (2p) Dă un exemplu de trei numere naturale consecutive și verifică afirmația de la punctul a).

Exercițiul 18 — Procente: problemă de sinteză (context) (4 puncte)

Un produs costă 250 de lei într-un magazin online.

a) (2p) Cumpărătorul beneficiază de o reducere de 20%. Care este prețul după reducere? b) (2p) Dacă plătește cu cardul, mai primește o reducere de 5% din prețul deja redus. Ce sumă plătește în final?

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 100 de puncte (90 din itemi + 10 din oficiu). Pentru itemii cu subpuncte, punctajul se acordă pe fiecare subpunct, conform parantezelor din enunț. La itemii de justificare, răspunsul corect fără motivare se punctează parțial.

Exercițiul 1. (5p) Divizorii lui 24: $A=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$. Divizorii lui 36: $B=\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}$. a) $A\cap B=\{1,2,3,4,6,12\}$. (2p) b) Cel mai mare element este 12; el este cel mai mare divizor comun al numerelor 24 și 36, adică $\text{c.m.m.d.c.}(24,36)=12$. (1p) c) $A\setminus B=\{8,24\}$ (divizorii lui 24 care nu sunt și divizori ai lui 36). (2p)

Exercițiul 2. (4p) a) Suma cifrelor este $1+a+4=5+a$. Pentru divizibilitate cu 3, $5+a$ trebuie să fie multiplu de 3: $5+a\in \{6,9,12\}$, deci $a\in \{1,4,7\}$. (2p) b) Pentru divizibilitate cu 9, $5+a$ trebuie să fie multiplu de 9: singura cifră posibilă dă $5+a=9$, deci $a=4$ (numărul este 144). (2p)

Exercițiul 3. (5p) a) Momentul căutat este $\text{c.m.m.m.c.}(18,24)$. $18=2\cdot 3^2$, $24=2^3\cdot 3$, deci $\text{c.m.m.m.c.}=2^3\cdot 3^2=72$ secunde. (3p) b) Primul panou: $72:18=4$ ori; al doilea panou: $72:24=3$ ori. (2p)

Exercițiul 4. (5p) a) Numărul de buchete este $\text{c.m.m.d.c.}(48,60)$. $48=2^4\cdot 3$, $60=2^2\cdot 3\cdot 5$, deci $\text{c.m.m.d.c.}=2^2\cdot 3=12$. Se pot face 12 buchete. (3p) b) Fiecare buchet are $48:12=4$ trandafiri și $60:12=5$ lalele. (2p)

Exercițiul 5. (5p) a) $84=2^2\cdot 3\cdot 7$. (2p) b) Numărul de divizori: $(2+1)(1+1)(1+1)=3\cdot 2\cdot 2=12$ divizori. (2p) c) Cei mai mici doi divizori primi sunt 2 și 3; suma lor este $2+3=5$. (1p)

Exercițiul 6. (5p) a) Seara: $-7+12=5$, apoi $5-9=-4^{\circ }\text{C}$. (3p) b) Diferența: $5-(-4)=5+4=9^{\circ }\text{C}$. (2p)

Exercițiul 7. (5p) Întâi înmulțirea: $\frac{1}{4}\cdot \frac{8}{5}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$. (2p) Apoi adunarea, cu numitor comun 15: $\frac{2}{3}+\frac{2}{5}=\frac{10}{15}+\frac{6}{15}=\frac{16}{15}$. (3p)

Exercițiul 8. (4p) Numărul total de părți: $3+4=7$; o parte are $35:7=5$ timbre. Primul frate: $3\cdot 5=15$ timbre; al doilea: $4\cdot 5=20$ timbre. (4p) (Verificare: $15+20=35$.)

Exercițiul 9. (5p) Prețul pe kilogram: $18:4=4,5$ lei/kg. a) $10\cdot 4,5=45$ lei. (3p) b) $27:4,5=6$ kg. (2p)

Exercițiul 10. (6p) a) Reducerea: $15\%\cdot 1200=\frac{15}{100}\cdot 1200=180$ lei; prețul redus: $1200-180=1020$ lei. (3p) b) Garanția: $5\%\cdot 1020=\frac{5}{100}\cdot 1020=51$ lei; total de plată: $1020+51=1071$ lei. (3p)

Exercițiul 11. (6p) a) Adevărat. Deoarece $6=2\cdot 3$, iar $3$ este divizor al lui 6; dacă $6\mid n$, atunci și $3\mid n$. (2p) b) Fals. Un număr prim are exact doi divizori naturali (1 și el însuși). Numărul 1 are un singur divizor, deci nu este prim. (2p) c) Adevărat. Numerele 2 și 3 sunt prime între ele; dacă $2\mid n$ și $3\mid n$, atunci $n$ este divizibil cu produsul lor, $2\cdot 3=6$. (2p)

Exercițiul 12. (5p) a) $3+5+8+6+2=24$ elevi. (1p) b) Suma notelor: $6\cdot 3+7\cdot 5+8\cdot 8+9\cdot 6+10\cdot 2=18+35+64+54+20=191$. Media: $191:24\approx 7,96$. (3p) c) Cel puțin nota 9: $6+2=8$ elevi. (1p)

Exercițiul 13. (4p) Total bile: $4+6+2=12$. a) $P(\text{roșie})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$. (2p) b) Bile care nu sunt verzi: $12-2=10$; $P(\text{nu verde})=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$. (2p)

Exercițiul 14. (6p) a) Fie $x$ măsura unghiului $\widehat{BOC}$; atunci $\widehat{AOB}$ are măsura $2x$. Unghiurile fiind suplementare: $x+2x=180^{\circ }$, deci $3x=180^{\circ }$ și $x=60^{\circ }$. Așadar $m(\widehat{BOC})=60^{\circ }$ și $m(\widehat{AOB})=120^{\circ }$. (4p) b) $\widehat{BOC}=60^{\circ }$ este unghi ascuțit; $\widehat{AOB}=120^{\circ }$ este unghi obtuz. (2p)

Exercițiul 15. (5p) a) Perimetrul: $P=2\cdot (24+15)=2\cdot 39=78$ m. (2p) b) Aria: $A=24\cdot 15=360{\text{m}}^2$. (2p) c) Gardul necesar: $78-3=75$ m. (1p)

Exercițiul 16. (6p) a) Numărul căutat este $\text{c.m.m.m.c.}(6,8,9)$. $6=2\cdot 3$, $8=2^3$, $9=3^2$, deci $\text{c.m.m.m.c.}=2^3\cdot 3^2=72$. Cel mai mic număr posibil este 72. (3p) b) Multiplii lui 72 sunt $72,144,216,\dots$; singurul cuprins între 100 și 200 este 144. (2p) c) $72:6=12$, $72:8=9$, $72:9=8$ — toate împărțirile sunt exacte, deci 72 este divizibil cu 6, cu 8 și cu 9. (1p)

Exercițiul 17. (5p) a) Fie trei numere naturale consecutive $n$, $n+1$, $n+2$. Suma lor este $$n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1),$$ care este multiplu de 3, deci divizibilă cu 3. (3p) b) Exemplu: $4+5+6=15=3\cdot 5$ — divizibil cu 3. (2p) (Se acceptă orice exemplu corect.)

Exercițiul 18. (4p) a) Reducerea: $20\%\cdot 250=\frac{20}{100}\cdot 250=50$ lei; prețul redus: $250-50=200$ lei. (2p) b) A doua reducere: $5\%\cdot 200=10$ lei; suma finală de plată: $200-10=190$ lei. (2p)

Se acordă 10 puncte din oficiu. Total: 100 de puncte. Nota se obține împărțind punctajul total la 10.