Simularea 10 — Evaluarea Națională la clasa a VI-a (accent pe divizibilitate: c.m.m.d.c., c.m.m.m.c. și numere prime)

Disciplina: Matematică · Clasa a VI-a · Simulare tip Evaluarea Națională (partea de matematică)

Aceasta este o simulare completă, în formatul Evaluării Naționale de la clasa a VI-a. Accentul cade de această dată pe divizibilitate — probleme aplicate (c.m.m.d.c., c.m.m.m.c. și numere prime): mulțimea divizorilor, criteriile de divizibilitate, descompunerea în factori primi, numărul divizorilor unui număr, relația dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c., fracții ireductibile, numere prime între ele și probleme aplicate de tip „pavare", „pachete identice" sau „evenimente care se repetă simultan". Restul competențelor din programă — numere raționale, procente, organizarea datelor, probabilități, unghiuri — sunt recapitulate integrat, în primele itemi ale testului.

Testul are 18 de itemi, numerotați continuu, mulți cu subpuncte care cer rezolvare completă și, unde este cazul, justificare.

Exerciții

Exercițiul 1 — Calcul cu numere raționale (6 puncte)

Calculați:

a) $-\frac{5}{6}+\frac{3}{4}$ (1,5 p)    b) $(-2,4)\cdot (-0,25)$ (1,5 p)

c) $\left(-\frac{3}{5}\right):\left(-\frac{9}{10}\right)$ (1,5 p)    d) $(-2{)}^3\cdot \frac{1}{4}+0,5$ (1,5 p)

Exercițiul 2 — Telefonul la scumpire și ieftinire (5 puncte)

Un telefon costă 1 800 de lei. La început, prețul se scumpește cu 8%, iar apoi noul preț se ieftinește cu 25%.

a) Care este prețul telefonului după scumpire? (2 p)

b) Care este prețul final, după ieftinire? (2 p)

c) Cu cât la sută diferă prețul final față de prețul inițial de 1 800 de lei? (1 p)

Exercițiul 3 — Timpii alergătorilor (6 puncte)

Timpii înregistrați (în minute) de 10 alergători la o cursă școlară au fost: $15,16,16,17,17,17,18,18,19,20$.

a) Întocmiți un tabel de frecvențe (timp — de câte ori apare). (2 p)

b) Calculați media aritmetică a timpilor. (2 p)

c) Care este amplitudinea timpilor (diferența dintre timpul cel mai mare și timpul cel mai mic)? (1 p)

d) Care este frecvența procentuală a timpului de 17 minute? (1 p)

Exercițiul 4 — Bile în cutie (4 puncte)

Într-o cutie sunt 7 bile albastre, 5 bile verzi și 8 bile galbene, identice la pipăit. Se extrage o bilă la întâmplare.

a) Care este probabilitatea ca bila extrasă să fie verde? (2 p)

b) Care este probabilitatea ca bila extrasă să nu fie galbenă? (2 p)

Exercițiul 5 — Unghiuri suplementare (4 puncte)

Două unghiuri sunt suplementare, iar unul dintre ele este de trei ori mai mare decât celălalt.

a) Scrieți ecuația care exprimă condiția din enunț și rezolvați-o. (2 p)

b) Aflați măsurile celor două unghiuri. (2 p)

Exercițiul 6 — Divizori comuni la bibliotecă (5 puncte)

O bibliotecară are 45 de cărți de povești și 60 de cărți de aventuri. Vrea să le așeze pe rafturi, folosind pentru fiecare tip de carte un număr de rafturi care este un divizor al numărului ei de cărți, astfel încât pe fiecare raft să fie același număr de cărți. Notăm $A$ = mulțimea divizorilor naturali ai lui $45$ și $B$ = mulțimea divizorilor naturali ai lui $60$.

a) Determinați mulțimile $A$ și $B$. (2 p)

b) Determinați mulțimea $A\cap B$. (2 p)

c) Care este cel mai mare element din $A\cap B$ și ce reprezintă el pentru numerele $45$ și $60$? (1 p)

Exercițiul 7 — Criterii de divizibilitate (4 puncte)

Se dau numerele: 342, 585, 1 050, 2 916, 770. Folosind criteriile de divizibilitate (fără a efectua împărțiri), completează:

a) numerele divizibile cu 2; (1,5 p)

b) numerele divizibile cu 5; (1,5 p)

c) numerele divizibile cu 9. (1 p)

Exercițiul 8 — Descompunere în factori primi (6 puncte)

a) Descompuneți numărul 792 în produs de puteri de numere prime. (2 p)

b) Descompuneți numărul 468 în produs de puteri de numere prime. (2 p)

c) Folosind descompunerea de la punctul a), determinați câți divizori naturali are numărul 792. (2 p)

Exercițiul 9 — c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. din descompuneri (6 puncte)

Se dau numerele $a=2^3\cdot 3^2\cdot 7$ și $b=2^2\cdot 3^3\cdot 5$.

a) Calculați $\text{c.m.m.d.c.}(a,b)$. (3 p)

b) Calculați $\text{c.m.m.m.c.}(a,b)$. (3 p)

Exercițiul 10 — Numere prime între ele (4 puncte)

Arătați, prin descompunere în factori primi, că numerele 45 și 77 sunt prime între ele.

a) Descompuneți cele două numere în factori primi. (2 p)

b) Justificați de ce cele două numere sunt prime între ele. (2 p)

Exercițiul 11 — Relația dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. (4 puncte)

Despre două numere naturale $a$ și $b$ se știe că $a=36$, $\text{c.m.m.d.c.}(a,b)=6$ și $\text{c.m.m.m.c.}(a,b)=252$.

a) Scrieți relația dintre $a$, $b$, c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. (2 p)

b) Determinați numărul $b$. (2 p)

Exercițiul 12 — Fracții ireductibile (6 puncte)

Aduceți la fracție ireductibilă, justificând prin c.m.m.d.c.:

a) $\frac{132}{198}$ (3 p)

b) $\frac{275}{525}$ (3 p)

Exercițiul 13 — Curtea pavată cu dale (5 puncte)

O curte dreptunghiulară cu dimensiunile 315 cm și 210 cm trebuie pavată cu dale pătrate identice, cât mai mari posibil, fără a tăia dale.

a) Care este lungimea laturii unei dale? (3 p)

b) Câte dale sunt necesare? (2 p)

Exercițiul 14 — Pachete identice la cofetărie (4 puncte)

O cofetărie are 84 de fursecuri și 126 de bomboane și vrea să formeze pachete identice, folosind toate produsele, astfel încât numărul pachetelor să fie cât mai mare.

a) Câte pachete se pot forma? (2 p)

b) Câte fursecuri și câte bomboane sunt în fiecare pachet? (2 p)

Exercițiul 15 — Semafoarele sincronizate (6 puncte)

La o intersecție, semaforul $A$ își schimbă culoarea din 40 în 40 de secunde, iar semaforul $B$ din 75 în 75 de secunde. Amândouă pornesc simultan pe verde la ora 9:00:00.

a) Calculați $\text{c.m.m.m.c.}(40,75)$. (3 p)

b) După câte minute se vor schimba din nou simultan cele două semafoare și la ce oră exactă va fi acest lucru? (3 p)

Exercițiul 16 — Cel mai mic număr cu rest dat (5 puncte)

Determinați cel mai mic număr natural care, împărțit la 8, la 12 și la 15, dă de fiecare dată restul 2.

a) Calculați $\text{c.m.m.m.c.}(8,12,15)$. (3 p)

b) Determinați numărul căutat. (2 p)

Exercițiul 17 — Numere prime și numărul divizorilor (4 puncte)

a) Scrieți toate numerele prime cuprinse strict între 50 și 70. (2 p)

b) Un număr natural are forma $n=3^a\cdot 5^2$ și are exact 18 divizori naturali. Determinați valoarea lui $a$ și apoi numărul $n$. (2 p)

Exercițiul 18 — Adevărat sau fals, cu justificare (6 puncte)

Stabiliți dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justificați pe scurt:

a) Dacă un număr natural este divizibil cu 3 și cu 4, atunci el este divizibil cu 12. (1 p)

b) Suma a două numere impare consecutive (care diferă prin 2) este întotdeauna divizibilă cu 4. (1 p)

c) Numărul 91 este număr prim. (1 p)

d) Dacă un număr natural este divizibil cu 6, atunci el este în mod obligatoriu divizibil și cu 3. (1 p)

e) c.m.m.d.c. a două numere prime între ele este întotdeauna egal cu 1. (1 p)

f) c.m.m.m.c. a două numere naturale nenule este întotdeauna mai mare sau egal cu fiecare dintre cele două numere. (1 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p pe itemi + 10 p din oficiu = 100 p. La itemii cu justificare, jumătate din punctaj se acordă pentru raționament corect, chiar dacă apare o eroare minoră de calcul.

Exercițiul 1 (6p) a) $-\frac{5}{6}+\frac{3}{4}=-\frac{10}{12}+\frac{9}{12}=-\frac{1}{12}$. (1,5p) b) $(-2,4)\cdot (-0,25)=0,6$ (produsul a două numere negative este pozitiv). (1,5p) c) $\left(-\frac{3}{5}\right):\left(-\frac{9}{10}\right)=\frac{3}{5}\cdot \frac{10}{9}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}$. (1,5p) d) $(-2{)}^3\cdot \frac{1}{4}+0,5=-8\cdot \frac{1}{4}+0,5=-2+0,5=-1,5$. (1,5p)

Exercițiul 2 (5p) — preț final 1 458 de lei, cu 19% mai mic decât cel inițial a) Scumpirea: $8\%\cdot 1800=144$ lei; preț după scumpire: $1800+144=1944$ lei. (2p) b) Ieftinirea: $25\%\cdot 1944=486$ lei; preț final: $1944-486=1458$ lei. (2p) c) Diferența: $1800-1458=342$ lei; $\frac{342}{1800}=0,19=19\%$. Prețul final este cu $19\%$ mai mic decât cel inițial. (1p)

Exercițiul 3 (6p) — media 17,3 minute; amplitudinea 5 minute; frecvența procentuală a lui 17 este 30% a) Tabelul de frecvențe: (2p)

b) Suma timpilor: $15+16+16+17+17+17+18+18+19+20=173$; media $=173:10=17,3$. (2p) c) Amplitudinea $=$ timpul maxim $-$ timpul minim $=20-15=5$ minute. (1p) d) Timpul de $17$ minute apare de $3$ ori din $10$ (frecvența absolută $3$); frecvența procentuală $=\frac{3}{10}=30\%$. (1p)

Exercițiul 4 (4p) — P(verde) = 1/4; P(nu galbenă) = 3/5 Total bile: $7+5+8=20$. a) $P(\text{verde})=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$. (2p) b) Bile care nu sunt galbene: $20-8=12$, deci $P(\text{nu galbena˘})=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$. (2p)

Exercițiul 5 (4p) — 45° și 135° Fie $x$ unghiul mai mic; celălalt este $3x$. Fiind suplementare: $x+3x=180°\Rightarrow 4x=180°\Rightarrow x=45°$. (2p) Unghiurile sunt $45°$ și $3\cdot 45°=135°$ (verificare: $45°+135°=180°$). (2p)

Exercițiul 6 (5p) — A ∩ B = {1, 3, 5, 15}; cel mai mare element este 15 a) Divizorii lui $45$: $A=\{1,3,5,9,15,45\}$ ($45=3^2\cdot 5$). Divizorii lui $60$: $B=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}$ ($60=2^2\cdot 3\cdot 5$). (2p) b) $A\cap B=\{1,3,5,15\}$. (2p) c) Cel mai mare element este $15$; el reprezintă $\text{c.m.m.d.c.}(45,60)$ — verificare: factorii comuni ai celor două descompuneri sunt $3^1\cdot 5^1=15$. (1p)

Exercițiul 7 (4p) a) Divizibile cu 2 (cifra unităților pară): $342\to 2$, $1050\to 0$, $2916\to 6$, $770\to 0$ ⇒ 342, 1 050, 2 916, 770 (585 se termină în 5, deci NU). (1,5p) b) Divizibile cu 5 (cifra unităților 0 sau 5): 585, 1 050, 770. (1,5p) c) Divizibile cu 9 (suma cifrelor multiplu de 9): $342\to 9$, $585\to 18$, $1050\to 6$, $2916\to 18$, $770\to 14$ ⇒ 342, 585, 2 916 (1 050 și 770 au suma cifrelor nemultiplu de 9). (1p)

Exercițiul 8 (6p) a) $792=2^3\cdot 3^2\cdot 11$ (împărțind succesiv la 2, 2, 2, apoi la 3, 3, rezultă $11$). (2p) b) $468=2^2\cdot 3^2\cdot 13$ (împărțind succesiv la 2, 2, apoi la 3, 3, rezultă $13$). (2p) c) Numărul divizorilor lui $792=2^3\cdot 3^2\cdot 11^1$ este $(3+1)(2+1)(1+1)=4\cdot 3\cdot 2=24$ divizori. (2p)

Exercițiul 9 (6p) — c.m.m.d.c. = 36; c.m.m.m.c. = 7 560 a) c.m.m.d.c.$(a,b)$ = produsul factorilor comuni, la puterea cea mai mică: $2^2\cdot 3^2=4\cdot 9=36$ (factorul $7$, prezent doar în $a$, și factorul $5$, prezent doar în $b$, nu intră în c.m.m.d.c.). (3p) b) c.m.m.m.c.$(a,b)$ = produsul tuturor factorilor, la puterea cea mai mare: $2^3\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7=8\cdot 27\cdot 5\cdot 7=7560$. (3p)

Exercițiul 10 (4p) — prime între ele a) $45=3^2\cdot 5$; $77=7\cdot 11$. (2p) b) Cele două descompuneri nu au niciun factor prim comun, deci $\text{c.m.m.d.c.}(45,77)=1$ ⇒ numerele sunt prime între ele. (2p)

Exercițiul 11 (4p) — b = 42 a) Relația: $\text{c.m.m.d.c.}(a,b)\cdot \text{c.m.m.m.c.}(a,b)=a\cdot b$. (2p) b) $6\cdot 252=36\cdot b\Rightarrow 1512=36\cdot b\Rightarrow b=42$. (Verificare: $36=2^2\cdot 3^2$, $42=2\cdot 3\cdot 7$, c.m.m.d.c.$=2\cdot 3=6$ ✓, c.m.m.m.c.$=2^2\cdot 3^2\cdot 7=252$ ✓.) (2p)

Exercițiul 12 (6p) a) $132=2^2\cdot 3\cdot 11$, $198=2\cdot 3^2\cdot 11$ ⇒ c.m.m.d.c.$(132,198)=2\cdot 3\cdot 11=66$; $\frac{132}{198}=\frac{132:66}{198:66}=\frac{2}{3}$. (3p) b) $275=5^2\cdot 11$, $525=3\cdot 5^2\cdot 7$ ⇒ c.m.m.d.c.$(275,525)=5^2=25$; $\frac{275}{525}=\frac{275:25}{525:25}=\frac{11}{21}$. (3p)

Exercițiul 13 (5p) — latura 105 cm; 6 dale a) Latura dalei $=$ c.m.m.d.c.$(315,210)$. $315=3^2\cdot 5\cdot 7$, $210=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$ ⇒ c.m.m.d.c. $=3\cdot 5\cdot 7=105$ cm. (3p) b) Număr de dale $=(315:105)\cdot (210:105)=3\cdot 2=6$ dale. (2p)

Exercițiul 14 (4p) — 42 de pachete; 2 fursecuri și 3 bomboane pe pachet a) Număr maxim de pachete $=$ c.m.m.d.c.$(84,126)$. $84=2^2\cdot 3\cdot 7$, $126=2\cdot 3^2\cdot 7$ ⇒ c.m.m.d.c. $=2\cdot 3\cdot 7=42$ pachete. (2p) b) Fiecare pachet: $84:42=2$ fursecuri și $126:42=3$ bomboane. (2p)

Exercițiul 15 (6p) — c.m.m.m.c. = 600 s = 10 minute; ora 9:10:00 a) $40=2^3\cdot 5$, $75=3\cdot 5^2$ ⇒ c.m.m.m.c. $=2^3\cdot 3\cdot 5^2=8\cdot 3\cdot 25=600$ secunde. (3p) b) $600$ secunde $=10$ minute; ora $9:00:00+10$ minute $=9:10:00$. (3p)

Exercițiul 16 (5p) — 122 a) $8=2^3$, $12=2^2\cdot 3$, $15=3\cdot 5$ ⇒ c.m.m.m.c.$(8,12,15)=2^3\cdot 3\cdot 5=120$. (3p) b) Numărul căutat este de forma (multiplu comun al lui 8, 12, 15) $+2$: $120+2=122$. (Verificare: $122=8\cdot 15+2=12\cdot 10+2=15\cdot 8+2$.) (2p)

Exercițiul 17 (4p) a) Numerele prime cuprinse strict între 50 și 70: $53,59,61,67$. (2p) b) Numărul divizorilor: $(a+1)(2+1)=18\Rightarrow (a+1)\cdot 3=18\Rightarrow a+1=6\Rightarrow \mathbf{a}=5$. Atunci $n=3^5\cdot 5^2=243\cdot 25=6075$. (2p)

Exercițiul 18 (6p) a) Adevărat — $3$ și $4$ sunt prime între ele, deci $\text{c.m.m.m.c.}(3,4)=12$; orice număr divizibil și cu 3, și cu 4 este divizibil și cu c.m.m.m.c.-ul lor, adică cu $12$. (1p) b) Adevărat — două impare consecutive au forma $2k+1$ și $2k+3$; suma lor este $4k+4=4(k+1)$, multiplu de 4. (1p) c) Fals — $91=7\cdot 13$, deci nu este prim. (1p) d) Adevărat — $6=2\cdot 3$, deci orice multiplu al lui 6 este și multiplu al lui 3. (1p) e) Adevărat — aceasta este chiar definiția numerelor prime între ele: c.m.m.d.c. egal cu 1. (1p) f) Adevărat — c.m.m.m.c. este un multiplu comun al celor două numere, iar orice multiplu al unui număr este mai mare sau egal cu el. (1p)

Total: 90 p (itemii 1–18) + 10 p din oficiu = 100 de puncte. Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

Greșeli frecvente de evitat la examen: confundarea c.m.m.d.c. cu c.m.m.m.c. (Exercițiul 9, 11, 13–16 — c.m.m.d.c. ia factorii comuni la puterea cea mai mică, c.m.m.m.c. ia toți factorii la puterea cea mai mare); uitarea unui factor prim la descompunere, ceea ce falsifică numărul divizorilor (Exercițiul 8); aplicarea greșită a criteriului de divizibilitate cu 9 (suma cifrelor trebuie să fie multiplu de 9, nu doar de 3) la Exercițiul 7; omiterea restului la problemele de tip „cel mai mic număr care dă restul r" (Exercițiul 16 — se adună restul la c.m.m.m.c., nu se scade); afirmarea unei valori de adevăr fără contraexemplu sau justificare la Exercițiul 18. Verificați mereu, la final, dacă rezultatul „are sens" în contextul problemei.

Pentru părinți

• Cum se aplică: copilul lucrează individual, fără calculator și fără ajutor, pe foaie separată, numerotând clar fiecare item, ca într-un examen real. Figurile marcate cu 🖼️ se schițează de elev după enunț (cu rigla).
• Punctaj total: 100 de puncte = 90 de puncte pe cei 18 itemi + 10 puncte din oficiu. Punctajul fiecărui item (și al fiecărui subpunct) este scris în paranteză.
• Timp recomandat: 60 de minute (format de examen). Sfat de gestionare a timpului: ~20 de minute pentru recapitularea integrată (itemii 1–5), ~35 de minute pentru divizibilitate — probleme aplicate (itemii 6–18), ~5 minute de verificare la final.
• Cum citiți rezultatul: nota se obține împărțind punctajul total la 10 (ex.: 84 de puncte → nota 8,4). 90–100 = foarte bine; 70–89 = bine; 50–69 = satisfăcător; sub 50 = e nevoie de recapitulare țintită la divizibilitate, c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.
• Sfat pentru elev: la problemele cu c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c., scrie întotdeauna descompunerea în factori primi înainte de a calcula — se văd imediat factorii comuni și cei necomuni. Un rezultat corect fără descompunere sau fără justificare nu primește punctajul întreg la itemii de demonstrație.

Se acordă 10 puncte din oficiu. La itemii care cer justificare, scrieți toți pașii: un rezultat corect fără calcul sau fără motivare nu primește punctajul integral.