Acasă · Clasa a VI-a · Teste · Simularea 12 — Evaluarea Națională la clasa a VI-a (accent pe rapoarte, proporționalitate și probleme de mișcare)

Simularea 12 — Evaluarea Națională la clasa a VI-a (accent pe rapoarte, proporționalitate și probleme de mișcare)

Disciplina: Matematică · Clasa a VI-a · Simulare în formatul Evaluării Naționale (partea de matematică)

Această simulare reproduce formatul Evaluării Naționale de la clasa a VI-a, cu itemi construiți pe competențe, în contexte practice (model PISA). Spre deosebire de simulările anterioare — care au pus accentul pe numere, pe divizibilitate, pe unghiuri și triunghiuri sau pe organizarea datelor — testul de față se concentrează pe rapoarte, proporționalitate și probleme de mișcare: simplificarea și compararea rapoartelor, proprietatea fundamentală a proporțiilor, proporțiile derivate, mărimile direct și invers proporționale, regula de trei simplă, scara hărții și problemele de mișcare (viteză, distanță, timp — inclusiv doi mobili care se apropie unul de celălalt). Alături, testul recapitulează integrat și celelalte domenii ale anului: mulțimi, numere întregi și raționale, unghiuri, congruența triunghiurilor, divizibilitate și probabilități. Itemii sunt gradați de la simplu la complex.

Exerciții

Exercițiul 1 — Mulțimi (4 puncte)

Se dau mulțimile $A = {x \in N ∣ x este divizor al lui 30}$ și $B = {x \in N^{*} ∣ x este multiplu al lui 5, x < 20}$ .

a) Scrieți elementele mulțimilor $A$ și $B$ . (2 p)

b) Determinați $A \cap B$ . (2 p)

Exercițiul 2 — Calcul cu numere întregi (5 puncte)

Calculați: $E = (- 3)^{2} - (- 18) : 3 + (- 4) \cdot 5.$

Exercițiul 3 — Calcul cu numere raționale (5 puncte)

Calculați: $F = (\frac{2}{3} + \frac{5}{6}) : (- \frac{3}{4}) .$

Exercițiul 4 — Unghiuri suplementare (4 puncte)

Două unghiuri sunt suplementare, iar unul dintre ele este de cinci ori mai mare decât celălalt. Aflați măsurile celor două unghiuri.

Exercițiul 5 — Rapoarte (4 puncte)

a) Simplificați raportul $\frac{45}{75}$ . (2 p)

b) Scrieți sub formă de raport simplificat (cu aceeași unitate de măsură) raportul dintre $1, 2$ kg și $800$ g. (2 p)

Exercițiul 6 — Proporții (6 puncte)

a) Verificați, folosind proprietatea fundamentală a proporțiilor, dacă egalitatea $\frac{8}{12} = \frac{10}{15}$ este o proporție. (2 p)

b) Aflați numărul $x$ din proporția $\frac{x}{18} = \frac{14}{21}$ . (2 p)

c) Aflați numărul $y$ din proporția $\frac{9}{y} = \frac{27}{33}$ . (2 p)

Exercițiul 7 — Șir de rapoarte egale (5 puncte)

Numerele $a$ și $b$ verifică proporția $\frac{a}{b} = \frac{7}{4}$ . Folosind proporțiile derivate, calculați:

a) $\frac{a + b}{b}$ ; (3 p)

b) $\frac{a - b}{a}$ . (2 p)

Exercițiul 8 — Trei numere direct proporționale (5 puncte)

Trei numere $a$ , $b$ și $c$ sunt direct proporționale cu $3$ , $4$ și $5$ (adică $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5}$ ), iar suma lor este $144$ .

a) Determinați valoarea comună a rapoartelor. (2 p)

b) Aflați numerele $a$ , $b$ și $c$ . (3 p)

Exercițiul 9 — Mărimi direct proporționale (5 puncte)

Mărimile $x$ și $y$ sunt direct proporționale. Completați valorile care lipsesc din tabel și precizați coeficientul de proporționalitate.

$x$	$5$	$7$	$12$
$y$	$15$	$?$	$?$

(coeficientul — 1 p; cele două valori — câte 2 p)

Exercițiul 10 — Mărimi invers proporționale (5 puncte)

$5$ muncitori termină o lucrare în $18$ zile, lucrând în același ritm.

a) Stabiliți dacă numărul de muncitori și numărul de zile sunt direct sau invers proporționale și calculați produsul lor constant. (2 p)

b) În câte zile ar termina aceeași lucrare $9$ muncitori? (3 p)

Exercițiul 11 — Regula de trei simplă (5 puncte)

Pentru a zugrăvi un perete cu suprafața de $40 m^{2}$ sunt necesari $8$ litri de vopsea. Folosind regula de trei simplă, aflați câți litri de vopsea sunt necesari pentru un perete de $65 m^{2}$ (consumul de vopsea este direct proporțional cu suprafața).

(scrierea schemei — 2 p; rezolvarea — 3 p)

Exercițiul 12 — Scara hărții (5 puncte)

Pe o hartă realizată la scara $1 : 150000$ , distanța dintre două orașe, măsurată pe hartă, este de $6 cm$ .

a) Care este distanța reală dintre cele două orașe, exprimată în kilometri? (3 p)

b) Două alte localități se află, în realitate, la $45 km$ una de cealaltă. Ce distanță le separă pe aceeași hartă? (2 p)

Exercițiul 13 — Probleme de mișcare: viteza medie (6 puncte)

Un biciclist parcurge $54$ km în $2$ ore și $15$ minute, mergând constant.

a) Care este viteza lui medie, în km/h? (2 p)

b) În cât timp ar parcurge $80$ km cu aceeași viteză? (2 p)

c) Pe o porțiune cu vânt din față, viteza scade cu $25%$ față de cea de la punctul a). Ce viteză are pe această porțiune? (2 p)

Exercițiul 14 — Probleme de mișcare: doi mobili care se apropie (6 puncte)

Orașele $A$ și $B$ se află la o distanță de 210 km. În același timp, din $A$ pleacă spre $B$ o mașină cu viteza de 55 km/h, iar din $B$ pleacă spre $A$ o altă mașină cu viteza de 50 km/h.

a) După câte ore se vor întâlni cele două mașini? (3 p)

b) Ce distanță va fi parcurs fiecare mașină până în momentul întâlnirii? (3 p)

Exercițiul 15 — Raport fete : băieți (5 puncte)

Într-o clasă, raportul dintre numărul fetelor și numărul băieților este $4 : 5$ , iar clasa are, în total, 45 de elevi.

a) Aflați valoarea unei „părți" din raport. (2 p)

b) Câte fete și câți băieți sunt în clasă? (3 p)

Exercițiul 16 — Congruența triunghiurilor (5 puncte)

Triunghiurile $A B C$ și $D E F$ au: $A B = D E$ , $A C = D F$ și $B C = E F$ .

a) Ce criteriu de congruență se poate aplica pentru triunghiurile $A B C$ și $D E F$ ? (2 p)

b) Dacă $m (B) = 65°$ , cât este $m (E)$ ? Justificați. (3 p)

Exercițiul 17 — c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. (4 puncte)

Aflați $c.m.m.d.c. (28, 42)$ și $c.m.m.m.c. (28, 42)$ .

Exercițiul 18 — Probabilitate și Adevărat / Fals (6 puncte)

Într-o cutie sunt 18 jetoane, numerotate de la $1$ la $18$ . Se extrage un jeton la întâmplare.

a) Care este probabilitatea ca numărul de pe jeton să fie multiplu de 3? (2 p)

Stabiliți dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justificați:

b) „Dacă mărimile $x$ și $y$ sunt invers proporționale, iar $x$ se dublează, atunci și $y$ se dublează." (2 p)

c) „Doi mobili care se deplasează unul spre celălalt, pe același traseu, se apropie cu o viteză egală cu suma vitezelor lor." (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Nota = punctaj total : 10.

Exercițiul 1 (4 p)

a) Divizorii lui $30$ : $A = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}$ . Multiplii nenuli ai lui $5$ , mai mici decât $20$ : $B = {5, 10, 15}$ . (2 p)
b) Toate elementele lui $B$ se regăsesc în $A$ , deci $A \cap B = {5, 10, 15}$ . (2 p)

Exercițiul 2 (5 p)

Respectăm ordinea operațiilor: puteri, apoi înmulțiri/împărțiri, apoi adunări/scăderi. $(- 3)^{2} = 9$ ; $(- 18) : 3 = - 6 \Rightarrow - (- 6) = + 6$ ; $(- 4) \cdot 5 = - 20$ . $E = 9 + 6 - 20 = - 5$ .

Exercițiul 3 (5 p)

$\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ . $F = \frac{3}{2} : (- \frac{3}{4}) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{4}{3}) = - \frac{12}{6} = - 2$ .

Exercițiul 4 (4 p)

Notăm unghiul mai mic cu $x$ ; celălalt este $5 x$ . Fiind suplementare: $x + 5 x = 180° \Rightarrow 6 x = 180° \Rightarrow x = 30°$ . Unghiurile sunt $30°$ și $150°$ (verificare: $30° + 150° = 180°$ ). (2 p ecuația + 2 p rezultatul)

Exercițiul 5 (4 p)

a) $\frac{45}{75} = \frac{45 : 15}{75 : 15} = \frac{3}{5}$ . (2 p)
b) Aducem la aceeași unitate: $1, 2$ kg $= 1200$ g. Raportul este $\frac{1 200}{800} = \frac{3}{2}$ . (2 p)

Exercițiul 6 (6 p)

a) Produsul mezilor $= 12 \cdot 10 = 120$ ; produsul extremilor $= 8 \cdot 15 = 120$ . Cum $120 = 120$ , egalitatea este o proporție. (2 p)
b) $x = \frac{18 \cdot 14}{21} = \frac{252}{21} = 12$ . (2 p)
c) $y = \frac{9 \cdot 33}{27} = \frac{297}{27} = 11$ . (2 p)

Exercițiul 7 (5 p)

Din $\frac{a}{b} = \frac{7}{4}$ rezultă $a = 7 k$ , $b = 4 k$ .

a) $\frac{a + b}{b} = \frac{7 k + 4 k}{4 k} = \frac{11 k}{4 k} = \frac{11}{4}$ . (3 p)
b) $\frac{a - b}{a} = \frac{7 k - 4 k}{7 k} = \frac{3 k}{7 k} = \frac{3}{7}$ . (2 p)

Exercițiul 8 (5 p)

a) Din șirul de rapoarte egale: $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5} = \frac{a + b + c}{3 + 4 + 5} = \frac{144}{12} = 12$ . (2 p)
b) $a = 3 \cdot 12 = 36$ , $b = 4 \cdot 12 = 48$ , $c = 5 \cdot 12 = 60$ . (Verificare: $36 + 48 + 60 = 144$ .) (3 p)

Exercițiul 9 (5 p)

Coeficientul de proporționalitate: $\frac{15}{5} = 3$ (deci $y = 3 x$ ). (1 p)

pentru $x = 7$ : $y = 7 \cdot 3 = 21$ ; (2 p)
pentru $x = 12$ : $y = 12 \cdot 3 = 36$ . (2 p)

$x$	$5$	$7$	$12$
$y$	$15$	$21$	$36$

Exercițiul 10 (5 p)

a) Cu cât sunt mai mulți muncitori, cu atât mai puține zile, deci mărimile sunt invers proporționale. Produsul constant: $5 \cdot 18 = 90$ . (2 p)
b) Pentru $9$ muncitori: numărul de zile $= \frac{90}{9} = 10$ zile. (3 p)

Exercițiul 11 (5 p)

Schema regulii de trei simple (direct proporțional):

$40 m^{2} ⟶ 8 l$ $65 m^{2} ⟶ x l$

(scrierea schemei — 2 p)

$x = \frac{65 \cdot 8}{40} = \frac{520}{40} = 13 litri .$ (3 p)

Exercițiul 12 (5 p)

Scara $1 : 150000$ înseamnă că $1$ cm pe hartă corespunde la $150000$ cm $= 1, 5$ km în realitate.

a) $6 cm \cdot 150000 = 900000 cm = 9000 m = 9$ km. (3 p)
b) $45$ km $= 4500000$ cm; pe hartă: $\frac{4 500 000}{150 000} = 30$ cm. (2 p)

Exercițiul 13 (6 p)

a) $2$ ore și $15$ minute $= 2, 25$ h; viteza $= 54 : 2, 25 = 24$ km/h. (2 p)
b) Timp pentru $80$ km: $t = \frac{80}{24} = \frac{10}{3}$ h $= 3$ h $20$ min. (2 p)
c) Scădere de $25%$ : $24 \cdot \frac{25}{100} = 6$ km/h; viteza nouă $= 24 - 6 = 18$ km/h. (2 p)

Exercițiul 14 (6 p)

a) Cele două mașini se apropie una de cealaltă, deci viteza de apropiere este suma vitezelor: $55 + 50 = 105$ km/h. Timpul până la întâlnire: $t = \frac{210}{105} = 2$ ore. (3 p)
b) Mașina din $A$ parcurge $55 \cdot 2 = 110$ km; mașina din $B$ parcurge $50 \cdot 2 = 100$ km. (Verificare: $110 + 100 = 210$ km.) (3 p)

Exercițiul 15 (5 p)

a) Raportul $4 : 5$ înseamnă $4 + 5 = 9$ „părți" în total; o parte $= 45 : 9 = 5$ elevi. (2 p)
b) Fete: $4 \cdot 5 = 20$ ; băieți: $5 \cdot 5 = 25$ . (Verificare: $20 + 25 = 45$ .) (3 p)

Exercițiul 16 (5 p)

a) Toate cele trei perechi de laturi corespunzătoare sunt egale ( $A B = D E$ , $A C = D F$ , $B C = E F$ ), deci se aplică criteriul latură–latură–latură (L.L.L.), și $△ A B C \equiv △ D E F$ . (2 p)
b) Corespondența vârfurilor este $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow F$ . Într-un triunghi congruent cu altul, unghiurile corespunzătoare sunt egale, deci $m (E) = m (B) = 65°$ . (3 p)

Exercițiul 17 (4 p)

$28 = 2^{2} \cdot 7$ , $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$ . $c.m.m.d.c. (28, 42) = 2 \cdot 7 = 14$ . (2 p) $c.m.m.m.c. (28, 42) = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7 = 84$ . (2 p)

Exercițiul 18 (6 p)

a) Multiplii lui $3$ din $1$ – $18$ : $3, 6, 9, 12, 15, 18$ — $6$ cazuri favorabile din $18$ posibile. $P = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$ . (2 p)
b) Fals. La mărimi invers proporționale, produsul rămâne constant: dacă $x$ se dublează, $y$ se înjumătățește, nu se dublează. (2 p)
c) Adevărat. Atunci când doi mobili se deplasează unul spre celălalt (în sensuri opuse, pe același traseu), distanța dintre ei scade cu suma celor două viteze în fiecare unitate de timp — de aceea viteza de apropiere este egală cu suma vitezelor lor. (2 p)

Total: 90 de puncte + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Sfaturi de examen: la mărimile proporționale, verificați întotdeauna dacă relația este direct proporțională (rapoartele/produsele cresc împreună — Exercițiul 8, 9, 11) sau invers proporțională (produsul rămâne constant — Exercițiul 10, 18b); la ratele exprimate ca raport, aduceți întâi mărimile la aceeași unitate de măsură înainte de a simplifica (Exercițiul 5b — kg și g); la scara hărții, nu uitați conversia cm → km, în ambele sensuri (Exercițiul 12); la problemele cu doi mobili care se apropie, vitezele se adună — dacă s-ar deplasa în același sens, unul urmărind pe celălalt, vitezele s-ar scădea (Exercițiul 14, 18c); la rapoartele de tipul „fete : băieți", nu uitați să verificați suma părților calculate cu totalul dat în enunț (Exercițiul 15). Alte greșeli frecvente: uitarea criteriului la o congruență afirmată fără justificare (Exercițiul 16); neglijarea semnului la calculul cu numere întregi și raționale (Exercițiul 2, Exercițiul 3). Gestionarea timpului: ~3 minute pe item, păstrând 5 minute pentru verificarea finală.

Pentru părinți

Cum se aplică: copilul lucrează individual, fără calculator și fără ajutor, pe foaie separată, ca la un examen real. Figurile marcate cu 🖼️ se schițează de elev după enunț (cu rigla).
Punctaj total: 100 de puncte = 90 de puncte pe cei 18 itemi + 10 puncte din oficiu.
Timp recomandat: 60 de minute (format de examen), din care ~5 minute de verificare la final.
Notare orientativă: punctaj total ÷ 10 = nota (ex.: 82 de puncte → 8,2 ≈ 8).
Sfat: la problemele de mișcare cu doi mobili care pornesc unul spre celălalt, cea mai frecventă greșeală este uitarea faptului că, atunci când se apropie, vitezele se adună (viteza de apropiere); discutați cu copilul, înainte de test, diferența dintre mărimi direct proporționale (cresc/scad împreună) și invers proporționale (una crește, cealaltă scade, produsul rămânând constant).

Se acordă 10 puncte din oficiu. La itemii cu subpuncte, jumătate din punctaj se acordă pentru raționament corect, chiar dacă apare o eroare minoră de calcul.