Simularea 5 — Evaluarea Națională la clasa a VI-a

Matematică (partea de matematică din proba integrată) · Clasa a VI-a

Exerciții

Exercițiul 1 — Mulțimi (4 puncte)

Se dau mulțimile: $$A=\{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ este divizor al lui }24\},B=\{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ este numa˘r prim, }x<15\}.$$

a) Scrieți elementele mulțimilor $A$ și $B$. (2 p)

b) Determinați $A\cap B$ și $A\setminus B$. (2 p)

Exercițiul 2 — Buchete identice (5 puncte)

O florărie are $36$ de trandafiri și $48$ de lalele. Vrea să facă buchete identice, folosind toate florile, astfel încât numărul de buchete să fie cât mai mare.

a) Câte buchete poate face? (3 p)

b) Câți trandafiri și câte lalele are fiecare buchet? (2 p)

Exercițiul 3 — Stația de autobuz (4 puncte)

Din aceeași stație pleacă două autobuze. Primul pleacă din $12$ în $12$ minute, al doilea din $18$ în $18$ minute. La ora $8:00$ au plecat amândouă în același timp.

La ce oră vor pleca din nou împreună, pentru prima dată după ora $8:00$?

Exercițiul 4 — Temperaturi la munte (4 puncte)

La o stație meteo de munte, dimineața temperatura era de $-9°\text{C}$. Până la prânz a crescut cu $7°\text{C}$, iar seara a scăzut cu $5°\text{C}$ față de prânz.

a) Ce temperatură a fost la prânz? (2 p)

b) Ce temperatură a fost seara? (2 p)

Exercițiul 5 — Calcul cu numere raționale (6 puncte)

Calculați:

a) $-\frac{3}{4}+\frac{5}{6}$ (1,5 p)    b) $2,5\cdot (-0,4)$ (1,5 p)

c) $\left(-\frac{1}{2}\right):\frac{3}{4}$ (1,5 p)    d) $(-2{)}^2\cdot \frac{1}{4}-0,75$ (1,5 p)

Exercițiul 6 — Pe hartă (4 puncte)

O hartă are scara $1:200000$.

a) Pe hartă, distanța dintre două orașe este de $8$ cm. Care este distanța reală, în kilometri? (2 p)

b) Două localități sunt, în realitate, la $30$ km una de cealaltă. Ce distanță le separă pe hartă? (2 p)

Exercițiul 7 — Rețeta de clătite (5 puncte)

Pentru $4$ porții de clătite se folosesc $200$ g de făină și $3$ ouă. Cantitățile sunt direct proporționale cu numărul de porții.

a) Câtă făină este necesară pentru $10$ porții? (2 p)

b) Câte ouă sunt necesare pentru $12$ porții? (2 p)

c) Câte porții se pot face cu $750$ g de făină? (1 p)

Exercițiul 8 — Cât durează lucrarea (5 puncte)

$6$ muncitori termină o lucrare în $8$ zile. Numărul de muncitori și timpul de lucru sunt invers proporționale (toți lucrează la fel).

a) În câte zile ar termina aceeași lucrare $4$ muncitori? (3 p)

b) Câți muncitori sunt necesari pentru a termina lucrarea în $6$ zile? (2 p)

Exercițiul 9 — Reducere și transport (6 puncte)

Un telefon costă $1200$ de lei. Magazinul aplică o reducere de $15\%$.

a) Cât reprezintă reducerea, în lei? (2 p)

b) Care este prețul telefonului după reducere? (2 p)

c) La prețul redus se adaugă o taxă de livrare de $5\%$. Cât plătești, în total? (2 p)

Exercițiul 10 — Cartea de citit (5 puncte)

Un elev a citit $90$ de pagini dintr-o carte, ceea ce reprezintă $36\%$ din numărul total de pagini.

a) Câte pagini are cartea? (3 p)

b) Câte pagini mai are elevul de citit? (2 p)

Exercițiul 11 — Mesaje primite (6 puncte)

Numărul de mesaje primite pe zi de un elev, timp de $10$ zile, a fost: $$3,5,5,2,8,5,4,6,5,7.$$

a) Întocmiți un tabel de frecvențe (valoare — de câte ori apare). (2 p)

b) Calculați media aritmetică a numărului de mesaje pe zi. (2 p)

c) Care este valoarea cu cea mai mare frecvență? (1 p)

d) În câte zile a primit elevul cel puțin $5$ mesaje? (1 p)

Exercițiul 12 — Timpul liber (5 puncte)

Diagrama circulară arată cum își petrec timpul liber cei $200$ de elevi ai unei școli.

a) Câți elevi preferă sportul? (2 p)

b) Câți elevi preferă jocurile? (1 p)

c) Cu câți elevi mai mulți preferă sportul decât cititul? (2 p)

Exercițiul 13 — Bile în cutie (4 puncte)

Într-o cutie sunt $5$ bile roșii, $3$ bile albastre și $2$ bile verzi, identice la pipăit. Se extrage o bilă la întâmplare.

a) Care este probabilitatea ca bila extrasă să fie roșie? (2 p)

b) Care este probabilitatea ca bila extrasă să fie verde? (1 p)

c) Care este probabilitatea ca bila extrasă să nu fie albastră? (1 p)

Exercițiul 14 — Drepte paralele tăiate de o secantă (5 puncte)

Folosind proprietățile unghiurilor, aflați și justificați pe scurt:

a) măsura unghiului suplementar (alăturat, pe dreapta $a$) cu unghiul de $110°$; (2 p)

b) măsura unghiului opus la vârf cu unghiul de $110°$; (1,5 p)

c) măsura unghiului corespondent cu cel de $110°$, format la intersecția dreptei $b$ cu secanta. (1,5 p)

Exercițiul 15 — Unghiurile unui triunghi (5 puncte)

Într-un triunghi $ABC$ se cunosc măsurile $\hat{A}=50°$ și $\hat{B}=70°$.

a) Calculați măsura unghiului $\hat{C}$. (2 p)

b) Calculați măsura unghiului exterior din vârful $C$. (1,5 p)

c) Ce fel de triunghi este $ABC$ după măsurile unghiurilor? Justificați. (1,5 p)

Exercițiul 16 — Terenul dreptunghiular (6 puncte)

Un teren dreptunghiular are lungimea de $40$ m și lățimea de $25$ m.

a) Calculați perimetrul terenului. (2 p)

b) Calculați aria terenului. (2 p)

c) Terenul se împrejmuiește cu gard pe tot perimetrul, lăsând liberă o poartă de $3$ m. Câți metri de gard sunt necesari? (2 p)

Exercițiul 17 — Adevărat / Fals cu motivare (5 puncte)

Stabiliți dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justificați pe scurt:

a) Numărul $0$ este divizibil cu orice număr natural nenul. (1 p)

b) Suma a două numere întregi negative este un număr pozitiv. (1 p)

c) Fracția $\frac{1}{2}$ reprezintă $50\%$. (1 p)

d) Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este $180°$. (1 p)

e) Dacă două mărimi sunt invers proporționale și una se dublează, atunci și cealaltă se dublează. (1 p)

Exercițiul 18 — Pe bicicletă (6 puncte)

Un biciclist parcurge $36$ km în $1$ oră și $30$ de minute, mergând constant.

a) Care este viteza lui medie, în km/h? (2 p)

b) În cât timp ar parcurge $60$ km cu aceeași viteză? (2 p)

c) Pe o porțiune cu vânt, viteza scade cu $25\%$ față de cea de la punctul a). Ce viteză are pe această porțiune? (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Nota = punctaj total : 10.

Exercițiul 1 (4 p)

Divizorii lui $24$: $A=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$; numere prime mai mici decât $15$: $B=\{2,3,5,7,11,13\}$.

• a) $A=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$, $B=\{2,3,5,7,11,13\}$. (2 p)
• b) $A\cap B=\{2,3\}$ (elementele comune); $A\setminus B=\{1,4,6,8,12,24\}$. (2 p)

Exercițiul 2 (5 p)

Numărul maxim de buchete identice este $(36,48)$ — cel mai mare divizor comun. $36=2^2\cdot 3^2$, $48=2^4\cdot 3$, deci $(36,48)=2^2\cdot 3=12$.

• a) Poate face 12 buchete. (3 p)
• b) Fiecare buchet are $36:12=3$ trandafiri și $48:12=4$ lalele. (2 p)

Exercițiul 3 (4 p)

Cele două autobuze pleacă din nou împreună după $[12,18]$ minute — cel mai mic multiplu comun. $12=2^2\cdot 3$, $18=2\cdot 3^2$, deci $[12,18]=2^2\cdot 3^2=36$ minute. La ora $8:00+36$ min $=$ $8:36$.

Exercițiul 4 (4 p)

• a) La prânz: $-9+7=-2°\text{C}$. (2 p)
• b) Seara: $-2-5=-7°\text{C}$. (2 p)

Exercițiul 5 (6 p)

• a) $-\frac{3}{4}+\frac{5}{6}=-\frac{9}{12}+\frac{10}{12}=\frac{1}{12}$. (1,5 p)
• b) $2,5\cdot (-0,4)=-1$. (1,5 p)
• c) $\left(-\frac{1}{2}\right):\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}=-\frac{4}{6}=-\frac{2}{3}$. (1,5 p)
• d) $(-2{)}^2\cdot \frac{1}{4}-0,75=4\cdot \frac{1}{4}-0,75=1-0,75=0,25$. (1,5 p)

Exercițiul 6 (4 p)

• a) $8\text{ cm}\cdot 200000=1600000$ cm $=16$ km. (2 p)
• b) $30$ km $=3000000$ cm; pe hartă: $3000000:200000=15$ cm. (2 p)

Exercițiul 7 (5 p)

O porție necesită $200:4=50$ g de făină.

• a) Pentru $10$ porții: $50\cdot 10=500$ g de făină. (2 p)
• b) $12$ porții $=3$ grupe de câte $4$ porții $\Rightarrow 3\cdot 3=9$ ouă. (2 p)
• c) $750:50=15$ porții. (1 p)

Exercițiul 8 (5 p)

Munca totală: $6\cdot 8=48$ (om·zile).

• a) $48:4=12$ zile. (3 p)
• b) $48:6=8$ muncitori. (2 p)

Exercițiul 9 (6 p)

• a) Reducerea: $15\%\text{ din }1200=\frac{15}{100}\cdot 1200=180$ lei. (2 p)
• b) Preț redus: $1200-180=1020$ lei. (2 p)
• c) Taxa: $5\%\text{ din }1020=51$ lei; total de plată: $1020+51=1071$ lei. (2 p)

Exercițiul 10 (5 p)

• a) $36\%\to 90$ pagini, deci $1\%\to 90:36=2,5$ pagini și $100\%\to 250$ pagini. Cartea are 250 de pagini. (3 p)
• b) $250-90=160$ pagini de citit. (2 p)

Exercițiul 11 (6 p)

• a) Tabel de frecvențe: (2 p)

• b) Suma $=3+5+5+2+8+5+4+6+5+7=50$; media $=50:10=5$ mesaje/zi. (2 p)
• c) Valoarea cu cea mai mare frecvență este $5$ (apare de $4$ ori). (1 p)
• d) Cel puțin $5$ mesaje (adică $\ge 5$): valorile $5,5,8,5,6,5,7$ $\Rightarrow$ $7$ zile. (1 p)

Exercițiul 12 (5 p)

• a) Sport: $40\%\text{ din }200=80$ elevi. (2 p)
• b) Jocuri: $30\%\text{ din }200=60$ elevi. (1 p)
• c) Citit: $15\%\text{ din }200=30$ elevi; diferența $80-30=50$ elevi. (2 p)

Exercițiul 13 (4 p)

Total bile: $5+3+2=10$.

• a) $P(\text{roșie})=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$. (2 p)
• b) $P(\text{verde})=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$. (1 p)
• c) Bile care nu sunt albastre: $10-3=7$, deci $P=\frac{7}{10}$. (1 p)

Exercițiul 14 (5 p)

• a) Unghiul suplementar: $180°-110°=70°$ (unghiuri alăturate suplementare au suma $180°$). (2 p)
• b) Unghiul opus la vârf: $110°$ (unghiurile opuse la vârf sunt congruente). (1,5 p)
• c) Unghiul corespondent: $110°$ (la drepte paralele tăiate de o secantă, unghiurile corespondente sunt congruente). (1,5 p)

Exercițiul 15 (5 p)

• a) $\hat{C}=180°-50°-70°=60°$. (2 p)
• b) Unghiul exterior din $C$: $180°-60°=120°$ (egal și cu suma $\hat{A}+\hat{B}=50°+70°$). (1,5 p)
• c) Triunghi ascuțitunghic, deoarece toate unghiurile ($50°,70°,60°$) sunt mai mici decât $90°$. (1,5 p)

Exercițiul 16 (6 p)

• a) Perimetrul: $P=2\cdot (40+25)=2\cdot 65=130$ m. (2 p)
• b) Aria: $\mathcal{A}=40\cdot 25=1000$ m². (2 p)
• c) Gard necesar: $130-3=127$ m. (2 p)

Exercițiul 17 (5 p)

• a) A — $0=n\cdot 0$ pentru orice $n$ natural nenul, deci $0$ se divide cu orice astfel de număr. (1 p)
• b) F — suma a două numere negative este tot un număr negativ (ex.: $(-3)+(-4)=-7$). (1 p)
• c) A — $\frac{1}{2}=\frac{50}{100}=50\%$. (1 p)
• d) A — suma măsurilor unghiurilor oricărui triunghi este $180°$. (1 p)
• e) F — la mărimi invers proporționale, dacă una se dublează, cealaltă se înjumătățește. (1 p)

Exercițiul 18 (6 p)

• a) $1$ oră și $30$ min $=1,5$ h; viteza $=36:1,5=24$ km/h. (2 p)
• b) Timp $=60:24=2,5$ h $=2$ ore și $30$ de minute. (2 p)
• c) Scădere de $25\%$: $24\cdot \frac{25}{100}=6$ km/h; viteza nouă $=24-6=18$ km/h. (2 p)

Total: 90 de puncte + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Pentru părinți

Acest test este o simulare în format de examen a Evaluării Naționale de la clasa a VI-a, partea de matematică. Cerințele sunt construite pe competențe, în contexte practice (model PISA): cumpărături, hărți, rețete, statistici, temperaturi, planuri de teren. Sunt acoperite toate domeniile din programa de clasa a VI-a: mulțimi și divizibilitate, numere întregi și raționale, rapoarte–proporții–procente, organizarea datelor și probabilități, geometrie.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 60 de minute, fără calculator, cu toate calculele scrise pe foaie.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual și liniștit, ca la examen. La final, corectați cu baremul de mai jos. Nota se obține împărțind punctajul total la 10 (ex.: 87 de puncte → 8,7 ≈ 9).
• Sfat: după corectare, reluați împreună doar itemii greșiți, folosind explicațiile din barem. La examen, greșelile cele mai dese apar la semnul numerelor întregi, la procente și la citirea atentă a enunțului — recitiți întrebarea înainte de a trece la următorul item.