Acasă · Clasa a VI-a · Teste · Simularea 7 — Evaluarea Națională la clasa a VI-a (accent pe ecuații și inecuații cu numere întregi)

Simularea 7 — Evaluarea Națională la clasa a VI-a (accent pe ecuații și inecuații cu numere întregi)

Disciplina: Matematică · Clasa a VI-a · Simulare tip Evaluarea Națională (partea de matematică)

Aceasta este o simulare completă, în formatul Evaluării Naționale de la clasa a VI-a. Testul verifică integrat competențele formate pe parcursul anului, cu accent pe ecuații și inecuații cu numere întregi (scrierea și rezolvarea ecuațiilor în ℤ, rezolvarea inecuațiilor, atenția la schimbarea sensului inegalității, modelarea unor situații practice printr-o ecuație sau inecuație), recapitulate împreună cu mulțimi și divizibilitate, rapoarte și procente, organizarea datelor și geometrie. Itemii sunt formulați în contexte practice (model PISA) și gradați de la simplu la complex.

Testul este împărțit în două părți, ca la examen:

Subiectul I — 10 itemi cu rezolvare scurtă (se cere rezultatul corect, cu calcul justificat).
Subiectul II — 5 probleme cu subpuncte, care cer raționament și justificare.

Exerciții

Subiectul I (50 de puncte)

La acești itemi se cere rezultatul corect, însoțit de calculul care îl justifică. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Dintr-o parcare pleacă, în același timp, la ora 7:15, un autocar și un microbuz. Autocarul pleacă din 24 în 24 de minute, iar microbuzul din 16 în 16 minute. La ce oră vor pleca din nou împreună, pentru prima dată după ora 7:15?

Exercițiul 2 (5 puncte)

La ora 6:00 dimineața, un termometru așezat afară indica −12 °C. Notăm cu $x$ creșterea de temperatură (în grade Celsius) înregistrată până la prânz, știind că la prânz termometrul indica −3 °C. Scrieți ecuația corespunzătoare acestei situații și aflați valoarea lui $x$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Un ghiozdan costă 150 de lei. La reduceri, prețul lui se ieftinește cu 12%. Cât costă ghiozdanul după reducere?

Exercițiul 4 (5 puncte)

Pe o hartă cu scara 1 : 40 000, distanța dintre două cabane este de 5 cm. Care este distanța reală dintre cele două cabane, exprimată în kilometri?

Exercițiul 5 (5 puncte)

Se consideră mulțimile $A = {$ divizorii naturali ai lui $16}$ și $B = {$ divizorii naturali ai lui $24}$ . Determinați mulțimea $A \cap B$ și precizați câte elemente are.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Într-o săptămână de iarnă, temperaturile minime înregistrate timp de 5 zile au fost: −6 °C, −2 °C, −9 °C, 3 °C, −1 °C. Calculați media aritmetică a acestor temperaturi.

Exercițiul 7 (5 puncte)

Într-o urnă sunt 18 bile identice ca formă: 7 galbene, 6 roșii și 5 albe. Se extrage o bilă la întâmplare. Care este probabilitatea ca bila extrasă să fie albă?

Exercițiul 8 (5 puncte)

Două unghiuri sunt complementare, iar unul dintre ele este cu 18° mai mare decât celălalt. Aflați măsurile celor două unghiuri.

Exercițiul 9 (5 puncte)

Rezolvați în $Z$ inecuația $4 x - 9 > 2 x + 3$ și scrieți cele mai mici trei soluții întregi.

Exercițiul 10 (5 puncte)

Un lift pornește de la un etaj notat cu numărul întreg $x$ (etajele subsolului au numere negative). Liftul urcă 7 etaje, apoi coboară 5 etaje și ajunge la etajul 6.

Scrieți ecuația corespunzătoare acestei situații și aflați etajul $x$ de plecare.

Subiectul II (40 de puncte)

La acești itemi se cer toate etapele rezolvării și justificările.

Exercițiul 11 (8 puncte) — Contul de economii al Mariei

La începutul lunii, Maria avea în cont 200 de lei. În cursul lunii au avut loc următoarele operațiuni: o cheltuială de 150 de lei, o încasare (bani de buzunar) de 80 de lei și o altă cheltuială de 220 de lei.

a) Scrieți soldul final al Mariei ca sumă de numere întregi (cheltuielile ca numere negative, încasarea ca număr pozitiv). (2p)
b) Calculați soldul final al contului. (2p)
c) Calculați cu cât s-a modificat soldul pe parcursul lunii față de începutul lunii (soldul final minus soldul inițial). (2p)
d) Maria vrea ca, printr-o nouă încasare de $x$ lei, soldul să ajungă la cel puțin 50 de lei. Scrieți și rezolvați inecuația corespunzătoare pentru a afla suma minimă $x$ . (2p)

Exercițiul 12 (7 puncte) — Calcul, ecuație și inecuație în ℤ

a) Calculați: $E = (- 3)^{2} - 2 \cdot (- 7) + (- 20) : 4.$ (3p)
b) Rezolvați în $Z$ ecuația: $5 (x + 1) - 3 x = x - 3.$ (2p)
c) Determinați numerele naturale $x$ care verifică inecuația: $2 x - 3 \leq 7.$ (2p)

Exercițiul 13 (8 puncte) — Triunghi isoscel

Triunghiul $A B C$ este isoscel, cu $A B = A C$ și $m (A) = 36°$ . Fie $D$ piciorul perpendicularei din $A$ pe $B C$ ( $A D ⊥ B C$ , $D \in B C$ ). Se știe că $B C = 10$ cm.

a) Aflați măsurile unghiurilor $B$ și $C$ . (2p)
b) Aflați măsura unghiului exterior al triunghiului, corespunzător vârfului $B$ . (2p)
c) Demonstrați că triunghiurile $A B D$ și $A C D$ sunt congruente și aflați $m (B A D)$ și lungimea segmentului $B D$ . (4p)

Exercițiul 14 (8 puncte) — Interpretarea datelor

La un test de evaluare, cei 20 de elevi ai unei clase au obținut notele din tabelul de mai jos:

Nota	4	5	6	7	8	9	10
Număr de elevi	1	2	3	5	4	3	2

a) Câți elevi au obținut cel puțin nota 8? (2p)
b) Calculați media notelor pe clasă. (3p)
c) Se alege un elev la întâmplare. Care este probabilitatea ca el să fi obținut o notă sub 6? (1,5p)
d) Adevărat sau fals, cu justificare: „Mai puțin de jumătate dintre elevi au obținut cel mult nota 6." (1,5p)

Exercițiul 15 (9 puncte) — Ecuații și inecuații cu numere întregi

a) Rezolvați în $Z$ ecuația: $3 (x - 4) - 2 = 2 (x + 1) .$ (3p)
b) Rezolvați în $Z$ inecuația: $9 - 3 x < 0$ și scrieți cele mai mici trei soluții întregi. (2p)
c) Suma a trei numere întregi consecutive este $- 18$ . Scrieți ecuația corespunzătoare și aflați cele trei numere. (2p)
d) Adevărat sau fals, cu justificare: „Ecuația $4 x + 8 = 4 (x + 2)$ are o infinitate de soluții în mulțimea $Z$ ." (2p)

Barem și răspunsuri

Punctaj: 50 p Subiectul I + 40 p Subiectul II + 10 p din oficiu = 100 p. La itemii cu justificare, jumătate din punctaj se acordă pentru raționament corect, chiar dacă apare o eroare minoră de calcul.

Subiectul I

Exercițiul 1 (5p) — ora 8:03 Autocarul și microbuzul pleacă din nou împreună după un număr de minute egal cu $c.m.m.m.c. (24, 16)$ . $24 = 2^{3} \cdot 3$ , $16 = 2^{4} \Rightarrow c.m.m.m.c. = 2^{4} \cdot 3 = 48$ minute. $7 : 15 + 48$ min $= 8 : 03$ . (3p c.m.m.m.c. + 2p ora finală)

Exercițiul 2 (5p) — ecuația $- 12 + x = - 3$ , $x = 9$ Temperatura de dimineață plus creșterea $x$ este egală cu temperatura de la prânz: $- 12 + x = - 3 \Rightarrow x = - 3 - (- 12) = - 3 + 12 = 9$ (grade). (2p ecuația + 3p rezolvarea)

Exercițiul 3 (5p) — 132 de lei Reducerea: $12% \cdot 150 = \frac{12}{100} \cdot 150 = 18$ lei. Preț nou: $150 - 18 = 132$ lei. (3p calculul reducerii + 2p prețul final)

Exercițiul 4 (5p) — 2 km $5 cm \cdot 40000 = 200000$ cm $= 2000$ m $= 2$ km. (3p folosirea scării + 2p transformarea în km)

Exercițiul 5 (5p) — A ∩ B = {1, 2, 4, 8}, 4 elemente $A = {1, 2, 4, 8, 16}$ , $B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}$ . $A \cap B = {1, 2, 4, 8}$ — acestea sunt divizorii lui $c.m.m.d.c. (16, 24) = 8$ . Cardinal $= 4$ . (3p mulțimea intersecție + 2p cardinalul)

Exercițiul 6 (5p) — media −3 °C $\frac{( - 6 ) + ( - 2 ) + ( - 9 ) + 3 + ( - 1 )}{5} = \frac{- 15}{5} = - 3 °C$ . (2p suma + 3p împărțirea)

Exercițiul 7 (5p) — P = 5/18 $P (alb \overset{a}{˘}) = \frac{cazuri favorabile}{cazuri posibile} = \frac{5}{18}$ (fracție ireductibilă). (3p raportul corect + 2p verificarea ireductibilității)

Exercițiul 8 (5p) — 36° și 54° Fie $x$ unghiul mai mic; celălalt este $x + 18°$ . Complementare $\Rightarrow x + (x + 18°) = 90°$ , deci $2 x = 72° \Rightarrow x = 36°$ . Unghiurile sunt $36°$ și $54°$ (verificare: $36 + 54 = 90$ ). (3p ecuația + 2p cele două măsuri)

Exercițiul 9 (5p) — x > 6; cele mai mici trei soluții: 7, 8, 9 $4 x - 9 > 2 x + 3 \Rightarrow 4 x - 2 x > 3 + 9 \Rightarrow 2 x > 12 \Rightarrow x > 6$ . Cele mai mici trei numere întregi mai mari decât 6 sunt $7, 8, 9$ . (3p rezolvarea inecuației + 2p cele trei soluții)

Exercițiul 10 (5p) — etajul 4 Ecuația: $x + 7 - 5 = 6 \Rightarrow x + 2 = 6 \Rightarrow x = 4$ . (3p ecuația + 2p rezolvarea)

Subiectul II

Exercițiul 11 (8p) — Contul de economii al Mariei

a) Sold final $= 200 + (- 150) + 80 + (- 220)$ . (2p)
b) $200 - 150 + 80 - 220 = 50 + 80 - 220 = 130 - 220 = - 90$ lei. (2p)
c) Modificarea $= - 90 - 200 = - 290$ lei (soldul a scăzut cu 290 de lei). (2p)
d) Inecuația: $- 90 + x \geq 50 \Rightarrow x \geq 140$ . Suma minimă este $140$ lei. (2p)

Exercițiul 12 (7p)

a) $(- 3)^{2} = 9$ ; $- 2 \cdot (- 7) = 14$ ; $(- 20) : 4 = - 5$ ; $E = 9 + 14 - 5 = 18$ . (3p — 1p fiecare termen)
b) $5 (x + 1) - 3 x = x - 3 \Rightarrow 5 x + 5 - 3 x = x - 3 \Rightarrow 2 x + 5 = x - 3 \Rightarrow x = - 8$ . (2p)
c) $2 x - 3 \leq 7 \Rightarrow 2 x \leq 10 \Rightarrow x \leq 5$ . Cu $x \in N$ : $x \in {0, 1, 2, 3, 4, 5}$ . (2p — 1p inecuația + 1p selecția numerelor naturale)

Exercițiul 13 (8p) — Triunghi isoscel

a) Triunghi isoscel $\Rightarrow B \equiv C$ . Suma unghiurilor: $m (B) + m (C) = 180° - 36° = 144°$ , deci $m (B) = m (C) = 72°$ . (2p)
b) Unghiul exterior din vârful $B$ este suplementul unghiului $B$ : $180° - 72° = 108°$ . Verificare cu teorema unghiului exterior: $m (A) + m (C) = 36° + 72° = 108°$ . (2p)
c) În triunghiurile $A B D$ și $A C D$ : $A B = A C$ (ipoteză, ipotenuze egale), $A D$ — latură comună (catetă), iar $m (A D B) = m (A D C) = 90°$ . Conform criteriului ipotenuză–catetă (I.C.), $△ A B D \equiv △ A C D$ . Din congruență: $B A D \equiv C A D$ , deci $m (B A D) = \frac{36°}{2} = 18°$ , și $B D = D C = \frac{B C}{2} = 5$ cm. (2p justificarea congruenței + 1p $m (B A D)$ + 1p $B D$ )

Exercițiul 14 (8p) — Interpretarea datelor

a) Cel puțin nota 8 $\Rightarrow$ notele 8, 9 și 10: $4 + 3 + 2 = 9$ elevi. (2p)
b) Media $= \frac{4 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + 7 \cdot 5 + 8 \cdot 4 + 9 \cdot 3 + 10 \cdot 2}{20} = \frac{4 + 10 + 18 + 35 + 32 + 27 + 20}{20} = \frac{146}{20} = 7, 3$ . (2p suma ponderată + 1p împărțirea)
c) Note sub 6 (adică 4 sau 5): $1 + 2 = 3$ elevi. $P = \frac{3}{20} = 0, 15$ . (1,5p)
d) Adevărat. Elevii cu cel mult nota 6 sunt $1 + 2 + 3 = 6$ ; jumătate din 20 este $10$ , iar $6 < 10$ , deci mai puțin de jumătate dintre elevi au obținut cel mult nota 6. (1,5p — 0,5p răspuns + 1p justificare)

Exercițiul 15 (9p) — Ecuații și inecuații cu numere întregi

a) $3 (x - 4) - 2 = 2 (x + 1) \Rightarrow 3 x - 12 - 2 = 2 x + 2 \Rightarrow 3 x - 14 = 2 x + 2 \Rightarrow x = 16$ . (3p)
b) $9 - 3 x < 0 \Rightarrow - 3 x < - 9 \Rightarrow x > 3$ (la împărțirea cu $- 3$ , sensul inegalității se schimbă). Cele mai mici trei soluții întregi: $4, 5, 6$ . (2p — 1p rezolvarea corectă + 1p soluțiile)
c) Fie $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ cele trei numere întregi consecutive: $n + (n + 1) + (n + 2) = - 18 \Rightarrow 3 n + 3 = - 18 \Rightarrow n = - 7$ . Numerele sunt $- 7, - 6, - 5$ (verificare: $- 7 - 6 - 5 = - 18$ ). (2p — 1p ecuația + 1p numerele)
d) Adevărat. Desfăcând paranteza: $4 (x + 2) = 4 x + 8$ , deci ecuația devine $4 x + 8 = 4 x + 8$ , adică $0 = 0$ — o identitate, adevărată pentru orice $x \in Z$ . Prin urmare ecuația are o infinitate de soluții. (0,5p răspuns + 1,5p justificare)

Total: 50 p (Subiectul I) + 40 p (Subiectul II) + 10 p din oficiu = 100 de puncte.

Greșeli frecvente de evitat la examen: uitarea schimbării sensului inegalității atunci când se împarte sau se înmulțește cu un număr negativ (Exercițiul 9, 15b); greșeli de semn la desfacerea parantezelor precedate de minus (Exercițiul 12b, 15a); confundarea „cel puțin" cu „cel mult" la interpretarea datelor (Exercițiul 14a, 14d); neglijarea semnului la operațiile cu numere întregi (Exercițiul 2, 6, 11); scrierea greșită a numerelor întregi consecutive (Exercițiul 15c — folosiți $n, n + 1, n + 2$ , nu $n - 1, n, n + 1$ decât dacă verificați rezultatul); afirmarea unei congruențe fără a numi criteriul (Exercițiul 13c); nerecunoașterea unei ecuații care este o identitate (infinitate de soluții) atunci când, după reducere, rămâne $0 = 0$ (Exercițiul 15d). Verificați mereu, la final, dacă rezultatul „are sens" în contextul problemei.

Pentru părinți

Cum se aplică: copilul lucrează individual, fără calculator și fără ajutor, pe foaie separată, ca într-un examen real. Figurile marcate cu 🖼️ se schițează de elev după enunț (cu rigla); tabelele se citesc direct din enunț.
Punctaj total: 100 de puncte = 90 de puncte pe itemi (50 p Subiectul I + 40 p Subiectul II) + 10 puncte din oficiu.
Timp recomandat: 60 de minute (format de examen). Sfat de gestionare a timpului: ~25 de minute pentru Subiectul I, ~30 de minute pentru Subiectul II, ~5 minute de verificare la final.
Cum citiți rezultatul: 90–100 = foarte bine (pregătire solidă); 70–89 = bine; 50–69 = satisfăcător; sub 50 = e nevoie de recapitulare țintită. Folosiți baremul de la final pentru a discuta fiecare greșeală — explicația scurtă arată exact unde s-a pierdut punctajul.
Notă despre ecuații și inecuații: la itemii care cer rezolvarea unei ecuații sau inecuații, se punctează fiecare pas (izolarea necunoscutei, verificarea), nu doar rezultatul final; la inecuații, fiți atenți dacă se împarte sau se înmulțește cu un număr negativ — atunci semnul inegalității se schimbă.

Se acordă 10 puncte din oficiu. La itemii care cer justificare, scrieți toți pașii: un rezultat corect fără calcul nu primește punctajul întreg.