Simularea 8 — Evaluarea Națională la clasa a VI-a (accent pe congruența triunghiurilor)

Disciplina: Matematică · Clasa a VI-a · Simulare tip Evaluarea Națională (partea de matematică)

Aceasta este o simulare completă, în formatul Evaluării Naționale de la clasa a VI-a. Accentul cade de această dată pe congruența triunghiurilor — aplicații și demonstrații: recunoașterea criteriilor de congruență (LUL, ULU, LLL, precum și criteriile triunghiurilor dreptunghice IC — ipotenuză-catetă și IU — ipotenuză-unghi ascuțit), aplicarea lor în probleme practice și scrierea unor demonstrații complete, cu justificarea fiecărui pas. Restul competențelor din programă — mulțimi și divizibilitate, numere raționale, procente, organizarea datelor, probabilități și unghiuri — sunt recapitulate integrat, în primii itemi ai testului.

Testul are 18 de itemi, numerotați continuu, mulți cu subpuncte care cer rezolvare completă și, unde este cazul, justificare.

Exerciții

Exercițiul 1 — Divizori comuni (4 puncte)

Un profesor de sport are 36 de mingi și 48 de conuri, primite ca dotare pentru sala de sport. Vrea să formeze grupe identice de exersare (același număr de mingi și același număr de conuri la fiecare grupă), folosind tot materialul, fără să rămână nimic neîmpărțit, și dorind cât mai multe grupe posibile. Notăm $A$ = mulțimea divizorilor naturali ai lui $36$ și $B$ = mulțimea divizorilor naturali ai lui $48$.

a) Determinați mulțimea $A\cap B$. (2 p)

b) Care este cel mai mare element din $A\cap B$ și ce reprezintă el pentru numerele $36$ și $48$? (2 p)

Exercițiul 2 — Calcul cu numere raționale (5 puncte)

Calculați:

a) $-\frac{3}{4}+\frac{5}{6}$ (1,5 p)

b) $(-2,4):(-0,3)$ (1,5 p)

c) $(-2{)}^3\cdot \frac{1}{4}-1$ (2 p)

Exercițiul 3 — Telefonul la reducere (5 puncte)

Un telefon costă 1 200 de lei. Magazinul îl ieftinește cu 20%, iar apoi, la o promoție ulterioară, scumpește noul preț cu 15%.

a) Care este prețul telefonului după ieftinire? (2 p)

b) Care este prețul final, după scumpire? (2 p)

c) Cu cât la sută diferă prețul final față de prețul inițial de 1 200 de lei? (1 p)

Exercițiul 4 — Notele la un test (5 puncte)

Notele obținute de 10 elevi la un test au fost: $5,6,7,7,8,8,8,9,9,10$.

a) Întocmiți un tabel de frecvențe (nota — de câte ori apare). (2 p)

b) Calculați media aritmetică a notelor. (2 p)

c) Care este modul (nota cu frecvența cea mai mare)? (1 p)

Exercițiul 5 — Bomboane într-o pungă (4 puncte)

Într-o pungă sunt 6 bomboane cu lămâie, 5 cu portocale și 4 cu mentă, identice la formă. Se extrage o bomboană la întâmplare.

a) Care este probabilitatea ca bomboana extrasă să fie cu lămâie? Scrieți rezultatul ca fracție ireductibilă. (2 p)

b) Care este probabilitatea ca bomboana extrasă să nu fie cu mentă? (2 p)

Exercițiul 6 — Unghiuri complementare (4 puncte)

Două unghiuri sunt complementare, iar măsurile lor sunt proporționale cu numerele $2$ și $7$.

a) Scrieți ecuația care exprimă condiția din enunț și rezolvați-o. (2 p)

b) Aflați măsurile celor două unghiuri. (2 p)

Exercițiul 7 — Unghiuri suplementare (4 puncte)

Două unghiuri adiacente suplementare au măsurile astfel încât diferența dintre ele este de $48°$.

a) Scrieți sistemul de ecuații care exprimă condițiile din enunț. (2 p)

b) Aflați măsurile celor două unghiuri. (2 p)

Exercițiul 8 — Drepte paralele tăiate de o secantă (4 puncte)

Dreptele $a$ și $b$ sunt paralele și sunt tăiate de secanta $c$. Unul dintre unghiurile formate la intersecția cu dreapta $a$ are măsura $112°$.

a) Aflați măsura unghiului suplementar (adiacent, pe dreapta $a$) cu unghiul de $112°$. (2 p)

b) Aflați măsura unghiului corespondent cu cel de $112°$, format la intersecția dreptei $b$ cu secanta $c$. (2 p)

Exercițiul 9 — Triunghi isoscel (5 puncte)

Triunghiul $ABC$ este isoscel, cu $AB=AC$ și $m(\hat{A})=48°$. Perimetrul triunghiului este de $35$ cm, iar $BC=11$ cm.

a) Aflați măsurile unghiurilor $\hat{B}$ și $\hat{C}$. (2 p)

b) Calculați lungimea laturii $AB$. (2 p)

c) Calculați măsura unghiului exterior al triunghiului din vârful $B$. (1 p)

Exercițiul 10 — Triunghi echilateral (4 puncte)

Un triunghi echilateral $MNP$ are latura de $9$ cm.

a) Aflați măsurile celor trei unghiuri ale triunghiului, cu justificare pe scurt. (2 p)

b) Calculați perimetrul triunghiului. (2 p)

Exercițiul 11 — Criteriile de congruență: recunoaștere (6 puncte)

Pentru fiecare situație de mai jos, precizați ce criteriu de congruență a triunghiurilor se aplică (LUL, ULU sau LLL) și justificați pe scurt alegerea:

a) Două triunghiuri au câte două laturi respectiv congruente, iar unghiul cuprins între ele este, de asemenea, congruent. (2 p)

b) Două triunghiuri au o latură respectiv congruentă, iar cele două unghiuri alăturate acestei laturi sunt, de asemenea, respectiv congruente. (2 p)

c) Două triunghiuri au toate cele trei laturi respectiv congruente. (2 p)

Exercițiul 12 — Congruență prin criteriul LUL (6 puncte)

Segmentele $[AC]$ și $[BD]$ se intersectează în punctul $O$, astfel încât $AO=OC$ și $BO=OD$.

a) Demonstrați că $△AOB\equiv △COD$, precizând criteriul folosit. (3 p)

b) Din congruență, ce puteți spune despre segmentele $AB$ și $CD$? (2 p)

c) Justificați de ce $AB\parallel CD$. (1 p)

Exercițiul 13 — Congruență prin criteriul LLL (6 puncte)

Un tâmplar taie două console triunghiulare identice pentru un raft, fiecare cu laturile de $30$ cm, $40$ cm și $50$ cm: $△MNP$ cu $MN=30$ cm, $NP=40$ cm, $MP=50$ cm, și $△M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }$ cu $M^{\prime }{N}^{\prime }=30$ cm, $N^{\prime }{P}^{\prime }=40$ cm, $M^{\prime }{P}^{\prime }=50$ cm.

a) Demonstrați că $△MNP\equiv △M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }$, precizând criteriul folosit. (3 p)

b) Din congruență, ce puteți spune despre unghiurile $\hat{M}$ și $\widehat{M^{\prime }}$? (1 p)

c) Folosind reciproca teoremei lui Pitagora, verificați dacă triunghiul $MNP$ este dreptunghic și, dacă da, precizați în care vârf se află unghiul drept. (2 p)

Exercițiul 14 — Congruența triunghiurilor dreptunghice (criteriul IC) (6 puncte)

Triunghiul $ABC$ este isoscel, cu $AB=AC=17$ cm și $BC=16$ cm. Fie $D$ piciorul perpendicularei din $A$ pe $BC$ ($AD\perp BC$, $D\in BC$).

a) Demonstrați că $△ABD\equiv △ACD$, precizând criteriul folosit. (2 p)

b) Aflați lungimile segmentelor $BD$ și $DC$. (2 p)

c) Calculați lungimea segmentului $AD$. (2 p)

Exercițiul 15 — Congruență și demonstrație: mediana din vârf, în triunghiul isoscel (6 puncte)

Triunghiul $ABC$ este isoscel, cu $AB=AC$. Fie $M$ mijlocul laturii $BC$.

a) Demonstrați că $△ABM\equiv △ACM$, precizând criteriul folosit. (3 p)

b) Din congruență, arătați că $AM$ este bisectoarea unghiului $\hat{A}$. (1,5 p)

c) Din congruență, arătați că $AM\perp BC$. (1,5 p)

Exercițiul 16 — Congruență prin criteriul ULU (5 puncte)

Un constructor taie două ferme (grinzi) triunghiulare identice pentru un acoperiș: $△RST$ și $△R^{\prime }{S}^{\prime }{T}^{\prime }$, cu $RS=R^{\prime }{S}^{\prime }=240$ cm, $m(\hat{R})=m(\widehat{R^{\prime }})=55°$ și $m(\hat{S})=m(\widehat{S^{\prime }})=70°$.

a) Demonstrați că $△RST\equiv △R^{\prime }{S}^{\prime }{T}^{\prime }$, precizând criteriul folosit. (3 p)

b) Calculați măsura unghiului $\hat{T}$ al fermei. (2 p)

Exercițiul 17 — Adevărat sau fals, cu justificare (4 puncte)

Stabiliți dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justificați pe scurt:

a) Dacă două triunghiuri au toate unghiurile respectiv congruente, atunci ele sunt congruente. (1 p)

b) În criteriul LUL, unghiul congruent trebuie să fie cuprins între cele două laturi congruente. (1 p)

c) Criteriul IC (ipotenuză–catetă) al triunghiurilor dreptunghice se referă la ipotenuză și o catetă respectiv congruente. (1 p)

d) Dacă două triunghiuri au două laturi respectiv congruente și un unghi congruent, indiferent unde este situat acesta, atunci triunghiurile sunt congruente. (1 p)

Exercițiul 18 — Problemă de sinteză: terenul în formă de zmeu (7 puncte)

Un teren are forma unui patrulater $ABCD$ (numit „zmeu"), cu $AB=AD=17$ m și $CB=CD=25$ m. Diagonalele $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $M$.

a) Demonstrați că $△ABC\equiv △ADC$, precizând criteriul folosit. (2 p)

b) Folosind congruența de la punctul a), demonstrați că $△ABM\equiv △ADM$ și deduceți că $AC\perp BD$, iar $M$ este mijlocul lui $BD$. (2 p)

c) Știind că $AM=8$ m, calculați lungimea segmentului $BD$. (2 p)

d) Știind, în plus, că $CM=20$ m, calculați lungimea diagonalei $AC$. (1 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p pe itemi + 10 p din oficiu = 100 p. La itemii cu justificare sau demonstrație, jumătate din punctaj se acordă pentru raționament corect, chiar dacă apare o eroare minoră de calcul.

Exercițiul 1 (4p) — A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 6, 12}; cel mai mare element este 12 Divizorii lui $36$: $A=\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}$. Divizorii lui $48$: $B=\{1,2,3,4,6,8,12,16,24,48\}$. a) $A\cap B=\{1,2,3,4,6,12\}$. (2p) b) Cel mai mare element este $12$; el reprezintă $\text{c.m.m.d.c.}(36,48)$ — verificare: $36=2^2\cdot 3^2$, $48=2^4\cdot 3$, deci $\text{c.m.m.d.c.}=2^2\cdot 3=12$. (2p)

Exercițiul 2 (5p) a) $-\frac{3}{4}+\frac{5}{6}=-\frac{9}{12}+\frac{10}{12}=\frac{1}{12}$. (1,5p) b) $(-2,4):(-0,3)=8$ (câtul a două numere negative este pozitiv). (1,5p) c) $(-2{)}^3\cdot \frac{1}{4}-1=-8\cdot \frac{1}{4}-1=-2-1=-3$. (2p)

Exercițiul 3 (5p) — preț final 1 104 lei, scădere de 8% față de prețul inițial a) Reducerea: $20\%\cdot 1200=240$ lei; preț după ieftinire: $1200-240=960$ lei. (2p) b) Scumpirea: $15\%\cdot 960=144$ lei; preț final: $960+144=1104$ lei. (2p) c) Variația: $1104-1200=-96$ lei față de $1200$; $\frac{96}{1200}=0,08=8\%$. Prețul final este cu $8\%$ mai mic decât cel inițial. (1p)

Exercițiul 4 (5p) — media 7,7; modul 8 a) Tabelul de frecvențe: (2p)

b) Suma notelor: $5+6+7+7+8+8+8+9+9+10=77$; media $=77:10=7,7$. (2p) c) Modul (frecvența cea mai mare, $3$) este nota $8$. (1p)

Exercițiul 5 (4p) — P(lămâie) = 2/5; P(nu mentă) = 11/15 Total bomboane: $6+5+4=15$. a) $P(\text{la˘maˆie})=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$. (2p) b) Bomboane care nu sunt cu mentă: $15-4=11$, deci $P(\text{nu menta˘})=\frac{11}{15}$ (fracție deja ireductibilă). (2p)

Exercițiul 6 (4p) — 20° și 70° Fie unghiurile $2x$ și $7x$ (proporționale cu $2$ și $7$). Fiind complementare: $2x+7x=90°\Rightarrow 9x=90°\Rightarrow x=10°$. (2p) Unghiurile sunt $2x=20°$ și $7x=70°$ (verificare: $20°+70°=90°$). (2p)

Exercițiul 7 (4p) — 114° și 66° Fie $x$ și $y$ măsurile celor două unghiuri. Fiind adiacente suplementare: $x+y=180°$; din enunț: $x-y=48°$. (2p) Adunând cele două ecuații: $2x=228°\Rightarrow x=114°$, apoi $y=180°-114°=66°$. Unghiurile sunt $114°$ și $66°$. (2p)

Exercițiul 8 (4p) — 68° și 112° a) Unghiul suplementar (adiacent, pe dreapta $a$): $180°-112°=68°$ (unghiuri adiacente suplementare au suma $180°$). (2p) b) Unghiul corespondent, la intersecția cu $b$: $112°$ (la drepte paralele tăiate de o secantă, unghiurile corespondente sunt congruente). (2p)

Exercițiul 9 (5p) — 66°, 66°; AB = 12 cm; unghi exterior 114° a) Triunghi isoscel $\Rightarrow \hat{B}\equiv \hat{C}$. $m(\hat{B})+m(\hat{C})=180°-48°=132°$, deci $m(\hat{B})=m(\hat{C})=66°$. (2p) b) $AB=AC$; perimetrul $=2\cdot AB+BC=35\Rightarrow 2\cdot AB=35-11=24\Rightarrow AB=12$ cm. (2p) c) Unghiul exterior din $B$: $180°-66°=114°$ (egal și cu suma celorlalte două unghiuri interioare: $48°+66°=114°$). (1p)

Exercițiul 10 (4p) — unghiuri de 60°; perimetru 27 cm a) Într-un triunghi echilateral toate laturile sunt egale, deci toate unghiurile sunt egale; suma lor este $180°$, deci fiecare unghi are $180°:3=60°$. (2p) b) Perimetrul $=3\cdot 9=27$ cm. (2p)

Exercițiul 11 (6p) a) LUL (latură–unghi–latură) — două laturi congruente și unghiul cuprins între ele, congruent. (2p) b) ULU (unghi–latură–unghi) — o latură congruentă și cele două unghiuri alăturate ei, congruente. (2p) c) LLL (latură–latură–latură) — toate cele trei laturi respectiv congruente. (2p)

Exercițiul 12 (6p) — △AOB ≡ △COD prin LUL; AB = CD; AB ∥ CD a) În $△AOB$ și $△COD$: $AO=OC$ (ipoteză), $m(\widehat{AOB})=m(\widehat{COD})$ (unghiuri opuse la vârf, deoarece $A,O,C$ și $B,O,D$ sunt coliniare), $BO=OD$ (ipoteză). Conform criteriului LUL, $△AOB\equiv △COD$. (3p) b) Din congruență, laturile corespunzătoare sunt congruente: $\mathbf{AB}=\mathbf{CD}$. (2p) c) Din congruență, $\widehat{OAB}\equiv \widehat{OCD}$. Acestea sunt unghiuri alterne interne formate de secanta $AC$ cu dreptele $AB$ și $CD$; fiind congruente, rezultă $\mathbf{AB}\parallel \mathbf{CD}$. (1p)

Exercițiul 13 (6p) — △MNP ≡ △M'N'P' prin LLL; unghiul drept în N; triunghi dreptunghic a) În $△MNP$ și $△M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }$: $MN=M^{\prime }{N}^{\prime }=30$ cm, $NP=N^{\prime }{P}^{\prime }=40$ cm, $MP=M^{\prime }{P}^{\prime }=50$ cm. Conform criteriului LLL, $△MNP\equiv △M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }$. (3p) b) Din congruență, unghiurile corespunzătoare sunt congruente: $\hat{\mathbf{M}}\equiv \widehat{{\mathbf{M}}^{\prime }}$. (1p) c) Verificare cu reciproca teoremei lui Pitagora: $M{N}^2+N{P}^2=30^2+40^2=900+1600=2500=50^2=M{P}^2$. Cum egalitatea are loc, triunghiul $MNP$ este dreptunghic, cu unghiul drept opus laturii celei mai lungi $MP$, adică în vârful $\mathbf{N}$. (2p)

Exercițiul 14 (6p) — congruență prin IC; BD = DC = 8 cm; AD = 15 cm a) În $△ABD$ și $△ACD$: $AB=AC=17$ cm (ipotenuze), $AD$ — catetă comună, iar $m(\widehat{ADB})=m(\widehat{ADC})=90°$. Conform criteriului IC (ipotenuză–catetă), $△ABD\equiv △ACD$. (2p) b) Din congruență, $BD\equiv DC$; cum $BD+DC=BC=16$ cm, rezultă $BD=DC=8$ cm. (2p) c) În triunghiul dreptunghic $ABD$, cu teorema lui Pitagora: $A{D}^2=A{B}^2-B{D}^2=17^2-8^2=289-64=225\Rightarrow AD=15$ cm. (2p)

Exercițiul 15 (6p) — congruență prin LLL; AM bisectoare; AM ⊥ BC a) În $△ABM$ și $△ACM$: $AB=AC$ (ipoteză), $BM=CM$ ($M$ este mijlocul lui $BC$), $AM$ — latură comună. Conform criteriului LLL, $△ABM\equiv △ACM$. (3p) b) Din congruență, $\widehat{BAM}\equiv \widehat{CAM}$, deci $\mathbf{AM}\text{ este bisectoarea unghiului }\hat{\mathbf{A}}$. (1,5p) c) Din congruență, $\widehat{AMB}\equiv \widehat{AMC}$. Cum $B$, $M$, $C$ sunt coliniare, cele două unghiuri sunt adiacente suplementare: $m(\widehat{AMB})+m(\widehat{AMC})=180°$, deci fiecare are $90°$, adică $\mathbf{AM}\perp \mathbf{BC}$. (1,5p)

Exercițiul 16 (5p) — congruență prin ULU; unghiul T = 55° a) În $△RST$ și $△R^{\prime }{S}^{\prime }{T}^{\prime }$: $RS=R^{\prime }{S}^{\prime }=240$ cm, $m(\hat{R})=m(\widehat{R^{\prime }})=55°$, $m(\hat{S})=m(\widehat{S^{\prime }})=70°$ (latura $RS$, respectiv $R^{\prime }{S}^{\prime }$, este cuprinsă între cele două unghiuri congruente). Conform criteriului ULU, $△RST\equiv △R^{\prime }{S}^{\prime }{T}^{\prime }$. (3p) b) $m(\hat{T})=180°-m(\hat{R})-m(\hat{S})=180°-55°-70°=55°$. (2p)

Exercițiul 17 (4p) a) Fals. Triunghiuri cu toate unghiurile respectiv congruente sunt doar asemenea, nu neapărat congruente. Contraexemplu: două triunghiuri echilaterale, unul cu latura de $2$ cm și altul cu latura de $5$ cm, au toate unghiurile de $60°$, dar nu sunt congruente. (1p) b) Adevărat. Aceasta este exact condiția criteriului LUL: unghiul congruent trebuie să fie cel format de cele două laturi date (unghiul „cuprins"). (1p) c) Adevărat. Criteriul IC al triunghiurilor dreptunghice cere ca ipotenuzele să fie congruente și câte o catetă, respectiv, congruentă. (1p) d) Fals. Dacă unghiul congruent nu este cuprins între cele două laturi congruente (cazul latură–latură–unghi, LLU), congruența triunghiurilor nu este garantată — pot exista două triunghiuri necongruente care respectă aceste date. (1p)

Exercițiul 18 (7p) — BD = 30 m; AC = 28 m a) În $△ABC$ și $△ADC$: $AB=AD=17$ m, $CB=CD=25$ m, $AC$ — latură comună. Conform criteriului LLL, $△ABC\equiv △ADC$. (2p) b) Din congruența de la a), $\widehat{BAC}\equiv \widehat{DAC}$. Atunci în $△ABM$ și $△ADM$: $AB=AD$ (ipoteză), $\widehat{BAM}\equiv \widehat{DAM}$ (tocmai arătat), $AM$ — latură comună. Conform criteriului LUL, $△ABM\equiv △ADM$, de unde $BM=DM$ (deci $M$ este mijlocul lui $BD$) și $\widehat{AMB}\equiv \widehat{AMD}$; cum sunt adiacente suplementare ($B$, $M$, $D$ coliniare), fiecare are $90°$, deci $\mathbf{AC}\perp \mathbf{BD}$. (2p) c) Triunghiul $ABM$ este dreptunghic în $M$. Cu teorema lui Pitagora: $B{M}^2=A{B}^2-A{M}^2=17^2-8^2=289-64=225\Rightarrow BM=15$ m. Cum $M$ este mijlocul lui $BD$: $BD=2\cdot BM=30$ m. (2p) d) Triunghiul $CBM$ este dreptunghic în $M$. Cu teorema lui Pitagora: $C{M}^2=C{B}^2-B{M}^2=25^2-15^2=625-225=400\Rightarrow CM=20$ m (dat, verificat). Diagonala $AC=AM+CM=8+20=28$ m. (1p)

Total: 90 p (itemii 1–18) + 10 p din oficiu = 100 de puncte. Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

Greșeli frecvente de evitat la examen: afirmarea congruenței a două triunghiuri fără a numi criteriul folosit (Itemii 12, 13, 14, 15, 16, 18 — punctajul se pierde chiar dacă triunghiurile sunt corect identificate ca fiind congruente); confundarea criteriului LUL cu situația LLU, în care unghiul nu este cuprins între cele două laturi (Exercițiul 17d — LLU nu este un criteriu valid de congruență); confuzia dintre triunghiuri asemenea (unghiuri egale) și triunghiuri congruente (Exercițiul 17a); uitarea faptului că, la triunghiurile dreptunghice, criteriul IC cere ipotenuze congruente, nu catete (Exercițiul 14, 17c); omiterea verificării cu reciproca teoremei lui Pitagora înainte de a afirma că un triunghi este dreptunghic (Exercițiul 13c); neglijarea semnului la numere raționale (Exercițiul 2). Verificați mereu, la final, dacă rezultatul „are sens" în contextul problemei.

Pentru părinți

• Cum se aplică: copilul lucrează individual, fără calculator și fără ajutor, pe foaie separată, numerotând clar fiecare item, ca într-un examen real. Figurile marcate cu 🖼️ se schițează de elev după enunț (cu rigla).
• Punctaj total: 100 de puncte = 90 de puncte pe cei 18 itemi + 10 puncte din oficiu. Punctajul fiecărui item (și al fiecărui subpunct) este scris în paranteză.
• Timp recomandat: 60 de minute (format de examen). Sfat de gestionare a timpului: ~20 de minute pentru recapitularea integrată (itemii 1–10), ~35 de minute pentru congruența triunghiurilor (itemii 11–18), ~5 minute de verificare la final.
• Cum citiți rezultatul: nota se obține împărțind punctajul total la 10 (ex.: 82 de puncte → nota 8,2). 90–100 = foarte bine; 70–89 = bine; 50–69 = satisfăcător; sub 50 = e nevoie de recapitulare țintită la criteriile de congruență.
• Sfat pentru elev: la o demonstrație, scrie întotdeauna cele trei perechi de elemente congruente și numește explicit criteriul (LUL, ULU, LLL, IC sau IU) — un rezultat corect fără criteriul precizat nu primește punctajul întreg.

Se acordă 10 puncte din oficiu. La itemii care cer justificare sau demonstrație, scrieți toți pașii: o concluzie corectă fără motivare nu primește punctajul integral.