Simularea 9 — Evaluarea Națională la clasa a VI-a (accent pe paralelism și perpendicularitate în plan)

Disciplina: Matematică · Clasa a VI-a · Simulare nr. 9, tip Evaluarea Națională (partea de matematică)

Aceasta este a noua simulare din serie, în formatul Evaluării Naționale de la clasa a VI-a. Testul rămâne integrat (mulțimi și divizibilitate, numere întregi și raționale, rapoarte și procente, organizarea datelor) dar pune accentul pe capitolul paralelism și perpendicularitate în plan: unghiuri formate de două drepte paralele tăiate de o secantă, criteriile de paralelism, drepte perpendiculare, distanța de la un punct la o dreaptă și mediatoarea unui segment, aplicate și în triunghiuri și patrulatere. Contextele sunt practice (model PISA): șine de cale ferată, un acoperiș, un teren de forma unui dreptunghi, o hartă la scară.

Exerciții

Citește cu atenție fiecare enunț. Scrie rezolvarea completă, nu doar răspunsul final.

Exercițiul 1 — Mulțimi și divizori (4 puncte)

Un florar are 36 de trandafiri și 60 de lalele. Vrea să facă buchete identice ca număr de flori din fiecare tip, folosind pentru fiecare tip de floare un număr de buchete egal cu un divizor al numărului ei de flori. Notăm cu $A$ mulțimea divizorilor naturali ai lui 36 și cu $B$ mulțimea divizorilor naturali ai lui 60.

a) (2p) Scrie elementele mulțimii $A\cap B$. b) (1p) Care este cel mai mare element al mulțimii $A\cap B$? Ce reprezintă el pentru numerele 36 și 60? c) (1p) Scrie elementele mulțimii $A\setminus B$.

Exercițiul 2 — Criterii de divizibilitate (4 puncte)

Pe un bon fiscal este tipărit un cod de forma $\overline{5a7}$, unde $a$ este o cifră.

a) (2p) Determină toate valorile cifrei $a$ pentru care numărul este divizibil cu 3. b) (2p) Determină cifra $a$ pentru care numărul este divizibil cu 9.

Exercițiul 3 — Cel mai mic multiplu comun (context) (5 puncte)

Două semafoare dintr-o intersecție devin verzi simultan la un moment dat. Primul semafor repetă ciclul „verde" din 24 în 24 de secunde, iar al doilea din 40 în 40 de secunde.

a) (3p) După câte secunde de la acel moment vor fi din nou simultan verzi, pentru prima dată? b) (2p) De câte ori devine verde fiecare semafor, de la momentul inițial până la acel moment (inclusiv)?

Exercițiul 4 — Cel mai mare divizor comun (context) (5 puncte)

O florărie are 48 de garoafe și 84 de crizanteme. Vrea să facă buchete identice, folosind toate florile, fără să rămână flori neambalate, și să obțină cât mai multe buchete.

a) (3p) Câte buchete poate face cel mult? b) (2p) Câte garoafe și câte crizanteme are fiecare buchet?

Exercițiul 5 — Numere prime și descompunere (4 puncte)

Se consideră numărul natural $N=180$.

a) (2p) Scrie descompunerea lui $N$ în produs de factori primi. b) (2p) Câți divizori naturali are numărul $N$?

Exercițiul 6 — Numere întregi (context) (5 puncte)

Un submarin se află la adâncimea de 120 m sub nivelul mării (poziția $-120$, dacă nivelul mării este $0$). Urcă mai întâi $45$ m, apoi mai coboară $30$ m față de noua poziție.

a) (3p) La ce adâncime (poziție) ajunge submarinul după ce urcă cei $45$ m? b) (2p) La ce adâncime (poziție) ajunge submarinul, în final, după ce mai coboară cei $30$ m?

Exercițiul 7 — Operații cu numere raționale (5 puncte)

Calculează, respectând ordinea operațiilor: $$E=\frac{2}{5}+\frac{3}{10}\cdot \left(-\frac{4}{9}\right)-\frac{1}{3}.$$ Scrie rezultatul ca fracție ireductibilă.

Exercițiul 8 — Rapoarte și împărțire în părți proporționale (4 puncte)

Trei elevi împart 84 de cărți poștale în raportul $3:4:5$. Câte cărți poștale primește fiecare?

Exercițiul 9 — Procente (context, două reduceri succesive) (6 puncte)

Un ghiozdan costă 350 de lei. La reducerea de „Back to School", magazinul aplică o reducere de 20%. Pentru cei care plătesc cu cardul, se aplică apoi încă o reducere de 5% din prețul deja redus.

a) (3p) Care este prețul ghiozdanului după prima reducere, de 20%? b) (3p) Ce sumă plătește, în final, un cumpărător care achită cu cardul?

Exercițiul 10 — Unghiuri formate de o secantă cu două drepte paralele (5 puncte)

Două șine de cale ferată, paralele, sunt tăiate de o traversă oblică (secanta $s$). La intersecția cu prima șină, un unghi are măsura $118°$.

a) (2p) Care este măsura unghiului suplementar (alăturat, pe prima șină) cu unghiul de $118°$? b) (1,5p) Care este măsura unghiului opus la vârf cu unghiul de $118°$? c) (1,5p) Care este măsura unghiului altern intern, format la intersecția cu a doua șină, cu unghiul de $118°$?

Exercițiul 11 — Adevărat sau fals: criterii de paralelism și perpendicularitate (5 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și motivează în câteva cuvinte. (câte 1p)

a) Dacă două unghiuri corespondente formate de o secantă cu două drepte sunt congruente, atunci dreptele sunt paralele. b) Printr-un punct exterior unei drepte se pot duce două paralele distincte la acea dreaptă. c) Dacă două unghiuri alterne interne formate de o secantă cu două drepte sunt suplementare, atunci dreptele sunt cu siguranță paralele. d) Două drepte, ambele perpendiculare pe o a treia dreaptă (în același plan), sunt paralele între ele. e) La două drepte paralele tăiate de o secantă, unghiurile interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare.

Exercițiul 12 — Ecuație cu unghiuri alterne interne (5 puncte)

Două șine de ghidaj, $a$ și $b$, sunt paralele și sunt tăiate de o secantă $s$. Un unghi format la $a$ și unghiul altern intern corespunzător, format la $b$, au măsurile $(3x+8)°$, respectiv $(5x-24)°$.

a) (3p) Scrie relația dintre cele două unghiuri (deoarece $a\parallel b$) și află $x$. b) (2p) Care este măsura comună a celor două unghiuri?

Exercițiul 13 — Paralelism aplicat într-un trapez (5 puncte)

Secțiunea transversală a unui acoperiș are forma unui trapez $ABCD$ cu bazele paralele $AB\parallel CD$. Se cunosc $m(\hat{A})=68°$ și $m(\hat{C})=125°$.

a) (3p) Calculează $m(\hat{D})$ (latura $AD$ este secantă pentru cele două baze paralele). b) (2p) Calculează $m(\hat{B})$ (latura $BC$ este secantă pentru cele două baze paralele).

Exercițiul 14 — Drepte perpendiculare (4 puncte)

a) (2p) Completează: două drepte care se intersectează sunt perpendiculare dacă unul dintre unghiurile formate are măsura de ______. Scrie și notația pentru „$a$ perpendiculară pe $b$". b) (2p) Dacă $a\perp b$ și unul dintre cele patru unghiuri formate în $O$ are $90°$, care sunt măsurile celorlalte trei unghiuri? Justifică.

Exercițiul 15 — Distanța de la un punct la o dreaptă (context, hartă la scară) (5 puncte)

Un dig (dreapta $d$) mărginește țărmul. Pe o hartă cu scara $1:2000$, un far (punctul $P$) este marcat la $3,5$ cm distanță de linia digului $d$, distanță măsurată perpendicular pe $d$.

a) (2p) Ce reprezintă piciorul perpendicularei $P^{\prime }$ (proiecția lui $P$ pe $d$) și ce reprezintă segmentul $[P{P}^{\prime }]$ față de punctul $P$ și dreapta $d$? b) (3p) Câți metri reprezintă, în realitate, distanța de la far la dig?

Exercițiul 16 — Mediatoarea unui segment (5 puncte)

a) (2p) Scrie definiția mediatoarei unui segment $[CD]$. b) (3p) Punctul $M$ se află pe mediatoarea segmentului $[CD]$, astfel încât $MC=(4x-3)$ cm și $MD=(2x+9)$ cm. Scrie relația dintre $MC$ și $MD$ (folosind proprietatea mediatoarei), află $x$ și calculează lungimea $MC$.

Exercițiul 17 — Triunghi isoscel: înălțime și paralelă prin vârf (6 puncte)

Triunghiul $ABC$ este isoscel, cu $AB=AC$ și $m(\widehat{BAC})=50°$. Fie $D$ piciorul perpendicularei din $A$ pe $BC$ ($AD\perp BC$, $D\in BC$). Prin vârful $A$ se duce o dreaptă $d$ paralelă cu $BC$. Se știe că perimetrul triunghiului este de 34 cm, iar $BC=12$ cm.

a) (2p) Calculează măsurile unghiurilor $\hat{B}$ și $\hat{C}$. b) (2p) Folosind faptul că $d\parallel BC$, arată (prin unghiuri alterne interne) că unghiul dintre $d$ și $AB$ este congruent cu $\hat{B}$, iar unghiul dintre $d$ și $AC$ este congruent cu $\hat{C}$; verifică apoi că suma celor trei unghiuri formate în $A$ pe dreapta $d$ este $180°$. c) (2p) Calculează lungimea laturii $AB$, apoi demonstrează că triunghiurile $ABD$ și $ACD$ sunt congruente și aflați $m(\widehat{BAD})$ și lungimea segmentului $BD$.

Exercițiul 18 — Problemă de sinteză: terenul dreptunghiular (8 puncte)

Un teren are forma patrulaterului $ABCD$, cu laturile opuse paralele două câte două ($AB\parallel DC$ și $AD\parallel BC$) și cu $AB\perp AD$ (unghi drept în colțul $A$). Se cunosc $AB=40$ m și $AD=25$ m. Prin mijlocul $M$ al laturii $AD$ se trasează o alee $MN$, paralelă cu $AB$ ($MN\parallel AB$), care traversează terenul până la latura $BC$, în punctul $N$.

a) (1p) Ce fel de patrulater este $ABCD$, știind că are laturile opuse paralele două câte două și un unghi drept? b) (2p) Ce lungime are aleea $MN$? c) (2p) Calculează aria terenului $ABCD$. d) (3p) Aleea $MN$ împarte terenul în două dreptunghiuri: $AMNB$ și $MDCN$. Calculează aria fiecăruia dintre ele și verifică faptul că suma lor este egală cu aria terenului $ABCD$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din cele 18 itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota se obține împărțind punctajul total la 10. La itemii cu subpuncte, punctajul se acordă pe fiecare subpunct, conform parantezelor din enunț. La itemii de clasificare sau justificare, răspunsul corect fără explicație se punctează parțial.

Exercițiul 1. (4p) Divizorii lui 36: $A=\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}$. Divizorii lui 60: $B=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}$. a) $A\cap B=\{1,2,3,4,6,12\}$. (2p) b) Cel mai mare element este 12; el este cel mai mare divizor comun al numerelor 36 și 60, adică $\text{c.m.m.d.c.}(36,60)=12$. (1p) c) $A\setminus B=\{9,18,36\}$ (divizorii lui 36 care nu sunt și divizori ai lui 60). (1p)

Exercițiul 2. (4p) Suma cifrelor codului este $5+a+7=12+a$. a) Pentru divizibilitate cu 3, $12+a$ trebuie să fie multiplu de 3, cu $a$ cifră ($0\le a\le 9$): $12+a\in \{12,15,18,21\}$, deci $a\in \{0,3,6,9\}$. (2p) b) Pentru divizibilitate cu 9, $12+a$ trebuie să fie multiplu de 9: singura posibilitate în intervalul $12$–$21$ este $12+a=18$, deci $a=6$ (codul este 567, iar $567:9=63$). (2p)

Exercițiul 3. (5p) a) Momentul căutat este $\text{c.m.m.m.c.}(24,40)$. $24=2^3\cdot 3$, $40=2^3\cdot 5$, deci $\text{c.m.m.m.c.}=2^3\cdot 3\cdot 5=120$ secunde. (3p) b) Se numără și momentul inițial ($t=0$), când semafoarele sunt deja verzi simultan (enunțul spune „devin verzi simultan"), pentru că cerința este „de la momentul inițial ... (inclusiv)": primul semafor devine verde la $t=0,24,48,72,96,120$, adică de $120:24+1=6$ ori; al doilea semafor devine verde la $t=0,40,80,120$, adică de $120:40+1=4$ ori. (2p)

Exercițiul 4. (5p) Numărul de buchete este $\text{c.m.m.d.c.}(48,84)$. $48=2^4\cdot 3$, $84=2^2\cdot 3\cdot 7$, deci $\text{c.m.m.d.c.}=2^2\cdot 3=12$. a) Se pot face cel mult 12 buchete. (3p) b) Fiecare buchet are $48:12=4$ garoafe și $84:12=7$ crizanteme. (2p)

Exercițiul 5. (4p) a) $180=2\cdot 90=2^2\cdot 45=2^2\cdot 3^2\cdot 5$. (2p) b) Numărul de divizori: $(2+1)(2+1)(1+1)=3\cdot 3\cdot 2=18$ divizori. (2p)

Exercițiul 6. (5p) a) După urcarea celor 45 m: $-120+45=-75$ — submarinul ajunge la poziția $-75$ (adâncime de 75 m). (3p) b) După coborârea celor 30 m: $-75-30=-105$ — submarinul ajunge, în final, la poziția $-105$ (adâncime de 105 m). (2p)

Exercițiul 7. (5p) Întâi înmulțirea: $\frac{3}{10}\cdot \left(-\frac{4}{9}\right)=-\frac{12}{90}=-\frac{2}{15}$. (2p) Apoi, cu numitor comun 15: $E=\frac{6}{15}-\frac{2}{15}-\frac{5}{15}=-\frac{1}{15}$. (3p)

Exercițiul 8. (4p) Numărul total de părți: $3+4+5=12$; o parte are $84:12=7$ cărți poștale. Primul elev: $3\cdot 7=21$; al doilea: $4\cdot 7=28$; al treilea: $5\cdot 7=35$. (4p) (Verificare: $21+28+35=84$.)

Exercițiul 9. (6p) a) Reducerea: $20\%\cdot 350=\frac{20}{100}\cdot 350=70$ lei; prețul redus: $350-70=280$ lei. (3p) b) A doua reducere: $5\%\cdot 280=14$ lei; suma finală de plată: $280-14=266$ lei. (3p)

Exercițiul 10. (5p) a) Unghiul suplementar: $180°-118°=62°$ (unghiuri alăturate suplementare au suma $180°$). (2p) b) Unghiul opus la vârf: $118°$ (unghiurile opuse la vârf sunt congruente). (1,5p) c) Unghiul altern intern: $118°$ (la drepte paralele tăiate de o secantă, unghiurile alterne interne sunt congruente). (1,5p)

Exercițiul 11. (5p) a) Adevărat. Este chiar criteriul de paralelism prin unghiuri corespondente (reciproca teoremei unghiurilor formate de paralele cu o secantă). (1p) b) Fals. Conform axiomei paralelelor (a lui Euclid), printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură paralelă la acea dreaptă. (1p) c) Fals. Criteriul de paralelism cere ca unghiurile alterne interne să fie congruente, nu doar suplementare; suplementaritatea lor nu garantează, în general, paralelismul dreptelor. (1p) d) Adevărat. Dacă $a\perp d$ și $b\perp d$, în același plan, atunci $a$ și $b$ nu se pot intersecta (ar forma un triunghi cu două unghiuri de $90°$, imposibil), deci $a\parallel b$. (1p) e) Adevărat. Este proprietatea unghiurilor interne de aceeași parte a secantei, la două drepte paralele: suma lor este întotdeauna $180°$. (1p)

Exercițiul 12. (5p) a) Deoarece $a\parallel b$, unghiurile alterne interne sunt congruente: $3x+8=5x-24\Rightarrow 32=2x\Rightarrow x=16$. (3p) b) Măsura comună: $3\cdot 16+8=56°$ (verificare: $5\cdot 16-24=80-24=56°$). (2p)

Exercițiul 13. (5p) a) $AB\parallel CD$, iar $AD$ este secantă pentru cele două baze $\Rightarrow \hat{A}$ și $\hat{D}$ sunt unghiuri interne de aceeași parte a secantei, deci suplementare: $m(\hat{D})=180°-68°=112°$. (3p) b) La fel, $BC$ este secantă $\Rightarrow \hat{B}$ și $\hat{C}$ sunt suplementare: $m(\hat{B})=180°-125°=55°$. (2p) (Verificare: suma unghiurilor patrulaterului $68°+55°+112°+125°=360°$.)

Exercițiul 14. (4p) a) Două drepte care se intersectează sunt perpendiculare dacă unul dintre unghiurile formate are măsura de $90°$. Notația: $a\perp b$. (2p) b) Cele patru unghiuri formate în $O$ sunt, două câte două, opuse la vârf (deci congruente) și alăturate (deci suplementare). Dacă unul are $90°$, cel opus la vârf are tot $90°$, iar cele alăturate lui, fiind suplementare cu $90°$, au și ele $180°-90°=90°$. Deci toate cele patru unghiuri sunt de $90°$. (2p)

Exercițiul 15. (5p) a) $P^{\prime }$ este proiecția (piciorul perpendicularei) punctului $P$ pe dreapta $d$; segmentul $[P{P}^{\prime }]$ reprezintă chiar distanța de la punctul $P$ la dreapta $d$ (cel mai scurt segment care unește $P$ cu un punct al dreptei $d$). (2p) b) Scara $1:2000$ înseamnă că $1$ cm pe hartă reprezintă $2000$ cm în realitate. Distanța reală: $3,5\text{ cm}\cdot 2000=7000$ cm $=70$ m $=70$ m. (3p)

Exercițiul 16. (5p) a) Mediatoarea unui segment $[CD]$ este dreapta perpendiculară pe $[CD]$, dusă prin mijlocul segmentului. (2p) b) $M$ pe mediatoare $\Rightarrow MC=MD$ (proprietatea mediatoarei: orice punct al ei este egal depărtat de capetele segmentului): $4x-3=2x+9\Rightarrow 2x=12\Rightarrow x=6$. Atunci $MC=4\cdot 6-3=21$ cm (verificare: $MD=2\cdot 6+9=21$ cm, deci $MC=MD$). (3p)

Exercițiul 17. (6p) a) Triunghi isoscel $\Rightarrow \hat{B}\equiv \hat{C}$. Suma unghiurilor: $m(\hat{B})+m(\hat{C})=180°-50°=130°$, deci $m(\hat{B})=m(\hat{C})=65°$. (2p) b) Deoarece $d\parallel BC$, unghiul dintre $d$ și $AB$ este altern intern cu $\hat{B}$, deci are $65°$; la fel, unghiul dintre $d$ și $AC$ este altern intern cu $\hat{C}$, deci are tot $65°$. Cele trei unghiuri formate în $A$ pe dreapta $d$ (cele două de $65°$ și unghiul $\widehat{BAC}=50°$ dintre ele) însumează $65°+50°+65°=180°$, exact măsura unghiului alungit determinat de dreapta $d$ — verificare corectă. (2p) c) $AB=AC$; perimetrul $=AB+AC+BC=2\cdot AB+12=34\Rightarrow 2\cdot AB=22\Rightarrow AB=11$ cm. În triunghiurile $ABD$ și $ACD$: $AB=AC$ (ipoteză, ipotenuze egale), $AD$ — latură comună (catetă), iar $m(\widehat{ADB})=m(\widehat{ADC})=90°$. Conform criteriului catetă–ipotenuză (C.I.), $△ABD\equiv △ACD$. Din congruență: $\widehat{BAD}\equiv \widehat{CAD}$, deci $m(\widehat{BAD})=\frac{50°}{2}=25°$, și $BD=DC=\frac{BC}{2}=6$ cm. (2p)

Exercițiul 18. (8p) a) Un patrulater cu laturile opuse paralele două câte două este un paralelogram; având în plus un unghi drept, $ABCD$ este un dreptunghi. (1p) b) Cum $ABNM$ este, la rândul lui, un dreptunghi ($MN\parallel AB$ și $AM\perp AB$, fiindcă $AD\perp AB$), laturile opuse sunt egale, deci $MN=AB=40$ m. (2p) c) Aria terenului: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD=40\cdot 25=1000$ m². (2p) d) $M$ este mijlocul lui $AD$, deci $AM=MD=25:2=12,5$ m. Dreptunghiul $AMNB$ are dimensiunile $40$ m $\times 12,5$ m, deci ${\mathcal{A}}_{AMNB}=40\cdot 12,5=500$ m². La fel, dreptunghiul $MDCN$ are ${\mathcal{A}}_{MDCN}=40\cdot 12,5=500$ m². Suma: $500+500=1000$ m² $={\mathcal{A}}_{ABCD}$ — verificare corectă. (3p)

Se acordă 10 puncte din oficiu. Total: 90 p (itemi) + 10 p (oficiu) = 100 de puncte. Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

Greșeli frecvente de evitat la examen: confundarea c.m.m.d.c. cu c.m.m.m.c. (itemii 3, 4); uitarea semnului la adâncime/numere întregi (itemul 6); aplicarea reducerii procentuale a doua oară la prețul inițial, nu la cel deja redus (itemul 9); confundarea unghiurilor corespondente cu cele alterne interne sau alterne externe (itemii 10, 12, 17); afirmarea paralelismului fără a verifica exact criteriul (congruență, nu suplementaritate, pentru unghiurile alterne — itemul 11); afirmarea unei congruențe de triunghiuri fără a numi criteriul folosit (itemul 17); confundarea mediatoarei (perpendiculară prin mijlocul segmentului) cu bisectoarea unui unghi (itemul 16). La geometrie, desenați mereu figura mare și clară, cu datele trecute pe ea, înainte de a scrie rezolvarea.

Pentru părinți

• Cum se aplică: copilul lucrează individual, fără calculator și fără ajutor, pe foaie separată, numerotând clar fiecare item. Figurile marcate cu 🖼️ se schițează după enunț (cu rigla și, unde e cazul, cu echerul).
• Punctaj total: 100 de puncte = 90 de puncte din cele 18 itemi (punctajul fiecăruia este scris în paranteză) + 10 puncte din oficiu.
• Timp recomandat: 60 de minute, în liniște. Sfat: ~35 de minute pentru itemii 1–9 (numere, rapoarte, procente), ~25 de minute pentru itemii 10–18 (paralelism, perpendicularitate, triunghiuri și patrulatere), ~5 minute de verificare.
• Cum citiți rezultatul: nota se obține împărțind punctajul total la 10 (ex.: 84 de puncte → nota 8,40). 90–100 = foarte bine; 70–89 = bine; 50–69 = satisfăcător; sub 50 = recapitulare țintită, în special la itemii 10–18.
• Accentul acestei simulări: unghiuri corespondente, alterne interne, alterne externe și interne de aceeași parte a secantei, criteriile de paralelism, drepte perpendiculare, distanța punct–dreaptă și mediatoarea — un capitol de geometrie de clasa a VI-a care nu a fost încă exersat separat în simulările anterioare din această serie.

Se acordă 10 puncte din oficiu. La itemii care cer justificare sau clasificare, un rezultat corect fără explicație nu primește punctajul întreg.