Test: Ariile paralelogramului, triunghiului și trapezului

Exerciții

Exercițiul 1 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și motivează pe scurt răspunsul. (4 × 2p)

a) Aria unui paralelogram este egală cu produsul a două laturi alăturate. b) Aria unui romb este egală cu produsul diagonalelor lui. c) Aria unui triunghi este jumătate din produsul dintre o latură și înălțimea corespunzătoare acelei laturi. d) Aria unui trapez este egală cu produsul dintre lungimea liniei mijlocii și înălțime.

Exercițiul 2 (4 puncte)

Un panou informativ are formă dreptunghiulară, cu lungimea de $12\text{cm}$ și lățimea de $5\text{cm}$ (la scară). Calculează aria panoului.

Exercițiul 3 (4 puncte)

O placă de gresie are formă de pătrat, iar conturul (perimetrul) ei măsoară $36\text{cm}$. Află aria plăcii.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Un paralelogram $ABCD$ are baza $AB=14\text{cm}$, latura alăturată $AD=10\text{cm}$, iar înălțimea corespunzătoare bazei $AB$ este de $6\text{cm}$.

a) Calculează aria paralelogramului. (3p) b) Calculează perimetrul paralelogramului. (2p)

Exercițiul 5 (6 puncte)

Un ornament metalic are forma unui romb ale cărui diagonale măsoară $16\text{cm}$ și $12\text{cm}$.

a) Calculează aria rombului. (2p) b) Află lungimea laturii rombului. (2p) c) Calculează perimetrul ornamentului. (2p)

Exercițiul 6 (4 puncte)

Un triunghi are o latură de $10\text{cm}$, iar înălțimea corespunzătoare acelei laturi este de $7\text{cm}$. Calculează aria triunghiului.

Exercițiul 7 (6 puncte)

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=9\text{cm}$ și $AC=12\text{cm}$.

a) Calculează aria triunghiului. (2p) b) Află lungimea ipotenuzei $BC$. (2p) c) Calculează lungimea înălțimii din $A$ pe ipotenuza $BC$. (2p)

Exercițiul 8 (5 puncte)

Un paralelogram are aria de $84{\text{cm}}^2$, iar una dintre laturi (baza) măsoară $12\text{cm}$. Află lungimea înălțimii corespunzătoare acestei baze.

Exercițiul 9 (5 puncte)

Un triunghi are aria de $36{\text{cm}}^2$, iar înălțimea corespunzătoare unei laturi este de $8\text{cm}$. Află lungimea acelei laturi.

Exercițiul 10 (6 puncte)

Un trapez $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ are bazele $AB=18\text{cm}$ și $CD=12\text{cm}$, iar înălțimea de $8\text{cm}$.

a) Calculează lungimea liniei mijlocii a trapezului. (2p) b) Calculează aria trapezului. (4p)

Exercițiul 11 (5 puncte)

Un trapez are aria de $120{\text{cm}}^2$ și bazele de $8\text{cm}$ și $12\text{cm}$. Află lungimea înălțimii trapezului.

Exercițiul 12 (6 puncte)

Explică, prin decupare și recompunere, de ce aria unui paralelogram cu baza $b$ și înălțimea $h$ este $\mathcal{A}=b\cdot h$. Pornește de la faptul că știi aria dreptunghiului și arată cum obții din paralelogram un dreptunghi cu aceeași arie.

Exercițiul 13 (8 puncte)

Secțiunea frontală a unei căsuțe are forma din figură: un dreptunghi cu lățimea de $8\text{m}$ și înălțimea de $5\text{m}$, peste care se află un triunghi (acoperișul) cu baza de $8\text{m}$ și înălțimea de $3\text{m}$.

a) Calculează aria părții dreptunghiulare. (2p) b) Calculează aria părții triunghiulare. (3p) c) Calculează aria totală a secțiunii. (3p)

Exercițiul 14 (6 puncte)

Un triunghi echilateral are latura de $6\text{cm}$.

a) Calculează lungimea înălțimii triunghiului. (3p) b) Calculează aria triunghiului. (3p)

(Rezultatele se lasă exprimate cu radical.)

Exercițiul 15 (8 puncte)

O parcelă de teren are forma unui trapez isoscel cu baza mare $AB=40\text{m}$, baza mică $CD=24\text{m}$ și laturile neparalele de $10\text{m}$ fiecare.

a) Află lungimea înălțimii trapezului. (2p) b) Calculează aria parcelei. (3p) c) Parcela se împrejmuiește cu gard, iar $1\text{m}$ de gard costă $25$ de lei. Cât costă gardul pentru întregul contur? (3p)

Exercițiul 16 (4 puncte)

Un paralelogram are laturile de $8\text{cm}$ și $6\text{cm}$. Înălțimea corespunzătoare laturii de $8\text{cm}$ este de $4,5\text{cm}$.

a) Calculează aria paralelogramului. (2p) b) Află lungimea înălțimii corespunzătoare laturii de $6\text{cm}$. (2p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Exercițiul 1 (8p)

a) Fals. Aria paralelogramului este $\mathcal{A}=b\cdot h$, adică latura (baza) înmulțită cu înălțimea corespunzătoare, nu cu latura alăturată. (2p) b) Fals. Aria rombului este jumătate din produsul diagonalelor: $\mathcal{A}=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$. (2p) c) Adevărat. Aceasta este chiar formula ariei triunghiului: $\mathcal{A}=\frac{b\cdot h}{2}$. (2p) d) Adevărat. Linia mijlocie are lungimea $\frac{B+b}{2}$, deci $\text{l.m.}\cdot h=\frac{(B+b)\cdot h}{2}$, adică formula ariei trapezului. (2p)

Exercițiul 2 (4p)

$\mathcal{A}=L\cdot l=12\cdot 5=60{\text{cm}}^2.$

Exercițiul 3 (4p)

Latura pătratului: $\ell =\frac{36}{4}=9\text{cm}$. (2p) Aria: $\mathcal{A}={\ell }^2=9^2=81{\text{cm}}^2.$ (2p)

Exercițiul 4 (5p)

a) $\mathcal{A}=b\cdot h=14\cdot 6=84{\text{cm}}^2.$ (3p) b) $\mathcal{P}=2(AB+AD)=2(14+10)=2\cdot 24=48\text{cm}.$ (2p)

Exercițiul 5 (6p)

a) $\mathcal{A}=\frac{d_1\cdot d_2}{2}=\frac{16\cdot 12}{2}=\frac{192}{2}=96{\text{cm}}^2.$ (2p) b) Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc, deci se formează un triunghi dreptunghic cu catetele $\frac{16}{2}=8$ și $\frac{12}{2}=6$. Latura: $\ell =\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\text{cm}.$ (2p) c) $\mathcal{P}=4\ell =4\cdot 10=40\text{cm}.$ (2p)

Exercițiul 6 (4p)

$\mathcal{A}=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{10\cdot 7}{2}=\frac{70}{2}=35{\text{cm}}^2.$

Exercițiul 7 (6p)

a) Catetele sunt înălțime și bază una față de cealaltă: $\mathcal{A}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{9\cdot 12}{2}=54{\text{cm}}^2.$ (2p) b) Cu teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\text{cm}.$ (2p) c) Aria se poate scrie și cu ipotenuza ca bază: $\mathcal{A}=\frac{BC\cdot h}{2}$, deci $54=\frac{15\cdot h}{2}\Rightarrow 15h=108\Rightarrow h=7,2\text{cm}.$ (2p)

Exercițiul 8 (5p)

Din $\mathcal{A}=b\cdot h$ rezultă $h=\frac{\mathcal{A}}{b}=\frac{84}{12}=7\text{cm}.$

Exercițiul 9 (5p)

Din $\mathcal{A}=\frac{b\cdot h}{2}$ rezultă $b=\frac{2\mathcal{A}}{h}=\frac{2\cdot 36}{8}=\frac{72}{8}=9\text{cm}.$

Exercițiul 10 (6p)

a) $\text{l.m.}=\frac{AB+CD}{2}=\frac{18+12}{2}=\frac{30}{2}=15\text{cm}.$ (2p) b) $\mathcal{A}=\frac{(B+b)\cdot h}{2}=\text{l.m.}\cdot h=15\cdot 8=120{\text{cm}}^2.$ (4p)

Exercițiul 11 (5p)

Linia mijlocie: $\frac{8+12}{2}=10\text{cm}$. Din $\mathcal{A}=\text{l.m.}\cdot h$ rezultă $h=\frac{\mathcal{A}}{\text{l.m.}}=\frac{120}{10}=12\text{cm}.$

Exercițiul 12 (6p)

Coborâm din unul dintre vârfurile de sus înălțimea $h$ pe baza $b$; se formează un triunghi dreptunghic „în plus" în stânga paralelogramului. (2p) Decupăm acest triunghi și îl translatăm (îl mutăm) în partea dreaptă, unde se potrivește exact (laturile neparalele ale paralelogramului sunt congruente și paralele). (2p) Figura obținută este un dreptunghi cu aceeași bază $b$ și aceeași înălțime $h$; aria nu s-a schimbat (am doar mutat o bucată). Cum aria dreptunghiului este $b\cdot h$, rezultă că și aria paralelogramului este $\mathcal{A}=b\cdot h.$ (2p)

Exercițiul 13 (8p)

a) Aria dreptunghiului: ${\mathcal{A}}_{\text{dr}}=8\cdot 5=40{\text{m}}^2.$ (2p) b) Aria triunghiului: ${\mathcal{A}}_{△}=\frac{8\cdot 3}{2}=\frac{24}{2}=12{\text{m}}^2.$ (3p) c) Aria totală: $\mathcal{A}=40+12=52{\text{m}}^2.$ (3p)

Exercițiul 14 (6p)

a) Înălțimea împarte triunghiul echilateral în două triunghiuri dreptunghice cu ipotenuza $6$ și o catetă $\frac{6}{2}=3$. Cu teorema lui Pitagora: $h=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\text{cm}.$ (3p) b) $\mathcal{A}=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{6\cdot 3\sqrt{3}}{2}=\frac{18\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2.$ (3p) (Se acceptă și formula directă $\mathcal{A}=\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$.)

Exercițiul 15 (8p)

a) Proiecția unei laturi neparalele pe baza mare este $\frac{40-24}{2}=8\text{m}$. Cu teorema lui Pitagora: $h=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6\text{m}.$ (2p) b) $\mathcal{A}=\frac{(40+24)\cdot 6}{2}=\frac{64\cdot 6}{2}=\frac{384}{2}=192{\text{m}}^2.$ (3p) c) Perimetrul (conturul): $40+24+10+10=84\text{m}$. Costul gardului: $84\cdot 25=2100$ lei. (3p)

Exercițiul 16 (4p)

a) $\mathcal{A}=8\cdot 4,5=36{\text{cm}}^2.$ (2p) b) Aria este aceeași, indiferent de latura aleasă ca bază: $\mathcal{A}=6\cdot h$, deci $h=\frac{36}{6}=6\text{cm}.$ (2p)

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică unitatea „Perimetre și arii ale patrulaterelor și triunghiului" de la clasa a VII-a. Sunt vizate: deducerea formulelor de arie (paralelogramul din dreptunghi, triunghiul din paralelogram) și aplicarea lor la dreptunghi, pătrat, paralelogram, romb, triunghi și trapez, inclusiv problema inversă — aflarea unei baze sau a unei înălțimi atunci când se cunoaște aria. Itemii sunt gradați ca dificultate: de la aplicarea directă a formulelor, la raționament, justificare și probleme aplicate în context real.

• Timp recomandat: 50 de minute (lucru individual, la clasă sau acasă).
• Punctaj: fiecare item are punctajul trecut în paranteză. Suma itemilor este de 90 de puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu, deci total 100 de puncte.
• Materiale permise: riglă, echer, creion; calculatorul nu este necesar (rezultatele ies numere „frumoase" sau exprimate cu radicali).
• Cum se corectează: folosiți secțiunea Barem și răspunsuri de la final. La itemii de justificare se punctează raționamentul corect, chiar dacă redactarea diferă de model. Unitatea de măsură corectă face parte din răspuns.

Notă privind programa: testul folosește doar noțiuni din clasa a VII-a (geometrie în plan, teorema lui Pitagora, radicali). Nu apar corpuri geometrice, formule de calcul prescurtat sau noțiunea formală de funcție.