Test: Arii, raze și relații metrice în triunghi

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Exerciții

Partea I – Formulele de arie și trecerea de la una la alta

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Aria triunghiului cu $b=6$, $c=10$ și $m(\angle A)=30^{\circ }$ este: A. $15$; B. $30$; C. $15\sqrt{3}$; D. $60$.

b) Într-un triunghi cu aria $\mathcal{S}$ și semiperimetrul $p$, raza cercului înscris este: A. $\frac{\mathcal{S}}{p}$; B. $\frac{p}{\mathcal{S}}$; C. $\frac{2\mathcal{S}}{p}$; D. $\frac{\mathcal{S}}{2p}$.

c) Raza cercului circumscris triunghiului cu laturile $5$, $12$, $13$ este: A. $5$; B. $6$; C. $6,5$; D. $13$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=5$, $AC=8$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$.

a) Calculează aria triunghiului folosind formula $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A$. (2 p) b) Calculează $BC$. (2 p) c) Verifică rezultatul de la a) recalculând aria cu formula lui Heron. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Triunghiul $ABC$ are laturile $6$, $8$ și $10$. a) Arată că triunghiul este dreptunghic și calculează aria lui. (2 p) b) Calculează lungimea înălțimii duse din vârful unghiului drept. (2 p) c) Calculează razele $r$ și $R$. (2 p)

Exercițiul 4 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Două triunghiuri cu baze de aceeași lungime și înălțimi corespunzătoare egale au arii egale." b) „Formula lui Heron se poate aplica oricăror trei numere pozitive $a$, $b$, $c$." c) „Într-un triunghi, aria este egală cu produsul dintre raza cercului înscris și semiperimetru." d) „Mediana din $A$ împarte latura $BC$ în segmente proporționale cu laturile alăturate lor."

Partea a II-a – Heron, raze, bisectoare și mediană

Exercițiul 5 (8 puncte)

Triunghiul $ABC$ are laturile $a=13$, $b=14$, $c=15$. a) Calculează semiperimetrul și aria, folosind formula lui Heron. (3 p) b) Calculează lungimile celor trei înălțimi. (2 p) c) Calculează raza cercului înscris. (1,5 p) d) Calculează raza cercului circumscris. (1,5 p)

Exercițiul 6 (8 puncte)

În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=8$, $AC=6$ și $BC=7$. Bisectoarea unghiului $A$ intersectează latura $(BC)$ în punctul $D$.

a) Calculează $BD$ și $DC$. (3 p) b) Știind că $A{D}^2=AB\cdot AC-BD\cdot DC$, calculează $AD$. (2 p) c) Verifică rezultatul de la b) cu relația lui Stewart scrisă pentru punctul $D$: $$A{C}^2\cdot BD+A{B}^2\cdot DC=BC\left(A{D}^2+BD\cdot DC\right).$$ (3 p)

Exercițiul 7 (6 puncte)

În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=9$, $AC=7$ și $BC=8$, iar $M$ este mijlocul laturii $(BC)$. a) Calculează $AM$, folosind formula medianei $m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$. (3 p) b) Calculează aria triunghiului $ABC$ și deduce aria triunghiului $ABM$, justificând răspunsul. (3 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

(Problemă aplicată.) Un teren are forma unui triunghi cu laturile de $20$ m, $21$ m și $29$ m.

a) Arată că terenul are forma unui triunghi dreptunghic. (2 p) b) Calculează aria terenului prin două metode diferite. (2 p) c) În mijlocul terenului se sapă o fântână circulară, tangentă la toate cele trei laturi. Calculează raza fântânii. (2 p)

Exercițiul 9 (5 puncte)

Triunghiul $ABC$ are laturile $7$, $15$ și $20$. a) Calculează aria cu formula lui Heron. (2 p) b) Calculează raza cercului înscris. (1,5 p) c) Calculează raza cercului circumscris. (1,5 p)

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip examen

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Fie $I$ centrul cercului înscris în triunghiul $ABC$ și $r$ raza acestuia.

a) Demonstrează că $\mathcal{S}=r\cdot p$, unde $\mathcal{S}$ este aria triunghiului și $p$ semiperimetrul, și deduce formula $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$. (5 p) b) Aplică formula pentru triunghiul cu laturile $13$, $14$, $15$ (aria $84$) și pentru triunghiul dreptunghic cu catetele $6$ și $8$. (3 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Fie $D$ un punct pe latura $(BC)$ a triunghiului $ABC$, cu $BD=m$, $DC=n$ și $AD=d$. a) Demonstrează relația lui Stewart $b^{2}m+c^{2}n=a\left(d^2+mn\right)$, aplicând teorema cosinusului în triunghiurile $ABD$ și $ADC$. (5 p) b) Deduce din ea formula medianei $m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$ și aplic-o triunghiului isoscel cu $BC=10$ și $AB=AC=13$. (3 p)

Exercițiul 12 (9 puncte)

În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=10$, $AC=6$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$. a) Calculează $BC$. (2 p) b) Calculează aria triunghiului prin două metode: cu sinusul și cu formula lui Heron. (3 p) c) Calculează razele $r$ și $R$. (2 p) d) Bisectoarea unghiului $A$ taie latura $(BC)$ în $D$. Calculează $BD$, $DC$ și $AD$. (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=9$, $BC=10$ și $CA=17$. a) Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $36$. (3 p) b) Determinați raza cercului înscris și raza cercului circumscris triunghiului $ABC$. (3 p) c) Calculați distanța de la punctul $C$ la dreapta $AB$. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) A. $\mathcal{S}=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 10\cdot \sin 30^{\circ }=30\cdot \frac{1}{2}=15$. (Varianta D este rezultatul obținut dacă se uită atât factorul $\frac{1}{2}$, cât și sinusul.) b) A. Din $\mathcal{S}=r\cdot p$ rezultă $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$. Varianta C ar corespunde formulei greșite cu perimetrul în loc de semiperimetru. c) C. Cum $5^2+12^2=169=13^2$, triunghiul este dreptunghic, iar raza cercului circumscris este jumătate din ipotenuză: $R=6,5$. (Control cu formula generală: $\mathcal{S}=\frac{5\cdot 12}{2}=30$ și $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}=\frac{780}{120}=6,5$ ✓.)

Exercițiul 2. (6 p)

a) (2 p) $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \sin 60^{\circ }=20\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\approx 17,32$.

b) (2 p) Teorema cosinusului: $$B{C}^2=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=89-40=49\Rightarrow BC=7.$$

c) (2 p) Laturile sunt $5$, $7$, $8$ (inegalitatea triunghiului: $5+7>8$ ✓), deci $p=\frac{5+7+8}{2}=10$ (1 p) și $$\mathcal{S}=\sqrt{10(10-5)(10-7)(10-8)}=\sqrt{10\cdot 5\cdot 3\cdot 2}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}✓.$$ (1 p) Cele două metode dau aceeași valoare — verificarea încrucișată a reușit.

Exercițiul 3. (6 p)

a) (2 p) $6^2+8^2=36+64=100=10^2$, deci, conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic, cu ipotenuza $10$ (1 p). Aria: $\mathcal{S}=\frac{6\cdot 8}{2}=24$ (1 p).

b) (2 p) Înălțimea din vârful unghiului drept cade pe ipotenuză, deci $h=\frac{2\mathcal{S}}{10}=\frac{48}{10}=\frac{24}{5}=4,8$.

c) (2 p) $p=12$, deci $r=\frac{\mathcal{S}}{p}=\frac{24}{12}=2$ (1 p); $R=\frac{\text{ipotenuza}}{2}=5$, valoare confirmată de $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}=\frac{480}{96}=5$ (1 p).

Exercițiul 4. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) A. Aria este $\frac{\text{baza˘}\times \text{ıˆna˘lțime}}{2}$: dacă ambii factori coincid, ariile coincid. (Aceasta este ideea din spatele faptului că o mediană împarte triunghiul în două triunghiuri echivalente.)

b) F. Cele trei numere trebuie să respecte inegalitatea triunghiului, altfel nu există niciun triunghi cu acele laturi. Contraexemplu: $a=1$, $b=2$, $c=5$ dau $p=4$ și $p-c=-1<0$, deci radicandul $p(p-a)(p-b)(p-c)=4\cdot 3\cdot 2\cdot (-1)<0$ — radicalul nici nu se poate calcula.

c) A. Este chiar relația $\mathcal{S}=r\cdot p$: unind centrul cercului înscris cu vârfurile, triunghiul se descompune în trei triunghiuri de înălțime $r$ (vezi itemul 10).

d) F. Proprietatea de proporționalitate aparține bisectoarei ($\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$); mediana împarte latura $BC$ în două segmente egale, indiferent de laturile alăturate. Cele două coincid doar în triunghiul isoscel cu $AB=AC$.

Exercițiul 5. (8 p)

a) (3 p) Inegalitatea triunghiului: $13+14>15$ ✓. Semiperimetrul: $p=\frac{13+14+15}{2}=21$ (1 p). Heron — (1 p) pentru înlocuirea corectă și (1 p) pentru calculul final: $$\mathcal{S}=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84$$

b) (2 p) Din $h_x=\frac{2\mathcal{S}}{x}$: $$h_a=\frac{168}{13}\approx 12,92;h_b=\frac{168}{14}=12;h_c=\frac{168}{15}=\frac{56}{5}=11,2.$$ (Se acordă 2 p pentru toate trei, 1 p pentru cel puțin una corectă. Observă că cea mai mare înălțime corespunde celei mai mici laturi.)

c) (1,5 p) $r=\frac{\mathcal{S}}{p}=\frac{84}{21}=4$.

d) (1,5 p) $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}=\frac{13\cdot 14\cdot 15}{4\cdot 84}=\frac{2730}{336}=\frac{65}{8}=8,125$.

Exercițiul 6. (8 p)

a) (3 p) Teorema bisectoarei (1 p): $$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.$$ Cum $BD+DC=BC=7$, împărțim $7$ în părți proporționale cu $4$ și $3$ (1 p): $$BD=\frac{7\cdot 8}{8+6}=4,DC=\frac{7\cdot 6}{8+6}=3.$$ (1 p)

b) (2 p) $A{D}^2=8\cdot 6-4\cdot 3=48-12=36$, deci $\mathbf{AD}=6$.

c) (3 p) Membrul stâng (1 p): $A{C}^2\cdot BD+A{B}^2\cdot DC=36\cdot 4+64\cdot 3=144+192=336$. Membrul drept (1 p): $BC\left(A{D}^2+BD\cdot DC\right)=7(36+12)=7\cdot 48=336$. Cele două sunt egale ✓, deci valoarea $AD=6$ este confirmată (1 p). (Triunghiul există: $6+7>8$ ✓.)

Exercițiul 7. (6 p)

a) (3 p) Mediana din $A$ cade pe latura $a=BC=8$, iar $b=CA=7$, $c=AB=9$ (1 p): $$m_a^2=\frac{2\cdot 49+2\cdot 81-64}{4}=\frac{98+162-64}{4}=\frac{196}{4}=49.$$ Calculul corect al lui $m_a^2$ (1,5 p); de aici $AM=7$ (0,5 p).

b) (3 p) $p=12$, iar Heron dă (1,5 p) $$\mathcal{S}=\sqrt{12\cdot 5\cdot 4\cdot 3}=\sqrt{720}=12\sqrt{5}\approx 26,83.$$ Mediana $AM$ împarte triunghiul în două triunghiuri cu baze egale ($BM=MC$) și cu aceeași înălțime din $A$, deci de arii egale (1 p): $${\mathcal{S}}_{ABM}=\frac{{\mathcal{S}}_{ABC}}{2}=6\sqrt{5}\approx 13,42.$$ (0,5 p)

Exercițiul 8. (6 p)

a) (2 p) $20^2+21^2=400+441=841=29^2$, deci, conform reciprocei teoremei lui Pitagora, unghiul dintre laturile de $20$ m și $21$ m este drept.

b) (2 p) Metoda 1 — catetele (1 p): $\mathcal{S}=\frac{20\cdot 21}{2}=210$ m². Metoda 2 — Heron (1 p): $p=\frac{20+21+29}{2}=35$ și $$\mathcal{S}=\sqrt{35\cdot 15\cdot 14\cdot 6}=\sqrt{44100}=210✓$$

c) (2 p) Cercul tangent la toate cele trei laturi este cercul înscris, deci raza cerută este (1 p) $$r=\frac{\mathcal{S}}{p}=\frac{210}{35}=6\text{m}.$$ (1 p) (Control cu formula pentru triunghiul dreptunghic: $r=\frac{20+21-29}{2}=6$ ✓.)

Exercițiul 9. (5 p)

a) (2 p) Inegalitatea triunghiului: $7+15=22>20$ ✓. Semiperimetrul: $p=\frac{7+15+20}{2}=21$ (0,5 p), deci $$\mathcal{S}=\sqrt{21(21-7)(21-15)(21-20)}=\sqrt{21\cdot 14\cdot 6\cdot 1}=\sqrt{1764}=42.$$ (1,5 p)

b) (1,5 p) $r=\frac{\mathcal{S}}{p}=\frac{42}{21}=2$.

c) (1,5 p) $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}=\frac{7\cdot 15\cdot 20}{4\cdot 42}=\frac{2100}{168}=\frac{25}{2}=12,5$. (Observă cât de diferite sunt cele două raze: triunghiul este foarte „turtit", deci cercul înscris e mic, iar cel circumscris — mare.)

Exercițiul 10. (8 p) — redactare completă.

a) Demonstrația (5 p). Centrul $I$ al cercului înscris este egal depărtat de cele trei laturi, distanța comună fiind chiar raza $r$ (razele duse la punctele de tangență sunt perpendiculare pe laturi) (1 p).

Unind $I$ cu vârfurile $A$, $B$, $C$, triunghiul $ABC$ se descompune în trei triunghiuri fără puncte interioare comune: $IBC$, $ICA$, $IAB$ (1 p). Ariile lor se calculează luând ca baze laturile triunghiului, fiecare cu înălțimea $r$ (1,5 p): $${\mathcal{S}}_{IBC}=\frac{a\cdot r}{2},{\mathcal{S}}_{ICA}=\frac{b\cdot r}{2},{\mathcal{S}}_{IAB}=\frac{c\cdot r}{2}.$$ Adunând (1 p): $$\mathcal{S}=\frac{ar}{2}+\frac{br}{2}+\frac{cr}{2}=r\cdot \frac{a+b+c}{2}=r\cdot p.$$ Cum $p>0$, împărțind obținem $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$ (0,5 p). $■$

b) Aplicații (3 p). – Pentru triunghiul $13$, $14$, $15$: $p=21$ și $\mathcal{S}=84$, deci $r=\frac{84}{21}=4$ (1,5 p). – Pentru triunghiul dreptunghic cu catetele $6$ și $8$: ipotenuza este $10$, $\mathcal{S}=24$, $p=12$, deci $r=\frac{24}{12}=2$ (1,5 p). (Control cu formula specifică triunghiului dreptunghic: $r=\frac{6+8-10}{2}=2$ ✓.)

Exercițiul 11. (8 p) — redactare completă.

a) Demonstrația relației lui Stewart (5 p). Notăm $\theta =m(\angle ADB)$; atunci $m(\angle ADC)=180^{\circ }-\theta$, deci $\cos (\angle ADC)=-\cos \theta$ (1 p).

Teorema cosinusului în triunghiul $ABD$, pentru latura $AB=c$ (1 p): $$c^2=d^2+m^2-2dm\cos \theta .$$ Teorema cosinusului în triunghiul $ADC$, pentru latura $AC=b$ (1 p): $$b^2=d^2+n^2+2dn\cos \theta .$$ Înmulțim prima relație cu $n$, a doua cu $m$ și adunăm — termenii cu $\cos \theta$ se reduc, fiindcă $-2dmn\cos \theta +2dmn\cos \theta =0$ (1,5 p): $$c^{2}n+b^{2}m=d^2(m+n)+m^{2}n+n^{2}m=d^{2}a+mn(m+n)=a\left(d^2+mn\right),$$ unde am folosit $m+n=a$. Aceasta este exact relația lui Stewart (0,5 p). $■$

b) Formula medianei și aplicația (3 p). Pentru mediană, $D$ este mijlocul lui $(BC)$, deci $m=n=\frac{a}{2}$ și $d=m_a$ (0,5 p): $$b^2\cdot \frac{a}{2}+c^2\cdot \frac{a}{2}=a\left(m_a^2+\frac{a^2}{4}\right).$$ Împărțim la $a\ne 0$ și izolăm $m_a^2$ (1 p): $$m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}.$$ Aplicație pentru $a=10$, $b=c=13$ (1 p): $$m_a^2=\frac{2\cdot 169+2\cdot 169-100}{4}=\frac{576}{4}=144\Rightarrow m_a=12.$$ Verificare (0,5 p): în triunghiul isoscel, mediana din vârf este și înălțime, deci $\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$ ✓.

Exercițiul 12. (9 p)

a) (2 p) Cu $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$: $$B{C}^2=100+36-2\cdot 10\cdot 6\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=136+60=196\Rightarrow \mathbf{BC}=14.$$ (Verificare: $14<10+6=16$ ✓.)

b) (3 p) Metoda 1 — cu sinusul (1,5 p): $$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin 120^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 60\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}\approx 25,98.$$ Metoda 2 — Heron (1,5 p): $p=\frac{6+10+14}{2}=15$ și $$\mathcal{S}=\sqrt{15(15-6)(15-10)(15-14)}=\sqrt{15\cdot 9\cdot 5\cdot 1}=\sqrt{675}=15\sqrt{3}✓$$

c) (2 p) $r=\frac{\mathcal{S}}{p}=\frac{15\sqrt{3}}{15}=\sqrt{3}\approx 1,73$ (1 p); $$R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}=\frac{14\cdot 6\cdot 10}{4\cdot 15\sqrt{3}}=\frac{840}{60\sqrt{3}}=\frac{14}{\sqrt{3}}=\frac{14\sqrt{3}}{3}\approx 8,08.$$ (1 p) (Control cu teorema sinusurilor: $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{14}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{14}{\sqrt{3}}$ ✓.)

d) (2 p) Teorema bisectoarei: $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$, iar $BD+DC=14$, deci (1 p) $$BD=\frac{14\cdot 10}{16}=\frac{35}{4}=8,75,DC=\frac{14\cdot 6}{16}=\frac{21}{4}=5,25.$$ Lungimea bisectoarei (1 p): $$A{D}^2=AB\cdot AC-BD\cdot DC=60-\frac{35}{4}\cdot \frac{21}{4}=60-\frac{735}{16}=\frac{960-735}{16}=\frac{225}{16}\Rightarrow AD=\frac{15}{4}=3,75.$$ (Control cu relația lui Stewart: $36\cdot \frac{35}{4}+100\cdot \frac{21}{4}=315+525=840$, iar $14\left(\frac{225}{16}+\frac{735}{16}\right)=14\cdot 60=840$ ✓.)

Exercițiul 13. (8 p)

a) (3 p) Inegalitatea triunghiului: $9+10=19>17$ ✓, deci triunghiul există. Semiperimetrul este $p=\frac{9+10+17}{2}=18$ (1 p), iar formula lui Heron dă (1,5 p): $$\mathcal{S}=\sqrt{18(18-9)(18-10)(18-17)}=\sqrt{18\cdot 9\cdot 8\cdot 1}=\sqrt{1296}=36.$$ (0,5 p)

b) (3 p) $r=\frac{\mathcal{S}}{p}=\frac{36}{18}=2$ (1,5 p); $$R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}=\frac{9\cdot 10\cdot 17}{4\cdot 36}=\frac{1530}{144}=\frac{85}{8}=10,625.$$ (1,5 p)

c) (2 p) Distanța de la $C$ la dreapta $AB$ este lungimea înălțimii duse din $C$, iar baza corespunzătoare este $AB=9$ (1 p): $$h_C=\frac{2\mathcal{S}}{AB}=\frac{72}{9}=8.$$ (1 p) (Control: aria calculată invers, $\frac{9\cdot 8}{2}=36$ ✓.)

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică arsenalul metric complet al triunghiului: cele patru formule de arie și trecerea liberă de la una la alta, razele celor două cercuri asociate triunghiului și relațiile care măsoară segmente din interiorul lui. Sunt evaluate: aria cu sinus ($\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\sin C$), formula lui Heron (aria din cele trei laturi), aria ca produs $r\cdot p$ și legătura $\mathcal{S}=\frac{abc}{4R}$; raza cercului înscris $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$ și raza cercului circumscris $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}$; teorema bisectoarei, relația lui Stewart și formula medianei. Un obicei esențial pe care testul îl exersează sistematic este verificarea aceleiași arii prin două metode diferite — cel mai bun detector de erori de calcul. Ultima parte cere demonstrații redactate complet, în stilul Bacalaureatului M1.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Rezultatele iraționale rămân în formă exactă. Înainte de orice calcul de arie se verifică inegalitatea triunghiului — dacă nu e respectată, formula lui Heron dă un radicand negativ.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe alegerea formulei potrivite datelor și pe distincția dintre $r$ și $R$.
• Formule de reținut: notațiile sunt cele consacrate — $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$, $\mathcal{S}$ = aria, iar $p=\frac{a+b+c}{2}$ este semiperimetrul (jumătatea perimetrului, nu perimetrul!). Ariile: $\mathcal{S}=\frac{b\cdot h_b}{2}$; $\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B$; formula lui Heron $\mathcal{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$; $\mathcal{S}=r\cdot p$; $\mathcal{S}=\frac{abc}{4R}$. Razele: $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$ (cerc înscris, tangent la toate laturile), $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}=\frac{a}{2\sin A}$ (cerc circumscris, care trece prin vârfuri); într-un triunghi dreptunghic, $R=\frac{\text{ipotenuza}}{2}$ și $r=\frac{{\text{cateta}}_1+{\text{cateta}}_2-\text{ipotenuza}}{2}$. Înălțimea: $h_a=\frac{2\mathcal{S}}{a}$. Teorema bisectoarei: dacă bisectoarea din $A$ taie $(BC)$ în $D$, atunci $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}$, iar lungimea ei este dată de $A{D}^2=AB\cdot AC-BD\cdot DC$. Relația lui Stewart: pentru $D\in (BC)$ cu $BD=m$, $DC=n$, $AD=d$ și $m+n=a$: $b^{2}m+c^{2}n=a\left(d^2+mn\right)$. Mediana: $m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".