Test: Asemănarea triunghiurilor

Exerciții

Exercițiul 1 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și motivează pe scurt răspunsul. (4 × 2p)

a) Două triunghiuri asemenea au unghiurile respectiv congruente și laturile respectiv proporționale. b) Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu raportul lor de asemănare. c) Orice două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea. d) Într-un triunghi, o dreaptă paralelă cu una dintre laturi determină un triunghi asemenea cu triunghiul inițial.

Exercițiul 2 (4 puncte)

În triunghiul $ABC$, punctul $M$ este pe latura $AB$, iar $N$ pe latura $AC$, astfel încât $MN\parallel BC$. Se cunosc $AM=6\text{cm}$, $MB=9\text{cm}$ și $AN=8\text{cm}$. Calculează lungimea segmentului $NC$.

Exercițiul 3 (6 puncte)

Pentru fiecare configurație, punctul $M$ este pe latura $AB$, iar $N$ pe latura $AC$ a triunghiului $ABC$. Verifică prin calcul dacă $MN\parallel BC$ (folosește reciproca teoremei lui Thales) și precizează concluzia. (2 × 3p)

a) $AM=4\text{cm}$, $MB=6\text{cm}$, $AN=6\text{cm}$, $NC=9\text{cm}$. b) $AM=5\text{cm}$, $MB=3\text{cm}$, $AN=8\text{cm}$, $NC=6\text{cm}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Triunghiurile $ABC$ și $MNP$ sunt asemenea, cu $△ABC\sim △MNP$, în care $AB=8\text{cm}$ și $MN=12\text{cm}$.

a) Determină raportul de asemănare $k=\frac{AB}{MN}$. (2p) b) Știind că $BC=10\text{cm}$, află lungimea laturii $NP$. (3p)

Exercițiul 5 (6 puncte)

Pentru fiecare situație, precizează care criteriu de asemănare a triunghiurilor se aplică: UU (unghi–unghi), LUL (latură–unghi–latură) sau LLL (latură–latură–latură). (3 × 2p)

a) Două triunghiuri au două perechi de unghiuri respectiv congruente. b) Două triunghiuri au toate cele trei perechi de laturi respectiv proporționale. c) Două triunghiuri au câte un unghi congruent, cuprins între laturi respectiv proporționale.

Exercițiul 6 (6 puncte)

În triunghiul $ABC$, $D\in AB$ și $E\in AC$ astfel încât $DE\parallel BC$. Se cunosc $AD=6\text{cm}$, $DB=4\text{cm}$ și $DE=9\text{cm}$.

a) Justifică de ce $△ADE\sim △ABC$ (teorema fundamentală a asemănării). (2p) b) Calculează lungimea laturii $BC$. (4p)

Exercițiul 7 (6 puncte)

Triunghiurile $ABC$ și $DEF$ sunt asemenea, cu raportul de asemănare $\frac{AB}{DE}=\frac{2}{3}$.

a) Cât este raportul ariilor $\frac{{\mathcal{A}}_{ABC}}{{\mathcal{A}}_{DEF}}$? (2p) b) Știind că aria triunghiului $DEF$ este $63{\text{cm}}^2$, calculează aria triunghiului $ABC$. (4p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

La aceeași oră a zilei, un om înalt de $1,6\text{m}$ aruncă o umbră de $2\text{m}$, iar un copac aruncă o umbră de $15\text{m}$. Folosind asemănarea triunghiurilor (razele soarelui fiind paralele), calculează înălțimea copacului. Precizează pe scurt de ce triunghiurile sunt asemenea.

Exercițiul 9 (5 puncte)

Un segment $AB$ de lungime $48\text{cm}$ trebuie împărțit, prin puncte interioare $M$ și $N$ (în ordinea $A$, $M$, $N$, $B$), în trei părți proporționale cu numerele $3$, $4$ și $5$. Află lungimile segmentelor $AM$, $MN$ și $NB$.

Exercițiul 10 (6 puncte)

Patru drepte paralele echidistante taie o secantă $d$ în punctele $A$, $B$, $C$, $D$ (în această ordine), astfel încât $AB=BC=CD$. Aceleași drepte taie o a doua secantă $d^{\prime }$ în punctele $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$, $D^{\prime }$, cu $A^{\prime }{D}^{\prime }=27\text{cm}$.

a) Ce fel de segmente ($A^{\prime }{B}^{\prime }$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $C^{\prime }{D}^{\prime }$) determină dreptele pe secanta $d^{\prime }$? Justifică prin teorema paralelelor echidistante. (3p) b) Calculează lungimea segmentului $A^{\prime }{B}^{\prime }$. (3p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

În trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, diagonalele $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $O$. Se cunosc $AB=12\text{cm}$ și $CD=8\text{cm}$.

a) Arată că $△AOB\sim △COD$ și precizează criteriul folosit. (3p) b) Știind că $OC=6\text{cm}$, calculează lungimea segmentului $OA$. (2p) c) Calculează raportul ariilor $\frac{{\mathcal{A}}_{AOB}}{{\mathcal{A}}_{COD}}$. (3p)

Exercițiul 12 (6 puncte)

Pentru a afla lățimea $DE$ a unui râu, se folosesc triunghiuri asemenea. Punctele sunt alese astfel încât $△ABC\sim △ADE$, cu $BC\parallel DE$. Măsurătorile pe mal dau: $AB=8\text{m}$, $BD=12\text{m}$ și $BC=6\text{m}$. Calculează lățimea $DE$ a râului.

Exercițiul 13 (6 puncte)

În triunghiul $ABC$, punctele $D$ și $E$ sunt mijloacele laturilor $AB$, respectiv $AC$.

a) Demonstrează că $△ADE\sim △ABC$, precizând criteriul de asemănare folosit. (4p) b) Deduce care este raportul de asemănare și arată că $DE=\frac{BC}{2}$. (2p)

Exercițiul 14 (8 puncte)

Triunghiurile $ABC$ și $DEF$ sunt asemenea, $△ABC\sim △DEF$. Perimetrul triunghiului $ABC$ este $30\text{cm}$, iar perimetrul triunghiului $DEF$ este $45\text{cm}$.

a) Determină raportul de asemănare $k=\frac{AB}{DE}$. (2p) b) Știind că $AB=8\text{cm}$, află lungimea laturii $DE$. (2p) c) Cât este raportul ariilor $\frac{{\mathcal{A}}_{ABC}}{{\mathcal{A}}_{DEF}}$? (2p) d) Știind că aria triunghiului $DEF$ este $81{\text{cm}}^2$, calculează aria triunghiului $ABC$. (2p)

Exercițiul 15 (4 puncte)

Două triunghiuri sunt asemenea, cu raportul de asemănare $\frac{3}{5}$. Înălțimea corespunzătoare unei laturi în primul triunghi este de $9\text{cm}$. Calculează lungimea înălțimii corespunzătoare (omoloage) din al doilea triunghi.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Exercițiul 1 (8p)

a) Adevărat. Este chiar definiția triunghiurilor asemenea: unghiuri respectiv congruente și laturi respectiv proporționale. (2p) b) Fals. Raportul ariilor este egal cu pătratul raportului de asemănare: $\frac{{\mathcal{A}}_1}{{\mathcal{A}}_2}=k^2$. (2p) c) Fals. Nu este suficient să fie amândouă dreptunghice; ele sunt asemenea doar dacă mai au și un unghi ascuțit congruent (criteriul UU). (2p) d) Adevărat. Aceasta este teorema fundamentală a asemănării: o paralelă la o latură determină un triunghi asemenea cu cel inițial. (2p)

Exercițiul 2 (4p)

Din teorema lui Thales ($MN\parallel BC$): $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$, deci $$\frac{6}{9}=\frac{8}{NC}\Rightarrow NC=\frac{8\cdot 9}{6}=12\text{cm}.$$

Exercițiul 3 (6p)

a) $\frac{AM}{MB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ și $\frac{AN}{NC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$. Rapoartele sunt egale, deci, prin reciproca teoremei lui Thales, $MN\parallel BC$. (3p) b) $\frac{AM}{MB}=\frac{5}{3}$ și $\frac{AN}{NC}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$. Cum $\frac{5}{3}\ne \frac{4}{3}$, rapoartele nu sunt egale, deci $MN$ nu este paralel cu $BC$. (3p)

Exercițiul 4 (5p)

a) $k=\frac{AB}{MN}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}.$ (2p) b) Laturile omoloage sunt proporționale: $\frac{BC}{NP}=k=\frac{2}{3}$, deci $$NP=\frac{BC\cdot 3}{2}=\frac{10\cdot 3}{2}=15\text{cm}.$$ (3p)

Exercițiul 5 (6p)

a) UU (unghi–unghi): dacă două perechi de unghiuri sunt congruente, și a treia este (suma $180^{\circ }$), deci triunghiurile sunt asemenea. (2p) b) LLL (latură–latură–latură): toate cele trei perechi de laturi sunt proporționale. (2p) c) LUL (latură–unghi–latură): un unghi congruent cuprins între laturi proporționale. (2p)

Exercițiul 6 (6p)

a) Deoarece $DE\parallel BC$, unghiurile corespondente sunt congruente ($\widehat{ADE}=\widehat{ABC}$, $\widehat{AED}=\widehat{ACB}$), iar unghiul $A$ este comun; prin criteriul UU (teorema fundamentală a asemănării), $△ADE\sim △ABC$. (2p) b) Raportul de asemănare: $\frac{AD}{AB}=\frac{6}{6+4}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$. Cum $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$: $$\frac{9}{BC}=\frac{3}{5}\Rightarrow BC=\frac{9\cdot 5}{3}=15\text{cm}.$$ (4p)

Exercițiul 7 (6p)

a) Raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare: $$\frac{{\mathcal{A}}_{ABC}}{{\mathcal{A}}_{DEF}}={\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}.$$ (2p) b) ${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{4}{9}\cdot {\mathcal{A}}_{DEF}=\frac{4}{9}\cdot 63=4\cdot 7=28{\text{cm}}^2.$ (4p)

Exercițiul 8 (6p)

Razele soarelui fiind paralele, cele două triunghiuri dreptunghice (om + umbră și copac + umbră) au unghiul făcut de rază cu solul congruent și unghiul drept comun ca tip; sunt asemenea prin criteriul UU. (2p) Din proporționalitatea laturilor omoloage: $$\frac{1,6}{2}=\frac{h}{15}\Rightarrow h=\frac{1,6\cdot 15}{2}=\frac{24}{2}=12\text{m}.$$ (4p) Înălțimea copacului este de $12\text{m}$.

Exercițiul 9 (5p)

Împărțim lungimea în $3+4+5=12$ părți egale: fiecare parte are $\frac{48}{12}=4\text{cm}$. (2p)

• $AM=3\cdot 4=12\text{cm}$
• $MN=4\cdot 4=16\text{cm}$
• $NB=5\cdot 4=20\text{cm}$ (3p)

Verificare: $12+16+20=48\text{cm}.$

Exercițiul 10 (6p)

a) Dreptele paralele fiind echidistante, ele determină pe $d$ segmente egale ($AB=BC=CD$). Prin teorema paralelelor echidistante, dreptele determină segmente egale și pe orice altă secantă, deci $A^{\prime }{B}^{\prime }=B^{\prime }{C}^{\prime }=C^{\prime }{D}^{\prime }$. (3p) b) Cele trei segmente egale însumează $A^{\prime }{D}^{\prime }=27\text{cm}$, deci $$A^{\prime }{B}^{\prime }=\frac{27}{3}=9\text{cm}.$$ (3p)

Exercițiul 11 (8p)

a) În triunghiurile $AOB$ și $COD$: $\widehat{AOB}=\widehat{COD}$ (unghiuri opuse la vârf), iar $\widehat{OAB}=\widehat{OCD}$ (unghiuri alterne interne, deoarece $AB\parallel CD$ tăiate de secanta $AC$). Prin criteriul UU, $△AOB\sim △COD$. (3p) b) Laturile omoloage sunt proporționale cu $\frac{AB}{CD}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$. Cum $OA$ corespunde lui $OC$: $$\frac{OA}{OC}=\frac{3}{2}\Rightarrow OA=\frac{6\cdot 3}{2}=9\text{cm}.$$ (2p) c) Raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare: $$\frac{{\mathcal{A}}_{AOB}}{{\mathcal{A}}_{COD}}={\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}.$$ (3p)

Exercițiul 12 (6p)

Din $BC\parallel DE$ rezultă $△ABC\sim △ADE$ (criteriul UU). Latura $AD=AB+BD=8+12=20\text{m}$. Din proporționalitate: $$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}\Rightarrow \frac{8}{20}=\frac{6}{DE}\Rightarrow DE=\frac{6\cdot 20}{8}=15\text{m}.$$ Lățimea râului este de $15\text{m}$.

Exercițiul 13 (6p)

a) $D$ și $E$ fiind mijloacele laturilor: $\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$ și $\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$, deci $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$. Unghiul $A$ este comun celor două triunghiuri. Prin criteriul LUL (un unghi congruent cuprins între laturi proporționale), $△ADE\sim △ABC$. (4p) b) Raportul de asemănare este $\frac{1}{2}$, deci laturile omoloage sunt în raportul $\frac{1}{2}$; în particular $\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$, adică $DE=\frac{BC}{2}$ (segmentul $DE$ este linia mijlocie a triunghiului). (2p)

Exercițiul 14 (8p)

a) La triunghiuri asemenea, raportul perimetrelor este egal cu raportul de asemănare: $$k=\frac{P_{ABC}}{P_{DEF}}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}.$$ (2p) b) $\frac{AB}{DE}=\frac{2}{3}\Rightarrow DE=\frac{AB\cdot 3}{2}=\frac{8\cdot 3}{2}=12\text{cm}.$ (2p) c) $\frac{{\mathcal{A}}_{ABC}}{{\mathcal{A}}_{DEF}}=k^2={\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}.$ (2p) d) ${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{4}{9}\cdot 81=4\cdot 9=36{\text{cm}}^2.$ (2p)

Exercițiul 15 (4p)

La triunghiuri asemenea, raportul înălțimilor omoloage este egal cu raportul de asemănare. Fie $h$ înălțimea omoloagă din al doilea triunghi: $$\frac{9}{h}=\frac{3}{5}\Rightarrow h=\frac{9\cdot 5}{3}=15\text{cm}.$$

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică unitatea „Asemănarea triunghiurilor" de la clasa a VII-a. Sunt acoperite: segmentele proporționale și teorema paralelelor echidistante, teorema lui Thales și reciproca ei, împărțirea unui segment în părți proporționale, triunghiurile asemenea și raportul de asemănare, criteriile de asemănare (UU, LUL, LLL), teorema fundamentală a asemănării, raportul ariilor a două triunghiuri asemenea și aplicațiile practice de aproximare a distanțelor. Itemii sunt gradați ca dificultate: de la recunoașterea proprietăților până la probleme aplicate și scurte justificări.

• Timp recomandat: 50 de minute (lucru individual, la clasă sau acasă).
• Punctaj: fiecare item are punctajul trecut în paranteză. Suma itemilor este de 90 de puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu, deci total 100 de puncte.
• Materiale permise: riglă, echer, creion; nu este nevoie de calculator (toate rezultatele ies numere „frumoase").
• Cum se corectează: folosiți secțiunea Barem și răspunsuri de la final. Pentru itemii de justificare, se punctează raționamentul corect, chiar dacă redactarea diferă de model.

Notă privind programa: testul folosește doar noțiuni din clasa a VII-a (geometrie în plan, asemănare, teorema lui Pitagora și relații metrice elementare). Nu apar corpuri geometrice, formule de calcul prescurtat sau noțiunea formală de funcție.