Test: cercul, elemente și poziții relative

Exerciții

Partea I — Itemi cu răspuns scurt (calcul și recunoaștere)

Exercițiul 1 (4 puncte)

Completează spațiile libere: a) Segmentul care unește centrul cercului cu un punct de pe cerc se numește ............ . b) Coarda care trece prin centrul cercului se numește ............ .

Exercițiul 2 (4 puncte)

Un cerc are diametrul de 18 cm. a) Cât este lungimea razei? b) Două puncte diametral opuse se află la distanța de ...... cm unul de altul.

Exercițiul 3 (4 puncte)

Fie un cerc cu centrul $O$ și raza $r=7$ cm. Pentru fiecare punct, stabilește dacă este interior, pe cerc sau exterior, știind distanța sa față de centru: a) $A$, cu $OA=5$ cm; b) $B$, cu $OB=7$ cm; c) $C$, cu $OC=9,5$ cm.

Exercițiul 4 (4 puncte)

Unghiul la centru $\angle AOB$ are măsura de $130^{\circ }$. Determină măsura arcului mic $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$ cuprins între laturile unghiului.

Exercițiul 5 (4 puncte)

Pe un cerc se consideră, în această ordine, punctele $M$, $N$, $P$, astfel încât arcele determinate au măsurile: $$\stackrel{⌢}{\mathrm{MN}}=110^{\circ },\stackrel{⌢}{\mathrm{NP}}=95^{\circ }.$$ Determină măsura arcului $\stackrel{⌢}{\mathrm{PM}}$ (arcul care nu conține punctul $N$).

Partea II — Adevărat / Fals cu motivare

Exercițiul 6 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică scurt: a) Diametrul este cea mai lungă coardă a unui cerc. b) Orice coardă a unui cerc trece prin centrul lui. c) Două raze ale aceluiași cerc au întotdeauna lungimi egale.

Exercițiul 7 (6 puncte)

Stabilește valoarea de adevăr și motivează: a) O dreaptă care are exact un punct comun cu cercul se numește secantă. b) Dacă distanța de la centrul cercului la o dreaptă este mai mare decât raza, atunci dreapta este exterioară cercului. c) Tangenta la cerc este perpendiculară pe raza dusă în punctul de contact.

Partea III — Poziții relative

Exercițiul 8 (6 puncte)

Un cerc are centrul $O$ și raza $r=6$ cm. O dreaptă $d$ se află la distanța $h$ față de centru. Precizează poziția dreptei față de cerc și numărul punctelor comune în fiecare caz: a) $h=4$ cm; b) $h=6$ cm; c) $h=8$ cm.

Exercițiul 9 (6 puncte)

Distanța dintre centre este $O_1{O}_2=5$ cm. a) Compară $O_1{O}_2$ cu $R-r$ și cu $R+r$. b) Precizează poziția relativă a celor două cercuri.

Exercițiul 10 (6 puncte)

Două cercuri au razele $R=9$ cm și $r=4$ cm. Stabilește poziția lor relativă pentru fiecare distanță dintre centre: a) $O_1{O}_2=13$ cm; b) $O_1{O}_2=5$ cm; c) $O_1{O}_2=20$ cm.

Partea IV — Raționament și justificare

Exercițiul 11 (6 puncte)

Știind că $\angle AOC=70^{\circ }$: a) Arată că triunghiul $AOC$ este isoscel. b) Calculează măsura unghiului $\angle OAC$.

Exercițiul 12 (6 puncte)

Într-un cerc cu centrul $O$, două raze $OA$ și $OB$ determină unghiul la centru $\angle AOB=60^{\circ }$, iar raza este $r=10$ cm. a) Ce fel de triunghi este $AOB$? Justifică. b) Determină lungimea coardei $AB$.

Exercițiul 13 (6 puncte)

Pe un cerc cu centrul $O$ se iau punctele $A$, $B$, $C$, $D$ astfel încât arcele $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$, $\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}$, $\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}$, $\stackrel{⌢}{\mathrm{DA}}$ sunt egale. a) Cât este măsura fiecărui arc? b) Cât este măsura fiecărui unghi la centru corespunzător?

Partea V — Probleme aplicate (cu subpuncte)

Exercițiul 14 (6 puncte)

La un parc de distracții, o roată panoramică are forma unui cerc cu centrul $O$ și raza de 15 m. Pe marginea roții sunt fixate, la distanțe egale, 8 cabine, în punctele $C_1,C_2,\dots ,C_8$. a) Determină măsura arcului dintre două cabine vecine. b) Determină măsura unghiului la centru format de razele către două cabine vecine (de exemplu $\angle C_{1}O{C}_2$). c) Câte cabine se află între $C_1$ și $C_5$, parcurgând cel mai scurt drum pe roată, și ce măsură are arcul $\stackrel{⌢}{C_1{C}_5}$?

Exercițiul 15 (6 puncte)

Două cisterne circulare, văzute de sus, se reprezintă prin două cercuri: ${\mathcal{C}}_1$ cu centrul $O_1$ și raza $R=12$ m, iar ${\mathcal{C}}_2$ cu centrul $O_2$ și raza $r=5$ m. a) Pentru ca cele două cisterne să fie tangente exterior, ce distanță trebuie să fie între centrele lor? b) Pentru ca ele să fie tangente interior, ce distanță trebuie să fie între centre? c) Dacă $O_1{O}_2=4$ m, ce poziție au cele două cercuri? Justifică.

Exercițiul 16 (10 puncte)

a) Determină lungimea razei cercului. b) Determină măsura arcului $\stackrel{⌢}{\mathrm{PN}}$ (arcul mic). c) Determină măsura arcului $\stackrel{⌢}{\mathrm{MP}}$ (arcul care nu conține punctul $N$). d) Arată că triunghiul $POM$ este isoscel și determină măsura unghiului $\angle POM$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj total : 10.

Exercițiul 1. (4 p) a) rază (2 p). b) diametru (2 p).

Exercițiul 2. (4 p) a) $r=18:2=9$ cm (2 p). b) Distanța dintre două puncte diametral opuse este chiar diametrul: 18 cm (2 p).

Exercițiul 3. (4 p — a) 1 p, b) 1 p, c) 2 p) Comparăm distanța cu raza $r=7$ cm. a) $OA=5<7\Rightarrow A$ interior (1 p). b) $OB=7=7\Rightarrow B$ se află pe cerc (1 p). c) $OC=9,5>7\Rightarrow C$ exterior (2 p).

Exercițiul 4. (4 p) Măsura arcului mic este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător: $$\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}=\angle AOB=130^{\circ }.$$ (Recunoaștere proprietate 2 p; rezultat 2 p.)

Exercițiul 5. (4 p) Suma măsurilor arcelor unui cerc este $360^{\circ }$: $$\stackrel{⌢}{\mathrm{PM}}=360^{\circ }-(110^{\circ }+95^{\circ })=360^{\circ }-205^{\circ }=155^{\circ }.$$ (Relația de $360^{\circ }$: 2 p; calcul: 2 p.)

Exercițiul 6. (6 p — câte 2 p, din care 1 p valoare + 1 p motivare) a) A — printre toate coardele, diametrul are lungimea maximă (egală cu $2r$). b) F — numai diametrul trece prin centru; o coardă oarecare nu conține neapărat centrul. c) A — toate punctele cercului sunt la aceeași distanță (raza) de centru, deci razele sunt egale.

Exercițiul 7. (6 p — câte 2 p: 1 p valoare + 1 p motivare) a) F — dreapta cu un singur punct comun este tangentă; secanta are două puncte comune. b) A — dacă $d(O,d)>r$, dreapta nu atinge cercul, deci este exterioară. c) A — tangenta este perpendiculară pe raza dusă în punctul de tangență (proprietatea tangentei).

Exercițiul 8. (6 p — câte 2 p) Comparăm $h$ cu $r=6$ cm. a) $h=4<6\Rightarrow$ dreaptă secantă, 2 puncte comune. b) $h=6=6\Rightarrow$ dreaptă tangentă, 1 punct comun. c) $h=8>6\Rightarrow$ dreaptă exterioară, 0 puncte comune.

Exercițiul 9. (6 p) a) $R-r=8-3=5$ cm; $R+r=8+3=11$ cm. Observăm că $O_1{O}_2=5=R-r$ (3 p). b) Deoarece $O_1{O}_2=R-r$, cele două cercuri sunt tangente interior (cercul mic este în interior, atingând cercul mare într-un singur punct) (3 p).

Exercițiul 10. (6 p) Avem $R-r=9-4=5$ cm și $R+r=9+4=13$ cm. a) $O_1{O}_2=13=R+r\Rightarrow$ tangente exterior (2 p). b) $O_1{O}_2=5=R-r\Rightarrow$ tangente interior (2 p). c) $O_1{O}_2=20>R+r=13\Rightarrow$ cercuri exterioare (unul în afara celuilalt, fără puncte comune) (2 p).

Exercițiul 11. (6 p) a) $OA$ și $OC$ sunt raze ale aceluiași cerc, deci $OA=OC$; un triunghi cu două laturi egale este isoscel (3 p). b) În triunghiul isoscel $AOC$, unghiurile de la bază sunt egale: $\angle OAC=\angle OCA$. Suma unghiurilor: $$\angle OAC=\frac{180^{\circ }-70^{\circ }}{2}=\frac{110^{\circ }}{2}=55^{\circ }.$$ (3 p)

Exercițiul 12. (6 p) a) $OA=OB=r$ (raze), deci triunghiul $AOB$ este isoscel; având și un unghi de $60^{\circ }$, cele de la bază sunt fiecare $\frac{180^{\circ }-60^{\circ }}{2}=60^{\circ }$, deci toate unghiurile sunt de $60^{\circ }$ — triunghiul este echilateral (3 p). b) Într-un triunghi echilateral toate laturile sunt egale, deci $AB=OA=r=10$ cm (3 p).

Exercițiul 13. (6 p) a) Cele 4 arce egale dau întregul cerc: $360^{\circ }:4=90^{\circ }$ fiecare (3 p). b) Fiecare unghi la centru are măsura egală cu arcul corespunzător: $90^{\circ }$ (3 p).

Exercițiul 14. (6 p) a) Cele 8 cabine împart cercul în 8 arce egale: $360^{\circ }:8=45^{\circ }$ (2 p). b) Unghiul la centru dintre două cabine vecine este egal cu arcul corespunzător: $45^{\circ }$ (2 p). c) De la $C_1$ la $C_5$ pe drumul scurt sunt 4 arce vecine (intervalele $C_1{C}_2,C_2{C}_3,C_3{C}_4,C_4{C}_5$), iar între ele se află 3 cabine ($C_2,C_3,C_4$). Arcul: $$\stackrel{⌢}{C_1{C}_5}=4\cdot 45^{\circ }=180^{\circ }.$$ (2 p — răspuns „3 cabine" 1 p, arc $180^{\circ }$ 1 p. $C_1$ și $C_5$ sunt diametral opuse.)

Exercițiul 15. (6 p) a) Tangente exterior $\Rightarrow O_1{O}_2=R+r=12+5=17$ m (2 p). b) Tangente interior $\Rightarrow O_1{O}_2=R-r=12-5=7$ m (2 p). c) $O_1{O}_2=4<R-r=7\Rightarrow$ cercurile sunt interioare (cercul mic este complet în interiorul celui mare, fără puncte comune; centrele nu coincid, deci nu sunt concentrice) (2 p).

Exercițiul 16. (10 p) a) $MN$ este diametru, $MN=20$ cm, deci raza $r=20:2=10$ cm (2 p). b) Arcul mic $\stackrel{⌢}{\mathrm{PN}}$ este egal cu unghiul la centru $\angle PON=120^{\circ }$ (2 p). c) $M$, $O$, $N$ sunt coliniare ($MN$ diametru), deci arcul $\stackrel{⌢}{\mathrm{MN}}$ (semicercul care conține $P$) are $180^{\circ }$. Atunci: $$\stackrel{⌢}{\mathrm{MP}}=180^{\circ }-\stackrel{⌢}{\mathrm{PN}}=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }.$$ (3 p) d) $OP=OM=r$ (raze), deci triunghiul $POM$ este isoscel (1 p). Unghiul la centru $\angle POM$ corespunde arcului $\stackrel{⌢}{\mathrm{MP}}=60^{\circ }$, deci $\angle POM=60^{\circ }$ (echivalent: $\angle PON$ și $\angle POM$ sunt suplementare, $180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$) (2 p).

Punctaj: 90 p (itemi) + 10 p (oficiu) = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Pentru părinți

Acest test verifică, în mod riguros, cunoștințele copilului despre cerc: definiție și elemente (rază, diametru, coardă, arc), unghiul la centru, relația dintre arce și coarde, precum și pozițiile unei drepte față de un cerc și ale a două cercuri.

• Cum se aplică: copilul lucrează individual, pe foaie, cu instrumentele geometrice (riglă, compas, raportor). Acolo unde apare marcajul 🖼️ [Imagine: ...], elevul desenează singur figura după descriere — face parte din evaluare.
• Timp recomandat: 50 de minute.
• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Notă: nota se obține împărțind punctajul total la 10.

Discutați împreună baremul de la final: scopul nu este doar răspunsul corect, ci și justificarea lui.