Test: Cercul — tangente, poligoane regulate, lungime și arie

Exerciții

Exercițiul 1 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și motivează pe scurt răspunsul. (4 × 2p)

a) Tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza dusă în punctul de contact. b) Dintr-un punct exterior unui cerc se pot duce două tangente, iar segmentele de tangentă (de la punct până la punctele de contact) sunt congruente. c) Un unghi înscris în cerc are măsura egală cu măsura arcului cuprins între laturile sale. d) Latura hexagonului regulat înscris într-un cerc este egală cu raza cercului.

Exercițiul 2 (6 puncte)

a) Într-un cerc de centru $O$, unghiul la centru $\widehat{AOB}$ are măsura de $100^{\circ }$. Calculează măsura unghiului înscris $\widehat{ACB}$ care subîntinde același arc $AB$. Justifică pe scurt. (3p) b) Explică de ce un unghi înscris care subîntinde un diametru este unghi drept ($90^{\circ }$). (3p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Într-un cerc de rază $R=10\text{cm}$, un diametru este perpendicular pe coarda $AB$ și o taie în punctul $M$. Se știe că $AB=16\text{cm}$.

a) Explică de ce $M$ este mijlocul coardei $AB$ și precizează lungimea segmentului $AM$. (3p) b) Calculează distanța $OM$ de la centrul cercului la coarda $AB$. (3p)

Exercițiul 4 (6 puncte)

Dintr-un punct exterior $P$ se duc tangentele $PA$ și $PB$ la un cerc de centru $O$ și rază $R=5\text{cm}$ ($A$ și $B$ sunt punctele de contact). Distanța de la centru la punct este $OP=13\text{cm}$.

a) Calculează lungimea $PA$ a tangentei. (3p) b) Calculează perimetrul patrulaterului $OAPB$. (3p)

Exercițiul 5 (4 puncte)

Într-un cerc, coardele $AB$ și $CD$ sunt congruente ($AB\equiv CD$). Arcul mic determinat de coarda $AB$ are măsura de $70^{\circ }$. Precizează măsura arcului mic determinat de coarda $CD$ și justifică răspunsul.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Într-un cerc, coardele $AB$ și $CD$ sunt paralele ($AB\parallel CD$). Arcul $AB$ (situat deasupra) are $70^{\circ }$, iar arcul $CD$ (situat dedesubt) are $110^{\circ }$. Știind că arcele $AC$ și $BD$ cuprinse între coardele paralele sunt congruente, calculează măsura arcului $AC$.

Exercițiul 7 (6 puncte)

Într-un cerc, coarda $AB=12\text{cm}$ se află la distanța de $8\text{cm}$ de centrul $O$.

a) Calculează raza $R$ a cercului. (3p) b) O altă coardă $CD$ este situată la aceeași distanță ($8\text{cm}$) de centru. Precizează lungimea coardei $CD$ și justifică. (3p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

Un triunghi echilateral este înscris într-un cerc de rază $R=6\text{cm}$.

a) Calculează lungimea laturii $l_3$ a triunghiului echilateral înscris. (3p) b) Calculează apotema triunghiului (distanța de la centrul cercului la o latură). (3p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Un pătrat este înscris într-un cerc de rază $R=8\text{cm}$.

a) Calculează lungimea laturii $l_4$ a pătratului înscris. (3p) b) Calculează lungimea diagonalei pătratului. (3p)

Exercițiul 10 (6 puncte)

Un hexagon regulat este înscris într-un cerc de rază $R=10\text{cm}$.

a) Precizează lungimea laturii $l_6$ a hexagonului regulat și calculează perimetrul acestuia. (3p) b) Calculează apotema hexagonului și apoi aria hexagonului regulat. (3p)

Exercițiul 11 (4 puncte)

Un cerc are diametrul $d=10\text{cm}$.

a) Scrie lungimea $L$ a cercului în funcție de $\pi$. (2p) b) Calculează valoarea aproximativă a lungimii, folosind $\pi \approx 3,14$. (2p)

Exercițiul 12 (6 puncte)

Un cerc are raza $R=12\text{cm}$. Calculează, în funcție de $\pi$, lungimea unui arc de cerc cu măsura:

a) $60^{\circ }$; (3p) b) $90^{\circ }$. (3p)

Exercițiul 13 (4 puncte)

Un disc are raza $R=7\text{cm}$. Calculează aria discului, folosind $\pi \approx \frac{22}{7}$.

Exercițiul 14 (6 puncte)

Un sector de cerc are unghiul la centru de $120^{\circ }$ și raza $R=6\text{cm}$.

a) Calculează aria sectorului de cerc, în funcție de $\pi$. (3p) b) Calculează lungimea arcului sectorului, în funcție de $\pi$. (3p)

Exercițiul 15 (5 puncte)

Roata unei biciclete are diametrul de $70\text{cm}$. Se folosește $\pi \approx \frac{22}{7}$.

a) Calculează lungimea (circumferința) roții și exprim-o în metri. (2p) b) Câte rotații complete face roata pe o distanță de $1\text{km}$? (3p)

Exercițiul 16 (6 puncte)

Un aspersor de grădină udă un sector de cerc cu unghiul la centru de $90^{\circ }$ și raza (bătaia jetului) de $10\text{m}$. Se folosește $\pi \approx 3,14$.

a) Calculează aria suprafeței udate. (3p) b) Calculează lungimea arcului exterior al zonei udate (marginea cea mai depărtată de aspersor). (3p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Exercițiul 1 (8p)

a) Adevărat. Tangenta la cerc este perpendiculară pe raza dusă în punctul de contact — proprietate fundamentală a tangentei. (2p) b) Adevărat. Dintr-un punct exterior se pot duce exact două tangente, iar segmentele de tangentă sunt congruente ($PA=PB$), deoarece triunghiurile dreptunghice $OAP$ și $OBP$ au ipotenuza comună $OP$ și catetele $OA=OB=R$. (2p) c) Fals. Un unghi înscris are măsura egală cu jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale, nu cu arcul întreg. (2p) d) Adevărat. Într-un hexagon regulat înscris, latura este egală cu raza cercului: $l_6=R$ (fiecare latură subîntinde un unghi la centru de $60^{\circ }$, formând triunghiuri echilaterale). (2p)

Exercițiul 2 (6p)

a) Unghiul înscris are măsura egală cu jumătate din unghiul la centru care subîntinde același arc: $$\widehat{ACB}=\frac{\widehat{AOB}}{2}=\frac{100^{\circ }}{2}=50^{\circ }.$$ (3p) b) Un unghi înscris care subîntinde un diametru cuprinde un semicerc, adică un arc de $180^{\circ }$. Măsura unghiului înscris este jumătate din arc: $\frac{180^{\circ }}{2}=90^{\circ }$, deci este unghi drept. (3p)

Exercițiul 3 (6p)

a) Diametrul perpendicular pe o coardă o înjumătățește, deci $M$ este mijlocul coardei $AB$ și $$AM=\frac{AB}{2}=\frac{16}{2}=8\text{cm}.$$ (3p) b) În triunghiul dreptunghic $OMA$ (drept în $M$), cu ipotenuza $OA=R=10$ și cateta $AM=8$: $$OM=\sqrt{O{A}^2-A{M}^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6\text{cm}.$$ (3p)

Exercițiul 4 (6p)

a) Raza $OA$ este perpendiculară pe tangenta $PA$, deci triunghiul $OAP$ este dreptunghic în $A$, cu ipotenuza $OP$: $$PA=\sqrt{O{P}^2-O{A}^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\text{cm}.$$ (3p) b) Patrulaterul $OAPB$ are laturile $OA=OB=R=5\text{cm}$ și $PA=PB=12\text{cm}$, deci $$P_{OAPB}=OA+AP+PB+BO=5+12+12+5=34\text{cm}.$$ (3p)

Exercițiul 5 (4p)

Arcul mic determinat de $CD$ are tot $70^{\circ }$. (2p) Justificare: într-un cerc, la coarde congruente corespund arce congruente ($AB\equiv CD\Rightarrow \widehat{AB}\equiv \widehat{CD}$). (2p)

Exercițiul 6 (5p)

Suma măsurilor tuturor arcelor cercului este $360^{\circ }$. Cum arcele laterale $AC$ și $BD$ sunt congruente: $$\widehat{AB}+\widehat{CD}+2\cdot \widehat{AC}=360^{\circ },$$ $$70^{\circ }+110^{\circ }+2\cdot \widehat{AC}=360^{\circ }\Rightarrow 2\cdot \widehat{AC}=180^{\circ }\Rightarrow \widehat{AC}=90^{\circ }.$$ Arcul $AC$ are $90^{\circ }$. (5p)

Exercițiul 7 (6p)

a) Distanța de la centru la coardă cade în mijlocul coardei, deci jumătatea coardei este $\frac{12}{2}=6\text{cm}$. În triunghiul dreptunghic format: $$R=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\text{cm}.$$ (3p) b) $CD=12\text{cm}$. Justificare: două coarde egal depărtate de centru sunt congruente (fiind la aceeași distanță $8\text{cm}$, ele au aceeași lungime ca $AB$). (3p)

Exercițiul 8 (6p)

a) Latura triunghiului echilateral înscris este $l_3=R\sqrt{3}$: $$l_3=6\sqrt{3}\text{cm}.$$ (3p) b) Apotema triunghiului echilateral înscris este $a_3=\frac{R}{2}$: $$a_3=\frac{6}{2}=3\text{cm}.$$ (3p)

Exercițiul 9 (6p)

a) Latura pătratului înscris este $l_4=R\sqrt{2}$: $$l_4=8\sqrt{2}\text{cm}.$$ (3p) b) Diagonala pătratului este chiar diametrul cercului: $$d=2R=2\cdot 8=16\text{cm}.$$ (3p)

Exercițiul 10 (6p)

a) Latura hexagonului regulat înscris este egală cu raza: $l_6=R=10\text{cm}$. Perimetrul: $$P=6\cdot l_6=6\cdot 10=60\text{cm}.$$ (3p) b) Apotema hexagonului este $a_6=\frac{R\sqrt{3}}{2}=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\text{cm}$. Aria: $$\mathcal{A}=\frac{P\cdot a_6}{2}=\frac{60\cdot 5\sqrt{3}}{2}=150\sqrt{3}{\text{cm}}^2.$$ (3p)

Exercițiul 11 (4p)

a) $L=\pi \cdot d=10\pi \text{cm}.$ (2p) b) Cu $\pi \approx 3,14$: $L\approx 10\cdot 3,14=31,4\text{cm}.$ (2p)

Exercițiul 12 (6p)

Lungimea unui arc de $n^{\circ }$ este $\ell =2\pi R\cdot \frac{n}{360}$. Lungimea întregului cerc: $2\pi \cdot 12=24\pi \text{cm}$.

a) Arc de $60^{\circ }$: $\ell =24\pi \cdot \frac{60}{360}=24\pi \cdot \frac{1}{6}=4\pi \text{cm}.$ (3p) b) Arc de $90^{\circ }$: $\ell =24\pi \cdot \frac{90}{360}=24\pi \cdot \frac{1}{4}=6\pi \text{cm}.$ (3p)

Exercițiul 13 (4p)

$$\mathcal{A}=\pi R^2=\frac{22}{7}\cdot 7^2=\frac{22}{7}\cdot 49=22\cdot 7=154{\text{cm}}^2.$$ (4p)

Exercițiul 14 (6p)

a) Aria sectorului de $n^{\circ }$ este ${\mathcal{A}}_{sector}=\pi R^2\cdot \frac{n}{360}$: $${\mathcal{A}}_{sector}=\pi \cdot 6^2\cdot \frac{120}{360}=36\pi \cdot \frac{1}{3}=12\pi {\text{cm}}^2.$$ (3p) b) Lungimea arcului sectorului: $$\ell =2\pi R\cdot \frac{120}{360}=2\pi \cdot 6\cdot \frac{1}{3}=4\pi \text{cm}.$$ (3p)

Exercițiul 15 (5p)

a) Circumferința: $L=\pi \cdot d=\frac{22}{7}\cdot 70=220\text{cm}=2,2\text{m}.$ (2p) b) Pe $1\text{km}=1000\text{m}$, numărul de rotații este $$\frac{1000}{2,2}=454,54\dots ,$$ deci roata face 454 de rotații complete (a 455-a nu se încheie). (3p)

Exercițiul 16 (6p)

a) Aria sectorului udat (unghi $90^{\circ }$, deci un sfert de disc): $$\mathcal{A}=\pi R^2\cdot \frac{90}{360}=\pi \cdot 10^2\cdot \frac{1}{4}=25\pi \approx 25\cdot 3,14=78,5{\text{m}}^2.$$ (3p) b) Lungimea arcului exterior: $$\ell =2\pi R\cdot \frac{90}{360}=2\pi \cdot 10\cdot \frac{1}{4}=5\pi \approx 5\cdot 3,14=15,7\text{m}.$$ (3p)

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică unitatea „Cercul" de la clasa a VII-a. Sunt acoperite: unghiul înscris în cerc, coardele și arcele congruente, coardele paralele și coardele egal depărtate de centru, diametrul perpendicular pe o coardă, tangentele duse dintr-un punct exterior la un cerc, poligoanele regulate înscrise (triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat), lungimea cercului și a arcului de cerc, precum și aria discului și a sectorului de cerc. Itemii sunt gradați ca dificultate: de la recunoașterea proprietăților și calcule directe, până la probleme aplicate (roata unei biciclete, un aspersor de grădină) și scurte justificări.

• Timp recomandat: 50 de minute (lucru individual, la clasă sau acasă).
• Punctaj: fiecare item are punctajul trecut în paranteză. Suma itemilor este de 90 de puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu, deci total 100 de puncte.
• Materiale permise: riglă, compas, echer, creion. Pentru itemii cu aproximări se folosește $\pi \approx 3,14$ sau $\pi \approx \frac{22}{7}$, așa cum este precizat în enunț; restul rezultatelor se lasă în funcție de $\pi$ și de radicali.
• Cum se corectează: folosiți secțiunea Barem și răspunsuri de la final. Pentru itemii de justificare, se punctează raționamentul corect, chiar dacă redactarea diferă de model.

Notă privind programa: testul folosește doar noțiuni din clasa a VII-a (geometrie în plan). Nu apar corpuri geometrice (sferă, cilindru), formule de calcul prescurtat, descompuneri în factori sau noțiunea formală de funcție.