Test: Cercul — unghi înscris, coarde și diametru

Exerciții

Exercițiul 1 (8 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și motivează pe scurt răspunsul. (4 × 2p)

a) Un unghi înscris într-un cerc care subîntinde un diametru (unghi înscris în semicerc) are măsura de $90^{\circ }$. b) Măsura unui unghi înscris este egală cu măsura arcului cuprins între laturile sale. c) Diametrul perpendicular pe o coardă înjumătățește acea coardă. d) Două unghiuri înscrise în același cerc, care subîntind arce diferite, sunt întotdeauna congruente.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Într-un cerc cu centrul $O$, unghiul la centru $\widehat{AOB}$ are măsura de $110^{\circ }$. Punctul $C$ se află pe arcul mare $AB$.

a) Cât este măsura arcului mic $AB$? (2p) b) Calculează măsura unghiului înscris $\widehat{ACB}$. (3p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Punctele $A$, $B$, $C$ sunt pe un cerc, iar $[AB]$ este diametru. Se știe că $\widehat{CAB}=34^{\circ }$.

a) Justifică de ce $\widehat{ACB}=90^{\circ }$. (2p) b) Calculează măsura unghiului $\widehat{ABC}$. (4p)

Exercițiul 4 (5 puncte)

Într-un cerc, arcele $AB$ și $CD$ sunt congruente, iar arcul $AB$ are măsura de $48^{\circ }$, cu coarda $AB=9\text{cm}$.

a) Ce relație există între coardele $AB$ și $CD$? Justifică pe scurt. (2p) b) Precizează măsura arcului $CD$ și lungimea coardei $CD$. (3p)

Exercițiul 5 (6 puncte)

Într-un cerc cu centrul $O$ și raza $R=13\text{cm}$, un diametru este perpendicular pe coarda $AB$ în punctul $M$, iar $OM=5\text{cm}$.

a) Explică de ce $M$ este mijlocul coardei $AB$. (2p) b) Calculează lungimea coardei $AB$. (4p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

Într-un cerc cu centrul $O$ și raza $R=10\text{cm}$, distanța de la centrul $O$ la coarda $MN$ este de $6\text{cm}$.

a) Calculează lungimea coardei $MN$. (3p) b) În același cerc se trasează o altă coardă $PQ=16\text{cm}$. La ce distanță de centru se află coarda $PQ$? Justifică prin proprietatea coardelor congruente. (3p)

Exercițiul 7 (6 puncte)

Dintr-un punct $P$, exterior unui cerc cu centrul $O$ și raza $R=6\text{cm}$, se duc tangentele $PA$ și $PB$ (unde $A$ și $B$ sunt punctele de contact). Se știe că $OP=10\text{cm}$.

a) Justifică de ce $OA\perp PA$. (2p) b) Calculează lungimea $PA$. (2p) c) Cât este lungimea $PB$? Justifică. (2p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

Un hexagon regulat $ABCDEF$ este înscris într-un cerc cu raza $R=8\text{cm}$.

a) Arată că latura hexagonului este egală cu $R$ și precizează lungimea ei. (2p) b) Calculează perimetrul hexagonului. (2p) c) Cât este măsura unghiului la centru corespunzător unei laturi? (2p)

Exercițiul 9 (4 puncte)

O roată de bicicletă are diametrul de $60\text{cm}$. Ce distanță parcurge roata la o rotație completă? Dă rezultatul exact (în funcție de $\pi$) și aproximativ (cu $\pi \approx 3,14$).

Exercițiul 10 (6 puncte)

Într-un cerc cu raza $R=9\text{cm}$ se consideră un arc de $40^{\circ }$.

a) Scrie formula lungimii unui arc de cerc de măsură $n^{\circ }$. (2p) b) Calculează lungimea arcului dat, exact (în funcție de $\pi$) și aproximativ. (4p)

Exercițiul 11 (4 puncte)

Calculează aria unui disc cu raza $R=5\text{cm}$. Dă rezultatul exact (în funcție de $\pi$) și aproximativ (cu $\pi \approx 3,14$).

Exercițiul 12 (6 puncte)

Într-un cerc cu centrul $O$ și raza $R=6\text{cm}$ se consideră un sector de cerc cu unghiul la centru de $150^{\circ }$.

a) Scrie formula ariei unui sector de cerc cu unghiul la centru de $n^{\circ }$. (2p) b) Calculează aria sectorului dat, exact (în funcție de $\pi$) și aproximativ. (4p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

Triunghiul $ABC$ este înscris într-un cerc, iar arcele determinate de vârfuri au măsurile: arcul $AB=100^{\circ }$ și arcul $BC=140^{\circ }$ (arce care nu conțin al treilea vârf).

a) Calculează măsura arcului $CA$. (2p) b) Calculează măsura unghiului $\widehat{BAC}$. (2p) c) Calculează măsura unghiului $\widehat{ABC}$. (2p) d) Calculează măsura unghiului $\widehat{BCA}$ și verifică suma măsurilor unghiurilor triunghiului. (2p)

Exercițiul 14 (6 puncte)

Dintr-un punct $P$, exterior unui cerc cu centrul $O$ și raza $R=5\text{cm}$, se duce tangenta $PA$ (cu $A$ punct de contact), iar $OP=10\text{cm}$.

a) Calculează lungimea $PA$ (folosește teorema lui Pitagora în triunghiul $OAP$). (3p) b) Calculează măsura unghiului $\widehat{OPA}$. (3p)

Exercițiul 15 (4 puncte)

Într-un cerc, coardele $AB$ și $CD$ sunt paralele ($AB\parallel CD$), iar arcul $AC$ cuprins între ele are măsura de $35^{\circ }$. Cât este măsura arcului $BD$ cuprins între cele două coarde? Justifică pe scurt.

Exercițiul 16 (4 puncte)

O grădină circulară cu raza de $12\text{m}$ are un sfert (un sector de $90^{\circ }$) plantat cu flori. Calculează aria zonei cu flori, exact (în funcție de $\pi$) și aproximativ (cu $\pi \approx 3,14$).

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Exercițiul 1 (8p)

a) Adevărat. Un unghi înscris în semicerc subîntinde un arc de $180^{\circ }$ (semicercul), iar măsura unghiului înscris este jumătate din arc: $180^{\circ }:2=90^{\circ }$. (2p) b) Fals. Măsura unui unghi înscris este jumătate din măsura arcului subîntins, nu egală cu ea. (2p) c) Adevărat. Diametrul (raza) perpendicular pe o coardă trece prin mijlocul ei — o înjumătățește (și înjumătățește și arcul corespunzător). (2p) d) Fals. Unghiurile înscrise sunt congruente doar dacă subîntind același arc (sau arce congruente); subîntinzând arce diferite, ele au, în general, măsuri diferite. (2p)

Exercițiul 2 (5p)

a) Măsura arcului mic $AB$ este egală cu măsura unghiului la centru care îl subîntinde: $m(\widehat{AB})=110^{\circ }$. (2p) b) Unghiul înscris $\widehat{ACB}$ subîntinde arcul mic $AB$, deci are măsura egală cu jumătate din el: $$\widehat{ACB}=\frac{110^{\circ }}{2}=55^{\circ }.$$ (3p)

Exercițiul 3 (6p)

a) $[AB]$ fiind diametru, arcul $AB$ subîntins de unghiul înscris $\widehat{ACB}$ este un semicerc ($180^{\circ }$); deci $\widehat{ACB}=\frac{180^{\circ }}{2}=90^{\circ }$ (unghi înscris în semicerc). (2p) b) În triunghiul $ACB$, suma măsurilor unghiurilor este $180^{\circ }$: $$\widehat{ABC}=180^{\circ }-90^{\circ }-34^{\circ }=56^{\circ }.$$ (4p)

Exercițiul 4 (5p)

a) Coardele sunt congruente: $AB=CD$. La arce congruente ale aceluiași cerc corespund coarde congruente. (2p) b) $m(\widehat{CD})=48^{\circ }$ (arce congruente) și $CD=9\text{cm}$ (coarde congruente). (3p)

Exercițiul 5 (6p)

a) Un diametru perpendicular pe o coardă trece prin mijlocul acesteia; deci $M$ este mijlocul coardei $AB$ ($MA=MB$). (2p) b) În triunghiul dreptunghic $OMA$ (drept în $M$), cu $OA=R=13$ și $OM=5$: $$MA=\sqrt{O{A}^2-O{M}^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\text{cm}.$$ Cum $M$ este mijloc, $AB=2\cdot MA=24\text{cm}.$ (4p)

Exercițiul 6 (6p)

a) Fie $H$ mijlocul coardei $MN$; segmentul $OH=6\text{cm}$ este perpendicular pe coardă (distanța de la centru). În triunghiul dreptunghic $OHM$ (drept în $H$), cu $OM=R=10$: $$HM=\sqrt{O{M}^2-O{H}^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\text{cm}.$$ Cum $H$ este mijloc, $MN=2\cdot HM=16\text{cm}.$ (3p) b) Coarda $PQ=16\text{cm}$ este congruentă cu $MN$. În același cerc, coardele congruente sunt egal depărtate de centru, deci distanța de la $O$ la $PQ$ este tot $6\text{cm}.$ (3p)

Exercițiul 7 (6p)

a) Tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza dusă în punctul de contact, deci $OA\perp PA$. (2p) b) În triunghiul dreptunghic $OAP$ (drept în $A$), cu $OP=10$ și $OA=R=6$: $$PA=\sqrt{O{P}^2-O{A}^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\text{cm}.$$ (2p) c) Tangentele duse dintr-un punct exterior la un cerc sunt congruente, deci $PB=PA=8\text{cm}.$ (2p)

Exercițiul 8 (6p)

a) Unghiul la centru corespunzător unei laturi este $\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }$; triunghiul format de rază, rază și latură are un unghi de $60^{\circ }$ și cele două laturi (razele) egale, deci este echilateral. Prin urmare latura hexagonului este egală cu raza: $\ell =R=8\text{cm}.$ (2p) b) Perimetrul: $P=6\cdot \ell =6\cdot 8=48\text{cm}.$ (2p) c) Unghiul la centru corespunzător unei laturi: $\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }.$ (2p)

Exercițiul 9 (4p)

Distanța parcursă la o rotație = lungimea cercului: $L=\pi \cdot d=\pi \cdot 60=60\pi \text{cm}.$ (2p) Aproximativ: $60\cdot 3,14=188,4\text{cm}.$ (2p)

Exercițiul 10 (6p)

a) Lungimea arcului de măsură $n^{\circ }$: ${\ell }_{\hat{}}=\frac{n}{360}\cdot 2\pi R$ (adică $\frac{\pi Rn}{180}$). (2p) b) $\ell =\frac{40}{360}\cdot 2\pi \cdot 9=\frac{1}{9}\cdot 18\pi =2\pi \text{cm}.$ Aproximativ: $2\cdot 3,14=6,28\text{cm}.$ (4p)

Exercițiul 11 (4p)

Aria discului: $\mathcal{A}=\pi R^2=\pi \cdot 5^2=25\pi {\text{cm}}^2.$ (2p) Aproximativ: $25\cdot 3,14=78,5{\text{cm}}^2.$ (2p)

Exercițiul 12 (6p)

a) Aria sectorului cu unghiul la centru $n^{\circ }$: ${\mathcal{A}}_{sector}=\frac{n}{360}\cdot \pi R^2.$ (2p) b) ${\mathcal{A}}_{sector}=\frac{150}{360}\cdot \pi \cdot 6^2=\frac{5}{12}\cdot 36\pi =15\pi {\text{cm}}^2.$ Aproximativ: $15\cdot 3,14=47,1{\text{cm}}^2.$ (4p)

Exercițiul 13 (8p)

a) Suma arcelor unui cerc este $360^{\circ }$: $$m(\widehat{CA})=360^{\circ }-100^{\circ }-140^{\circ }=120^{\circ }.$$ (2p) b) $\widehat{BAC}$ subîntinde arcul $BC$: $\widehat{BAC}=\frac{140^{\circ }}{2}=70^{\circ }.$ (2p) c) $\widehat{ABC}$ subîntinde arcul $CA$: $\widehat{ABC}=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$ (2p) d) $\widehat{BCA}$ subîntinde arcul $AB$: $\widehat{BCA}=\frac{100^{\circ }}{2}=50^{\circ }.$ Verificare: $70^{\circ }+60^{\circ }+50^{\circ }=180^{\circ }.$ (2p)

Exercițiul 14 (6p)

a) În triunghiul dreptunghic $OAP$ (drept în $A$, tangenta $\perp$ rază), cu $OP=10$, $OA=5$: $$PA=\sqrt{O{P}^2-O{A}^2}=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}\text{cm}\approx 8,66\text{cm}.$$ (3p) b) $\sin (\widehat{OPA})=\frac{OA}{OP}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$, deci $\widehat{OPA}=30^{\circ }.$ (3p)

Exercițiul 15 (4p)

Coardele paralele determină pe cerc arce congruente cuprinse între ele. Deci $m(\widehat{BD})=m(\widehat{AC})=35^{\circ }.$ (4p)

Exercițiul 16 (4p)

Zona cu flori este un sector de $90^{\circ }$ (un sfert de disc): $$\mathcal{A}=\frac{90}{360}\cdot \pi \cdot 12^2=\frac{1}{4}\cdot 144\pi =36\pi {\text{m}}^2.$$ (2p) Aproximativ: $36\cdot 3,14=113,04{\text{m}}^2.$ (2p)

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică unitatea „Cercul" de la clasa a VII-a. Sunt acoperite: unghiul la centru și unghiul înscris în cerc (inclusiv unghiul înscris în semicerc), coardele și arcele congruente, coardele paralele și coardele egal depărtate de centru, diametrul perpendicular pe o coardă, tangentele dintr-un punct exterior la cerc, poligoanele regulate înscrise (hexagonul regulat), precum și lungimea cercului și a arcului de cerc, aria discului și a sectorului de cerc. Itemii sunt gradați ca dificultate: de la recunoașterea proprietăților, la calcule de măsuri și lungimi, până la probleme aplicate și scurte justificări.

• Timp recomandat: 50 de minute (lucru individual, la clasă sau acasă).
• Punctaj: fiecare item are punctajul trecut în paranteză. Suma itemilor este de 90 de puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu, deci total 100 de puncte.
• Materiale permise: riglă, compas, echer, creion. Pentru itemii cu rezultat aproximativ se folosește $\pi \approx 3,14$; rezultatele exacte se lasă în funcție de $\pi$.
• Cum se corectează: folosiți secțiunea Barem și răspunsuri de la final. Pentru itemii de justificare se punctează raționamentul corect, chiar dacă redactarea diferă de model.

Notă privind programa: testul folosește doar noțiuni din clasa a VII-a — geometrie în plan (cercul) și, punctual, teorema lui Pitagora, radicali și trigonometrie în triunghiul dreptunghic. Nu apar corpuri geometrice, formule de calcul prescurtat sau noțiunea formală de funcție.