Test: congruența triunghiurilor și criterii

Disciplina: Matematică · Clasa a VI-a · Unitatea: Congruența triunghiurilor

Exerciții

Partea I – Itemi cu răspuns scurt

Exercițiul 1 (4 puncte)

Completează: două triunghiuri sunt congruente dacă au respectiv congruente toate cele ______ laturi și toate cele ______ unghiuri (elementele corespondente). Notează congruența a două triunghiuri ABC și MNP printr-o relație corectă.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se știe că △ABC ≡ △DEF. Pe baza acestei congruențe, completează corespondențele: a) latura [AB] corespunde laturii ______; b) unghiul ∢B corespunde unghiului ______; c) dacă AC = 7 cm, atunci DF = ______ cm.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Asociază fiecărui set de date criteriul de congruență potrivit (LUL, ULU sau LLL): a) Cunoaștem cele trei laturi ale fiecărui triunghi → criteriul ______; b) Cunoaștem o latură și cele două unghiuri alăturate ei → criteriul ______; c) Cunoaștem două laturi și unghiul dintre ele → criteriul ______.

Exercițiul 4 (6 puncte)

Stabilește valoarea de adevăr (A/F) și justifică pe scurt: a) „Dacă două triunghiuri au câte două laturi respectiv congruente, atunci ele sunt congruente." b) „Două triunghiuri congruente au aceeași arie și același perimetru."

Partea II – Itemi de aplicare

Exercițiul 5 (5 puncte)

Arată că △ABC ≡ △A'B'C'. Precizează criteriul folosit și scrie corespondența corectă a vârfurilor.

Exercițiul 6 (6 puncte)

Un croitor decupează triunghiuri din pânză după același șablon. Două triunghiuri au laturile, în centimetri: primul (8, 11, 13), al doilea (13, 8, 11). a) Sunt cele două triunghiuri congruente? Ce criteriu aplici? b) Explică de ce ordinea diferită în care sunt scrise laturile nu schimbă răspunsul.

Exercițiul 7 (6 puncte)

a) Compară unghiurile ∢AOC și ∢BOD și justifică egalitatea lor. b) Demonstrează că △AOC ≡ △BOD, precizând criteriul. c) Deduce că AC = BD.

Exercițiul 8 (6 puncte)

Folosind metoda triunghiurilor congruente, demonstrează că △ABD ≡ △ACD și apoi că D este mijlocul segmentului [BC].

Exercițiul 9 (6 puncte)

a) Stabilește dacă △MNP ≡ △RST și precizează criteriul de congruență al triunghiurilor dreptunghice folosit. b) Calculează lungimea ipotenuzei MP (folosind teorema lui Pitagora) și deduce lungimea lui RT.

Exercițiul 10 (6 puncte)

a) Arată că △ABC ≡ △DEF și numește criteriul triunghiurilor dreptunghice (ipotenuză–unghi ascuțit). b) Determină măsura unghiului ∢C și, pe baza congruenței, măsura unghiului ∢F.

Exercițiul 11 (6 puncte)

Tâmplarul susține că stâlpul AM cade exact la mijlocul bazei. a) Demonstrează, folosind triunghiuri dreptunghice congruente, că △ABM ≡ △ACM. b) Justifică afirmația tâmplarului (BM = CM).

Exercițiul 12 (7 puncte)

a) Demonstrează că △ABC ≡ △CDA. b) Folosind congruența, arată că ∢BAC = ∢DCA. c) Explică ce poziție au, în consecință, dreptele AB și CD (paralele/perpendiculare) și de ce.

Exercițiul 13 (7 puncte)

a) Demonstrează, cu triunghiuri congruente, că PA = PB. b) Formulează în cuvinte proprietatea punctelor de pe mediatoarea unui segment.

Exercițiul 14 (7 puncte)

a) Demonstrează că △ABF ≡ △ACE. b) Deduce că BF = CE.

Exercițiul 15 (8 puncte)

a) (3 p) Demonstrează că △ABD ≡ △ACD și precizează criteriul. b) (3 p) Deduce că AD ⊥ BC. c) (2 p) Topograful afirmă: „Dacă AB nu ar fi egal cu AC, mediana AD tot ar împărți baza în două părți egale, dar nu ar mai fi neapărat perpendiculară pe BC." Explică, pe scurt, de ce această afirmație este corectă.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1 · 4 puncte

Cele ______ = 3 laturi; cele ______ = 3 unghiuri (2 p).
Notație corectă, de exemplu △ABC ≡ △MNP (cu respectarea corespondenței vârfurilor) (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) [AB] ↔ [DE] (2 p); b) ∢B ↔ ∢E (2 p); c) DF = 7 cm (AC ↔ DF, laturi corespondente) (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) LLL (2 p); b) ULU (2 p); c) LUL (1 p).

Exercițiul 4 · 6 puncte — câte 3 p (1 p valoare + 2 p justificare). a) F (Fals). Două laturi nu sunt suficiente; e nevoie ca unghiul dintre ele să fie congruent (criteriul LUL). Fără condiția asupra unghiului, triunghiurile pot avea forme diferite. b) A (Adevărat). Fiind congruente, au toate laturile respectiv egale → același perimetru; având aceeași formă și dimensiuni, au și aceeași arie.

Exercițiul 5 · 5 puncte Date: AB = A'B' = 5 cm (L), ∢A = ∢A' = 50° (U, unghi cuprins între laturi), AC = A'C' = 6 cm (L). Unghiul este cuprins între cele două laturi date → criteriul LUL (3 p). Concluzie: △ABC ≡ △A'B'C', cu corespondența A↔A', B↔B', C↔C' (2 p).

Exercițiul 6 · 6 puncte a) Da, sunt congruente; au cele trei laturi respectiv egale (8, 11, 13) → criteriul LLL (4 p). b) Mulțimea laturilor este aceeași {8, 11, 13}; congruența cere doar ca fiecare latură a unuia să aibă o latură congruentă în celălalt, indiferent de ordinea scrierii (asociem 8↔8, 11↔11, 13↔13) (2 p).

Exercițiul 7 · 6 puncte a) ∢AOC ≡ ∢BOD pentru că sunt unghiuri opuse la vârf (2 p). b) În △AOC și △BOD: OA = OB (O mijlocul lui AB), ∢AOC = ∢BOD (opuse la vârf, unghiul cuprins), OC = OD (O mijlocul lui CD) → LUL ⇒ △AOC ≡ △BOD (2 p). c) Din congruență, laturile corespondente AC și BD sunt egale ⇒ AC = BD (2 p).

Exercițiul 8 · 6 puncte În △ABD și △ACD: AB = AC (ipoteză), ∢BAD = ∢CAD (AD bisectoare), AD = AD (latură comună) → LUL ⇒ △ABD ≡ △ACD (4 p). Din congruență, BD = CD (laturi corespondente) ⇒ D este mijlocul lui [BC] (2 p). (Observație: rezultă și ∢ADB = ∢ADC; fiind adiacente suplementare și egale, AD ⊥ BC — detaliu opțional.)

Exercițiul 9 · 6 puncte a) Triunghiuri dreptunghice cu catetele respectiv egale: MN = RS = 4, NP = ST = 3, iar unghiul drept este cuprins între catete → criteriul catetă–catetă (echivalent LUL) ⇒ △MNP ≡ △RST (3 p). b) MP² = MN² + NP² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25 ⇒ MP = 5 cm; din congruență, RT = MP = 5 cm (3 p).

Exercițiul 10 · 6 puncte a) Ipotenuze egale: BC = EF = 10 cm; unghi ascuțit egal: ∢B = ∢E = 35° → criteriul ipotenuză–unghi ascuțit (IU) ⇒ △ABC ≡ △DEF (3 p). b) În △ABC, dreptunghic în A: ∢C = 90° − 35° = 55°; din congruență ∢F = ∢C = 55° (3 p).

Exercițiul 11 · 6 puncte a) △ABM și △ACM sunt dreptunghice în M (AM ⊥ BC). Ipotenuze: AB = AC (ipoteză); catetă comună: AM = AM → criteriul ipotenuză–catetă (IC) ⇒ △ABM ≡ △ACM (4 p). b) Din congruență, BM = CM (catete corespondente) ⇒ M este mijlocul lui [BC] ⇒ stâlpul cade exact la mijloc, afirmația tâmplarului este corectă (2 p).

Exercițiul 12 · 7 puncte a) Corespondența vârfurilor este A↔C, B↔D, C↔A. În △ABC și △CDA: AB = CD (ipoteză), BC = DA (ipoteză), AC = CA (latură comună) → LLL ⇒ △ABC ≡ △CDA (3 p). b) Din congruență, unghiurile corespondente sunt egale: ∢BAC = ∢DCA (2 p). c) ∢BAC și ∢DCA sunt unghiuri alterne interne formate de dreptele AB și CD cu secanta AC; fiind egale ⇒ AB ∥ CD (drepte paralele) (2 p).

Exercițiul 13 · 7 puncte a) PM ⊥ AB (d este mediatoare) ⇒ △PMA și △PMB sunt dreptunghice în M. Avem AM = BM (M mijlocul lui AB) și PM = PM (comună) → catetă–catetă (LUL) ⇒ △PMA ≡ △PMB ⇒ PA = PB (4 p). b) „Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de capetele segmentului." (3 p)

Exercițiul 14 · 7 puncte a) În △ABF și △ACE: AB = AC (ipoteză), ∢A = ∢A (unghi comun), AF = AE (ipoteză, AE = AF) → LUL ⇒ △ABF ≡ △ACE (4 p). b) Din congruență, laturile corespondente BF și CE sunt egale ⇒ BF = CE (3 p).

Exercițiul 15 · 8 puncte a) În △ABD și △ACD: AB = AC (ipoteză), BD = CD (D mijlocul lui BC), AD = AD (comună) → LLL ⇒ △ABD ≡ △ACD (3 p). b) Din congruență, ∢ADB = ∢ADC. Cum ∢ADB + ∢ADC = 180° (unghiuri adiacente suplementare pe dreapta BC), fiecare are 90° ⇒ AD ⊥ BC (3 p). c) Mediana asigură întotdeauna BD = CD (prin definiție, D = mijlocul lui BC), deci baza este împărțită în două părți egale indiferent de triunghi. Perpendicularitatea AD ⊥ BC a rezultat din egalitatea AB = AC; dacă AB ≠ AC, triunghiurile ABD și ACD nu mai sunt congruente, unghiurile ∢ADB și ∢ADC nu mai sunt neapărat egale, deci AD nu mai este, în general, perpendiculară pe BC. Afirmația este corectă (2 p).

Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Pentru părinți

Acest test verifică dacă elevul stăpânește congruența triunghiurilor: identificarea elementelor corespondente, aplicarea criteriilor LUL, ULU, LLL, criteriile pentru triunghiuri dreptunghice și metoda triunghiurilor congruente (folosirea congruenței pentru a demonstra egalități de segmente și unghiuri).

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute.
Cum se aplică: elevul lucrează individual, fără ajutor, pe o foaie separată; figurile pot fi redesenate de mână. La final, comparați rezolvările cu Baremul și răspunsurile de la finalul testului.
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea noțiunilor din unitate.
Sfat: la geometrie, cereți elevului să numească criteriul folosit și să scrie corespondența vârfurilor în ordinea corectă (de ex. △ABC ≡ △DEF înseamnă A↔D, B↔E, C↔F).

Notă: marcajele 🖼️ [Imagine: ...] descriu figura geometrică ce însoțește itemul; elevul o poate schița după descriere.