Test: Descompuneri în factori — formule și aplicații

Clasa a VIII-a · Matematică · Descompuneri în factori

Exerciții

Exercițiul 1 (4 puncte)

Descompuneți în factori, scoțând factorul comun: $6 x^{3} - 9 x^{2} .$

Exercițiul 2 (4 puncte)

Descompuneți în factori, scoțând paranteza comună: $5 a (x - 2) + 3 (x - 2) .$

Exercițiul 3 (4 puncte)

Descompuneți în factori, folosind diferența de pătrate: $25 x^{2} - 16.$

Exercițiul 4 (5 puncte)

Arătați că expresia este un pătrat perfect și scrieți-o ca pătrat: $x^{2} + 10 x + 25.$

Exercițiul 5 (5 puncte)

Descompuneți în factori, recunoscând un trinom pătrat perfect: $9 a^{2} - 12 a + 4.$

Exercițiul 6 (5 puncte)

Descompuneți în factori prin gruparea termenilor: $x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 6.$

Exercițiul 7 (5 puncte)

Pentru fiecare afirmație, scrieți Adevărat sau Fals și justificați printr-un calcul:

a) $x^{2} + 9 = (x + 3)^{2}$ ;

b) $4 x^{2} - 9 = (2 x - 3) (2 x + 3)$ ;

c) $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ ;

d) $16 - x^{2} = (x - 4) (x + 4)$ .

Exercițiul 8 (5 puncte)

Descompuneți complet în factori (mai întâi factor comun, apoi o formulă): $2 x^{3} - 8 x .$

Exercițiul 9 (5 puncte)

Descompuneți complet în factori: $2 x^{2} + 12 x + 18.$

Exercițiul 10 (5 puncte)

Rezolvați ecuația prin descompunere în factori (regula produsului nul): $x^{2} - 5 x = 0.$

Exercițiul 11 (5 puncte)

Rezolvați ecuația, descompunând mai întâi membrul stâng ca diferență de pătrate: $4 x^{2} - 25 = 0.$

Exercițiul 12 (5 puncte)

Rezolvați ecuația, observând că membrul stâng este un pătrat perfect: $x^{2} + 6 x + 9 = 0.$

Exercițiul 13 (6 puncte)

Rezolvați ecuația $x^{2} + 5 x + 6 = 0$ prin descompunere în factori. (Indicație: scrieți $5 x = 2 x + 3 x$ și grupați termenii.)

Exercițiul 14 (6 puncte)

O placă dreptunghiulară de metal are aria dată de expresia $A = x^{2} - 4$ (în $m^{2}$ ), unde $x > 2$ . Se știe că una dintre dimensiuni este $(x + 2)$ m.

a) Descompuneți aria $A$ în factori.

b) Aflați cealaltă dimensiune a plăcii, exprimată în funcție de $x$ .

c) Calculați ambele dimensiuni și aria pentru $x = 5$ .

Exercițiul 15 (6 puncte)

Descompuneți complet în factori, folosind gruparea termenilor și apoi o formulă: $x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12.$

Exercițiul 16 (4 puncte)

Arătați că, pentru orice număr natural $n$ , numărul $N = n^{2} + n$ este par. (Indicație: descompuneți în factori.)

Exercițiul 17 (6 puncte)

Se dă expresia $E = (2 x + 1)^{2} - (x - 3)^{2}$ .

a) Descompuneți $E$ în factori, tratând-o ca o diferență de pătrate $A^{2} - B^{2}$ cu $A = 2 x + 1$ și $B = x - 3$ .

b) Verificați rezultatul aflând valoarea lui $E$ pentru $x = 1$ pe ambele forme (cea inițială și cea descompusă).

Exercițiul 18 (5 puncte)

Fără a folosi calculatorul, calculați rapid, transformând fiecare expresie într-un produs (diferență de pătrate):

a) $3 7^{2} - 2 7^{2}$ ; b) $5 3^{2} - 4 7^{2}$ .

Barem și răspunsuri

Punctaj din oficiu: 10 puncte. Total itemi: 90 de puncte. La cerințele de justificare se punctează raționamentul corect chiar dacă rezultatul final are o eroare de calcul izolată, la latitudinea profesorului.

Exercițiul 1. (4 p) Factorul comun este $3 x^{2}$ (coeficientul $3 = c.m.m.d.c. (6, 9)$ , litera comună $x^{2}$ ): $6 x^{3} - 9 x^{2} = 3 x^{2} (2 x - 3) .$ Verificare: $3 x^{2} \cdot 2 x = 6 x^{3}$ , $3 x^{2} \cdot (- 3) = - 9 x^{2}$ .

Exercițiul 2. (4 p) Factorul comun este paranteza $(x - 2)$ : $5 a (x - 2) + 3 (x - 2) = (x - 2) (5 a + 3) .$

Exercițiul 3. (4 p) $25 x^{2} = (5 x)^{2}$ și $16 = 4^{2}$ , deci $a = 5 x$ , $b = 4$ : $25 x^{2} - 16 = (5 x)^{2} - 4^{2} = (5 x - 4) (5 x + 4) .$

Exercițiul 4. (5 p) $x^{2} + 10 x + 25 = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}$ ; termenul din mijloc este $2 \cdot x \cdot 5 = 10 x$ , deci este pătrat perfect: $(x + 5)^{2} .$

Exercițiul 5. (5 p) $9 a^{2} = (3 a)^{2}$ , $4 = 2^{2}$ și $2 \cdot 3 a \cdot 2 = 12 a$ (semnul $-$ ), deci: $9 a^{2} - 12 a + 4 = (3 a)^{2} - 2 \cdot 3 a \cdot 2 + 2^{2} = (3 a - 2)^{2} .$

Exercițiul 6. (5 p) Grupăm câte doi termeni și scoatem factor comun din fiecare grupă: $x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 6 = x^{2} (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x^{2} + 3) .$ (3 p gruparea și factorii comuni parțiali, 2 p paranteza comună.)

Exercițiul 7. (5 p) Câte $1, 25$ p pe subpunct (verdict + justificare).

a) Fals. $(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9 \neq = x^{2} + 9$ ; lipsește termenul $6 x$ . În plus, $x^{2} + 9$ (sumă de pătrate) nu se descompune cu formulele învățate.

b) Adevărat. $4 x^{2} - 9 = (2 x)^{2} - 3^{2} = (2 x - 3) (2 x + 3)$ (diferență de pătrate).

c) Adevărat. $x^{2} - 6 x + 9 = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = (x - 3)^{2}$ .

d) Fals. $(x - 4) (x + 4) = x^{2} - 16$ , nu $16 - x^{2}$ . Descompunerea corectă este $16 - x^{2} = (4 - x) (4 + x)$ .

Exercițiul 8. (5 p) Scoatem întâi factorul comun $2 x$ , apoi aplicăm diferența de pătrate: $2 x^{3} - 8 x = 2 x (x^{2} - 4) = 2 x (x - 2) (x + 2) .$ (2 p factorul comun, 3 p diferența de pătrate.)

Exercițiul 9. (5 p) Scoatem factorul comun $2$ , apoi recunoaștem pătratul perfect: $2 x^{2} + 12 x + 18 = 2 (x^{2} + 6 x + 9) = 2 (x + 3)^{2} .$ (2 p factorul comun, 3 p pătratul perfect.)

Exercițiul 10. (5 p) Scoatem factorul comun $x$ : $x^{2} - 5 x = 0 \Leftrightarrow x (x - 5) = 0.$ Un produs este nul dacă un factor este nul: $x = 0$ sau $x - 5 = 0$ . $x = 0 sau x = 5 .$

Exercițiul 11. (5 p) $4 x^{2} - 25 = (2 x)^{2} - 5^{2} = (2 x - 5) (2 x + 5)$ , deci: $(2 x - 5) (2 x + 5) = 0 \Leftrightarrow 2 x - 5 = 0 sau 2 x + 5 = 0.$ $x = \frac{5}{2} sau x = - \frac{5}{2} .$

Exercițiul 12. (5 p) $x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}$ , deci: $(x + 3)^{2} = 0 \Leftrightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3 .$ (Soluție unică, numită soluție dublă.)

Exercițiul 13. (6 p) Spargem termenul din mijloc: $5 x = 2 x + 3 x$ , apoi grupăm: $x^{2} + 5 x + 6 = x^{2} + 2 x + 3 x + 6 = x (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x + 3) .$ Ecuația devine $(x + 2) (x + 3) = 0$ , deci $x + 2 = 0$ sau $x + 3 = 0$ : $x = - 2 sau x = - 3 .$ Verificare: $(- 2)^{2} + 5 (- 2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$ ; $(- 3)^{2} + 5 (- 3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$ . (4 p descompunerea, 2 p soluțiile.)

Exercițiul 14. (6 p) Câte 2 p pe subpunct.

a) $A = x^{2} - 4 = x^{2} - 2^{2} = (x - 2) (x + 2)$ .

b) Cum o dimensiune este $(x + 2)$ , cealaltă dimensiune este celălalt factor: $(x - 2)$ m. (Are sens: $x > 2 \Rightarrow x - 2 > 0$ .)

c) Pentru $x = 5$ : dimensiunile sunt $x + 2 = 7$ m și $x - 2 = 3$ m, iar aria $A = 7 \cdot 3 = 21 m^{2}$ . Verificare: $A = 5^{2} - 4 = 25 - 4 = 21 m^{2}$ .

Exercițiul 15. (6 p) Grupăm și scoatem factor comun, apoi aplicăm diferența de pătrate: $x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12 = x^{2} (x + 3) - 4 (x + 3) = (x + 3) (x^{2} - 4) = (x + 3) (x - 2) (x + 2) .$ (3 p gruparea până la $(x + 3) (x^{2} - 4)$ , 3 p diferența de pătrate finală.)

Exercițiul 16. (4 p) Descompunem: $N = n^{2} + n = n (n + 1)$ . Numerele $n$ și $n + 1$ sunt naturale consecutive, deci unul dintre ele este par. Produsul unui număr par cu un alt număr este par, așadar $N = n (n + 1)$ este par pentru orice $n \in N$ . q.e.d. (2 p descompunerea $n (n + 1)$ , 2 p argumentul cu numere consecutive.)

Exercițiul 17. (6 p)

a) Cu $A = 2 x + 1$ și $B = x - 3$ : $E = A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B) .$ $A - B = (2 x + 1) - (x - 3) = x + 4; A + B = (2 x + 1) + (x - 3) = 3 x - 2.$ $E = (x + 4) (3 x - 2) . (4 p)$

b) Pentru $x = 1$ :

forma inițială: $E = (2 \cdot 1 + 1)^{2} - (1 - 3)^{2} = 3^{2} - (- 2)^{2} = 9 - 4 = 5$ ;
forma descompusă: $E = (1 + 4) (3 \cdot 1 - 2) = 5 \cdot 1 = 5$ .

Valorile coincid ( $5 = 5$ ), deci descompunerea este corectă. (2 p)

Exercițiul 18. (5 p) Câte $2, 5$ p pe subpunct.

a) $3 7^{2} - 2 7^{2} = (37 - 27) (37 + 27) = 10 \cdot 64 = 640$ .

b) $5 3^{2} - 4 7^{2} = (53 - 47) (53 + 47) = 6 \cdot 100 = 600$ .

Punctaj total: 90 de puncte (itemi) + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică unitatea „Descompuneri în factori" din programa clasei a VIII-a (OMEN 3393/2017), an de Evaluare Națională. Itemii pornesc de la descompuneri directe și urcă spre descompuneri combinate, justificări și rezolvarea ecuațiilor $a x^{2} + b x + c = 0$ prin descompunere în factori (regula produsului nul), acoperind:

Scoaterea factorului comun – factor comun numeric, literal sau o paranteză întreagă.
Gruparea termenilor – gruparea convenabilă pentru a evidenția un factor comun.
Formulele $(a \pm b)^{2}$ – recunoașterea și descompunerea unui trinom pătrat perfect $a^{2} \pm 2 ab + b^{2} = (a \pm b)^{2}$ .
Diferența de pătrate – $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
Descompuneri combinate și aplicații – folosirea a două metode succesive și rezolvarea ecuațiilor $a x^{2} + b x + c = 0$ prin descompunere și regula produsului nul: un produs este zero dacă și numai dacă cel puțin un factor este zero.

Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
Punctaj total: 100 de puncte, dintre care 10 puncte din oficiu. Cei 18 itemi însumează 90 de puncte.
Cum se aplică: elevul lucrează individual, cu toate calculele scrise. La cerințele „justifică", „arată că" sau „adevărat/fals cu motivare" se punctează raționamentul, nu doar rezultatul final. La itemii cu figură, elevul poate reface desenul pe foaie.
Interpretarea notei (orientativ): 90–100 p → foarte bine; 70–89 p → bine; 45–69 p → satisfăcător; sub 45 p → se reia unitatea de descompuneri în factori.

Notație și reguli folosite: litere precum $a, b, x, n$ reprezintă numere reale. A descompune în factori o expresie înseamnă a o scrie ca produs de factori. Formule: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ , $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ , $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ . Regula produsului nul: $A \cdot B = 0 \Leftrightarrow A = 0$ sau $B = 0$ .