Test: Descompuneri în factori — factor comun și grupare

Clasa a VIII-a · Matematică · Descompuneri în factori

Exerciții

Exercițiul 1 (4 puncte)

Scoateți factorul comun (numeric): $$6x+15.$$ Precizați care este factorul comun al termenilor.

Exercițiul 2 (4 puncte)

Descompuneți în factori, scoțând factorul comun: $$10x^2-4x.$$

Exercițiul 3 (5 puncte)

Descompuneți în factori: $$12a^3-18a^2+6a.$$ Indicați factorul comun al celor trei termeni, apoi scrieți produsul.

Exercițiul 4 (4 puncte)

Scoateți factorul comun (o paranteză întreagă): $$5(x-1)+y(x-1).$$

Exercițiul 5 (5 puncte)

Descompuneți în factori prin gruparea termenilor: $$ax+ay+3x+3y.$$

Exercițiul 6 (5 puncte)

Descompuneți în factori prin gruparea termenilor: $$x^3+2x^2+5x+10.$$

Exercițiul 7 (5 puncte)

Descompuneți în factori prin gruparea termenilor (atenție la semne): $$3x^3-12x^2-2x+8.$$

Exercițiul 8 (4 puncte)

Descompuneți în factori, recunoscând un pătrat perfect: $$x^2+10x+25.$$

Exercițiul 9 (5 puncte)

Descompuneți în factori, folosind formula pătratului unei diferențe: $$9x^2-24x+16.$$

Exercițiul 10 (5 puncte)

Descompuneți în factori, folosind diferența de pătrate:

a) $x^2-49$; b) $25a^2-9b^2$.

Exercițiul 11 (5 puncte)

Pentru fiecare afirmație, scrieți Adevărat sau Fals și justificați:

a) $x^2-16=(x-4)(x+4)$;

b) $x^2+9=(x+3{)}^2$;

c) $2x+2=2(x+2)$;

d) $x^2-6x+9=(x-3{)}^2$.

Exercițiul 12 (6 puncte)

Descompuneți complet în factori (întâi factor comun, apoi diferența de pătrate):

a) $5x^2-20$; b) $2x^3-8x$.

Exercițiul 13 (6 puncte)

Descompuneți complet în factori (întâi factor comun, apoi pătrat perfect):

a) $3x^2+12x+12$; b) $2a^2-20a+50$.

Exercițiul 14 (5 puncte)

Trei elevi au scris descompuneri. Verificați prin înmulțire care sunt corecte și corectați-le pe cele greșite:

a) $6x^2-9x=3x(2x-3)$;

b) $x^2-4=(x-2)(x-2)$;

c) $5a+10=5(a+2)$.

Exercițiul 15 (6 puncte)

Rezolvați ecuațiile, folosind descompunerea în factori și regula produsului nul:

a) $x^2-9x=0$; b) $x^2-16=0$.

Exercițiul 16 (6 puncte)

Rezolvați ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$, descompunând membrul stâng prin grupare și aplicând regula produsului nul:

a) $x^2-5x+6=0$; b) $x^2+2x-8=0$.

Exercițiul 17 (6 puncte)

O placă dreptunghiulară are aria dată de expresia $A=2x^2+6x$ (în cm², unde $x>0$).

a) Descompuneți expresia $A$ în factori.

b) Știind că lungimea plăcii este $(x+3)$ cm, aflați lățimea ei (ca expresie în $x$).

c) Calculați aria plăcii pentru $x=4$ cm.

Exercițiul 18 (4 puncte)

Folosind descompunerea în factori, calculați rapid (fără înmulțiri lungi):

a) $47\cdot 6+47\cdot 4$ (scoateți factorul comun);

b) $51^2-49^2$ (folosiți diferența de pătrate).

Barem și răspunsuri

Punctaj din oficiu: 10 puncte. Total itemi: 90 de puncte. La cerințele de justificare se punctează raționamentul corect chiar dacă apare o eroare de calcul izolată, la latitudinea profesorului. Orice descompunere se validează refăcând înmulțirea.

Exercițiul 1. (4 p) Factorul comun al lui $6x$ și $15$ este $3$ (cel mai mare divizor comun). Împărțim fiecare termen la 3: $$6x+15=3(2x+5).$$ $$\boxed{3(2x+5)}$$ (2 p identificarea factorului comun 3, 2 p produsul corect. Verificare: $3\cdot 2x=6x$, $3\cdot 5=15$.)

Exercițiul 2. (4 p) Factorul comun este $2x$ (coeficient $\gcd (10,4)=2$, litera $x$ la puterea cea mai mică): $$10x^2-4x=2x(5x-2).$$ $$\boxed{2x(5x-2)}$$ (Verificare: $2x\cdot 5x=10x^2$, $2x\cdot (-2)=-4x$.)

Exercițiul 3. (5 p) Factorul comun este $6a$ (coeficient $\gcd (12,18,6)=6$, litera $a$ la puterea minimă $a^1$): $$12a^3-18a^2+6a=6a(2a^2-3a+1).$$ $$\boxed{6a(2a^2-3a+1)}$$ (1 p factorul comun $6a$, 4 p paranteza corectă. Verificare: $6a\cdot 2a^2=12a^3$, $6a\cdot (-3a)=-18a^2$, $6a\cdot 1=6a$.)

Exercițiul 4. (4 p) Factorul comun este paranteza $(x-1)$: $$5(x-1)+y(x-1)=(x-1)(5+y).$$ $$\boxed{(x-1)(5+y)}$$

Exercițiul 5. (5 p) Grupăm câte doi termeni și scoatem factor comun din fiecare grupă: $$ax+ay+3x+3y=a(x+y)+3(x+y)=(x+y)(a+3).$$ $$\boxed{(x+y)(a+3)}$$ (3 p gruparea și factorii $a$, $3$; 2 p scoaterea parantezei comune $(x+y)$.)

Exercițiul 6. (5 p) Grupăm: $$x^3+2x^2+5x+10=x^2(x+2)+5(x+2)=(x+2)(x^2+5).$$ $$\boxed{(x+2)(x^2+5)}$$ (Verificare: $(x+2)(x^2+5)=x^3+5x+2x^2+10$.)

Exercițiul 7. (5 p) Grupăm, atenți la semnul minus din a doua grupă: $$3x^3-12x^2-2x+8=3x^2(x-4)-2(x-4)=(x-4)(3x^2-2).$$ $$\boxed{(x-4)(3x^2-2)}$$ (2 p scoaterea corectă a lui $-2$ din $-2x+8$, 3 p paranteza comună. Verificare: $(x-4)(3x^2-2)=3x^3-2x-12x^2+8$.)

Exercițiul 8. (4 p) Recunoaștem pătratul unei sume: $x^2=(x{)}^2$, $25=5^2$, iar $10x=2\cdot x\cdot 5$: $$x^2+10x+25=(x+5{)}^2.$$ $$\boxed{(x+5{)}^2}$$

Exercițiul 9. (5 p) Verificăm pătratul unei diferențe: $9x^2=(3x{)}^2$, $16=4^2$, iar $24x=2\cdot 3x\cdot 4$: $$9x^2-24x+16=(3x-4{)}^2.$$ $$\boxed{(3x-4{)}^2}$$ (2 p identificarea termenilor $3x$ și $4$, 1 p verificarea dublului produs $24x$, 2 p forma finală.)

Exercițiul 10. (5 p) Câte $2,5$ p pe subpunct.

a) $x^2-49=x^2-7^2=\boxed{(x-7)(x+7)}$.

b) $25a^2-9b^2=(5a{)}^2-(3b{)}^2=\boxed{(5a-3b)(5a+3b)}$.

Exercițiul 11. (5 p) Câte $1,25$ p pe subpunct (verdict + justificare).

a) Adevărat. Este diferența de pătrate: $x^2-4^2=(x-4)(x+4)$.

b) Fals. $(x+3{)}^2=x^2+6x+9\ne x^2+9$. O sumă de pătrate ($x^2+9$) nu se descompune în factori (în mulțimea numerelor reale).

c) Fals. Factorul comun este 2, dar $2\cdot 2=4$, nu 2; corect: $2x+2=2(x+1)$. (Verificare: $2(x+1)=2x+2$.)

d) Adevărat. $x^2-6x+9=(x-3{)}^2$, deoarece $6x=2\cdot x\cdot 3$ și $9=3^2$.

Exercițiul 12. (6 p) Câte 3 p pe subpunct.

a) Factor comun 5, apoi diferență de pătrate: $$5x^2-20=5(x^2-4)=\boxed{5(x-2)(x+2)}.$$

b) Factor comun $2x$, apoi diferență de pătrate: $$2x^3-8x=2x(x^2-4)=\boxed{2x(x-2)(x+2)}.$$ (La fiecare: 1 p factorul comun, 2 p diferența de pătrate.)

Exercițiul 13. (6 p) Câte 3 p pe subpunct.

a) Factor comun 3, apoi pătrat perfect: $$3x^2+12x+12=3(x^2+4x+4)=\boxed{3(x+2{)}^2}.$$

b) Factor comun 2, apoi pătrat perfect: $$2a^2-20a+50=2(a^2-10a+25)=\boxed{2(a-5{)}^2}.$$ (La fiecare: 1 p factorul comun, 2 p recunoașterea pătratului perfect.)

Exercițiul 14. (5 p) Verificăm fiecare descompunere înmulțind factorii.

a) Corectă. $3x(2x-3)=6x^2-9x$. ✓ (1,5 p)

b) Greșită. $(x-2)(x-2)=(x-2{)}^2=x^2-4x+4\ne x^2-4$. Corect (diferență de pătrate): $x^2-4=\boxed{(x-2)(x+2)}$. (2 p: 1 p pentru sesizarea greșelii, 1 p pentru corectare)

c) Corectă. $5(a+2)=5a+10$. ✓ (1,5 p)

Exercițiul 15. (6 p) Câte 3 p pe subpunct.

a) Factor comun $x$: $$x^2-9x=0\Rightarrow x(x-9)=0\Rightarrow x=0\text{sau}x-9=0.$$ $$\boxed{x=0\text{sau}x=9}$$

b) Diferență de pătrate: $$x^2-16=0\Rightarrow (x-4)(x+4)=0\Rightarrow x-4=0\text{sau}x+4=0.$$ $$\boxed{x=4\text{sau}x=-4}$$ (La fiecare: 1,5 p descompunerea, 1,5 p aplicarea produsului nul și soluțiile.)

Exercițiul 16. (6 p) Câte 3 p pe subpunct. Descompunem trinomul prin grupare (rescriem termenul din mijloc).

a) $x^2-5x+6=x^2-2x-3x+6=x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x-3)$. $$(x-2)(x-3)=0\Rightarrow \boxed{x=2\text{sau}x=3}.$$ (Verificare: $2+3=5$, $2\cdot 3=6$.)

b) $x^2+2x-8=x^2+4x-2x-8=x(x+4)-2(x+4)=(x+4)(x-2)$. $$(x+4)(x-2)=0\Rightarrow \boxed{x=-4\text{sau}x=2}.$$ (Verificare pentru $x=2$: $4+4-8=0$; pentru $x=-4$: $16-8-8=0$.) (La fiecare: 2 p descompunerea prin grupare, 1 p soluțiile din produsul nul.)

Exercițiul 17. (6 p) Câte 2 p pe subpunct.

a) Factor comun $2x$: $A=2x^2+6x=\boxed{2x(x+3)}$ cm².

b) Aria = lungime × lățime. Cum $A=2x(x+3)$ și lungimea este $(x+3)$, lățimea este $\boxed{2x}$ cm.

c) Pentru $x=4$: $A=2\cdot 4^2+6\cdot 4=32+24=\boxed{56}$ cm². (Verificare cu forma descompusă: $2\cdot 4\cdot (4+3)=8\cdot 7=56$ cm².)

Exercițiul 18. (4 p) Câte 2 p pe subpunct.

a) Scoatem factorul comun 47: $47\cdot 6+47\cdot 4=47\cdot (6+4)=47\cdot 10=\boxed{470}$.

b) Diferență de pătrate: $51^2-49^2=(51-49)(51+49)=2\cdot 100=\boxed{200}$.

Punctaj total: 90 de puncte (itemi) + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică unitatea „Descompuneri în factori" din programa clasei a VIII-a (OMEN 3393/2017), an de Evaluare Națională. Itemii pornesc de la descompuneri directe și urcă spre raționament, justificare și aplicații (arii, calcul rapid, ecuații), acoperind:

1. Scoaterea factorului comun – identificarea factorului comun (numeric și literal) și scrierea expresiei ca produs.
2. Descompunerea prin gruparea termenilor – gruparea convenabilă, cu atenție la semne.
3. Descompunerea cu formulele $(a\pm b{)}^2$ – recunoașterea pătratului perfect: $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$ și $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$.
4. Descompunerea cu diferența de pătrate – $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
5. Descompuneri combinate și aplicații – întâi factor comun, apoi o formulă; verificarea rezultatului prin înmulțire; rezolvarea ecuațiilor $a{x}^2+bx+c=0$ prin produs nul (descompunere în factori, fără formula discriminantului).

• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Punctaj total: 100 de puncte, dintre care 10 puncte din oficiu. Cei 18 itemi însumează 90 de puncte.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, cu toate calculele scrise. La cerințele „justifică", „verifică" sau „adevărat/fals cu motivare" se punctează raționamentul, nu doar rezultatul. Orice descompunere poate fi verificată refăcând înmulțirea: produsul factorilor trebuie să dea expresia inițială.
• Interpretarea notei (orientativ): 90–100 p → foarte bine; 70–89 p → bine; 45–69 p → satisfăcător; sub 45 p → se reia unitatea de descompuneri în factori.

Notație și reguli folosite: litere precum $a,b,x,y$ reprezintă numere reale. A descompune în factori = a scrie o sumă ca produs. Factor comun = factorul (număr și/sau litere la cea mai mică putere) care apare în toți termenii. Formule: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$, $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Regula produsului nul: un produs este $0$ dacă și numai dacă cel puțin un factor este $0$.