Test: Ecuația $a x + b = 0$

Clasa a VII-a · Matematică · Unitatea „Ecuații liniare"

Exerciții

Exercițiul 1 — Necunoscută, soluție, verificare (6 puncte)

Se dă ecuația $3 x - 4 = 11$ .

a) Precizează care este necunoscuta, care este membrul stâng și care este membrul drept. (2 p) b) Verifică, prin înlocuire, care dintre numerele $- 5$ , $0$ și $5$ este soluție a ecuației. (3 p) c) Scrie mulțimea soluțiilor $S$ . (1 p)

Exercițiul 2 — Identitate, ecuație cu o soluție sau ecuație imposibilă (6 puncte)

Pentru fiecare egalitate, stabilește dacă este:

identitate (adevărată pentru orice valoare a lui $x$ ),
ecuație cu exact o soluție, sau
ecuație imposibilă (fără nicio soluție).

Justifică pe scurt.

a) $2 (x + 3) = 2 x + 6$ b) $3 x + 1 = 10$ c) $x + 5 = x - 2$ d) $4 x = 4 x$

Exercițiul 3 — Transformări echivalente: Adevărat / Fals cu motivare (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și motivează în una–două propoziții:

a) Dacă adunăm același număr la ambii membri ai unei ecuații, obținem o ecuație echivalentă. b) Dacă înmulțim ambii membri ai unei ecuații cu $0$ , obținem o ecuație echivalentă. c) Ecuațiile $x + 3 = 7$ și $x = 4$ sunt echivalente. d) Ecuațiile $x = 2$ și $x^{2} = 4$ sunt echivalente.

Exercițiul 4 — Rezolvarea ecuației $a x + b = 0$ (8 puncte — câte 2 p)

Rezolvă în $R$ și scrie de fiecare dată mulțimea soluțiilor $S$ :

a) $2 x - 8 = 0$ b) $5 x + 15 = 0$ c) $- 3 x + 12 = 0$ d) $7 x - 2 = 0$

Exercițiul 5 — Ecuații reductibile la forma $a x + b = 0$ (paranteze) (6 puncte)

Rezolvă, desfăcând parantezele și reducând termenii asemenea:

a) $3 (x - 2) = x + 4$ b) $2 (x + 1) - 3 (x - 4) = 5$ c) $5 x - 3 = 2 (x + 3)$

Pentru punctul a) verifică soluția prin înlocuire în ecuația inițială.

Exercițiul 6 — Ecuații cu numitori numerici (6 puncte)

Rezolvă, aducând la același numitor (numitorii sunt numere):

a) $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5$ b) $\frac{x - 1}{4} = \frac{x + 2}{6}$

Exercițiul 7 — Cazurile unei ecuații liniare (6 puncte)

Pentru fiecare ecuație, adu-o la forma cea mai simplă și precizează dacă are o soluție, nicio soluție sau o infinitate de soluții. Scrie mulțimea $S$ .

a) $4 x - 1 = 4 x + 3$ b) $3 (x - 2) = 3 x - 6$ c) $2 x + 5 = 9$

Exercițiul 8 — Determinarea coeficientului dintr-o soluție dată (5 puncte)

a) Determină numărul $a$ astfel încât $x = 2$ să fie soluție a ecuației $a x - 5 = 3$ . (2,5 p) b) Determină numărul $a$ astfel încât $x = - 1$ să fie soluție a ecuației $3 x + a = 5$ . (2,5 p)

Exercițiul 9 — Determinarea termenului liber (5 puncte)

a) Se știe că $x = - 3$ este soluție a ecuației $4 x + b = 2$ . Află $b$ . (2,5 p) b) Ecuația $2 x + 5 = a$ are soluția $x = 3$ . Află $a$ . (2,5 p)

Exercițiul 10 — Modelare: abonament la sala de sport (6 puncte)

O sală de sport percepe o taxă de înscriere de $40$ lei, plus $25$ lei pentru fiecare lună de abonament. Un client a plătit în total $240$ lei.

a) Notează cu $x$ numărul de luni și scrie ecuația care modelează situația. (2 p) b) Rezolvă ecuația și află câte luni a folosit clientul sala. (3 p) c) Verifică răspunsul în contextul problemei. (1 p)

Exercițiul 11 — Modelare geometrică: dimensiunile unui dreptunghi (6 puncte)

Perimetrul unui teren dreptunghiular este de $54$ m, iar lungimea este cu $7$ m mai mare decât lățimea.

a) Notează lățimea cu $x$ și scrie ecuația perimetrului. (2 p) b) Rezolvă ecuația și află dimensiunile terenului. (3 p) c) Verifică prin recalcularea perimetrului. (1 p)

Exercițiul 12 — Modelare: numere consecutive (5 puncte)

Suma a trei numere naturale consecutive este $84$ .

a) Notează cel mai mic număr cu $x$ și scrie ecuația. (2 p) b) Rezolvă și determină cele trei numere. (3 p)

Exercițiul 13 — Ecuații cu coeficient radical (raționalizare) (5 puncte)

Rezolvă în $R$ și scrie soluția cu numitorul raționalizat, sub forma $a b$ :

a) $2 x - 4 = 0$ b) $3 x = 6$

Exercițiul 14 — Modelare geometrică: unghiuri suplementare (5 puncte)

Două unghiuri sunt suplementare (suma măsurilor lor este $18 0^{\circ}$ ), iar unul dintre ele este cu $3 0^{\circ}$ mai mare decât celălalt.

a) Notează măsura celui mai mic unghi cu $x$ și scrie ecuația. (2 p) b) Rezolvă și află măsurile celor două unghiuri. (3 p)

Exercițiul 15 — Găsește greșeala (5 puncte)

Un elev a rezolvat ecuația $3 x - 5 = x + 7$ astfel:

$3 x - x = 7 - 5$ $2 x = 2$ $x = 1$

a) Verifică soluția $x = 1$ prin înlocuire în ecuația inițială. Este corectă? (2 p) b) Identifică greșeala din rezolvare și explic-o. (2 p) c) Rezolvă corect ecuația și scrie mulțimea soluțiilor. (1 p)

Exercițiul 16 — Modelare: compararea a două oferte (4 puncte)

Un operator oferă două abonamente de telefonie:

Oferta A: $20$ lei pe lună + $0, 5$ lei pentru fiecare minut vorbit;
Oferta B: $35$ lei pe lună, cu minute nelimitate.

a) Notează cu $x$ numărul de minute și scrie ecuația care exprimă egalitatea costurilor celor două oferte. (2 p) b) Rezolvă ecuația: pentru câte minute vorbite cele două oferte costă la fel? (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj: 16 itemi = 90 p + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1 (6 p)

a) Necunoscuta este $x$ ; membrul stâng este $3 x - 4$ ; membrul drept este $11$ . (2 p) b) Verificare: (3 p)

$x = - 5 : 3 \cdot (- 5) - 4 = - 19 \neq = 11$ → nu este soluție;
$x = 0 : 3 \cdot 0 - 4 = - 4 \neq = 11$ → nu este soluție;
$x = 5 : 3 \cdot 5 - 4 = 11 = 11$ → este soluție.

c) $S = {5}$ . (1 p)

Exercițiul 2 (6 p — câte 1,5 p)

a) Identitate — $2 (x + 3) = 2 x + 6$ este adevărată pentru orice $x$ . b) Ecuație cu o soluție — $3 x + 1 = 10 \Rightarrow 3 x = 9 \Rightarrow x = 3$ ; $S = {3}$ . c) Ecuație imposibilă — $x + 5 = x - 2 \Rightarrow 5 = - 2$ (fals), deci $S = \emptyset$ . d) Identitate — $4 x = 4 x$ este adevărată pentru orice $x$ .

Exercițiul 3 (6 p — câte 1,5 p)

a) A — adunarea aceluiași număr la ambii membri este o transformare echivalentă. b) F — înmulțirea ambilor membri cu $0$ transformă orice ecuație în $0 = 0$ ; se pierd informațiile despre soluții, deci nu păstrează echivalența. c) A — din $x + 3 = 7$ scădem $3$ și obținem $x = 4$ ; au aceeași soluție. d) F — $x^{2} = 4$ are soluțiile $x = 2$ și $x = - 2$ , pe când $x = 2$ are o singură soluție; nu au aceeași mulțime de soluții.

Exercițiul 4 (8 p — câte 2 p)

a) $2 x - 8 = 0 \Rightarrow 2 x = 8 \Rightarrow x = 4$ ; $S = {4}$ . b) $5 x + 15 = 0 \Rightarrow 5 x = - 15 \Rightarrow x = - 3$ ; $S = {- 3}$ . c) $- 3 x + 12 = 0 \Rightarrow - 3 x = - 12 \Rightarrow x = 4$ ; $S = {4}$ . d) $7 x - 2 = 0 \Rightarrow 7 x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{7}$ ; $S = {\frac{2}{7}}$ .

Exercițiul 5 (6 p — câte 2 p)

a) $3 (x - 2) = x + 4 \Rightarrow 3 x - 6 = x + 4 \Rightarrow 2 x = 10 \Rightarrow x = 5$ ; $S = {5}$ . Verificare: $3 (5 - 2) = 9$ și $5 + 4 = 9$ → egalitate adevărată. ✓ b) $2 (x + 1) - 3 (x - 4) = 5 \Rightarrow 2 x + 2 - 3 x + 12 = 5 \Rightarrow - x + 14 = 5 \Rightarrow - x = - 9 \Rightarrow x = 9$ ; $S = {9}$ . c) $5 x - 3 = 2 (x + 3) \Rightarrow 5 x - 3 = 2 x + 6 \Rightarrow 3 x = 9 \Rightarrow x = 3$ ; $S = {3}$ .

Exercițiul 6 (6 p — câte 3 p)

a) Înmulțim cu $6$ : $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5 \Rightarrow 3 x + 2 x = 30 \Rightarrow 5 x = 30 \Rightarrow x = 6$ ; $S = {6}$ . b) Înmulțim cu $12$ : $\frac{x - 1}{4} = \frac{x + 2}{6} \Rightarrow 3 (x - 1) = 2 (x + 2) \Rightarrow 3 x - 3 = 2 x + 4 \Rightarrow x = 7$ ; $S = {7}$ . (Verificare: $\frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ și $\frac{7 + 2}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ .) ✓

Exercițiul 7 (6 p — câte 2 p)

a) $4 x - 1 = 4 x + 3 \Rightarrow - 1 = 3$ (fals) → nicio soluție; $S = \emptyset$ . b) $3 (x - 2) = 3 x - 6 \Rightarrow 3 x - 6 = 3 x - 6$ (mereu adevărat) → o infinitate de soluții; $S = R$ . c) $2 x + 5 = 9 \Rightarrow 2 x = 4 \Rightarrow x = 2$ → o soluție; $S = {2}$ .

Idee: după aducerea la forma $a x = c$ , dacă $a \neq = 0$ ecuația are o soluție; dacă $a = 0$ și $c = 0$ are o infinitate; dacă $a = 0$ și $c \neq = 0$ nu are soluții.

Exercițiul 8 (5 p)

a) $x = 2$ soluție $\Rightarrow a \cdot 2 - 5 = 3 \Rightarrow 2 a = 8 \Rightarrow a = 4$ . (2,5 p) b) $x = - 1$ soluție $\Rightarrow 3 \cdot (- 1) + a = 5 \Rightarrow - 3 + a = 5 \Rightarrow a = 8$ . (2,5 p)

Exercițiul 9 (5 p)

a) $4 \cdot (- 3) + b = 2 \Rightarrow - 12 + b = 2 \Rightarrow b = 14$ . (2,5 p) b) $2 \cdot 3 + 5 = a \Rightarrow a = 11$ . (2,5 p)

Exercițiul 10 (6 p)

a) Ecuația: $40 + 25 x = 240$ . (2 p) b) $25 x = 200 \Rightarrow x = 8$ → clientul a folosit sala 8 luni. (3 p) c) Verificare: $40 + 25 \cdot 8 = 40 + 200 = 240$ lei. ✓ (1 p)

Exercițiul 11 (6 p)

a) Lățime $x$ , lungime $x + 7$ ; perimetrul: $2 (x + (x + 7)) = 54$ . (2 p) b) $2 (2 x + 7) = 54 \Rightarrow 4 x + 14 = 54 \Rightarrow 4 x = 40 \Rightarrow x = 10$ ; lungimea $= 10 + 7 = 17$ . Dimensiuni: lățime $10$ m, lungime $17$ m. (3 p) c) Verificare: $2 (10 + 17) = 2 \cdot 27 = 54$ m. ✓ (1 p)

Exercițiul 12 (5 p)

a) Numerele: $x$ , $x + 1$ , $x + 2$ ; ecuația: $x + (x + 1) + (x + 2) = 84$ . (2 p) b) $3 x + 3 = 84 \Rightarrow 3 x = 81 \Rightarrow x = 27$ → numerele sunt $27$ , $28$ , $29$ . (Verificare: $27 + 28 + 29 = 84$ .) ✓ (3 p)

Exercițiul 13 (5 p — câte 2,5 p)

a) $2 x - 4 = 0 \Rightarrow 2 x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{2} = \frac{4 2}{2} = 22$ ; $S = {22}$ . b) $3 x = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{3} = \frac{6 3}{3} = 23$ ; $S = {23}$ .

Exercițiul 14 (5 p)

a) Unghiuri: $x$ și $x + 30$ ; suma $18 0^{\circ}$ : $x + (x + 30) = 180$ . (2 p) b) $2 x + 30 = 180 \Rightarrow 2 x = 150 \Rightarrow x = 75$ ; celălalt $= 75 + 30 = 105$ . Măsurile sunt $7 5^{\circ}$ și $10 5^{\circ}$ . (3 p) (Verificare: $7 5^{\circ} + 10 5^{\circ} = 18 0^{\circ}$ .) ✓

Exercițiul 15 (5 p)

a) Verificare $x = 1$ : membrul stâng $3 \cdot 1 - 5 = - 2$ ; membrul drept $1 + 7 = 8$ ; $- 2 \neq = 8$ → soluția nu este corectă. (2 p) b) Greșeala este la trecerea lui $- 5$ în membrul drept: la mutare, termenul își schimbă semnul, deci $- 5$ trebuie să devină $+ 5$ , nu $- 5$ . Corect: $3 x - x = 7 + 5$ . (2 p) c) $3 x - 5 = x + 7 \Rightarrow 3 x - x = 7 + 5 \Rightarrow 2 x = 12 \Rightarrow x = 6$ ; $S = {6}$ . (Verificare: $3 \cdot 6 - 5 = 13$ și $6 + 7 = 13$ .) ✓ (1 p)

Exercițiul 16 (4 p)

a) Egalitatea costurilor: $20 + 0, 5 x = 35$ . (2 p) b) $0, 5 x = 15 \Rightarrow x = 30$ → pentru $30$ de minute cele două oferte costă la fel (câte $35$ lei). (2 p)

Total: 90 p (itemi) + 10 p (oficiu) = 100 p.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică dacă elevul: distinge o egalitate echivalentă de o identitate, înțelege noțiunile de necunoscută, soluție și verificare, aplică transformările echivalente ale unei ecuații, rezolvă ecuații de forma $a x + b = 0$ și ecuații reductibile la această formă, recunoaște cele trei cazuri (o soluție, nicio soluție, o infinitate de soluții) și modelează situații practice prin ecuații liniare.

Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
Punctaj total: 100 de puncte, dintre care 10 puncte din oficiu. Cele 16 cerințe însumează 90 de puncte.
Cum se aplică: elevul lucrează individual, cu calcule scrise și justificări. La ecuații se cere scrierea mulțimii soluțiilor $S$ și, acolo unde se indică, verificarea soluției prin înlocuire în ecuația inițială. La itemii de modelare se cere alegerea necunoscutei, formarea ecuației, rezolvarea și răspunsul în contextul problemei.
Interpretarea notei (aproximativ): 90–100 p → foarte bine; 70–89 p → bine; 45–69 p → satisfăcător; sub 45 p → se reia unitatea.

Notație folosită: $S$ este mulțimea soluțiilor unei ecuații; $S = \emptyset$ înseamnă „fără soluții"; $S = R$ înseamnă „orice număr real este soluție". Prin „membrul stâng / membrul drept" înțelegem expresiile din stânga, respectiv din dreapta semnului $=$ . Rezolvarea se face în $R$ .

Test: Ecuația ax+b=0