Test: Ecuația ax² + bx + c = 0 și probleme

Clasa a VIII-a · Matematică · Ecuații de forma ax² + bx + c = 0

Exerciții

Exercițiul 1 (4 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale, folosind principiul produsului nul: $$(x-4)(x+7)=0.$$

Exercițiul 2 (4 puncte)

Rezolvați ecuația scoțând factorul comun: $$x^2-6x=0.$$

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați ecuația: $$5x^2-20x=0.$$

Exercițiul 4 (4 puncte)

Rezolvați ecuația: $$x^2-16=0.$$

Exercițiul 5 (5 puncte)

Rezolvați ecuația: $$3x^2-27=0.$$

Exercițiul 6 (5 puncte)

Rezolvați ecuația, folosind diferența de pătrate: $$9x^2-4=0.$$

Exercițiul 7 (4 puncte)

Arătați că ecuația $x^2+9=0$ nu are soluții reale. Justificați printr-un argument, nu doar prin „încercări".

Exercițiul 8 (5 puncte)

Pentru fiecare afirmație, scrieți Adevărat sau Fals și justificați pe scurt:

a) Ecuația $x^2=0$ are o singură soluție reală.

b) Dacă $(x-2)(x+3)=0$, atunci $x=2$ și $x=3$ simultan.

c) Ecuația $x^2-5x=0$ are printre soluții și $x=0$.

d) Ecuația $x^2+1=0$ are soluțiile $x=1$ și $x=-1$.

Exercițiul 9 (5 puncte)

Rezolvați ecuația, recunoscând un pătrat perfect: $$x^2-10x+25=0.$$

Exercițiul 10 (6 puncte)

Rezolvați ecuația prin descompunere în factori (grupare): $$x^2-7x+12=0.$$

Exercițiul 11 (6 puncte)

Rezolvați ecuația prin descompunere în factori: $$x^2+2x-15=0.$$

Exercițiul 12 (5 puncte)

Rezolvați ecuația (scoateți întâi factorul comun, apoi descompuneți): $$2x^2-8x+6=0.$$

Exercițiul 13 (5 puncte)

Se dă expresia $E(x)=x^2-9$.

a) Rezolvați ecuația $E(x)=0$.

b) Aflați numerele reale $x$ pentru care $E(x)=16$.

Exercițiul 14 (6 puncte)

Un dreptunghi are lungimea cu 3 cm mai mare decât lățimea, iar aria lui este de $40{\text{cm}}^2$.

a) Notând cu $x$ lățimea (în cm), scrieți ecuația care rezolvă problema.

b) Rezolvați ecuația și determinați dimensiunile dreptunghiului.

Exercițiul 15 (5 puncte)

Produsul a două numere naturale consecutive este 56. Aflați numerele.

Exercițiul 16 (6 puncte)

Într-un triunghi dreptunghic, o catetă are lungimea $x$ cm, cealaltă catetă este cu 7 cm mai lungă, iar ipotenuza are 13 cm.

a) Folosind teorema lui Pitagora, scrieți ecuația în necunoscuta $x$ și aduceți-o la forma $a{x}^2+bx+c=0$.

b) Rezolvați ecuația și aflați lungimile catetelor.

Exercițiul 17 (5 puncte)

Suma dintre un număr natural și pătratul acelui număr este 30. Aflați numărul.

Exercițiul 18 (5 puncte)

Un elev afirmă: „Ecuația $2x^2-x=0$ are o singură soluție, $x=\frac{1}{2}$." Stabiliți dacă afirmația este adevărată sau falsă și corectați-o dacă e cazul, rezolvând corect ecuația. Explicați ce greșeală tipică a făcut elevul.

Barem și răspunsuri

Punctaj din oficiu: 10 puncte. Total itemi: 90 de puncte. La cerințele de justificare se punctează raționamentul corect chiar dacă apare o eroare de calcul izolată, la latitudinea profesorului. La probleme, soluția care nu are sens în context (lungime negativă, număr nenatural) trebuie respinsă cu motivare pentru punctaj complet.

Exercițiul 1. (4 p) Un produs este nul dacă un factor este nul: $$x-4=0\text{sau}x+7=0\Rightarrow \boxed{x_1=4,x_2=-7}.$$ (2 p pentru fiecare soluție.)

Exercițiul 2. (4 p) Scoatem factorul comun $x$: $x(x-6)=0$. $$x=0\text{sau}x-6=0\Rightarrow \boxed{x_1=0,x_2=6}.$$ (2 p factorul comun, 2 p soluțiile.)

Exercițiul 3. (5 p) $5x^2-20x=5x(x-4)=0$. $$5x=0\text{sau}x-4=0\Rightarrow \boxed{x_1=0,x_2=4}.$$

Exercițiul 4. (4 p) $x^2-16=(x-4)(x+4)=0$ (sau $x^2=16$). $$\boxed{x_1=4,x_2=-4}.$$

Exercițiul 5. (5 p) $3x^2-27=0\Rightarrow 3x^2=27\Rightarrow x^2=9$. $$\boxed{x_1=3,x_2=-3}.$$ (Echivalent: $3(x-3)(x+3)=0$.)

Exercițiul 6. (5 p) $9x^2-4=(3x{)}^2-2^2=(3x-2)(3x+2)=0$. $$3x-2=0\text{sau}3x+2=0\Rightarrow \boxed{x_1=\frac{2}{3},x_2=-\frac{2}{3}}.$$ (2 p descompunerea, 3 p soluțiile.)

Exercițiul 7. (4 p) Pentru orice număr real $x$ avem $x^2\ge 0$, deci $x^2+9\ge 9>0$. Suma nu poate fi niciodată 0, prin urmare ecuația nu are soluții reale. (Echivalent: $x^2=-9$ este imposibil, fiindcă un pătrat nu poate fi negativ.) q.e.d.

Exercițiul 8. (5 p) Câte $1,25$ p pe subpunct (verdict + motivare).

a) Adevărat. $x^2=0\Rightarrow x=0$; este singura valoare (soluție „dublă"), deci o singură soluție reală.

b) Fals. Din $(x-2)(x+3)=0$ rezultă $x=2$ sau $x=-3$ (nu simultan, și nu $x=3$). Sunt două soluții distincte.

c) Adevărat. $x^2-5x=x(x-5)=0\Rightarrow x=0$ sau $x=5$; deci $x=0$ este într-adevăr soluție.

d) Fals. $x^2+1=0\Rightarrow x^2=-1$, imposibil; ecuația nu are soluții reale (verificare: $1^2+1=2\ne 0$).

Exercițiul 9. (5 p) Recunoaștem pătratul perfect: $x^2-10x+25=(x-5{)}^2$. $$(x-5{)}^2=0\Rightarrow x-5=0\Rightarrow \boxed{x=5}.$$ Ecuația are o singură soluție reală (rădăcină dublă).

Exercițiul 10. (6 p) Căutăm doi termeni care descompun pe $-7x$ și dau produsul $12$: $-3x$ și $-4x$. $$x^2-3x-4x+12=x(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x-4)=0.$$ $$\boxed{x_1=3,x_2=4}.$$ (3 p descompunerea, 3 p soluțiile. Verificare: $3+4=7$, $3\cdot 4=12$.)

Exercițiul 11. (6 p) Descompunem pe $2x$ ca $5x-3x$ (fiindcă $5\cdot (-3)=-15$): $$x^2+5x-3x-15=x(x+5)-3(x+5)=(x+5)(x-3)=0.$$ $$\boxed{x_1=-5,x_2=3}.$$ (Atenție la semne: factorii sunt $x+5$ și $x-3$, cu soluțiile $-5$ și $3$. Verificare directă: $(-5{)}^2+2(-5)-15=25-10-15=0$ ✓; $3^2+2\cdot 3-15=9+6-15=0$ ✓.)

Exercițiul 12. (5 p) Scoatem factorul comun 2: $2(x^2-4x+3)=0\Rightarrow x^2-4x+3=0$. Descompunem: $x^2-x-3x+3=x(x-1)-3(x-1)=(x-1)(x-3)=0$. $$\boxed{x_1=1,x_2=3}.$$ (2 p factorul comun, 3 p descompunerea și soluțiile.)

Exercițiul 13. (5 p) Câte $2,5$ p pe subpunct.

a) $E(x)=0\Rightarrow x^2-9=0\Rightarrow x^2=9\Rightarrow \boxed{x_1=3,x_2=-3}$.

b) $E(x)=16\Rightarrow x^2-9=16\Rightarrow x^2=25\Rightarrow \boxed{x_1=5,x_2=-5}$.

Exercițiul 14. (6 p) Fie $x$ lățimea (cm), $x>0$; lungimea este $x+3$.

a) Aria: $x(x+3)=40$, adică $\boxed{x^2+3x-40=0}$. (2 p)

b) Descompunem: $x^2+8x-5x-40=x(x+8)-5(x+8)=(x+8)(x-5)=0$, deci $x=-8$ sau $x=5$. Cum $x$ este o lungime, $x=-8$ se respinge; rămâne $x=5$. Lățimea $=5$ cm, lungimea $=8$ cm. (4 p: descompunere + soluții + respingerea valorii negative) (Verificare: $5\cdot 8=40{\text{cm}}^2$ ✓.)

Exercițiul 15. (5 p) Fie $n$ și $n+1$ numerele consecutive, $n\in \mathbb{N}$. $$n(n+1)=56\Rightarrow n^2+n-56=0.$$ Descompunem: $n^2+8n-7n-56=n(n+8)-7(n+8)=(n+8)(n-7)=0\Rightarrow n=-8$ sau $n=7$. Cum $n$ este natural, $n=-8$ se respinge; rămâne $n=7$. Numerele sunt $\boxed{7\text{ și }8}$. (Verificare: $7\cdot 8=56$ ✓.)

Exercițiul 16. (6 p) Câte 3 p pe subpunct.

a) Teorema lui Pitagora (ipotenuza la pătrat = suma pătratelor catetelor): $$x^2+(x+7{)}^2=13^2.$$ Dezvoltăm: $x^2+x^2+14x+49=169\Rightarrow 2x^2+14x-120=0\Rightarrow \boxed{x^2+7x-60=0}$ (după împărțire cu 2).

b) Descompunem: $x^2+12x-5x-60=x(x+12)-5(x+12)=(x+12)(x-5)=0\Rightarrow x=-12$ sau $x=5$. Cum $x$ este o lungime, $x=-12$ se respinge; rămâne $x=5$. Catetele au $5$ cm și $5+7=12$ cm. (Verificare: $5^2+12^2=25+144=169=13^2$ ✓.)

Exercițiul 17. (5 p) Fie $n\in \mathbb{N}$ numărul căutat: $n+n^2=30\Rightarrow n^2+n-30=0$. Descompunem: $n^2+6n-5n-30=n(n+6)-5(n+6)=(n+6)(n-5)=0\Rightarrow n=-6$ sau $n=5$. Cum $n$ este natural, $n=-6$ se respinge; numărul este $\boxed{n=5}$. (Verificare: $5+5^2=5+25=30$ ✓.)

Exercițiul 18. (5 p) Afirmația este falsă. Rezolvarea corectă folosește factorul comun: $$2x^2-x=x(2x-1)=0\Rightarrow x=0\text{sau}2x-1=0\Rightarrow \boxed{x_1=0,x_2=\frac{1}{2}}.$$ Ecuația are două soluții, nu una. Greșeala tipică a elevului: a împărțit ecuația la $x$ (pierzând soluția $x=0$), în loc să scoată factorul comun $x$. La ecuațiile de gradul al II-lea nu se împarte niciodată la necunoscută, deoarece se pierde soluția $x=0$. (2 p verdict „fals" + identificarea greșelii, 3 p rezolvarea corectă cu ambele soluții.)

Punctaj total: 90 de puncte (itemi) + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică unitatea „Ecuații de forma $a{x}^2+bx+c=0$" din programa clasei a VIII-a (OMEN 3393/2017), an de Evaluare Națională. Toate ecuațiile se rezolvă exclusiv prin descompunere în factori și principiul produsului nul — la clasa a VIII-a nu se folosesc formula discriminantului $\Delta =b^2-4ac$ și nu se folosesc relațiile lui Viète (acestea intră la clasa a IX-a). Itemii urcă gradat, de la ecuații simple la probleme aplicate de numere și geometrie, acoperind:

1. Principiul produsului nul — un produs este zero dacă și numai dacă cel puțin un factor este zero.
2. Ecuația $a{x}^2+bx=0$ — rezolvare prin scoaterea factorului comun.
3. Ecuația $a{x}^2+c=0$ și $a{x}^2-b^2=0$ — izolarea pătratului și diferența de pătrate; recunoașterea cazului fără soluții reale.
4. Ecuația completă $a{x}^2+bx+c=0$ — descompunere în factori prin grupare sau pătrat perfect.
5. Probleme care conduc la ecuații de gradul al II-lea (numere, arii, teorema lui Pitagora), cu selectarea soluției care are sens în context.

• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Punctaj total: 100 de puncte, dintre care 10 puncte din oficiu. Cei 18 itemi însumează 90 de puncte.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, cu toate calculele scrise. La cerințele „justifică", „arată că" și „adevărat/fals cu motivare" se punctează raționamentul, nu doar rezultatul. La problemele cu figură, elevul poate reface desenul pe foaie. La probleme se cere obligatoriu verificarea soluției și eliminarea valorilor care nu au sens (lungimi negative etc.).
• Interpretarea notei (orientativ): 90–100 p → foarte bine; 70–89 p → bine; 45–69 p → satisfăcător; sub 45 p → se reia unitatea.

Notație și reguli folosite: o ecuație de gradul al II-lea are forma $a{x}^2+bx+c=0$, cu $a\ne 0$. Principiul produsului nul: dacă $P\cdot Q=0$, atunci $P=0$ sau $Q=0$. Formule utile: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, $(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$. Atenție: pătratul oricărui număr real este $\ge 0$, deci o ecuație de forma $x^2=(\text{numa˘r negativ})$ nu are soluții reale.