Test: Ecuații liniare

Clasa a VII-a · Matematică · Unitatea „Ecuații liniare"

Exerciții

Exercițiul 1 — Verificarea soluției (4 puncte)

Pentru fiecare ecuație, verifică prin înlocuire dacă numărul indicat este soluție. Scrie calculul celor doi membri și concluzia (DA / NU):

a) $x = 3$ pentru ecuația $2 x - 5 = x - 2$ ; b) $x = - 1$ pentru ecuația $5 x + 3 = 2 x$ ; c) $x = 2$ pentru ecuația $4 x - 1 = 3 x + 2$ .

Exercițiul 2 — Identitate sau ecuație? (4 puncte)

Pentru fiecare egalitate, precizează dacă este identitate (adevărată pentru orice valoare a lui $x$ ), ecuație cu soluție unică sau egalitate fără soluție (falsă pentru orice $x$ ). Justifică pe scurt:

a) $2 (x + 3) = 2 x + 6$ ; b) $3 x - 1 = 5$ ; c) $x + x = 2 x$ ; d) $2 x + 1 = 2 x + 3$ .

Exercițiul 3 — Ecuații de forma $a x + b = 0$ (6 puncte)

Rezolvă în $R$ , scriind soluția sub formă de fracție ireductibilă acolo unde e cazul:

a) $3 x - 12 = 0$ ; b) $- 2 x + 7 = 0$ ; c) $5 x + 3 = 0$ .

Exercițiul 4 — Transformări echivalente: Adevărat / Fals (5 puncte)

Stabilește A sau F pentru fiecare afirmație despre transformarea unei ecuații într-una echivalentă și motivează:

a) Adunând același număr în ambii membri, se obține o ecuație echivalentă. b) Înmulțind ambii membri cu $0$ , se obține o ecuație echivalentă. c) Înmulțind ambii membri cu același număr nenul, se obține o ecuație echivalentă. d) Un termen trece dintr-un membru în celălalt cu semn schimbat, iar ecuația rămâne echivalentă. e) Împărțind ambii membri prin $x$ , se obține întotdeauna o ecuație echivalentă.

Exercițiul 5 — Ecuație cu paranteze (5 puncte)

Rezolvă în $R$ , reducând la forma $a x + b = 0$ , și verifică soluția: $2 (x - 3) + 4 = 3 (x + 1) - 5.$

Exercițiul 6 — Ecuații cu numitori (6 puncte)

Rezolvă în $R$ (elimină numitorii prin înmulțire cu numitorul comun):

a) $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5$ ;

b) $\frac{x - 1}{2} = \frac{x + 2}{3}$ .

Exercițiul 7 — Cele trei cazuri (6 puncte)

Pentru fiecare ecuație, precizează dacă are o singură soluție, nicio soluție sau o infinitate de soluții. Când există soluție unică, scrie-o:

a) $2 x + 5 = 2 x + 5$ ; b) $3 x - 1 = 3 x + 4$ ; c) $4 x - 2 = x + 7$ .

Exercițiul 8 — Ecuație cu literă (parametru) (5 puncte)

Se dă ecuația $a \cdot x = 8$ , în care $a$ este un număr real, iar $x$ este necunoscuta.

a) Discută numărul de soluții în funcție de valorile lui $a$ . b) Rezolvă ecuația pentru $a = 4$ .

Exercițiul 9 — Modelare: două numere (4 puncte)

Suma a două numere este $45$ , iar unul dintre ele este de patru ori mai mare decât celălalt. Notează cu $x$ numărul mai mic, scrie ecuația și află cele două numere. Verifică rezultatul.

Exercițiul 10 — Modelare în geometrie: dreptunghi (6 puncte)

Un dreptunghi are lungimea cu $3$ cm mai mare decât lățimea, iar perimetrul de $26$ cm.

a) Notează lățimea cu $x$ , exprimă lungimea în funcție de $x$ și scrie ecuația perimetrului. b) Rezolvă ecuația și află dimensiunile dreptunghiului. c) Verifică perimetrul obținut.

Exercițiul 11 — Modelare aplicată: abonamente telefonice (5 puncte)

Un operator oferă două oferte pentru convorbiri:

Oferta A: $40$ lei pe lună, apeluri nelimitate.
Oferta B: $15$ lei pe lună + $0, 25$ lei pentru fiecare minut vorbit.

a) Notează cu $x$ numărul de minute vorbite într-o lună și scrie ecuația care exprimă egalitatea costurilor celor două oferte. b) Află câte minute fac cele două oferte să coste la fel. c) Pentru un abonat care vorbește mai mult decât acest număr de minute, care ofertă este mai avantajoasă? Justifică.

Exercițiul 12 — Rezolvare și evaluarea unei expresii (5 puncte)

Se dă ecuația $3 (2 x - 1) - 2 (x + 4) = 5$ .

a) Rezolvă ecuația în $R$ . b) Folosind valoarea găsită, calculează valoarea expresiei $2 x + 7$ .

Exercițiul 13 — Ecuații echivalente: Adevărat / Fals (5 puncte)

Două ecuații sunt echivalente dacă au exact aceeași mulțime de soluții. Stabilește A sau F și justifică:

a) $2 x = 6$ și $x = 3$ sunt echivalente. b) $x = 2$ și $x^{2} = 4$ sunt echivalente. c) $0 \cdot x = 0$ are o infinitate de soluții. d) $0 \cdot x = 5$ nu are nicio soluție. e) $x + 3 = 7$ și $x = 4$ sunt echivalente.

Exercițiul 14 — Modelare: economii în timp (6 puncte)

Ana are acum $120$ de lei și cheltuie $8$ lei în fiecare săptămână. Bogdan are acum $40$ de lei și economisește $12$ lei în fiecare săptămână.

a) Notează cu $x$ numărul de săptămâni și scrie expresiile sumelor deținute de Ana și de Bogdan după $x$ săptămâni. b) Scrie ecuația care exprimă egalitatea celor două sume și rezolv-o. c) Câți lei are fiecare în momentul în care sumele devin egale? Verifică.

Exercițiul 15 — Ecuație cu numitori și paranteze (5 puncte)

Rezolvă în $R$ și verifică soluția: $\frac{2 x + 1}{3} - \frac{x - 2}{2} = 1.$

Exercițiul 16 — Recunoașterea cazului „fără soluție" (4 puncte)

Rezolvă în $R$ ecuația de mai jos. Dacă, după reducere, ajungi la o egalitate imposibilă, precizează clar câte soluții are ecuația și de ce: $5 (x - 2) - 3 x = 2 (x + 1) .$

Exercițiul 17 — Discuție completă cu parametru (4 puncte)

Se dă ecuația cu necunoscuta $x$ și parametrul real $m$ : $(m - 2) x = 3 m - 6.$

a) Rezolvă ecuația pentru $m = 5$ . b) Ce se întâmplă pentru $m = 2$ ? Câte soluții are ecuația în acest caz? c) Arată că, pentru orice $m \neq = 2$ , soluția este $x = 3$ .

Exercițiul 18 — Modelare în geometrie: unghiurile unui triunghi (5 puncte)

Într-un triunghi, al doilea unghi are cu $2 0^{\circ}$ mai mult decât primul, iar al treilea este dublul primului.

a) Notează primul unghi cu $x$ și scrie ecuația, folosind faptul că suma unghiurilor unui triunghi este $18 0^{\circ}$ . b) Rezolvă ecuația și află măsurile celor trei unghiuri. c) Verifică rezultatul.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 18 itemi = 90 p + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1 (4 p)

a) $x = 3$ : membrul stâng $2 \cdot 3 - 5 = 1$ ; membrul drept $3 - 2 = 1$ ; $1 = 1$ ⟹ DA. (1,5 p) b) $x = - 1$ : stânga $5 \cdot (- 1) + 3 = - 2$ ; dreapta $2 \cdot (- 1) = - 2$ ; $- 2 = - 2$ ⟹ DA. (1,5 p) c) $x = 2$ : stânga $4 \cdot 2 - 1 = 7$ ; dreapta $3 \cdot 2 + 2 = 8$ ; $7 \neq = 8$ ⟹ NU. (1 p)

Exercițiul 2 (4 p — câte 1 p)

a) Identitate — $2 (x + 3) = 2 x + 6$ este adevărată pentru orice $x$ . b) Ecuație cu soluție unică — $3 x - 1 = 5 \Rightarrow x = 2$ . c) Identitate — $x + x = 2 x$ pentru orice $x$ . d) Fără soluție — $2 x + 1 = 2 x + 3 \Rightarrow 1 = 3$ , imposibil.

Exercițiul 3 (6 p — câte 2 p)

a) $3 x - 12 = 0 \Rightarrow 3 x = 12 \Rightarrow x = 4$ . b) $- 2 x + 7 = 0 \Rightarrow - 2 x = - 7 \Rightarrow x = \frac{7}{2}$ . c) $5 x + 3 = 0 \Rightarrow 5 x = - 3 \Rightarrow x = - \frac{3}{5}$ .

Exercițiul 4 (5 p — câte 1 p)

a) A — adunarea aceluiași număr în ambii membri păstrează egalitatea și soluțiile. b) F — înmulțirea cu $0$ transformă totul în $0 = 0$ și „pierde" necunoscuta; nu mai e echivalentă. c) A — înmulțirea (sau împărțirea) ambilor membri cu un număr nenul este transformare echivalentă. d) A — trecerea unui termen în celălalt membru cu semn schimbat este chiar adunarea opusului în ambii membri. e) F — $x$ poate fi $0$ ; împărțirea prin $x$ nu este permisă când $x = 0$ , deci nu e sigur echivalentă.

Exercițiul 5 (5 p)

$2 (x - 3) + 4 = 3 (x + 1) - 5$ $2 x - 6 + 4 = 3 x + 3 - 5$ $2 x - 2 = 3 x - 2 \Rightarrow 2 x - 3 x = - 2 + 2 \Rightarrow - x = 0 \Rightarrow x = 0$ . (4 p) Verificare: stânga $2 (0 - 3) + 4 = - 2$ ; dreapta $3 (0 + 1) - 5 = - 2$ ; $- 2 = - 2$ ✓. (1 p)

Exercițiul 6 (6 p — câte 3 p)

a) Înmulțim cu $6$ : $3 x + 2 x = 30 \Rightarrow 5 x = 30 \Rightarrow x = 6$ . b) Înmulțim „în cruce": $3 (x - 1) = 2 (x + 2) \Rightarrow 3 x - 3 = 2 x + 4 \Rightarrow x = 7$ . Verificare (b): $\frac{7 - 1}{2} = 3$ și $\frac{7 + 2}{3} = 3$ ✓.

Exercițiul 7 (6 p — câte 2 p)

a) $2 x + 5 = 2 x + 5 \Rightarrow 0 = 0$ : o infinitate de soluții (orice $x \in R$ ). b) $3 x - 1 = 3 x + 4 \Rightarrow - 1 = 4$ , imposibil: nicio soluție. c) $4 x - 2 = x + 7 \Rightarrow 3 x = 9 \Rightarrow x = 3$ : o singură soluție, $x = 3$ .

Exercițiul 8 (5 p)

a) Discuție: (3 p)

dacă $a \neq = 0$ , ecuația are o singură soluție, $x = \frac{8}{a}$ ;
dacă $a = 0$ , ecuația devine $0 \cdot x = 8$ , adică $0 = 8$ , imposibil ⟹ nicio soluție.

b) Pentru $a = 4$ : $4 x = 8 \Rightarrow x = 2$ . (2 p)

Exercițiul 9 (4 p)

Fie $x$ numărul mai mic; celălalt este $4 x$ . Ecuația: $x + 4 x = 45 \Rightarrow 5 x = 45 \Rightarrow x = 9$ . (3 p) Numerele sunt $9$ și $36$ . Verificare: $9 + 36 = 45$ ✓. (1 p)

Exercițiul 10 (6 p)

a) Lățimea $x$ , lungimea $x + 3$ ; perimetrul: $2 (x + (x + 3)) = 26$ . (2 p) b) $2 (2 x + 3) = 26 \Rightarrow 4 x + 6 = 26 \Rightarrow 4 x = 20 \Rightarrow x = 5$ ; lungimea $= 5 + 3 = 8$ . Dimensiuni: $5$ cm și $8$ cm. (3 p) c) Verificare: $2 (5 + 8) = 2 \cdot 13 = 26$ cm ✓. (1 p)

Exercițiul 11 (5 p)

a) Cost A $= 40$ ; cost B $= 15 + 0, 25 x$ . Ecuația: $40 = 15 + 0, 25 x$ . (2 p) b) $0, 25 x = 25 \Rightarrow x = 100$ minute. (2 p) c) Peste $100$ de minute, oferta B depășește $40$ lei, deci oferta A (nelimitat) devine mai avantajoasă. (1 p)

Exercițiul 12 (5 p)

a) $3 (2 x - 1) - 2 (x + 4) = 5 \Rightarrow 6 x - 3 - 2 x - 8 = 5 \Rightarrow 4 x - 11 = 5 \Rightarrow 4 x = 16 \Rightarrow x = 4$ . (3 p) b) $2 x + 7 = 2 \cdot 4 + 7 = 15$ . (2 p)

Exercițiul 13 (5 p — câte 1 p)

a) A — $2 x = 6 \Rightarrow x = 3$ ; ambele au aceeași unică soluție. b) F — $x = 2$ are o soluție, dar $x^{2} = 4$ are două ( $x = 2$ și $x = - 2$ ); mulțimile de soluții diferă. c) A — $0 \cdot x = 0$ este adevărată pentru orice $x$ (o infinitate de soluții). d) A — $0 \cdot x = 5$ dă $0 = 5$ , imposibil (nicio soluție). e) A — $x + 3 = 7 \Rightarrow x = 4$ ; aceeași soluție.

Exercițiul 14 (6 p)

a) După $x$ săptămâni: Ana are $120 - 8 x$ ; Bogdan are $40 + 12 x$ . (2 p) b) $120 - 8 x = 40 + 12 x \Rightarrow 120 - 40 = 12 x + 8 x \Rightarrow 80 = 20 x \Rightarrow x = 4$ săptămâni. (3 p) c) Ana: $120 - 8 \cdot 4 = 88$ lei; Bogdan: $40 + 12 \cdot 4 = 88$ lei; $88 = 88$ ✓. (1 p)

Exercițiul 15 (5 p)

Înmulțim cu $6$ : $2 (2 x + 1) - 3 (x - 2) = 6 \Rightarrow 4 x + 2 - 3 x + 6 = 6 \Rightarrow x + 8 = 6 \Rightarrow x = - 2$ . (4 p) Verificare: $\frac{2 ( - 2 ) + 1}{3} - \frac{- 2 - 2}{2} = \frac{- 3}{3} - \frac{- 4}{2} = - 1 - (- 2) = 1$ ✓. (1 p)

Exercițiul 16 (4 p)

$5 (x - 2) - 3 x = 2 (x + 1) \Rightarrow 5 x - 10 - 3 x = 2 x + 2 \Rightarrow 2 x - 10 = 2 x + 2 \Rightarrow - 10 = 2$ , egalitate imposibilă. (3 p) Deci ecuația nu are nicio soluție (coeficientul lui $x$ se anulează, iar termenii liberi diferă). (1 p)

Exercițiul 17 (4 p)

a) $m = 5$ : $(5 - 2) x = 3 \cdot 5 - 6 \Rightarrow 3 x = 9 \Rightarrow x = 3$ . (1,5 p) b) $m = 2$ : $0 \cdot x = 0$ (deoarece $3 \cdot 2 - 6 = 0$ ), adevărată pentru orice $x$ ⟹ o infinitate de soluții. (1,5 p) c) Pentru $m \neq = 2$ , avem $m - 2 \neq = 0$ ; împărțim ambii membri prin $(m - 2)$ (transformare echivalentă, împărțire la un număr nenul). Cum $3 m - 6 = 3 (m - 2)$ , obținem $x = \frac{3 ( m - 2 )}{m - 2} = 3$ . (1 p)

Exercițiul 18 (5 p)

a) Unghiurile: $x$ , $x + 2 0^{\circ}$ , $2 x$ ; ecuația: $x + (x + 20) + 2 x = 180$ . (2 p) b) $4 x + 20 = 180 \Rightarrow 4 x = 160 \Rightarrow x = 40$ ; unghiurile sunt $4 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ , $8 0^{\circ}$ . (2 p) c) Verificare: $4 0^{\circ} + 6 0^{\circ} + 8 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ ✓. (1 p)

Total: 90 p (itemi) + 10 p (oficiu) = 100 p.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică dacă elevul: distinge o identitate de o ecuație; înțelege ce înseamnă necunoscută, soluție și verificare; rezolvă ecuații de forma $a x + b = 0$ și ecuații reductibile la această formă (cu paranteze și numitori); aplică corect transformările echivalente; discută cazurile unei ecuații liniare (o soluție, nicio soluție sau o infinitate de soluții, inclusiv cu litere/parametru) și modelează situații practice prin ecuații liniare.

Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
Punctaj total: 100 de puncte, dintre care 10 puncte din oficiu. Cele 18 cerințe însumează 90 de puncte.
Cum se aplică: elevul lucrează individual, cu calcule scrise. La itemii care cer „justifică", „discută" sau „arată că" se punctează raționamentul, nu doar rezultatul. Se recomandă verificarea soluției prin înlocuire în ecuația inițială. La itemii de geometrie se realizează o figură.
Interpretarea notei (aproximativ): 90–100 p → foarte bine; 70–89 p → bine; 45–69 p → satisfăcător; sub 45 p → se reia unitatea.

Notație folosită: o ecuație liniară cu necunoscuta $x$ se aduce la forma $a x + b = 0$ , cu $a, b$ numere reale. A verifica o soluție înseamnă a înlocui valoarea în ambii membri și a constata că se obține o egalitate adevărată. Scrierea $a, b$ folosește virgula ca separator zecimal (de ex. $3, 5$ ).