Test: Ecuații și inecuații rezolvate grafic

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Funcția afină

Exerciții

Partea I – Citirea soluțiilor de pe grafic

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Soluția ecuației $2 x - 6 = 0$ se citește pe grafic ca abscisa punctului în care dreapta $y = 2 x - 6$ intersectează: A. axa $O y$ ; B. axa $O x$ ; C. prima bisectoare; D. dreapta $y = 1$ .

b) Mulțimea soluțiilor inecuației $- x + 3 > 0$ este: A. $(- \infty, 3)$ ; B. $(3, + \infty)$ ; C. $(- \infty, - 3)$ ; D. $[3, + \infty)$ .

c) Graficele funcțiilor $f, g : R \to R$ , $f (x) = x + 2$ și $g (x) = 3 x - 4$ , se intersectează într-un punct de abscisă: A. $1$ ; B. $2$ ; C. $3$ ; D. $- 3$ .

Exercițiul 2 (6 puncte)

În același reper cartezian sunt trasate graficele funcțiilor $f, g : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 3$ și $g (x) = - x + 3$ . Graficul lui $f$ trece prin $(0, - 3)$ și $(3, 3)$ , iar graficul lui $g$ trece prin $(0, 3)$ și $(3, 0)$ .

a) Citește de pe grafic soluția ecuației $f (x) = g (x)$ și scrie coordonatele punctului $P$ . (2 p) b) Determină, folosind graficul, mulțimea soluțiilor inecuației $f (x) > g (x)$ . (2 p) c) Citește soluțiile ecuațiilor $f (x) = 0$ și $g (x) = 0$ . (1 p) d) Determină, folosind graficul, mulțimea soluțiilor inecuației $f (x) < 0$ . (1 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Soluțiile inecuației $f (x) > 0$ sunt abscisele punctelor graficului situate deasupra axei $O x$ ." b) „Dacă graficele a două funcții $f$ și $g$ nu au niciun punct comun, atunci ecuația $f (x) = g (x)$ nu are soluții." c) „Pentru orice funcție afină $f : R \to R$ și pentru orice număr real $m$ , ecuația $f (x) = m$ are cel puțin o soluție." d) „Mulțimea soluțiilor inecuației $3 x - 6 \leq 0$ este $(- \infty, 2]$ ."

Exercițiul 4 (6 puncte)

Rezolvă în $R$ și scrie mulțimea soluțiilor cu intervale; pentru fiecare, explică în o propoziție cum s-ar citi răspunsul de pe grafic (câte 2 puncte): a) $4 x - 12 = 0$ ; b) $- 2 x + 5 > 1$ ; c) $3 x - 1 \leq x + 7$ .

Partea a II-a – Ecuații, inecuații și sisteme

Exercițiul 5 (8 puncte)

Se consideră funcțiile $f, g : R \to R$ , $f (x) = - x + 5$ și $g (x) = 2 x - 1$ . a) Determină algebric coordonatele punctului de intersecție a graficelor. (2 p) b) Trasează cele două grafice în același reper cartezian. (2 p) c) Rezolvă, folosind graficul, inecuația $f (x) \geq g (x)$ . (2 p) d) Determină mulțimea valorilor lui $x$ pentru care ambele funcții iau valori strict pozitive. (2 p)

Exercițiul 6 (8 puncte)

a) Rezolvă algebric sistemul ${y = 2 x - 4 y = - x + 5$ (3 p) b) Interpretează geometric soluția obținută. (2 p) c) Arată că sistemul ${y = 2 x - 4 y = 2 x + 1$ nu are nicio soluție și explică rezultatul folosind graficele celor două funcții. (3 p)

Exercițiul 7 (7 puncte)

Doi operatori de telefonie propun tarife diferite pentru convorbiri. Abonamentul A costă $20$ de lei lunar plus $0, 50$ lei pentru fiecare minut vorbit; abonamentul B costă $32$ de lei lunar plus $0, 20$ lei pentru fiecare minut vorbit. Notăm cu $t$ numărul de minute vorbite într-o lună. a) Scrie funcțiile $A (t)$ și $B (t)$ care dau costul lunar, în lei. (2 p) b) Determină numărul de minute pentru care cele două abonamente costă la fel și precizează costul comun. (3 p) c) Care abonament este mai avantajos pentru un client care vorbește $25$ de minute pe lună? Dar pentru unul care vorbește $60$ de minute? (2 p)

Exercițiul 8 (7 puncte)

Graficul funcției $f : [- 2, 6] \to R$ este linia frântă care unește, în această ordine, punctele $(- 2, 4), (1, - 2), (4, - 2), (6, 2) .$

a) Determină numărul soluțiilor ecuației $f (x) = m$ pentru fiecare dintre valorile $m = 4$ , $m = - 2$ , $m = 0$ și $m = - 3$ . (4 p) b) Determină mulțimea soluțiilor inecuației $f (x) > 0$ . (2 p) c) Determină imaginea funcției, $Im f$ . (1 p)

Partea a III-a – Discuții cu parametru, probleme și itemi de tip examen

Exercițiul 9 (9 puncte)

Se consideră funcțiile $f, g : R \to R$ , $f (x) = m x + 2$ și $g (x) = 3 x - 1$ , unde $m$ este un număr real. a) Determină valoarea lui $m$ pentru care ecuația $f (x) = g (x)$ nu are nicio soluție și interpretează geometric. (3 p) b) Pentru $m = 1$ , rezolvă inecuația $f (x) \leq g (x)$ și descrie mulțimea soluțiilor prin poziția relativă a celor două grafice. (3 p) c) Determină valoarea lui $m$ pentru care graficele celor două funcții se intersectează într-un punct de abscisă $1$ și precizează coordonatele acestui punct. (3 p)

Exercițiul 10 (9 puncte)

Un mic atelier produce lămpi. Costul total al producerii a $x$ lămpi, în lei, este $C (x) = 8 x + 1200$ (cei $1200$ de lei fiind cheltuielile fixe lunare), iar venitul obținut din vânzarea lor este $V (x) = 20 x$ . a) Determină numărul de lămpi pentru care venitul este exact egal cu costul (pragul de rentabilitate). (3 p) b) Determină numerele naturale $x$ pentru care atelierul obține profit, adică $V (x) > C (x)$ . (3 p) c) Profitul este $P (x) = V (x) - C (x)$ . Determină numărul minim de lămpi care trebuie vândute pentru un profit de cel puțin $3600$ de lei. (3 p)

Exercițiul 11 (9 puncte)

(Redactare completă cerută.) Fie $f : R \to R$ , $f (x) = a x + b$ , o funcție afină și $m$ un număr real. a) Demonstrează că, dacă $a \neq = 0$ , ecuația $f (x) = m$ are exact o soluție, pe care o determini; interpretează geometric rezultatul, folosind dreapta $y = m$ . (5 p) b) Arată că, dacă $a = 0$ , ecuația $f (x) = m$ are fie nicio soluție, fie o infinitate de soluții, și precizează în ce caz apare fiecare situație. (4 p)

Exercițiul 12 (9 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră funcțiile $f, g : R \to R$ , $f (x) = 2 x + 1$ și $g (x) = - x + 7$ . a) Calculați $f (1) + g (1)$ . (2 p) b) Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor celor două funcții. (3 p) c) Determinați numerele reale $x$ pentru care $f (x) \leq g (x)$ . (4 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B. A rezolva $f (x) = 0$ înseamnă a căuta punctele graficului cu ordonata $0$ , adică punctele de pe axa $O x$ . (Soluția este $x = 3$ , iar punctul este $(3, 0)$ .) b) A. $- x + 3 > 0 ⟺ 3 > x ⟺ x < 3$ , deci $(- \infty, 3)$ . Grafic: dreapta descrescătoare $y = - x + 3$ este deasupra axei $O x$ la stânga rădăcinii $x = 3$ . Varianta $D$ greșește și sensul, și includerea capătului. c) C. Din $x + 2 = 3 x - 4$ obținem $2 x = 6$ , deci $x = 3$ (iar ordonata comună este $y = 5$ ).

Exercițiul 2. (6 p)

a) (2 p) Graficele se taie într-un singur punct, de abscisă $x = 2$ (1 p). Verificare algebrică: $2 x - 3 = - x + 3 \Rightarrow 3 x = 6 \Rightarrow x = 2$ , iar $f (2) = 1$ , deci $P (2, 1)$ (1 p).

b) (2 p) $f (x) > g (x)$ înseamnă că dreapta crescătoare este deasupra celei descrescătoare, ceea ce se întâmplă la dreapta punctului de intersecție (1 p): $x \in (2, + \infty)$ (1 p).

c) (1 p) $f (x) = 0$ pentru $x = \frac{3}{2}$ (punctul în care prima dreaptă taie $O x$ ), iar $g (x) = 0$ pentru $x = 3$ .

d) (1 p) Graficul lui $f$ este sub axa $O x$ la stânga rădăcinii sale, deci $f (x) < 0$ pentru $x \in (- \infty, \frac{3}{2})$ .

Exercițiul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) A. Condiția $f (x) > 0$ spune că ordonata punctului $(x, f (x))$ este strict pozitivă, adică punctul se află deasupra axei $O x$ ; soluțiile inecuației sunt abscisele acestor puncte. b) A. O soluție a ecuației $f (x) = g (x)$ ar da un punct $(x, f (x)) = (x, g (x))$ aflat pe ambele grafice, deci un punct comun. Dacă nu există puncte comune, nu există nici soluții. c) F. Afirmația cade în cazul $a = 0$ : pentru funcția constantă $f (x) = 5$ și $m = 2$ , ecuația $5 = 2$ nu are nicio soluție. Graficul, o dreaptă orizontală, nu întâlnește niciodată orizontala $y = 2$ . (Afirmația devine adevărată dacă se adaugă ipoteza $a \neq = 0$ .) d) A. $3 x - 6 \leq 0 ⟺ 3 x \leq 6 ⟺ x \leq 2$ , deci mulțimea soluțiilor este $(- \infty, 2]$ (capătul este inclus, pentru că inegalitatea nu este strictă).

Exercițiul 4. (6 p) — câte 2 puncte (1,5 p rezolvarea, 0,5 p citirea grafică).

a) $4 x = 12 \Rightarrow x = 3$ , deci $S = {3}$ . Grafic: abscisa punctului în care dreapta $y = 4 x - 12$ taie axa $O x$ .

b) $- 2 x + 5 > 1 ⟺ - 2 x > - 4$ ; împărțim la $- 2 < 0$ și schimbăm sensul: $x < 2$ , deci $S = (- \infty, 2)$ . Grafic: porțiunea în care dreapta $y = - 2 x + 5$ este deasupra orizontalei $y = 1$ , adică la stânga punctului lor comun $(2, 1)$ .

c) $3 x - 1 \leq x + 7 ⟺ 2 x \leq 8 ⟺ x \leq 4$ , deci $S = (- \infty, 4]$ . Grafic: porțiunea în care dreapta $y = 3 x - 1$ este sub dreapta $y = x + 7$ (sau pe ea), adică la stânga punctului lor de intersecție $(4, 11)$ .

Exercițiul 5. (8 p)

a) (2 p) $- x + 5 = 2 x - 1 \Rightarrow 6 = 3 x \Rightarrow x = 2$ (1 p); atunci $y = - 2 + 5 = 3$ , deci punctul este $P (2, 3)$ (1 p). Verificare: $g (2) = 4 - 1 = 3$ ✓.

b) (2 p) Pentru $f$ se folosesc punctele $(0, 5)$ și $(5, 0)$ ; pentru $g$ , punctele $(\frac{1}{2}, 0)$ și $(0, - 1)$ (1 p). Se trasează cele două drepte, care trebuie să se taie în $P (2, 3)$ (1 p).

c) (2 p) $f (x) \geq g (x)$ înseamnă că graficul lui $f$ (descrescător) este deasupra graficului lui $g$ (crescător) sau îl atinge; acest lucru se întâmplă la stânga punctului de intersecție, inclusiv în el (1 p): $x \in (- \infty, 2]$ (1 p). Verificare algebrică: $- x + 5 \geq 2 x - 1 ⟺ 6 \geq 3 x ⟺ x \leq 2$ ✓.

d) (2 p) $f (x) > 0 ⟺ - x + 5 > 0 ⟺ x < 5$ , iar $g (x) > 0 ⟺ 2 x - 1 > 0 ⟺ x > \frac{1}{2}$ (1 p). Ambele condiții simultan dau $x \in (\frac{1}{2}, 5)$ (1 p) — porțiunea în care ambele drepte sunt deasupra axei $O x$ .

Exercițiul 6. (8 p)

a) (3 p) Egalăm cele două expresii ale lui $y$ (1 p): $2 x - 4 = - x + 5$ , deci $3 x = 9$ și $x = 3$ (1,5 p). Atunci $y = 2 \cdot 3 - 4 = 2$ , deci soluția sistemului este perechea $(3, 2)$ (0,5 p). Verificare în a doua ecuație: $- 3 + 5 = 2$ ✓.

b) (2 p) Fiecare ecuație reprezintă o dreaptă. Coeficienții lui $x$ sunt diferiți ( $2 \neq = - 1$ ), deci dreptele nu sunt paralele: ele se intersectează într-un singur punct, iar coordonatele acestuia sunt exact soluția sistemului. Punctul de intersecție este $(3, 2)$ .

c) (3 p) Scăzând ecuațiile, sau egalând expresiile lui $y$ : $2 x - 4 = 2 x + 1$ , deci $- 4 = 1$ — egalitate falsă, oricare ar fi $x$ (1,5 p). Prin urmare sistemul nu are soluții. Geometric: cele două drepte au același coeficient al lui $x$ ( $a_{1} = a_{2} = 2$ ), deci sunt paralele, dar termenii liberi diferă ( $- 4 \neq = 1$ ), deci sunt paralele distincte — nu au niciun punct comun (1,5 p).

Exercițiul 7. (7 p)

a) (2 p) $A (t) = 0, 5 t + 20$ și $B (t) = 0, 2 t + 32$ , unde $t \geq 0$ este numărul de minute (câte 1 p).

b) (3 p) Costurile sunt egale când $0, 5 t + 20 = 0, 2 t + 32$ (1 p), adică $0, 3 t = 12$ (1 p), deci $t = 40$ de minute (0,5 p). Costul comun este $A (40) = 0, 5 \cdot 40 + 20 = 40$ de lei, iar $B (40) = 0, 2 \cdot 40 + 32 = 8 + 32 = 40$ de lei ✓ (0,5 p). Grafic: abscisa punctului de intersecție a celor două drepte.

c) (2 p) Pentru $t = 25$ : $A (25) = 12, 5 + 20 = 32, 5$ lei, iar $B (25) = 5 + 32 = 37$ de lei, deci este mai avantajos abonamentul A (1 p). Pentru $t = 60$ : $A (60) = 30 + 20 = 50$ de lei, iar $B (60) = 12 + 32 = 44$ de lei, deci este mai avantajos abonamentul B (1 p). (Regula generală: sub $40$ de minute este mai bun A, peste $40$ de minute este mai bun B — dreapta mai „abruptă" ajunge deasupra după punctul de intersecție.)

Exercițiul 8. (7 p)

Expresiile pe porțiuni (utile la corectare): pe $[- 2, 1]$ graficul este segmentul de pe dreapta $y = - 2 x$ ; pe $[1, 4]$ este segmentul orizontal $y = - 2$ ; pe $[4, 6]$ este segmentul de pe dreapta $y = 2 x - 10$ .

a) (4 p) — câte 1 punct.

$m = 4$ : orizontala $y = 4$ atinge graficul doar în capătul din stânga, $(- 2, 4)$ — o singură soluție, $x = - 2$ .
$m = - 2$ : orizontala $y = - 2$ conține tot palierul dintre $(1, - 2)$ și $(4, - 2)$ — o infinitate de soluții, $x \in [1, 4]$ .
$m = 0$ : orizontala $y = 0$ (axa $O x$ ) taie graficul de două ori, în $x = 0$ (din $- 2 x = 0$ ) și în $x = 5$ (din $2 x - 10 = 0$ ) — două soluții.
$m = - 3$ : orizontala $y = - 3$ trece sub tot graficul, a cărui valoare minimă este $- 2$ — nicio soluție.

b) (2 p) $f (x) > 0$ pe porțiunea $[- 2, 1]$ înseamnă $- 2 x > 0$ , adică $x < 0$ , deci $x \in [- 2, 0)$ (1 p); pe palier $f (x) = - 2 < 0$ , iar pe $[4, 6]$ avem $2 x - 10 > 0$ , adică $x > 5$ , deci $x \in (5, 6]$ . În total: $S = [- 2, 0) \cup (5, 6] (1 p) .$

c) (1 p) Valoarea minimă este $- 2$ (pe palier), iar cea maximă este $4$ (în $(- 2, 4)$ ), iar graficul este o linie continuă, deci $Im f = [- 2, 4]$ .

Exercițiul 9. (9 p)

a) (3 p) Ecuația se scrie $m x + 2 = 3 x - 1$ , adică $(m - 3) x = - 3$ (1,5 p). Dacă $m \neq = 3$ , ea are soluția unică $x = \frac{- 3}{m - 3}$ . Rămâne cazul $m - 3 = 0$ : atunci ecuația devine $0 = - 3$ , falsă, deci nu are soluții pentru $m = 3$ (1 p). Geometric: pentru $m = 3$ cele două drepte au același coeficient al lui $x$ , dar termeni liberi diferiți ( $2 \neq = - 1$ ), deci sunt paralele distincte și nu se intersectează (0,5 p).

b) (3 p) Pentru $m = 1$ : $x + 2 \leq 3 x - 1 ⟺ 3 \leq 2 x$ (1,5 p), deci $x \geq \frac{3}{2}$ și $S = [\frac{3}{2}, + \infty)$ (1 p). Interpretare: graficul lui $f$ este sub graficul lui $g$ (sau îl atinge) la dreapta punctului lor de intersecție, care are abscisa $\frac{3}{2}$ (0,5 p).

c) (3 p) Condiția este $f (1) = g (1)$ (1 p): $m + 2 = 3 - 1 = 2$ , deci $m = 0$ (1,5 p). Atunci $f (x) = 2$ este funcția constantă, iar punctul comun este $(1, 2)$ ; verificare: $g (1) = 2$ ✓ (0,5 p). (Geometric: o dreaptă orizontală taie o dreaptă oblică exact într-un punct.)

Exercițiul 10. (9 p)

a) (3 p) Pragul de rentabilitate se obține din $V (x) = C (x)$ (1 p): $20 x = 8 x + 1200 ⟹ 12 x = 1200 ⟹ x = 100 l \overset{a}{˘} mpi (1,5 p) .$ Verificare: $V (100) = 2000$ lei și $C (100) = 800 + 1200 = 2000$ lei ✓ (0,5 p).

b) (3 p) $20 x > 8 x + 1200 ⟺ 12 x > 1200 ⟺ x > 100$ (2 p). Cum $x$ este număr natural, atelierul obține profit pentru $x \geq 101$ lămpi (1 p). Grafic: dreapta venitului trece deasupra dreptei costului la dreapta punctului de intersecție.

c) (3 p) $P (x) = 20 x - (8 x + 1200) = 12 x - 1200$ (1 p). Condiția $P (x) \geq 3600$ dă $12 x \geq 4800$ (1 p), deci $x \geq 400$ ; numărul minim este $400$ de lămpi (0,5 p). Verificare: $P (400) = 4800 - 1200 = 3600$ ✓ (0,5 p).

Exercițiul 11. (9 p) — redactare completă.

a) (5 p) Presupunem $a \neq = 0$ . Ecuația $f (x) = m$ se scrie $a x + b = m$ , adică $a x = m - b$ (1,5 p). Cum $a \neq = 0$ , putem împărți la $a$ și obținem $x = \frac{m - b}{a} (1,5 p) .$ Existența: numărul $\frac{m - b}{a}$ este real și verifică ecuația, căci $a \cdot \frac{m - b}{a} + b = m - b + b = m$ (1 p). Unicitatea: dacă $x_{1}$ și $x_{2}$ ar fi două soluții, atunci $a x_{1} + b = a x_{2} + b$ , deci $a (x_{1} - x_{2}) = 0$ ; cum $a \neq = 0$ , rezultă $x_{1} = x_{2}$ (0,5 p). Interpretarea geometrică: graficul lui $f$ este o dreaptă oblică (nu este orizontală, pentru că $a \neq = 0$ ), iar dreapta $y = m$ este orizontală; două drepte cu înclinări diferite se intersectează într-un singur punct, a cărui abscisă este soluția găsită (0,5 p). $■$

b) (4 p) Dacă $a = 0$ , funcția devine constantă, $f (x) = b$ , iar ecuația se scrie $b = m$ — o egalitate care nu conține necunoscuta (1,5 p).

Dacă $m \neq = b$ , egalitatea este falsă pentru orice $x$ , deci ecuația nu are nicio soluție; grafic, dreapta orizontală $y = b$ și dreapta orizontală $y = m$ sunt paralele distincte (1,5 p).
Dacă $m = b$ , egalitatea este adevărată pentru orice $x$ real, deci ecuația are o infinitate de soluții, $S = R$ ; grafic, cele două drepte orizontale coincid (1 p). $■$

Exercițiul 12. (9 p)

a) (2 p) $f (1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3$ și $g (1) = - 1 + 7 = 6$ (1 p), deci $f (1) + g (1) = 3 + 6 = 9$ (1 p).

b) (3 p) Punctul comun se obține din $f (x) = g (x)$ (1 p): $2 x + 1 = - x + 7 ⟹ 3 x = 6 ⟹ x = 2 (1 p) .$ Ordonata este $f (2) = 5$ , deci punctul de intersecție este $(2, 5)$ ; verificare: $g (2) = - 2 + 7 = 5$ ✓ (1 p).

c) (4 p) $f (x) \leq g (x) ⟺ 2 x + 1 \leq - x + 7$ (1,5 p). Adunăm $x$ și scădem $1$ : $3 x \leq 6$ (1,5 p), deci $x \leq 2$ și mulțimea soluțiilor este $(- \infty, 2]$ (1 p). (Grafic: dreapta crescătoare este sub cea descrescătoare la stânga punctului $(2, 5)$ găsit la punctul b).)

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică traducerea dintre algebră și desen: elevul trebuie să înțeleagă că a rezolva ecuația $f (x) = m$ înseamnă a găsi abscisele punctelor în care graficul lui $f$ întâlnește orizontala $y = m$ , că a rezolva $f (x) > 0$ înseamnă a găsi porțiunile de grafic deasupra axei $O x$ , iar că a rezolva $f (x) = g (x)$ înseamnă a intersecta două grafice. Sunt evaluate: citirea soluțiilor de pe grafic (inclusiv cazurile speciale — nicio soluție, o infinitate de soluții), rezolvarea algebrică a ecuațiilor și inecuațiilor de gradul întâi, cu grija pentru schimbarea sensului la înmulțirea cu un număr negativ, sistemele de două ecuații interpretate ca intersecție de drepte, discuția după un parametru și modelarea: compararea a două tarife, pragul de rentabilitate. Sunt acoperite lecțiile Ecuații și inecuații rezolvate grafic și Funcția afină ca model: costuri, tarife, viteze, cu tot ce s-a construit în lecțiile despre grafic, monotonie și semn.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie de matematică, cu riglă și fără calculator. La itemii de tip „citește de pe grafic" se cere și verificarea algebrică a răspunsului, atunci când datele o permit; la itemii de tip „discută după $m$ " răspunsul este complet doar dacă sunt tratate toate cazurile. Mulțimile de soluții se scriu cu intervale.
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe legătura dintre poziția graficului față de o dreaptă și mulțimea soluțiilor.
Formule de reținut: ecuația $f (x) = m$ are ca soluții abscisele punctelor de intersecție dintre graficul lui $f$ și dreapta orizontală $y = m$ ; pentru o funcție afină cu $a \neq = 0$ soluția este unică, $x = \frac{m - b}{a}$ . Inecuația $f (x) > 0$ are ca soluții abscisele punctelor de pe grafic situate deasupra axei $O x$ ; pentru $f (x) = a x + b$ cu $a > 0$ acestea sunt $x > - \frac{b}{a}$ , iar pentru $a < 0$ sunt $x < - \frac{b}{a}$ . Ecuația $f (x) = g (x)$ are ca soluții abscisele punctelor comune celor două grafice; inecuația $f (x) > g (x)$ dă intervalele pe care graficul lui $f$ este deasupra graficului lui $g$ . Un sistem ${y = a_{1} x + b_{1} y = a_{2} x + b_{2}$ are: soluție unică dacă $a_{1} \neq = a_{2}$ (drepte concurente); nicio soluție dacă $a_{1} = a_{2}$ și $b_{1} \neq = b_{2}$ (drepte paralele distincte); o infinitate de soluții dacă $a_{1} = a_{2}$ și $b_{1} = b_{2}$ (drepte confundate). Regula de aur a inecuațiilor: înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ schimbă sensul inegalității.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".