Test: Estimări și aproximări ale rădăcinii pătrate

Clasa a VII-a · Matematică · Unitatea „Rădăcina pătrată. Estimări și aproximări"

Exerciții

Exercițiul 1 — Recunoașterea pătratelor perfecte (6 puncte)

Se dă lista de numere naturale: $$121,160,196,225,240,289,320,361.$$

a) Scrie pătratele perfecte din listă și, pentru fiecare, rădăcina sa pătrată. b) Pentru fiecare număr care nu este pătrat perfect, indică între ce două pătrate perfecte consecutive se află.

Exercițiul 2 — Relația $\sqrt{a^2}=|a|$ (6 puncte)

Calculează, folosind relația $\sqrt{a^2}=|a|$ (atenție la semn):

a) $\sqrt{8^2}$ b) $\sqrt{(-12{)}^2}$ c) $\sqrt{(-3,5{)}^2}$ d) $\sqrt{(0,6{)}^2}$ e) $\sqrt{{\left(\sqrt{7}-3\right)}^2}$

Exercițiul 3 — Rădăcina pătrată a unui pătrat perfect (numere raționale) (6 puncte)

Calculează exact (fiecare radicand este un pătrat perfect):

a) $\sqrt{2,25}$ b) $\sqrt{0,64}$ c) $\sqrt{1,44}$ d) $\sqrt{\frac{9}{16}}$ e) $\sqrt{0,01}$ f) $\sqrt{\frac{49}{100}}$

Exercițiul 4 — Încadrarea între numere naturale consecutive (6 puncte)

Pentru fiecare radical, precizează între ce două numere naturale consecutive se află, justificând prin ridicare la pătrat:

a) $\sqrt{50}$ b) $\sqrt{83}$ c) $\sqrt{140}$ d) $\sqrt{30}$ e) $\sqrt{200}$ f) $\sqrt{300}$

Exercițiul 5 — Aproximări prin lipsă și prin adaos (o zecimală) (6 puncte)

Pentru fiecare număr, determină aproximarea prin lipsă și aproximarea prin adaos cu o zecimală, justificând prin ridicare la pătrat:

a) $\sqrt{30}$ b) $\sqrt{7}$ c) $\sqrt{12}$

Exercițiul 6 — Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate (7 puncte)

Extrage rădăcina pătrată cu algoritmul învățat (grupare a cifrelor în perechi), scriind pașii de calcul:

a) $\sqrt{1764}$ (4 p) b) $\sqrt{3249}$ (3 p)

Exercițiul 7 — Rotunjiri (6 puncte)

a) Se știe că $\sqrt{55}\approx 7,4162$. Rotunjește această valoare:

• la unități;
• la zecimi (o zecimală);
• la sutimi (două zecimale).

b) Se știe că $\sqrt{20}\approx 4,4721$. Scrie rotunjirea la zecimi și la sutimi.

Exercițiul 8 — Adevărat / Fals cu motivare (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și motivează pe scurt:

a) Aproximarea prin lipsă a lui $\sqrt{a}$ nu este niciodată mai mare decât $\sqrt{a}$. b) $\sqrt{13}$ rotunjit la cel mai apropiat număr întreg este $4$. c) Aproximarea prin adaos cu o zecimală a lui $\sqrt{2}$ este $1,5$. d) $\sqrt{25+144}=\sqrt{25}+\sqrt{144}$. e) Dacă $0\le a<b$, atunci $\sqrt{a}<\sqrt{b}$. f) Aproximarea prin adaos a unui radical este întotdeauna mai mare sau egală decât cea prin lipsă.

Exercițiul 9 — Comparare fără calculator (5 puncte)

Compară numerele (scrie $<$, $>$ sau $=$), justificând prin ridicare la pătrat, fără a folosi valori aproximative de la calculator:

a) $\sqrt{50}$ și $7,1$ b) $\sqrt{27}$ și $5,1$ c) $\sqrt{90}$ și $9,5$

Exercițiul 10 — Estimarea rădăcinii unui număr rațional pozitiv (5 puncte)

Pentru fiecare număr, găsește între ce două zecimi consecutive se află (aproximare prin lipsă și prin adaos cu o zecimală) și precizează de care dintre ele este mai apropiată valoarea:

a) $\sqrt{0,5}$ b) $\sqrt{2,3}$

Exercițiul 11 — Geometrie: ipotenuza unui triunghi dreptunghic (6 puncte)

Un triunghi dreptunghic are catetele de $5$ cm și $7$ cm.

a) Calculează lungimea ipotenuzei, exprimată cu radical (teorema lui Pitagora). (2 p) b) Este această lungime un număr rațional sau irațional? Justifică. (1 p) c) Între ce două numere naturale consecutive se află lungimea ipotenuzei? (1 p) d) Dă aproximarea prin lipsă și prin adaos cu o zecimală a ipotenuzei. (2 p)

Exercițiul 12 — Problemă practică: grădină pătrată (6 puncte)

O grădină de formă pătrată are aria de $90{\text{m}}^2$.

a) Scrie lungimea laturii sub formă de radical simplificat $\left(a\sqrt{b}\right)$. (2 p) b) Între ce două numere naturale consecutive (în metri) se află latura? Justifică. (1 p) c) Dă lungimea laturii aproximată cu o zecimală (prin lipsă și prin adaos). (1 p) d) Proprietarul împrejmuiește grădina cu gard pe tot conturul. Câți metri întregi de gard trebuie să cumpere, astfel încât să acopere tot perimetrul? Justifică alegerea rotunjirii. (2 p)

Exercițiul 13 — Algoritmul de extragere (număr mai mare) (5 puncte)

Extrage cu algoritmul de extragere rădăcina pătrată a numărului $6889$, scriind pașii: $$\sqrt{6889}=?$$

Exercițiul 14 — Raționament: Adevărat / Fals (5 puncte)

Stabilește A sau F și dă câte o justificare sau un contraexemplu:

a) Orice număr natural are ca rădăcină pătrată tot un număr natural. b) $\sqrt{a^2}=a$ pentru orice număr real $a$. c) Rădăcina pătrată a unui număr natural care nu este pătrat perfect este un număr irațional. d) Aproximarea cu două zecimale a unui radical este mai precisă decât cea cu o zecimală. e) $\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$, pentru orice $a\ge 0$.

Exercițiul 15 — Aproximare în context de măsurare (5 puncte)

Pentru un proiect, o frânghie trebuie tăiată la lungimea de $\sqrt{180}$ metri.

a) Scrie $\sqrt{180}$ sub forma $a\sqrt{b}$ (radical simplificat). (2 p) b) Între ce două numere naturale consecutive se află lungimea frânghiei? Justifică. (1 p) c) Rotunjește lungimea la zecimi de metru, arătând aproximarea prin lipsă și prin adaos cu o zecimală. (2 p)

Exercițiul 16 — Diagonala unui teren pătrat (4 puncte)

Un teren pătrat are latura de $6$ m.

a) Arată că diagonala are lungimea $\sqrt{72}$ m și scrie-o sub forma $a\sqrt{b}$. (2 p) b) Estimează diagonala: între ce două numere naturale consecutive se află și care este aproximarea prin lipsă și prin adaos cu o zecimală? (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj: 16 itemi = 90 p + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1 (6 p)

a) Pătrate perfecte: $121=11^2$, $196=14^2$, $225=15^2$, $289=17^2$, $361=19^2$. (3 p — câte 0,6 p) b) Nu sunt pătrate perfecte: (3 p — câte 1 p)

• $160$: $12^2=144<160<169=13^2$;
• $240$: $15^2=225<240<256=16^2$;
• $320$: $17^2=289<320<324=18^2$.

Exercițiul 2 (6 p)

a) $\sqrt{8^2}=|8|=8$ (1 p) b) $\sqrt{(-12{)}^2}=|-12|=12$ (1 p) c) $\sqrt{(-3,5{)}^2}=|-3,5|=3,5$ (1 p) d) $\sqrt{(0,6{)}^2}=0,6$ (1 p) e) $\sqrt{7}\approx 2,65<3\Rightarrow \sqrt{7}-3<0$, deci $\sqrt{{\left(\sqrt{7}-3\right)}^2}=\left|\sqrt{7}-3\right|=3-\sqrt{7}$ (2 p)

Explicație: $\sqrt{a^2}$ nu este pur și simplu $a$, ci $|a|$ — de aceea rezultatul este întotdeauna nenegativ.

Exercițiul 3 (6 p — câte 1 p)

a) $\sqrt{2,25}=1,5$ (căci $1,5^2=2,25$) b) $\sqrt{0,64}=0,8$ c) $\sqrt{1,44}=1,2$ d) $\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$ e) $\sqrt{0,01}=0,1$ f) $\sqrt{\frac{49}{100}}=\frac{7}{10}=0,7$

Exercițiul 4 (6 p — câte 1 p)

a) $7^2=49<50<64=8^2\Rightarrow 7<\sqrt{50}<8$ b) $9^2=81<83<100=10^2\Rightarrow 9<\sqrt{83}<10$ c) $11^2=121<140<144=12^2\Rightarrow 11<\sqrt{140}<12$ d) $5^2=25<30<36=6^2\Rightarrow 5<\sqrt{30}<6$ e) $14^2=196<200<225=15^2\Rightarrow 14<\sqrt{200}<15$ f) $17^2=289<300<324=18^2\Rightarrow 17<\sqrt{300}<18$

Exercițiul 5 (6 p — câte 2 p)

a) $5,4^2=29,16<30$ și $5,5^2=30,25>30\Rightarrow 5,4<\sqrt{30}<5,5$: prin lipsă $5,4$, prin adaos $5,5$. b) $2,6^2=6,76<7$ și $2,7^2=7,29>7\Rightarrow 2,6<\sqrt{7}<2,7$: prin lipsă $2,6$, prin adaos $2,7$. c) $3,4^2=11,56<12$ și $3,5^2=12,25>12\Rightarrow 3,4<\sqrt{12}<3,5$: prin lipsă $3,4$, prin adaos $3,5$.

Exercițiul 6 (7 p)

a) $\sqrt{1764}=42$ (4 p) Pași: grupăm cifrele în perechi: $\overline{17}\overline{64}$.

• Cel mai mare pătrat $\le 17$ este $16=4^2$ → prima cifră 4; rest $17-16=1$, coborâm $64$ → $164$.
• Dublul lui $4$ este $8$; căutăm cifra $d$ cu $\overline{8d}\cdot d\le 164$: $82\cdot 2=164$ → a doua cifră 2; rest $0$.
• Rezultat: $\sqrt{1764}=42$. (Verificare: $42^2=1764$.)

b) $\sqrt{3249}=57$ (3 p) Grupăm: $\overline{32}\overline{49}$.

• Cel mai mare pătrat $\le 32$ este $25=5^2$ → 5; rest $7$, coborâm $49$ → $749$.
• Dublul lui $5$ este $10$; $\overline{10d}\cdot d\le 749$: $107\cdot 7=749$ → 7; rest $0$.
• Rezultat: $\sqrt{3249}=57$. (Verificare: $57^2=3249$.)

Exercițiul 7 (6 p)

a) Din $\sqrt{55}\approx 7,4162$: (3 p — câte 1 p)

• la unități: 7 (partea zecimală $0,4162<0,5$);
• la zecimi: 7,4 (cifra sutimilor $1<5$);
• la sutimi: 7,42 (cifra miimilor $6\ge 5$, se rotunjește în sus).

b) Din $\sqrt{20}\approx 4,4721$: (3 p)

• la zecimi: 4,5 (cifra sutimilor $7\ge 5$, rotunjire în sus);
• la sutimi: 4,47 (cifra miimilor $2<5$).

Exercițiul 8 (6 p — câte 1 p)

a) A — prin definiție, aproximarea prin lipsă este $\le \sqrt{a}$. b) A — $\sqrt{13}\approx 3,61$, iar cel mai apropiat întreg este $4$. c) A — $1,4^2=1,96<2$ și $1,5^2=2,25>2$, deci $1,4<\sqrt{2}<1,5$; aproximarea prin adaos cu o zecimală este $1,5$. d) F — $\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$, dar $\sqrt{25}+\sqrt{144}=5+12=17$; $13\ne 17$. (Radicalul nu se „distribuie" peste sumă.) e) A — funcția rădăcină pătrată păstrează ordinea numerelor nenegative. f) A — aproximarea prin adaos este $\ge \sqrt{a}\ge$ aproximarea prin lipsă.

Exercițiul 9 (5 p)

a) $7,1^2=50,41>50\Rightarrow \sqrt{50}<7,1$. (2 p) b) $5,1^2=26,01<27\Rightarrow \sqrt{27}>5,1$. (2 p) c) $9,5^2=90,25>90\Rightarrow \sqrt{90}<9,5$. (1 p)

Exercițiul 10 (5 p)

a) $0,7^2=0,49<0,5$ și $0,8^2=0,64>0,5\Rightarrow 0,7<\sqrt{0,5}<0,8$; prin lipsă $0,7$, prin adaos $0,8$. Cum $\sqrt{0,5}\approx 0,71$, este mai apropiată de $0,7$. (3 p) b) $1,5^2=2,25<2,3$ și $1,6^2=2,56>2,3\Rightarrow 1,5<\sqrt{2,3}<1,6$; prin lipsă $1,5$, prin adaos $1,6$. Cum $\sqrt{2,3}\approx 1,52$, este mai apropiată de $1,5$. (2 p)

Exercițiul 11 (6 p)

a) $BC=\sqrt{5^2+7^2}=\sqrt{25+49}=\sqrt{74}$ cm. (2 p) b) Irațional — $74$ nu este pătrat perfect, deci $\sqrt{74}$ este irațional. (1 p) c) $8^2=64<74<81=9^2\Rightarrow 8<\sqrt{74}<9$. (1 p) d) $8,6^2=73,96<74$ și $8,7^2=75,69>74\Rightarrow 8,6<\sqrt{74}<8,7$: prin lipsă $8,6$, prin adaos $8,7$. (2 p)

Exercițiul 12 (6 p)

a) latura $=\sqrt{90}=\sqrt{9\cdot 10}=3\sqrt{10}$ m. (2 p) b) $9^2=81<90<100=10^2\Rightarrow 9<\sqrt{90}<10$, deci latura este între $9$ și $10$ m. (1 p) c) $9,4^2=88,36<90$ și $9,5^2=90,25>90\Rightarrow 9,4<\sqrt{90}<9,5$: prin lipsă $9,4$ m, prin adaos $9,5$ m. (1 p) d) Perimetrul $=4\cdot \sqrt{90}\approx 4\cdot 9,49=37,95$ m. Pentru a acoperi tot conturul, se rotunjește prin adaos (în sus) la un număr întreg de metri: 38 m de gard. (2 p)

Explicație: la o cantitate care trebuie să fie suficientă (gard, material) se rotunjește întotdeauna în sus, altfel lungimea nu ar acoperi tot perimetrul.

Exercițiul 13 (5 p)

$\sqrt{6889}=83$. Pași: grupăm $\overline{68}\overline{89}$.

• Cel mai mare pătrat $\le 68$ este $64=8^2$ → 8; rest $4$, coborâm $89$ → $489$. (2 p)
• Dublul lui $8$ este $16$; $\overline{16d}\cdot d\le 489$: $163\cdot 3=489$ → 3; rest $0$. (2 p)
• Rezultat: $\sqrt{6889}=83$. (Verificare: $83^2=6889$.) (1 p)

Exercițiul 14 (5 p — câte 1 p)

a) F — de ex. $\sqrt{5}$ nu este natural ($5$ nu e pătrat perfect). b) F — corect este $\sqrt{a^2}=|a|$; ex.: $\sqrt{(-3{)}^2}=3\ne -3$. c) A — ex.: $\sqrt{2}$ este irațional; în general, dacă radicandul natural nu e pătrat perfect, rădăcina este irațională. d) A — cu cât păstrăm mai multe zecimale, cu atât aproximarea este mai apropiată de valoarea exactă. e) A — prin definiția rădăcinii pătrate, $\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$ pentru $a\ge 0$.

Exercițiul 15 (5 p)

a) $\sqrt{180}=\sqrt{36\cdot 5}=6\sqrt{5}$ m. (2 p) b) $13^2=169<180<196=14^2\Rightarrow 13<\sqrt{180}<14$, deci între $13$ și $14$ m. (1 p) c) $13,4^2=179,56<180$ și $13,5^2=182,25>180\Rightarrow 13,4<\sqrt{180}<13,5$: prin lipsă $13,4$ m, prin adaos $13,5$ m. Cum $\sqrt{180}\approx 13,42$, rotunjită la zecimi este 13,4 m. (2 p)

Exercițiul 16 (4 p)

a) Diagonala unui pătrat cu latura $6$: $d=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}$ m; $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$ m. (2 p) b) $8^2=64<72<81=9^2\Rightarrow 8<\sqrt{72}<9$. Apoi $8,4^2=70,56<72$ și $8,5^2=72,25>72\Rightarrow 8,4<\sqrt{72}<8,5$: prin lipsă $8,4$ m, prin adaos $8,5$ m. (2 p)

Total: 90 p (itemi) + 10 p (oficiu) = 100 p.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică dacă elevul recunoaște pătratele perfecte și calculează rădăcina pătrată a unui pătrat perfect, aplică relația $\sqrt{a^2}=|a|$, estimează rădăcina pătrată a unui număr rațional pozitiv (încadrare între numere consecutive), folosește algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate, determină aproximări prin lipsă și prin adaos și efectuează rotunjiri la unități, zecimi și sutimi, inclusiv în probleme practice de măsurare.

• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Punctaj total: 100 de puncte, dintre care 10 puncte din oficiu. Cele 16 cerințe însumează 90 de puncte.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, cu calcule scrise și justificări. Acolo unde cerința cere „justifică", „arată că" sau „prin ridicare la pătrat", răspunsul este punctat doar însoțit de raționament. Se folosesc calcule cu creionul, nu valori de la calculator (excepțiile sunt marcate explicit). La itemii de geometrie se recomandă realizarea unei figuri.
• Interpretarea notei (aproximativ): 90–100 p → foarte bine; 70–89 p → bine; 45–69 p → satisfăcător; sub 45 p → se reia unitatea.

Notație folosită: $\sqrt{a}$ este radicalul (rădăcina pătrată) lui $a\ge 0$; $|a|$ este modulul (valoarea absolută) al lui $a$; aproximare prin lipsă = valoarea mai mică sau egală cu $\sqrt{a}$; aproximare prin adaos = valoarea mai mare sau egală cu $\sqrt{a}$.