Evaluare – semestrul I

Clasa a VII-a · Matematică · Lucrare de final de semestru

Exerciții

Partea I — Numere reale și operații cu radicali

Exercițiul 1 — Operații cu radicali (6 puncte)

Efectuează calculele, aducând rezultatul la cea mai simplă formă:

a) $\sqrt{50}-\sqrt{18}+\sqrt{8}$ b) $2\sqrt{27}-\sqrt{48}$ c) $\sqrt{12}\cdot \sqrt{3}$ d) $\sqrt{75}:\sqrt{3}$

Exercițiul 2 — Raționalizarea numitorului (6 puncte)

Raționalizează numitorul (scapă de radicalul de la numitor) și simplifică:

a) $\frac{6}{\sqrt{3}}$ b) $\frac{10}{2\sqrt{5}}$ c) $\frac{9}{\sqrt{12}}$

Exercițiul 3 — Introducerea factorilor sub radical și ordonarea (5 puncte)

Se dau numerele $3\sqrt{5},4\sqrt{2},2\sqrt{6}$.

a) Scrie fiecare număr ca un radical unic (introdu factorul sub radical). (2 p) b) Ordonează cele trei numere crescător, justificând prin compararea radicandelor, fără a folosi valori de la calculator. (3 p)

Exercițiul 4 — Adevărat / Fals cu motivare (5 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și motivează pe scurt prin calcul:

a) $\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=4$ b) $\sqrt{9+16}=\sqrt{9}+\sqrt{16}$ c) ${\left(\sqrt{7}\right)}^2=7$ d) $\sqrt{5}$ este un număr rațional. e) $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=3$

Exercițiul 5 — Problemă aplicată: latura unei plăci (5 puncte)

O placă de gresie pătrată are aria de $32{\text{cm}}^2$.

a) Scrie lungimea laturii sub forma unui radical simplificat $a\sqrt{b}$. (2 p) b) Calculează perimetrul plăcii, exprimat cu radical. (2 p) c) Este lungimea laturii un număr rațional sau irațional? Justifică. (1 p)

Partea a II-a — Ecuații și sisteme de ecuații liniare

Exercițiul 6 — Rezolvarea ecuațiilor liniare (7 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{R}$, arătând etapele:

a) $5x-3=2x+12$ b) $3(x-2)=x+8$ c) $\frac{x}{2}+\frac{x}{4}=9$ d) $\frac{2x+1}{3}=\frac{x+4}{2}$

Exercițiul 7 — Verificarea soluției unei ecuații (4 puncte)

Fără a rezolva de la zero, verifică prin înlocuire dacă valoarea indicată este soluție a ecuației. Scrie „este soluție" sau „nu este soluție", cu calculul care justifică:

a) $5x-8=2x+7$, pentru $x=5$. (1 p) b) $2(x-3)=4x-10$, pentru $x=2$. (1 p) c) $\frac{x+6}{2}=x-1$, pentru $x=4$. (2 p)

Exercițiul 8 — Sisteme de ecuații liniare (7 puncte)

Rezolvă sistemele (prin metoda reducerii sau a substituției):

a) $\{\begin{array}{l}x+y=7\\ 2x-y=8\end{array}$ (3 p)

b) $\{\begin{array}{l}3x+2y=16\\ x-y=2\end{array}$ (4 p)

Exercițiul 9 — Problemă modelată cu o ecuație (6 puncte)

Un grup de drumeți a parcurs un traseu montan în două etape. În a doua etapă au mers cu $4$ km mai puțin decât în prima, iar în total au parcurs $26$ km.

a) Notează cu $x$ distanța din prima etapă și scrie ecuația care modelează problema. (2 p) b) Rezolvă ecuația și precizează câți kilometri s-au parcurs în fiecare etapă. (3 p) c) Verifică rezultatul în enunț. (1 p)

Exercițiul 10 — Problemă modelată cu un sistem (6 puncte)

La o librărie, 3 caiete și 2 pixuri costă $31$ lei, iar 2 caiete și 5 pixuri costă $28$ lei.

a) Notează cu $c$ prețul unui caiet și cu $p$ prețul unui pix și scrie sistemul de ecuații. (2 p) b) Rezolvă sistemul și află cât costă un caiet și cât un pix. (3 p) c) Verifică rezultatul în enunț. (1 p)

Partea a III-a — Patrulatere

Exercițiul 11 — Unghiurile unui paralelogram (4 puncte)

Într-un paralelogram $ABCD$, unghiul $B$ are măsura de $110^{\circ }$. Află măsurile unghiurilor $A$, $C$ și $D$, justificând ce proprietate ai folosit pentru fiecare.

Exercițiul 12 — Perimetru și laturi (paralelogram) (5 puncte)

Un paralelogram are perimetrul de $46$ cm, iar una dintre laturi este cu $5$ cm mai lungă decât cealaltă.

a) Notează cu $x$ lungimea laturii mai mici și scrie ecuația care exprimă perimetrul. (2 p) b) Află lungimile celor două laturi. (3 p)

Exercițiul 13 — Proprietăți ale patrulaterelor: Adevărat / Fals (5 puncte)

Stabilește A sau F pentru fiecare afirmație (câte 1 punct):

a) Diagonalele unui dreptunghi sunt congruente. b) Diagonalele unui romb sunt perpendiculare. c) Într-un paralelogram, diagonalele se înjumătățesc. d) Orice paralelogram cu diagonale congruente este pătrat. e) Trapezul are ambele perechi de laturi opuse paralele.

Exercițiul 14 — Rombul: unghiuri și perimetru (5 puncte)

Un romb are latura de $10$ cm și un unghi de $60^{\circ }$.

a) Calculează perimetrul rombului. (2 p) b) Află măsurile celorlalte trei unghiuri ale rombului, justificând. (2 p) c) Precizează două proprietăți ale diagonalelor rombului. (1 p)

Exercițiul 15 — Linia mijlocie a trapezului (5 puncte)

a) Un trapez are bazele de $14$ cm și $10$ cm. Calculează lungimea liniei mijlocii. (2 p)

b) La un alt trapez, linia mijlocie are $15$ cm, iar una dintre baze are $18$ cm. Află lungimea celeilalte baze, scriind mai întâi relația dintre linia mijlocie și baze. (3 p)

Exercițiul 16 — Unghiurile trapezului isoscel (4 puncte)

Într-un trapez isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ ($AB$ baza mare), unghiul $A$ are $72^{\circ }$.

Află măsurile unghiurilor $B$, $C$ și $D$, justificând fiecare rezultat cu o proprietate a trapezului isoscel.

Exercițiul 17 — Geometrie cu figură: trapezul dreptunghic (5 puncte)

Se consideră trapezul dreptunghic $ABCD$ din figură, cu $AB\parallel DC$, în care: $AB=14$ cm, $DC=8$ cm, $AD=8$ cm și $BC=10$ cm.

a) Calculează lungimea liniei mijlocii a trapezului. (2 p) b) Calculează perimetrul trapezului. (2 p) c) Precizează câte unghiuri drepte are trapezul și care sunt acestea. (1 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj: 17 itemi = 90 p + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1 (6 p — câte 1,5 p)

a) $\sqrt{50}-\sqrt{18}+\sqrt{8}=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$ b) $2\sqrt{27}-\sqrt{48}=2\cdot 3\sqrt{3}-4\sqrt{3}=6\sqrt{3}-4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$ c) $\sqrt{12}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{36}=6$ d) $\sqrt{75}:\sqrt{3}=\sqrt{25}=5$

Exercițiul 2 (6 p — câte 2 p)

a) $\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$ b) $\frac{10}{2\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}$ c) $\frac{9}{\sqrt{12}}=\frac{9}{2\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{9\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Exercițiul 3 (5 p)

a) $3\sqrt{5}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{45}$; $4\sqrt{2}=\sqrt{16\cdot 2}=\sqrt{32}$; $2\sqrt{6}=\sqrt{4\cdot 6}=\sqrt{24}$. (2 p) b) Comparăm radicandele: $24<32<45$, deci $\sqrt{24}<\sqrt{32}<\sqrt{45}$. Ordinea crescătoare: $$2\sqrt{6}<4\sqrt{2}<3\sqrt{5}.(3p)$$

Exercițiul 4 (5 p — câte 1 p)

a) A — $\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{16}=4$. b) F — $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$, dar $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$; radicalul nu se „împarte" pe sumă. c) A — ridicarea la pătrat desface radicalul: ${\left(\sqrt{7}\right)}^2=7$. d) F — $5$ nu este pătrat perfect, deci $\sqrt{5}$ este irațional. e) A — $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3$.

Exercițiul 5 (5 p)

a) latura $=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}$ cm. (2 p) b) perimetrul $=4\cdot 4\sqrt{2}=16\sqrt{2}$ cm. (2 p) c) Irațional: $2$ nu este pătrat perfect $\Rightarrow \sqrt{2}$ irațional, deci și $4\sqrt{2}$. (1 p)

Exercițiul 6 (7 p)

a) $5x-3=2x+12\Rightarrow 3x=15\Rightarrow x=5$. (1,5 p) b) $3(x-2)=x+8\Rightarrow 3x-6=x+8\Rightarrow 2x=14\Rightarrow x=7$. (1,5 p) c) $\frac{x}{2}+\frac{x}{4}=9\Rightarrow \frac{2x+x}{4}=9\Rightarrow 3x=36\Rightarrow x=12$. (2 p) d) $\frac{2x+1}{3}=\frac{x+4}{2}\Rightarrow 2(2x+1)=3(x+4)\Rightarrow 4x+2=3x+12\Rightarrow x=10$. (2 p)

Exercițiul 7 (4 p)

a) $x=5$: membrul stâng $5\cdot 5-8=17$; membrul drept $2\cdot 5+7=17$. Egale $\Rightarrow$ este soluție. (1 p) b) $x=2$: stânga $2(2-3)=-2$; dreapta $4\cdot 2-10=-2$. Egale $\Rightarrow$ este soluție. (1 p) c) $x=4$: stânga $\frac{4+6}{2}=5$; dreapta $4-1=3$. $5\ne 3\Rightarrow$ nu este soluție (soluția reală este $x=8$). (2 p)

Exercițiul 8 (7 p)

a) Adunăm ecuațiile: $(x+y)+(2x-y)=7+8\Rightarrow 3x=15\Rightarrow x=5$; apoi $5+y=7\Rightarrow y=2$. Verificare: $2\cdot 5-2=8$ ✓. Soluția: $(x,y)=(5,2)$. (3 p) b) Din a doua ecuație $x=y+2$. Înlocuim în prima: $3(y+2)+2y=16\Rightarrow 3y+6+2y=16\Rightarrow 5y=10\Rightarrow y=2$, deci $x=4$. Verificare: $3\cdot 4+2\cdot 2=16$ ✓. Soluția: $(x,y)=(4,2)$. (4 p)

Exercițiul 9 (6 p)

a) Prima etapă $x$, a doua $x-4$; ecuația: $x+(x-4)=26$. (2 p) b) $2x-4=26\Rightarrow 2x=30\Rightarrow x=15$; a doua etapă $15-4=11$. Prima etapă $15$ km, a doua $11$ km. (3 p) c) Verificare: $15+11=26$ km ✓. (1 p)

Exercițiul 10 (6 p)

a) Sistemul: $\{\begin{array}{l}3c+2p=31\\ 2c+5p=28\end{array}$ (2 p) b) Metoda reducerii: înmulțim prima cu $5$ și a doua cu $2$: $15c+10p=155$ și $4c+10p=56$; scădem: $11c=99\Rightarrow c=9$. Apoi $3\cdot 9+2p=31\Rightarrow 2p=4\Rightarrow p=2$. Un caiet $9$ lei, un pix $2$ lei. (3 p) c) Verificare: $3\cdot 9+2\cdot 2=31$ ✓ și $2\cdot 9+5\cdot 2=28$ ✓. (1 p)

Exercițiul 11 (4 p)

• $A=180^{\circ }-110^{\circ }=70^{\circ }$ (unghiuri consecutive ale paralelogramului, suplementare). (1,5 p)
• Atenție la ordinea vârfurilor: $A$ și $C$ sunt unghiuri opuse, la fel $B$ și $D$, iar unghiurile opuse ale paralelogramului sunt congruente.
• $A=C$ (opuse) și $B=D$ (opuse). Cum $A=70^{\circ }$, rezultă $C=70^{\circ }$ și $D=110^{\circ }$; echivalent, $D=180^{\circ }-C=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$ (consecutiv cu $C$, deci suplementar). (2,5 p)

Răspuns: $A=70^{\circ },C=70^{\circ },D=110^{\circ }$ (verificare: $70+110+70+110=360^{\circ }$).

Exercițiul 12 (5 p)

a) Latura mică $x$, latura mare $x+5$. Perimetrul: $2(x+(x+5))=46$. (2 p) b) $2(2x+5)=46\Rightarrow 2x+5=23\Rightarrow 2x=18\Rightarrow x=9$; latura mare $=14$. Laturile: $9$ cm și $14$ cm. (3 p) Verificare: $2(9+14)=46$ ✓.

Exercițiul 13 (5 p — câte 1 p)

a) A — proprietate a dreptunghiului. b) A — proprietate a rombului. c) A — proprietate a oricărui paralelogram. d) F — un paralelogram cu diagonale congruente este dreptunghi (nu neapărat pătrat). e) F — trapezul are doar o pereche de laturi opuse paralele.

Exercițiul 14 (5 p)

a) Perimetrul $=4\cdot 10=40$ cm. (2 p) b) Rombul este paralelogram: unghiurile opuse sunt egale, iar cele consecutive suplementare. Dacă un unghi are $60^{\circ }$, atunci cel opus are tot $60^{\circ }$, iar celelalte două au $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$ fiecare. Unghiurile: $60^{\circ },120^{\circ },60^{\circ },120^{\circ }$. (2 p) c) Diagonalele rombului: sunt perpendiculare, se înjumătățesc și sunt bisectoarele unghiurilor (orice două dintre acestea = punctaj maxim). (1 p)

Exercițiul 15 (5 p)

a) Linia mijlocie $=\frac{14+10}{2}=\frac{24}{2}=12$ cm. (2 p) b) Relația: linia mijlocie $=\frac{B_1+B_2}{2}$. Deci $\frac{18+b}{2}=15\Rightarrow 18+b=30\Rightarrow b=12$ cm. (3 p)

Exercițiul 16 (4 p)

• $B=A=72^{\circ }$ — în trapezul isoscel unghiurile de la baza mare sunt congruente. (1,5 p)
• $D=180^{\circ }-A=180^{\circ }-72^{\circ }=108^{\circ }$ — unghiurile $A$ și $D$ sunt alăturate laturii neparalele $AD$ (interne de aceeași parte a secantei), deci suplementare. (1,5 p)
• $C=D=108^{\circ }$ — unghiurile de la baza mică sunt congruente. (1 p)

Răspuns: $B=72^{\circ },C=108^{\circ },D=108^{\circ }$ (verificare: $72+72+108+108=360^{\circ }$).

Exercițiul 17 (5 p)

a) Linia mijlocie $=\frac{AB+DC}{2}=\frac{14+8}{2}=11$ cm. (2 p) b) Perimetrul $=AB+BC+CD+DA=14+10+8+8=40$ cm. (2 p) c) Trapezul are două unghiuri drepte, în vârfurile $A$ și $D$ (unde înălțimea $AD$ este perpendiculară pe cele două baze paralele). (1 p)

Total: 90 p (itemi) + 10 p (oficiu) = 100 p.

Pentru părinți și profesori

Aceasta este o lucrare cuprinzătoare de final de semestru I, în format de examen. Ea acoperă cele trei mari teme parcurse până în acest moment:

1. Mulțimea numerelor reale și operații cu radicali – calcul cu radicali, scoaterea/introducerea factorilor sub radical, raționalizarea numitorului, comparări.
2. Ecuații și sisteme de ecuații liniare – rezolvare, verificarea soluției și probleme care se modelează cu o ecuație sau cu un sistem.
3. Patrulatere – paralelogramul și paralelogramele particulare (dreptunghi, romb, pătrat), trapezul și trapezul isoscel, linia mijlocie în trapez.

• Timp recomandat: 90 de minute (două ore de curs) – este o lucrare de semestru.
• Punctaj total: 100 de puncte, dintre care 10 puncte din oficiu. Cei 17 itemi însumează 90 de puncte.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, cu toate calculele și justificările scrise. La cerințele „justifică", „arată că" sau „motivează" se punctează raționamentul, nu doar rezultatul final. La itemii de geometrie se recomandă realizarea unei figuri.
• Interpretarea notei (orientativ): 90–100 p → foarte bine; 70–89 p → bine; 45–69 p → satisfăcător; sub 45 p → se reiau temele slabe înainte de semestrul al II-lea.

Notație folosită: $\sqrt{a}$ este radicalul (rădăcina pătrată) lui $a\ge 0$; $a\sqrt{b}$ înseamnă $a$ înmulțit cu $\sqrt{b}$; $\mathbb{R}$ este mulțimea numerelor reale. La geometrie, un patrulater $ABCD$ are vârfurile citite în ordine (pe contur).