Test: Evaluare — semestrul I

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Evaluări generale

Exerciții

Subiectul I – răspuns scurt / grilă (30 de puncte)

Se trece pe foaie doar litera răspunsului corect (sau rezultatul cerut). Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Rezultatul dezvoltării $(x + 3)^{2}$ este:

A. $x^{2} + 9$ B. $x^{2} + 6 x + 9$ C. $x^{2} + 3 x + 9$ D. $x^{2} + 9 x + 9$

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se dau intervalele $A = (- \infty, 4]$ și $B = [- 1, \infty)$ . Intersecția $A \cap B$ este:

A. $(- 1, 4)$ B. $[- 1, 4]$ C. $(- \infty, \infty)$ D. $\emptyset$

Exercițiul 3 (5 puncte)

Mulțimea soluțiilor inecuației $2 x - 6 \leq 0$ este:

A. $[3, \infty)$ B. $(- \infty, 3]$ C. $(- \infty, 3)$ D. $[- 3, \infty)$

Exercițiul 4 (5 puncte)

Descompus în factori, $x^{2} - 25$ este egal cu:

A. $(x - 5)^{2}$ B. $(x - 25) (x + 1)$ C. $(x - 5) (x + 5)$ D. $(x + 5)^{2}$

Exercițiul 5 (5 puncte)

Soluțiile ecuației $x^{2} - 5 x = 0$ sunt:

A. $x = 5$ B. $x = 0$ și $x = 5$ C. $x = - 5$ și $x = 5$ D. $x = 0$ și $x = - 5$

Exercițiul 6 (5 puncte)

Pentru $x \neq = 3$ , fracția $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ este egală cu:

A. $x - 3$ B. $x + 3$ C. $x^{2} - 3$ D. $9$

Subiectul al II-lea – rezolvare completă (30 de puncte)

Se scriu toți pașii. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (5 puncte)

Efectuați calculele și aduceți la forma cea mai simplă: $(2 x - 1)^{2} - (2 x - 1) (2 x + 1) .$

Exercițiul 8 (5 puncte)

Descompuneți în factori: a) $3 x^{2} - 12$ ; b) $x^{2} - 10 x + 25$ .

Exercițiul 9 (5 puncte)

Rezolvați inecuația $3 (x - 2) < x + 4$ , scrieți mulțimea soluțiilor ca interval și reprezentați-o pe axă.

Exercițiul 10 (5 puncte)

Rezolvați ecuația $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ prin descompunere în factori (metoda produsului nul).

Exercițiul 11 (5 puncte)

Se dă fracția algebrică $E (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 4 x + 4}$ . a) Determinați valorile lui $x$ pentru care fracția are sens. b) Simplificați fracția.

Exercițiul 12 (5 puncte)

Determinați numerele întregi $x$ care verifică simultan condițiile: $x > - 3 ș i 2 x - 1 \leq 5.$

Subiectul al III-lea – probleme ample (30 de puncte)

Se scriu raționamentul complet și justificările. Fiecare problemă valorează 10 puncte.

Exercițiul 13 (10 puncte)

Se consideră expresia $E (x) = (x + 2)^{2} - (x - 1) (x + 1) - 4 x$ . a) (4 p) Aduceți $E (x)$ la forma cea mai simplă. b) (3 p) Arătați că $E (x)$ are aceeași valoare pentru orice număr real $x$ . c) (3 p) Calculați $E (2026)$ .

Exercițiul 14 (10 puncte)

Un elev are $50$ de lei și vrea să cumpere caiete de câte $6$ lei bucata, dorind să-i rămână cel puțin $8$ lei. a) (3 p) Notând cu $n$ numărul de caiete, scrieți inecuația care modelează situația. b) (4 p) Rezolvați inecuația. c) (3 p) Care este numărul maxim de caiete pe care le poate cumpăra?

Exercițiul 15 (10 puncte)

a) (3 p) Adevărat sau fals, cu justificare: „Ecuația $x^{2} + 1 = 0$ are soluții reale." b) (4 p) Rezolvați ecuația $(x - 3) (2 x + 1) = 0$ . c) (3 p) Arătați că numărul $N = x^{2} - 6 x + 10$ este strict pozitiv pentru orice număr real $x$ .

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Subiectul I (30 p — câte 5 p/item; se acordă punctajul integral doar pentru răspunsul corect)

Exercițiul 1 · 5 puncte — B. $(x + 3)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ .

Exercițiul 2 · 5 puncte — B. $A \cap B$ conține numerele care sunt și $\leq 4$ , și $\geq - 1$ , adică $[- 1, 4]$ .

Exercițiul 3 · 5 puncte — B. $2 x - 6 \leq 0 \Rightarrow 2 x \leq 6 \Rightarrow x \leq 3$ , deci $(- \infty, 3]$ .

Exercițiul 4 · 5 puncte — C. Diferență de pătrate: $x^{2} - 25 = x^{2} - 5^{2} = (x - 5) (x + 5)$ .

Exercițiul 5 · 5 puncte — B. $x^{2} - 5 x = 0 \Rightarrow x (x - 5) = 0 \Rightarrow x = 0$ sau $x = 5$ .

Exercițiul 6 · 5 puncte — B. $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x + 3$ (pentru $x \neq = 3$ ).

Subiectul al II-lea (30 p)

Exercițiul 7 · 5 puncte $(2 x - 1)^{2} = 4 x^{2} - 4 x + 1$ (2 p); $(2 x - 1) (2 x + 1) = 4 x^{2} - 1$ (1 p). Diferența: $4 x^{2} - 4 x + 1 - (4 x^{2} - 1) = 4 x^{2} - 4 x + 1 - 4 x^{2} + 1 = - 4x + 2$ (2 p). (Formă echivalentă acceptată: $2 (1 - 2 x)$ .)

Exercițiul 8 · 5 puncte — câte parte: a) $3 x^{2} - 12 = 3 (x^{2} - 4) = 3 (x - 2) (x + 2)$ (2,5 p) (factor comun $3$ , apoi diferență de pătrate). b) $x^{2} - 10 x + 25 = (x - 5)^{2}$ (2,5 p) (pătrat perfect: $a^{2} - 2 ab + b^{2}$ cu $a = x, b = 5$ ).

Exercițiul 9 · 5 puncte $3 (x - 2) < x + 4 \Rightarrow 3 x - 6 < x + 4$ (1,5 p) $\Rightarrow 3 x - x < 4 + 6 \Rightarrow 2 x < 10 \Rightarrow x < 5$ (1,5 p). Mulțimea soluțiilor: $(- \infty, 5)$ (1 p). Reprezentare (1 p): 🖼️ [Imagine: cerculeț gol în $5$ (capăt exclus), hașură spre stânga.]

Exercițiul 10 · 5 puncte Descompunere: $x^{2} - 7 x + 12 = (x - 3) (x - 4)$ (3 p) (suma rădăcinilor $3 + 4 = 7$ , produsul $3 \cdot 4 = 12$ ). Produs nul: $(x - 3) (x - 4) = 0 \Rightarrow x - 3 = 0$ sau $x - 4 = 0$ (1 p) $\Rightarrow x = 3$ sau $x = 4$ (1 p). Soluții: ${3, 4}$ .

Exercițiul 11 · 5 puncte a) Numitorul $x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}$ ; fracția are sens dacă $(x + 2)^{2} \neq = 0 \Rightarrow x \neq = - 2$ (2 p). b) Numărătorul $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ ; deci $E (x) = \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{x - 2}{x + 2} (x \neq = - 2)$ (3 p).

Exercițiul 12 · 5 puncte Din $2 x - 1 \leq 5 \Rightarrow 2 x \leq 6 \Rightarrow x \leq 3$ (2 p). Împreună cu $x > - 3$ , obținem $x \in (- 3, 3]$ (1 p). Numerele întregi din acest interval: $- 2, - 1, 0, 1, 2, 3$ (2 p).

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 13 · 10 puncte a) (4 p) $(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4$ (1,5 p); $(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ (1 p). $E (x) = x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} - 1) - 4 x = x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} + 1 - 4 x = 5$ (1,5 p). b) (3 p) După simplificare, toți termenii cu $x$ se reduc, iar $E (x) = 5$ ; valoarea nu depinde de $x$ , deci este aceeași pentru orice $x$ real. c) (3 p) Cum $E (x) = 5$ pentru orice $x$ , rezultă $E (2026) = 5$ .

Exercițiul 14 · 10 puncte a) (3 p) Costul a $n$ caiete este $6 n$ ; suma rămasă $50 - 6 n$ trebuie să fie cel puțin $8$ : $50 - 6 n \geq 8 (echivalent 6 n \leq 42), n \in N .$ b) (4 p) $50 - 6 n \geq 8 \Rightarrow - 6 n \geq - 42 \Rightarrow n \leq 7$ (3 p) (la împărțirea cu $- 6$ sensul se schimbă; sau se rezolvă direct $6 n \leq 42$ ). Cum $n \in N$ : $n \in {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ (1 p). c) (3 p) Numărul maxim de caiete este $7$ . (Verificare: $50 - 6 \cdot 7 = 50 - 42 = 8 \geq 8$ .)

Exercițiul 15 · 10 puncte a) (3 p) Fals. Pentru orice $x$ real, $x^{2} \geq 0$ , deci $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ ; suma nu poate fi $0$ , deci ecuația nu are soluții reale. b) (4 p) Produs nul: $(x - 3) (2 x + 1) = 0 \Rightarrow x - 3 = 0$ sau $2 x + 1 = 0$ (2 p) $\Rightarrow x = 3$ sau $x = - \frac{1}{2}$ (2 p). Soluții: ${- \frac{1}{2}, 3}$ . c) (3 p) Grupăm pătrat perfect: $x^{2} - 6 x + 10 = (x^{2} - 6 x + 9) + 1 = (x - 3)^{2} + 1$ (2 p). Cum $(x - 3)^{2} \geq 0$ , rezultă $N = (x - 3)^{2} + 1 \geq 1 > 0$ pentru orice $x$ real (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017). Ecuațiile de gradul al II-lea se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul.

Pentru părinți și profesori

Acest test este o evaluare de final de semestru I și, în același timp, o simulare a structurii de la Evaluarea Națională. El acoperă principalele teme de algebră parcurse în primul semestru al clasei a VIII-a:

intervale de numere reale și inecuații de gradul I (rezolvare, reprezentare pe axă, mulțimea soluțiilor);
calcul algebric: formule de calcul prescurtat $(a \pm b)^{2}$ și $(a - b) (a + b)$ , descompuneri în factori, fracții algebrice (condiții de existență, simplificare);
ecuații de forma $a x^{2} + b x + c = 0$ , rezolvate exclusiv prin descompunere în factori (metoda produsului nul).

Testul este structurat ca la examen, în trei subiecte:

Subiectul I (30 p) – 6 itemi cu răspuns scurt / grilă; se cere doar rezultatul.
Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi cu rezolvare completă; se punctează pașii.
Subiectul al III-lea (30 p) – 3 probleme ample, cu subpuncte și justificări.
Punctaj total: 100 de puncte = 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu.
Timp recomandat: 100 de minute.
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie separată; la Subiectele al II-lea și al III-lea se scriu toți pașii de rezolvare. La final, comparați cu Baremul și răspunsurile.
Interpretare orientativă: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea temelor de semestrul I.
De reținut: ecuațiile $a x^{2} + b x + c = 0$ se rezolvă prin descompunere în factori și produs nul ( $A \cdot B = 0 \Rightarrow A = 0$ sau $B = 0$ ), nu cu formula discriminantului (aceea se învață în clasa a IX-a).

Notă: marcajele 🖼️ [Imagine: ...] descriu reprezentarea pe axa numerelor care însoțește itemul; elevul o poate schița după descriere.