Evaluare — semestrul al II-lea

Lucrare de final de semestru pentru clasa a VII-a, în format de examen. Testul acoperă geometria plană studiată în semestrul al II-lea: perimetre și arii, cercul și poligoanele regulate, asemănarea triunghiurilor (teorema lui Thales), relațiile metrice și trigonometria în triunghiul dreptunghic. Itemii sunt gradați ca dificultate și așezați în contexte aplicative.

Exerciții

Exercițiul 1 — Adevărat sau fals, cu justificare (5 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt fiecare răspuns (1 punct fiecare).

a) Lungimea unui cerc de rază $r$ este $\pi r^2$. b) Într-un triunghi dreptunghic, sinusul unui unghi ascuțit poate fi mai mare decât $1$. c) Dacă două triunghiuri sunt asemenea cu raportul de asemănare $k$, atunci ariile lor sunt în raportul $k^2$. d) Apotema unui pătrat cu latura $\ell$ este egală cu $\frac{\ell }{2}$. e) $\mathrm{tg}45°=1$.

Exercițiul 2 — Cercul (6 puncte)

Se dă un cerc de rază $r=10$ cm. Lasă rezultatele în funcție de $\pi$, iar la final dă și valoarea aproximativă cu $\pi \approx 3,14$.

a) Calculează lungimea cercului. (2p) b) Calculează aria discului. (2p) c) Calculează aria sectorului de cerc corespunzător unui unghi la centru de $45°$. (2p)

Exercițiul 3 — Coroana circulară (aleea) (5 puncte)

În jurul unui bazin circular cu raza de $4$ m se toarnă o alee pavată, lată peste tot, astfel încât marginea exterioară a aleii formează tot un cerc, cu raza de $7$ m (concentric cu bazinul).

Calculează aria suprafeței pavate (coroana circulară dintre cele două cercuri). Dă rezultatul în funcție de $\pi$ și apoi aproximativ, cu $\pi \approx 3,14$.

Exercițiul 4 — Triunghiul echilateral (6 puncte)

Un semn de circulație are forma unui triunghi echilateral cu latura de $12$ cm.

a) Calculează perimetrul triunghiului. (2p) b) Calculează înălțimea triunghiului (rezultat cu radical). (2p) c) Calculează aria triunghiului (rezultat cu radical, apoi aproximativ cu $\sqrt{3}\approx 1,73$). (2p)

Exercițiul 5 — Cameră în formă de L (6 puncte)

O cameră are forma din figură: un dreptunghi de $9$ m $\times 6$ m din care lipsește, într-un colț, un dreptunghi de $4$ m $\times 3$ m.

a) Calculează aria camerei. (3p) b) Calculează perimetrul (lungimea conturului) camerei. (3p)

Exercițiul 6 — Teorema lui Thales (5 puncte)

În triunghiul $ABC$, punctul $M$ se află pe latura $AB$, iar $N$ pe latura $AC$, astfel încât $MN\parallel BC$. Se știe că $AM=6$ cm, $AB=15$ cm și $AN=8$ cm.

a) Calculează lungimea segmentului $NC$. (3p) b) Știind că $BC=25$ cm, calculează lungimea segmentului $MN$. (2p)

Exercițiul 7 — Triunghiuri asemenea (6 puncte)

Triunghiurile $ABC$ și $DEF$ sunt asemenea, cu $AB$ corespunzând lui $DE$ și $BC$ lui $EF$. Se știe că $AB=8$ cm, $DE=12$ cm și $BC=6$ cm.

a) Determină raportul de asemănare $k=\frac{DE}{AB}$. (1p) b) Calculează lungimea laturii $EF$. (2p) c) Știind că aria triunghiului $ABC$ este $20$ cm², calculează aria triunghiului $DEF$. (3p)

Exercițiul 8 — Înălțimea unui copac (5 puncte)

La aceeași oră a zilei, un copac aruncă o umbră de $12$ m, iar o persoană înaltă de $1,8$ m aruncă o umbră de $2,4$ m.

Folosind asemănarea triunghiurilor, calculează înălțimea copacului. Justifică de ce cele două triunghiuri (copac–umbră și persoană–umbră) sunt asemenea.

Exercițiul 9 — Relații metrice în triunghiul dreptunghic (7 puncte)

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, iar $AD$ este înălțimea din $A$ pe ipotenuza $BC$. Se știe că $BD=3$ cm și $DC=12$ cm.

a) Calculează lungimea înălțimii $AD$. (2p) b) Calculează lungimile catetelor $AB$ și $AC$ (cu radicali). (3p) c) Calculează aria triunghiului $ABC$. (2p)

Exercițiul 10 — Diagonala unui teren (5 puncte)

Un teren de sport are forma unui dreptunghi cu dimensiunile de $40$ m și $30$ m. Se amenajează o alee dreaptă în lungul diagonalei.

a) Calculează lungimea aleii (diagonala dreptunghiului). (3p) b) Cu cât este mai scurt drumul pe diagonală față de drumul de-a lungul a două laturi vecine? (2p)

Exercițiul 11 — Rapoarte trigonometrice (6 puncte)

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $C$, cu catetele $CA=12$ cm și $CB=9$ cm.

a) Calculează lungimea ipotenuzei $AB$. (2p) b) Calculează $\sin A$, $\cos A$ și $\mathrm{tg}A$ (sub formă de fracție și ca număr zecimal). (4p)

Exercițiul 12 — Rampa de acces (6 puncte)

O rampă rectilinie de acces are lungimea de $8$ m și formează cu solul orizontal un unghi de $30°$.

a) La ce înălțime ajunge capătul de sus al rampei față de sol? (3p) b) Ce distanță pe orizontală acoperă rampa (proiecția pe sol)? Dă rezultatul exact (cu radical) și apoi aproximativ, cu $\sqrt{3}\approx 1,73$. (3p)

Exercițiul 13 — Unghiul de elevație (6 puncte)

Un observator se află la $15$ m de baza unui bloc, pe teren orizontal. El vede vârful blocului sub un unghi de elevație de $60°$ (măsurat de la nivelul solului).

Calculează înălțimea blocului. Dă rezultatul exact (cu radical) și apoi aproximativ, cu $\sqrt{3}\approx 1,73$.

Exercițiul 14 — Triunghi în reperul cartezian (6 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,3)$, $B(2,9)$ și $C(10,3)$.

a) Calculează lungimile segmentelor $AB$ și $AC$ și arată că unghiul din $A$ este drept. (3p) b) Calculează lungimea segmentului $BC$. (2p) c) Calculează aria triunghiului $ABC$. (1p)

Exercițiul 15 — Găsește greșeala (4 puncte)

Un elev scrie: „Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit are $\sin =0,8$. Atunci $\cos$-ul aceluiași unghi este $1-0,8=0,2$."

Are dreptate? Justifică și, dacă este cazul, corectează rezultatul, arătând ce relație trebuia folosită.

Exercițiul 16 — Sectorul de cerc (evantaiul) (6 puncte)

Un evantai deschis are forma unui sector de cerc cu raza de $12$ cm și unghiul la centru de $120°$. Lasă rezultatele în funcție de $\pi$, apoi dă și valoarea aproximativă cu $\pi \approx 3,14$.

a) Calculează lungimea arcului sectorului. (2p) b) Calculează aria sectorului. (2p) c) Calculează perimetrul sectorului (arcul plus cele două raze). (2p)

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Exercițiul 1 (5p)

a) F — lungimea cercului este $L=2\pi r$; $\pi r^2$ este aria discului. (1p) b) F — sinusul unui unghi ascuțit este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză; cum cateta este mereu mai mică decât ipotenuza, $\sin \in (0,1)$. (1p) c) A — la triunghiuri asemenea, laturile sunt în raportul $k$, iar ariile în raportul $k^2$. (1p) d) A — apotema pătratului este distanța de la centru la o latură, adică jumătate din latură: $a=\frac{\ell }{2}$. (1p) e) A — pentru unghiul de $45°$, cateta opusă este egală cu cea alăturată, deci $\mathrm{tg}45°=1$. (1p)

Exercițiul 2 (6p)

a) $L=2\pi r=2\pi \cdot 10=20\pi$ cm $\approx 62,8$ cm. (2p) b) $A=\pi r^2=\pi \cdot 100=100\pi$ cm² $\approx 314$ cm². (2p) c) Sectorul de $45°$ reprezintă $\frac{45}{360}=\frac{1}{8}$ din disc: $A_{\text{sector}}=\frac{1}{8}\cdot 100\pi =12,5\pi$ cm² $\approx 39,25$ cm². (2p)

Exercițiul 3 (5p)

Aria coroanei circulare = aria cercului mare − aria cercului mic: $$A=\pi R^2-\pi r^2=\pi (7^2-4^2)=\pi (49-16)=33\pi \text{m²}\approx 33\cdot 3,14=103,62\text{m²}.$$ (2p pentru fiecare arie corectă, 1p pentru rezultatul final)

Exercițiul 4 (6p)

a) $P=3\cdot 12=36$ cm. (2p) b) Înălțimea triunghiului echilateral: $h=\frac{\ell \sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ cm $\approx 10,39$ cm. (2p) c) $A=\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}=\frac{144\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}$ cm² $\approx 62,28$ cm² (sau $A=\frac{\ell \cdot h}{2}=\frac{12\cdot 6\sqrt{3}}{2}=36\sqrt{3}$). (2p)

Exercițiul 5 (6p)

a) Aria = aria dreptunghiului mare − aria colțului lipsă $=9\cdot 6-4\cdot 3=54-12=42$ m². (3p) b) Conturul în formă de L are aceeași lungime ca perimetrul dreptunghiului care îl încadrează (decupajul din colț nu schimbă perimetrul): $P=2(9+6)=30$ m. (3p) (Verificare pe segmente: $9+3+4+3+5+6=30$ m.)

Exercițiul 6 (5p)

a) $MB=AB-AM=15-6=9$ cm. Din teorema lui Thales, $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$, deci $\frac{6}{9}=\frac{8}{NC}$, de unde $NC=\frac{8\cdot 9}{6}=12$ cm. (3p) b) Din $MN\parallel BC$, $\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$, deci $MN=\frac{2}{5}\cdot 25=10$ cm. (2p)

Exercițiul 7 (6p)

a) $k=\frac{DE}{AB}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$. (1p) b) $EF=k\cdot BC=\frac{3}{2}\cdot 6=9$ cm. (2p) c) Raportul ariilor este $k^2={\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$, deci $A_{DEF}=\frac{9}{4}\cdot 20=45$ cm². (3p)

Exercițiul 8 (5p)

Razele soarelui sunt paralele, iar copacul și persoana sunt verticale (perpendiculare pe sol), deci cele două triunghiuri dreptunghice au unghiurile respectiv congruente $\Rightarrow$ sunt asemenea. (2p) $$\frac{h}{12}=\frac{1,8}{2,4}\Rightarrow h=\frac{12\cdot 1,8}{2,4}=\frac{21,6}{2,4}=9\text{m}.$$ (3p)

Exercițiul 9 (7p)

a) Teorema înălțimii: $AD=\sqrt{BD\cdot DC}=\sqrt{3\cdot 12}=\sqrt{36}=6$ cm. (2p) b) $BC=BD+DC=3+12=15$ cm. Teorema catetei: $AB=\sqrt{BD\cdot BC}=\sqrt{3\cdot 15}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$ cm; $AC=\sqrt{DC\cdot BC}=\sqrt{12\cdot 15}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$ cm. (3p) c) $A=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{3\sqrt{5}\cdot 6\sqrt{5}}{2}=\frac{18\cdot 5}{2}=45$ cm² (verificare: $\frac{BC\cdot AD}{2}=\frac{15\cdot 6}{2}=45$). (2p)

Exercițiul 10 (5p)

a) Diagonala este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele $40$ și $30$: $d=\sqrt{40^2+30^2}=\sqrt{1600+900}=\sqrt{2500}=50$ m. (3p) b) Pe două laturi vecine: $40+30=70$ m; pe diagonală: $50$ m. Economia este $70-50=20$ m. (2p)

Exercițiul 11 (6p)

a) $AB=\sqrt{C{A}^2+C{B}^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$ cm. (2p) b) Față de unghiul $A$: cateta opusă este $CB=9$, cateta alăturată este $CA=12$, ipotenuza $AB=15$. (1p pentru identificarea corectă) $$\sin A=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}=0,6;\cos A=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}=0,8;\mathrm{tg}A=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}=0,75.$$ (câte 1p per raport corect)

Exercițiul 12 (6p)

a) Înălțimea este cateta opusă unghiului de $30°$: $h=8\cdot \sin 30°=8\cdot \frac{1}{2}=4$ m. (3p) b) Distanța pe orizontală este cateta alăturată: $d=8\cdot \cos 30°=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$ m $\approx 4\cdot 1,73=6,92$ m. (3p)

Exercițiul 13 (6p)

Înălțimea blocului este cateta opusă unghiului de $60°$, iar distanța de $15$ m este cateta alăturată, deci se folosește tangenta: $$h=15\cdot \mathrm{tg}60°=15\sqrt{3}\text{m}\approx 15\cdot 1,73=25,95\text{m}.$$ (3p pentru relația și rezultatul exact $15\sqrt{3}$, 3p pentru aproximare)

Exercițiul 14 (6p)

a) $A$ și $B$ au aceeași abscisă ($x=2$), deci $AB$ este vertical: $AB=9-3=6$. $A$ și $C$ au aceeași ordonată ($y=3$), deci $AC$ este orizontal: $AC=10-2=8$. Cum $AB$ este vertical și $AC$ orizontal, ele sunt perpendiculare $\Rightarrow$ unghiul din $A$ este drept. (3p) b) $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$. (2p) c) $A_{△}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{6\cdot 8}{2}=24$ (unități de arie). (1p)

Exercițiul 15 (4p)

Elevul greșește — cosinusul NU se obține scăzând sinusul din $1$. (1p) Dacă $\sin =0,8=\frac{4}{5}$, triunghiul este de tip $3$–$4$–$5$: cateta opusă este $4$, ipotenuza $5$, iar cateta alăturată este $\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$. Deci $\cos =\frac{3}{5}=0,6$, nu $0,2$. (2p) (Se putea folosi și relația ${\sin }^2+{\cos }^2=1$: $\cos =\sqrt{1-0,8^2}=\sqrt{0,36}=0,6$.) (1p)

Exercițiul 16 (6p)

a) Arcul de $120°$ reprezintă $\frac{120}{360}=\frac{1}{3}$ din cerc: ${\ell }_{\text{arc}}=\frac{1}{3}\cdot 2\pi r=\frac{1}{3}\cdot 24\pi =8\pi$ cm $\approx 25,12$ cm. (2p) b) $A_{\text{sector}}=\frac{1}{3}\cdot \pi r^2=\frac{1}{3}\cdot 144\pi =48\pi$ cm² $\approx 150,72$ cm². (2p) c) $P_{\text{sector}}={\ell }_{\text{arc}}+2r=8\pi +24\approx 25,12+24=49,12$ cm. (2p)

Recapitulare rapidă a formulelor folosite

• Cerc: $L=2\pi r$, $A=\pi r^2$; pentru un unghi la centru $\alpha$, sectorul/arcul reprezintă fracția $\frac{\alpha }{360°}$; coroana circulară: $A=\pi (R^2-r^2)$.
• Poligoane regulate: triunghi echilateral — $h=\frac{\ell \sqrt{3}}{2}$, $A=\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}$; pătrat — apotema $a=\frac{\ell }{2}$.
• Arii compuse: se descompune figura în dreptunghiuri/triunghiuri și se adună (sau se scade decupajul).
• Thales: o dreaptă paralelă cu o latură taie proporțional celelalte două laturi.
• Asemănare: laturile și perimetrele în raportul $k$, ariile în raportul $k^2$.
• Relații metrice (triunghi dreptunghic): înălțimea $h=\sqrt{BD\cdot DC}$; cateta $c=\sqrt{\text{proiecție}\cdot \text{ipotenuza˘}}$; Pitagora ${\text{ip}}^2=c_1^2+c_2^2$.
• Trigonometrie: $\sin =\frac{\text{opusa˘}}{\text{ipotenuza˘}}$, $\cos =\frac{\text{ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza˘}}$, $\mathrm{tg}=\frac{\text{opusa˘}}{\text{ala˘turata˘}}$; valori remarcabile: $\sin 30°=\cos 60°=\frac{1}{2}$, $\cos 30°=\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\mathrm{tg}45°=1$, $\mathrm{tg}60°=\sqrt{3}$.

Pentru părinți și profesori

• Cum se aplică: Lucrarea se dă individual, în clasă, la finalul semestrului al II-lea, cu foaie de lucru și instrumente de geometrie (riglă, echer, raportor, compas). Elevul are voie să folosească valorile trigonometrice remarcabile (pentru $30°$, $45°$, $60°$) și aproximările $\pi \approx 3,14$, $\sqrt{2}\approx 1,41$, $\sqrt{3}\approx 1,73$ acolo unde se cere un rezultat numeric.
• Punctaj total: 100 de puncte (10 puncte din oficiu + 90 de puncte distribuite pe cei 16 itemi). Fiecare item are punctajul marcat în dreptul enunțului, iar subpunctele au punctaj propriu.
• Timp recomandat: 90 de minute. Se recomandă rezolvarea mai întâi a itemilor siguri și lăsarea la final a celor cu mai multe subpuncte.
• Note orientative: $90$–$100$p = 9–10 · $75$–$89$p = 8 · $60$–$74$p = 7 · $45$–$59$p = 5–6 · sub $45$p = se reia recapitularea pe capitole.
• Recomandare de lucru: la fiecare problemă de geometrie fă o figură, notează datele pe ea și verifică la final dacă rezultatul are sens (o latură nu poate fi negativă, ipotenuza este mereu cea mai lungă latură, iar $\sin$ și $\cos$ ale unui unghi ascuțit sunt între $0$ și $1$).