Test: factori primi, c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.

Unitatea: Divizibilitatea numerelor naturale · Clasa a VI-a · Matematică

Exerciții

Exercițiul 1 — Adevărat / Fals cu justificare (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată sau falsă și justifică pe scurt.

a) Numărul $4230$ se divide simultan cu $3$ și cu $5$ . (2p) b) Numărul $17$ este număr compus. (2p) c) Dacă un număr natural se divide cu $6$ , atunci el se divide și cu $3$ . (2p)

Exercițiul 2 — Numere prime și numere compuse (6 puncte)

Se dă lista: $51, 53, 57, 61, 63, 67$ . a) Scrie care dintre aceste numere sunt prime. (3p) b) Pentru fiecare număr compus din listă, scrie o descompunere ca produs de doi factori mai mari decât $1$ . (3p)

Exercițiul 3 — Descompunere în produs de puteri de numere prime (6 puncte)

Descompune în produs de puteri de numere prime: a) $252$ (3p) b) $660$ (3p)

Exercițiul 4 — Mulțimea și numărul divizorilor (6 puncte)

a) Scrie mulțimea tuturor divizorilor numărului $45$ . (3p) b) Folosind descompunerea $200 = 2^{3} \cdot 5^{2}$ , determină câți divizori are numărul $200$ (fără a-i scrie pe toți). (3p)

Exercițiul 5 — c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. prin descompunere (6 puncte)

Se dau numerele $84$ și $120$ . a) Descompune fiecare număr în factori primi. (2p) b) Determină $(84, 120)$ . (2p) c) Determină $[84, 120]$ . (2p)

Exercițiul 6 — Numere prime între ele (6 puncte)

Pentru fiecare pereche, calculează c.m.m.d.c. și precizează dacă numerele sunt prime între ele: a) $8$ și $15$ (3p) b) $12$ și $18$ (3p)

Exercițiul 7 — Relația dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. (6 puncte)

Despre două numere naturale $a$ și $b$ se știe că $(a, b) = 8$ și $[a, b] = 240$ . a) Cât este produsul $a \cdot b$ ? Justifică folosind relația $(a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b$ . (3p) b) Dacă $a = 40$ , află numărul $b$ . (3p)

Exercițiul 8 — Fracție ireductibilă (5 puncte)

Adu fracția $\frac{210}{252}$ la forma ireductibilă, simplificând printr-o singură împărțire cu c.m.m.d.c. al numărătorului și numitorului. Arată calculul c.m.m.d.c.

Exercițiul 9 — Aplicație a c.m.m.d.c. (6 puncte)

Un atelier are de tăiat trei role de sârmă, de $36$ cm, $48$ cm și $60$ cm, în bucăți de aceeași lungime, fără a rămâne resturi. a) Care este lungimea maximă posibilă a unei bucăți? (3p) b) Câte bucăți se obțin în total? (3p)

Exercițiul 10 — Aplicație a c.m.m.m.c. (5 puncte)

Pe un panou publicitar, două LED-uri se aprind la intervale regulate: primul la fiecare $12$ secunde, al doilea la fiecare $18$ secunde. La momentul $0$ s ele se aprind simultan. După câte secunde se vor aprinde din nou simultan?

Exercițiul 11 — Raționament cu multipli comuni (6 puncte)

Într-o clasă, numărul de elevi este cuprins între $30$ și $40$ . Elevii pot fi împărțiți exact, fără rest, atât în grupe de câte $4$ , cât și în grupe de câte $6$ . a) Câți elevi are clasa? (4p) b) Justifică de ce numărul de elevi trebuie să fie multiplu al lui $[4, 6]$ . (2p)

Exercițiul 12 — Cel mai mic multiplu comun (5 puncte)

Determină cel mai mic număr natural nenul care se divide simultan cu $8$ , cu $12$ și cu $15$ .

Exercițiul 13 — Problemă aplicată cu subpuncte (6 puncte)

O firmă de papetărie ambalează $144$ de pixuri și $240$ de caiete. Fiecare pachet conține doar pixuri sau doar caiete, iar toate pachetele au același număr de produse, cât mai mare posibil. a) Câte produse intră într-un pachet? (3p) b) Câte pachete se obțin în total? (3p)

Exercițiul 14 — Problemă aplicată cu subpuncte (6 puncte)

Dintr-o autogară pleacă două curse: una la fiecare $24$ de minute, cealaltă la fiecare $36$ de minute. La ora $9 : 00$ ambele pleacă simultan. a) La ce oră vor pleca din nou simultan prima dată? (3p) b) După plecarea comună de la ora $9 : 00$ , de câte ori mai pleacă fiecare cursă până la ora găsită la a), inclusiv plecarea finală simultană? (3p)

Exercițiul 15 — Criteriu de divizibilitate cu necunoscută (5 puncte)

Determină toate cifrele $a$ pentru care numărul $\overline{2 a 3}$ este divizibil cu $9$ . Scrie și numărul obținut.

Exercițiul 16 — Justificare (4 puncte)

Arată că două numere naturale consecutive, $n$ și $n + 1$ , sunt întotdeauna prime între ele. (Indicație: gândește-te cu cât se poate divide diferența lor.)

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Exercițiul 1 (6p)

a) Adevărat (2p) — $4230$ are suma cifrelor $4 + 2 + 3 + 0 = 9 ⋮ 3$ , deci se divide cu $3$ ; ultima cifră este $0$ , deci se divide cu $5$ . b) Fals (2p) — $17$ este număr prim (divizorii lui sunt doar $1$ și $17$ ), deci nu este compus. c) Adevărat (2p) — dacă $n ⋮ 6$ și $6 ⋮ 3$ , prin tranzitivitate $n ⋮ 3$ . (Echivalent: $6 = 2 \cdot 3$ .)

Exercițiul 2 (6p)

a) Numere prime: $53, 61, 67$ (3p — câte 1p). b) Numere compuse (3p — câte 1p): $51 = 3 \cdot 17$ ; $57 = 3 \cdot 19$ ; $63 = 7 \cdot 9$ (sau $9 \cdot 7$ , $3 \cdot 21$ ).

Exercițiul 3 (6p)

a) $252 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 7$ (3p). b) $660 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$ (3p). (Verificare: $4 \cdot 9 \cdot 7 = 252$ ; $4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 = 660$ .)

Exercițiul 4 (6p)

a) $45 = 3^{2} \cdot 5$ , deci $D_{45} = {1, 3, 5, 9, 15, 45}$ (3p). b) Numărul divizorilor $= (3 + 1) (2 + 1) = 4 \cdot 3 = 12$ divizori (3p).

Exercițiul 5 (6p)

a) $84 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7$ ; $120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5$ (2p). b) $(84, 120) = 2^{2} \cdot 3 = 12$ — factorii primi comuni, la puterea cea mai mică (2p). c) $[84, 120] = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 840$ — toți factorii primi, la puterea cea mai mare (2p). (Verificare: $12 \cdot 840 = 10080 = 84 \cdot 120$ .)

Exercițiul 6 (6p)

a) $8 = 2^{3}$ , $15 = 3 \cdot 5$ → $(8, 15) = 1$ , deci numerele sunt prime între ele (3p). b) $12 = 2^{2} \cdot 3$ , $18 = 2 \cdot 3^{2}$ → $(12, 18) = 2 \cdot 3 = 6 \neq = 1$ , deci numerele nu sunt prime între ele (3p).

Exercițiul 7 (6p)

a) $a \cdot b = (a, b) \cdot [a, b] = 8 \cdot 240 = 1920$ (3p). b) $b = \frac{a \cdot b}{a} = \frac{1 920}{40} = 48$ (3p). (Verificare: $40 = 2^{3} \cdot 5$ , $48 = 2^{4} \cdot 3$ → $(40, 48) = 2^{3} = 8$ , $[40, 48] = 2^{4} \cdot 3 \cdot 5 = 240$ .)

Exercițiul 8 (5p)

$210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ , $252 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 7$ → $(210, 252) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$ (3p). $\frac{210}{252} = \frac{210 : 42}{252 : 42} = \frac{5}{6}$ (2p).

Exercițiul 9 (6p)

a) Lungimea maximă $= (36, 48, 60)$ . Cum $36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ , $48 = 2^{4} \cdot 3$ , $60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ → c.m.m.d.c. $= 2^{2} \cdot 3 = 12$ cm (3p). b) Număr de bucăți $= \frac{36}{12} + \frac{48}{12} + \frac{60}{12} = 3 + 4 + 5 = 12$ bucăți (3p).

Exercițiul 10 (5p)

Momentul comun $= [12, 18]$ . Cum $12 = 2^{2} \cdot 3$ , $18 = 2 \cdot 3^{2}$ → $[12, 18] = 2^{2} \cdot 3^{2} = 36$ secunde (5p; 2p pentru descompuneri, 3p pentru c.m.m.m.c. corect).

Exercițiul 11 (6p)

a) Numărul trebuie să fie multiplu comun al lui $4$ și $6$ , adică multiplu al lui $[4, 6] = 12$ . Multiplii lui $12$ între $30$ și $40$ : doar $36$ . Clasa are $36$ de elevi (4p). b) Dacă numărul se împarte exact și în grupe de $4$ , și în grupe de $6$ , atunci este simultan multiplu de $4$ și de $6$ , deci este multiplu al celui mai mic multiplu comun $[4, 6] = 12$ (2p).

Exercițiul 12 (5p)

Numărul căutat $= [8, 12, 15]$ . Cum $8 = 2^{3}$ , $12 = 2^{2} \cdot 3$ , $15 = 3 \cdot 5$ → $[8, 12, 15] = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5 = 120$ (5p).

Exercițiul 13 (6p)

a) Numărul maxim de produse pe pachet $= (144, 240)$ . Cum $144 = 2^{4} \cdot 3^{2}$ , $240 = 2^{4} \cdot 3 \cdot 5$ → c.m.m.d.c. $= 2^{4} \cdot 3 = 48$ produse/pachet (3p). b) Total pachete $= \frac{144}{48} + \frac{240}{48} = 3 + 5 = 8$ pachete (3p).

Exercițiul 14 (6p)

a) Intervalul comun $= [24, 36]$ . Cum $24 = 2^{3} \cdot 3$ , $36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ → $[24, 36] = 2^{3} \cdot 3^{2} = 72$ minute $= 1$ h $12$ min. Deci la ora $10 : 12$ (3p). b) Prima cursă mai pleacă la $9 : 24$ , $9 : 48$ , $10 : 12$ , adică $72 : 24 = 3$ ori; a doua cursă mai pleacă la $9 : 36$ , $10 : 12$ , adică $72 : 36 = 2$ ori (3p).

Exercițiul 15 (5p)

$\overline{2 a 3}$ este divizibil cu $9$ ⇔ suma cifrelor $2 + a + 3 = 5 + a$ se divide cu $9$ . Cu $a$ cifră ( $0 \leq a \leq 9$ ), avem $5 + a = 9 \Rightarrow a = 4$ (singura soluție; $5 + a$ nu poate atinge $18$ ). Numărul este $243$ (5p).

Exercițiul 16 (4p)

Fie $d = (n, n + 1)$ . Atunci $d ∣ n$ și $d ∣ n + 1$ , deci $d$ divide și diferența lor: $d ∣ ((n + 1) - n) = 1$ . Singurul divizor natural al lui $1$ este $1$ , deci $d = 1$ . Prin urmare $n$ și $n + 1$ sunt prime între ele (4p).

Total: 90 de puncte (itemi) + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Pentru părinți

Acest test verifică temeinic capitolul Divizibilitatea numerelor naturale: criterii de divizibilitate, numere prime și compuse, descompunerea în produs de puteri de numere prime, mulțimea și numărul divizorilor, c.m.m.d.c., c.m.m.m.c., numere prime între ele și aplicații (fracții ireductibile, probleme din viața cotidiană).

Cum se aplică: elevul lucrează individual, fără calculator. Cere-i să scrie toate etapele de rezolvare, nu doar rezultatul final — la divizibilitate, raționamentul contează la fel de mult ca răspunsul.
Timp recomandat: 50 de minute.
Punctaj total: 100 de puncte, din care 10 puncte din oficiu. Cele 16 cerințe însumează 90 de puncte.
Grilă orientativă de notare: se împarte punctajul la 10 (ex.: 87 de puncte → nota 8,70).
Reper de reușită: peste 70 de puncte = stăpânire bună a capitolului; sub 50 de puncte = recomandăm reluarea descompunerii în factori primi și a algoritmilor de c.m.m.d.c. / c.m.m.m.c.

Notație: scriem $a ⋮ b$ pentru „ $a$ se divide cu $b$ "; $(a, b)$ pentru c.m.m.d.c.; $[a, b]$ pentru c.m.m.m.c.