Test final – Matematică, clasa a VI-a

Exerciții

Exercițiul 1 (6 puncte)

Calculați, respectând ordinea operațiilor: a) $-15+4\cdot (-3)-(-18):3$; b) $(-2{)}^4-(-3{)}^2+|-7|$; c) $\frac{3}{4}-\frac{5}{6}:\frac{10}{9}+\frac{1}{2}$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Despre numerele 60 și 84: a) descompuneți fiecare număr în produs de factori primi; b) aflați cel mai mare divizor comun, $\text{c.m.m.d.c.}(60,84)$; c) aflați cel mai mic multiplu comun, $\text{c.m.m.m.c.}(60,84)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Dimineața, la ora 6:00, un termometru de exterior arăta $-8^{\circ }\text{C}$. Până la ora 14:00 temperatura a crescut cu $13^{\circ }\text{C}$, iar până la ora 22:00 a scăzut cu $6^{\circ }\text{C}$. a) Ce temperatură indica termometrul la ora 14:00? b) Ce temperatură indica la ora 22:00? c) Cu câte grade diferă temperatura de la ora 14:00 față de cea de la ora 6:00?

Exercițiul 4 (6 puncte)

O familie are un venit lunar de 4500 de lei. Cheltuiește $\frac{1}{3}$ din venit pe chirie și $\frac{2}{5}$ din venit pe alimente și utilități. a) Ce fracție din venit reprezintă, împreună, cele două cheltuieli? b) Ce fracție din venit rămâne? c) Câți lei rămân la sfârșitul lunii?

Exercițiul 5 (5 puncte)

Folosind regulile de calcul cu puteri: a) calculați $2^3\cdot 2^4:2^5$; b) calculați $(5^2{)}^3:5^4$; c) comparați numerele $3^8$ și $9^4$.

Exercițiul 6 (6 puncte)

a) Aflați numărul $x$ din proporția $\frac{x}{6}=\frac{20}{15}$. b) Raportul a două numere este $\frac{3}{5}$, iar suma lor este 64. Aflați cele două numere. c) Verificați, prin proprietatea fundamentală, dacă numerele $0,4;1,2;1,5;4,5$ formează (în această ordine) o proporție.

Exercițiul 7 (6 puncte)

a) Pentru 6 kg de mere se plătesc 30 de lei. Câți lei se plătesc, la același preț, pentru 10 kg? (mărimi direct proporționale) b) Un grup de 5 muncitori termină o lucrare în 12 zile. În câte zile termină aceeași lucrare 4 muncitori, având același randament? (mărimi invers proporționale)

Exercițiul 8 (6 puncte)

a) Cât reprezintă $18\%$ din 350? b) Un laptop costă 2400 de lei. Prețul se scumpește cu $15\%$, iar apoi noul preț se reduce cu $10\%$. Care este prețul final? c) După o reducere de $20\%$, un produs costă acum 96 de lei. Care a fost prețul lui inițial?

Exercițiul 9 (6 puncte)

Stabiliți dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justificați pe scurt: a) Orice număr divizibil cu 9 este divizibil cu 3. b) Numerele 14 și 25 sunt prime între ele. c) $(-5{)}^2=-25$. d) Dacă $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, atunci $a\cdot d=b\cdot c$.

Exercițiul 10 (5 puncte)

Două drepte se intersectează în punctul $O$. Unul dintre cele patru unghiuri formate are măsura de $110^{\circ }$.

a) Aflați măsurile celorlalte trei unghiuri formate. b) Două unghiuri sunt complementare, iar unul dintre ele are $35^{\circ }$. Aflați măsura celuilalt.

Exercițiul 11 (5 puncte)

Semidreapta $OM$ este bisectoarea unghiului $\angle AOB$, cu $m(\angle AOB)=76^{\circ }$. Unghiul $\angle BOC$ este adiacent suplementar cu $\angle AOB$.

a) Aflați $m(\angle AOM)$. b) Aflați $m(\angle MOC)$.

Exercițiul 12 (6 puncte)

În triunghiul $ABC$ se cunosc $m(\angle A)=60^{\circ }$, iar $m(\angle B)=2\cdot m(\angle C)$. a) Aflați $m(\angle B)$ și $m(\angle C)$. b) Aflați măsura unghiului exterior triunghiului, corespunzător vârfului $C$.

Exercițiul 13 (5 puncte)

a) Într-un triunghi isoscel, unghiul de la vârf are $50^{\circ }$. Aflați măsurile unghiurilor de la bază. b) Un triunghi dreptunghic are un unghi ascuțit de $32^{\circ }$. Aflați măsura celuilalt unghi ascuțit. c) Cât are fiecare unghi al unui triunghi echilateral?

Exercițiul 14 (7 puncte)

Fie triunghiul $ABC$ isoscel cu $AB=AC$. Notăm cu $M$ mijlocul laturii $BC$ și construim segmentul $AM$.

a) Demonstrați că triunghiurile $ABM$ și $ACM$ sunt congruente. b) Deduceți că $AM$ este bisectoarea unghiului $\angle BAC$ și că $AM\perp BC$.

Exercițiul 15 (6 puncte)

Un teren are forma unui triunghi $ABC$ cu perimetrul de 120 m. Lungimile laturilor sunt direct proporționale cu numerele 3, 4 și 5.

a) Aflați lungimea fiecărei laturi a terenului. b) Terenul se împrejmuiește cu gard, montând stâlpi din 2 în 2 metri de jur împrejur, pe tot perimetrul. Câți stâlpi sunt necesari?

Exercițiul 16 (4 puncte)

Asociați fiecărei linii importante din triunghi (coloana A) definiția corectă (coloana B):

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

1. (6p – câte 2p pe subpunct) a) $-15+4\cdot (-3)-(-18):3=-15-12-(-6)=-15-12+6=-21$. b) $(-2{)}^4-(-3{)}^2+|-7|=16-9+7=14$. c) $\frac{5}{6}:\frac{10}{9}=\frac{5}{6}\cdot \frac{9}{10}=\frac{45}{60}=\frac{3}{4}$, deci $\frac{3}{4}-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.

2. (6p – 2p + 2p + 2p) a) $60=2^2\cdot 3\cdot 5$; $84=2^2\cdot 3\cdot 7$. b) $\text{c.m.m.d.c.}=2^2\cdot 3=12$ (factorii comuni, la puterea cea mai mică). c) $\text{c.m.m.m.c.}=2^2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=420$ (toți factorii, la puterea cea mai mare).

3. (5p – 2p + 2p + 1p) a) $-8+13=5^{\circ }\text{C}$. b) $5-6=-1^{\circ }\text{C}$. c) $5-(-8)=13^{\circ }\text{C}$.

4. (6p – 2p + 2p + 2p) a) $\frac{1}{3}+\frac{2}{5}=\frac{5}{15}+\frac{6}{15}=\frac{11}{15}$. b) $1-\frac{11}{15}=\frac{4}{15}$. c) $\frac{4}{15}\cdot 4500=4\cdot 300=1200$ lei.

5. (5p – 2p + 2p + 1p) a) $2^{3+4-5}=2^2=4$. b) $(5^2{)}^3:5^4=5^6:5^4=5^2=25$. c) $9^4=(3^2{)}^4=3^8$, deci $3^8=9^4$ (numerele sunt egale).

6. (6p – 2p + 2p + 2p) a) $x=\frac{6\cdot 20}{15}=\frac{120}{15}=8$. b) Notăm numerele $3k$ și $5k$; $3k+5k=64\Rightarrow 8k=64\Rightarrow k=8$, deci numerele sunt $24$ și $40$. c) Produsul extremilor: $0,4\cdot 4,5=1,8$; produsul mezilor: $1,2\cdot 1,5=1,8$. Fiind egale, numerele formează o proporție.

7. (6p – 3p + 3p) a) Direct proporțional: $30:6=5$ lei/kg, deci pentru 10 kg se plătesc $10\cdot 5=50$ lei. b) Invers proporțional: $5\cdot 12=60$ (zile-muncitor); $60:4=15$ zile.

8. (6p – 2p + 2p + 2p) a) $\frac{18}{100}\cdot 350=63$. b) Scumpire: $2400\cdot 1,15=2760$ lei; reducere: $2760\cdot 0,9=2484$ lei. c) Prețul redus reprezintă $80\%$ din cel inițial: $96:0,8=120$ lei.

9. (6p – câte 1,5p pe subpunct: 0,5p răspunsul + 1p justificarea) a) A – $9=3\cdot 3$, deci orice multiplu al lui 9 este și multiplu al lui 3. b) A – $\text{c.m.m.d.c.}(14,25)=1$ ($14=2\cdot 7$, $25=5^2$, fără factori comuni). c) F – $(-5{)}^2=(-5)\cdot (-5)=25$ (nu $-25$). d) A – este chiar proprietatea fundamentală a proporțiilor (produsul extremilor = produsul mezilor).

10. (5p – 3p + 2p) a) Unghiul opus la vârf are $110^{\circ }$; cele două unghiuri adiacente (suplementare cu cel dat) au fiecare $180^{\circ }-110^{\circ }=70^{\circ }$. Deci măsurile sunt $110^{\circ },70^{\circ },70^{\circ }$. b) Complementarul: $90^{\circ }-35^{\circ }=55^{\circ }$.

11. (5p – 2p + 3p) a) Bisectoarea înjumătățește unghiul: $m(\angle AOM)=76^{\circ }:2=38^{\circ }$. b) $m(\angle BOC)=180^{\circ }-76^{\circ }=104^{\circ }$; cum $M$ este în interiorul lui $\angle AOB$, avem $m(\angle MOC)=m(\angle MOB)+m(\angle BOC)=38^{\circ }+104^{\circ }=142^{\circ }$.

12. (6p – 4p + 2p) a) $m(\angle A)+m(\angle B)+m(\angle C)=180^{\circ }\Rightarrow 60^{\circ }+2x+x=180^{\circ }\Rightarrow 3x=120^{\circ }\Rightarrow x=40^{\circ }$. Deci $m(\angle C)=40^{\circ }$ și $m(\angle B)=80^{\circ }$. b) Unghiul exterior din $C$ este suplementul lui $\angle C$: $180^{\circ }-40^{\circ }=140^{\circ }$ (egal cu suma celorlalte două unghiuri: $60^{\circ }+80^{\circ }=140^{\circ }$).

13. (5p – 2p + 2p + 1p) a) Unghiurile de la bază sunt egale: $(180^{\circ }-50^{\circ }):2=130^{\circ }:2=65^{\circ }$ fiecare. b) Cele două unghiuri ascuțite sunt complementare: $90^{\circ }-32^{\circ }=58^{\circ }$. c) Fiecare unghi al triunghiului echilateral are $180^{\circ }:3=60^{\circ }$.

14. (7p – 4p demonstrația congruenței + 3p concluziile) a) În triunghiurile $ABM$ și $ACM$: $AB=AC$ (ipoteză), $BM=MC$ ($M$ este mijlocul lui $BC$) și $AM=AM$ (latură comună). Conform cazului L.L.L. (latură–latură–latură), $△ABM\equiv △ACM$. (2p enumerarea elementelor + 2p cazul de congruență) b) Din congruență rezultă $\angle BAM\equiv \angle CAM$, deci $AM$ este bisectoarea unghiului $\angle BAC$. Tot din congruență, $\angle AMB\equiv \angle AMC$; cum aceste unghiuri sunt adiacente suplementare ($m(\angle AMB)+m(\angle AMC)=180^{\circ }$), fiecare are $90^{\circ }$, deci $AM\perp BC$. (Segmentul $AM$ este și mediană, și bisectoare, și înălțime — proprietate a triunghiului isoscel.)

15. (6p – 3p + 3p) a) Notăm laturile $3k,4k,5k$; $3k+4k+5k=120\Rightarrow 12k=120\Rightarrow k=10$. Laturile au $30$ m, $40$ m și $50$ m. b) Perimetrul este o linie închisă de 120 m; montând stâlpi din 2 în 2 metri, numărul de intervale este $120:2=60$, iar pe un contur închis numărul de stâlpi este egal cu numărul de intervale: $60$ stâlpi.

16. (4p – câte 1p pe asociere) 1 – b; 2 – a; 3 – d; 4 – c.

Total: 90 de puncte (itemi) + 10 puncte (oficiu) = 100 de puncte.

Pentru părinți

Acest test final recapitulează întreaga materie de clasa a VI-a din programa actuală: numere întregi și raționale, ordinea operațiilor, divizibilitate, puteri, fracții, rapoarte, proporții și proporții derivate, procente, mărimi direct și invers proporționale, precum și geometria anului (unghiuri, triunghiul și suma unghiurilor, triunghiuri particulare, congruența triunghiurilor, linii importante în triunghi). Este conceput ca pregătire pentru Evaluarea Națională de la clasa a VI-a: itemii sunt formulați pe competențe, în contexte practice, cu subpuncte și dificultate gradată.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 90 de minute, în format de examen.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, fără calculator, scriind toate calculele și justificările pe foaie. La itemii de geometrie se cere și o figură. Răspunsurile fără justificare nu primesc punctaj integral.
• Notă orientativă: se adună punctele obținute și se împart la 10 (ex.: 86 de puncte ≈ nota 8,60). După rezolvare, comparați cu Baremul și răspunsurile de la final și discutați doar itemii greșiți.