Test final de an – Matematică, clasa a VII-a

Exerciții

Subiectul I – Numere reale și radicali (21 de puncte)

Exercițiul 1 (6 puncte)

Calculați, aducând rezultatul la forma cea mai simplă: a) $\sqrt{72}-\sqrt{8}+\sqrt{50}$; b) $\sqrt{27}\cdot \sqrt{3}$; c) $\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

a) Scoateți factorii de sub radical: $\sqrt{48}$ și $\sqrt{162}$. b) Introduceți factorul sub radical: $2\sqrt{7}$. c) Raționalizați numitorul: $\frac{10}{\sqrt{5}}$ și $\frac{9}{\sqrt{3}}$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Stabiliți dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justificați pe scurt: a) Numărul $\sqrt{121}$ este irațional. b) $\sqrt{3}\cdot \sqrt{12}=6$. c) $\sqrt{9+16}=\sqrt{9}+\sqrt{16}$. d) $-\sqrt{5}<-2$.

Exercițiul 4 (4 puncte)

a) Comparați numerele $3\sqrt{2}$ și $2\sqrt{5}$ (fără calculator, folosind introducerea sub radical). b) Aflați partea întreagă a numărului $\sqrt{50}$, adică $\left[\sqrt{50}\right]$.

Subiectul II – Ecuații, sisteme și date (32 de puncte)

Exercițiul 5 (6 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuațiile: a) $2(x+3)-4=5x-7$; b) $\frac{x}{3}+\frac{x-2}{2}=4$; c) $x^2=45$.

Exercițiul 6 (6 puncte)

Rezolvați sistemele de ecuații liniare: a) prin metoda reducerii: $\{\begin{array}{l}3x+2y=16\\ x-2y=0\end{array}$ b) prin metoda substituției: $\{\begin{array}{l}y=2x-1\\ 3x+y=14\end{array}$

Exercițiul 7 (5 puncte)

La o papetărie, $3$ caiete și $2$ pixuri costă în total $23$ de lei, iar $2$ caiete și $5$ pixuri costă $30$ de lei. a) Notând cu $c$ prețul unui caiet și cu $p$ prețul unui pix, scrieți un sistem de ecuații care modelează situația. b) Rezolvați sistemul și aflați prețul unui caiet și al unui pix.

Exercițiul 8 (5 puncte)

Un teren dreptunghiular are lungimea de $3$ ori mai mare decât lățimea, iar perimetrul de $48$ m. a) Notând lățimea cu $x$, scrieți și rezolvați ecuația care dă dimensiunile terenului. b) Aflați lungimea, lățimea și aria terenului.

Exercițiul 9 (6 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-2,-1)$, $B(4,-1)$ și $C(4,3)$.

a) Reprezentați cele trei puncte și precizați în ce cadran se află fiecare. b) Aflați lungimile segmentelor $AB$ și $BC$ (segmente paralele cu axele) și justificați că triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$. c) Calculați aria triunghiului $ABC$ și coordonatele mijlocului segmentului $AC$.

Exercițiul 10 (4 puncte)

Tabelul de mai jos conține punctajele (din $20$) obținute de un elev la $7$ teste succesive:

a) Calculați punctajul mediu al celor $7$ teste. b) Aflați valoarea cea mai frecventă (modul) a punctajelor. c) Aflați amplitudinea (diferența dintre punctajul maxim și cel minim).

Subiectul III – Geometrie plană (37 de puncte)

Exercițiul 11 (5 puncte)

Un trapez isoscel $ABCD$ are bazele $AB=10$ cm și $CD=6$ cm, iar înălțimea de $4$ cm.

a) Calculați aria trapezului și lungimea liniei mijlocii. b) Aflați lungimea unei laturi laterale.

Exercițiul 12 (6 puncte)

Un cerc are raza $R=10$ cm. (Se lasă rezultatele în funcție de $\pi$.)

a) Calculați lungimea cercului și aria discului. b) Se înscrie în cerc un hexagon regulat. Aflați lungimea laturii și perimetrul hexagonului. c) Pentru un sector de cerc cu unghiul la centru de $90^{\circ }$, aflați lungimea arcului și aria sectorului.

Exercițiul 13 (5 puncte)

În triunghiul $ABC$, punctele $M\in (AB)$ și $N\in (AC)$ sunt astfel încât $MN\parallel BC$. Se cunosc $AM=6$ cm, $MB=4$ cm și $AN=9$ cm.

a) Folosind teorema lui Thales, aflați lungimea segmentului $NC$. b) Știind că $BC=20$ cm, aflați lungimea segmentului $MN$ (folosind asemănarea triunghiurilor $AMN$ și $ABC$).

Exercițiul 14 (6 puncte)

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=9$ cm și $AC=12$ cm. Fie $AD$ înălțimea din $A$, cu $D\in (BC)$.

a) Calculați lungimea ipotenuzei $BC$. b) Aflați lungimea înălțimii $AD$. c) Aflați lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză, $BD$ și $DC$.

Exercițiul 15 (5 puncte)

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $C$, cu catetele $AC=6$ cm și $BC=8$ cm.

a) Calculați lungimea ipotenuzei $AB$. b) Aflați $\sin A$, $\cos A$, $\mathrm{tg}A$ și $\mathrm{ctg}A$. c) Verificați, prin calcul, egalitatea ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$.

Exercițiul 16 (4 puncte)

Un elev a scris pe caiet: $$\sqrt{20}+\sqrt{5}=\sqrt{25}=5.$$ a) Explicați ce greșeală a făcut. b) Calculați corect valoarea expresiei $\sqrt{20}+\sqrt{5}$, aducând rezultatul la forma cea mai simplă.

Exercițiul 17 (6 puncte)

O scară de $5$ m se sprijină de un perete vertical și formează cu solul (orizontal) un unghi de $60^{\circ }$.

a) Aflați înălțimea $h$ la care ajunge scara pe perete. b) Aflați distanța $d$ de la baza scării la perete. c) Verificați, folosind teorema lui Pitagora, că $h^2+d^2=25$.

(Valori utile: $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$.)

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Subiectul I

1. (6p – câte 2p pe subpunct) a) $\sqrt{72}-\sqrt{8}+\sqrt{50}=6\sqrt{2}-2\sqrt{2}+5\sqrt{2}=9\sqrt{2}$. b) $\sqrt{27}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{81}=9$. c) $\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{98}{2}}=\sqrt{49}=7$.

2. (6p – 2p + 2p + 2p) a) $\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$; $\sqrt{162}=\sqrt{81\cdot 2}=9\sqrt{2}$. b) $2\sqrt{7}=\sqrt{2^2\cdot 7}=\sqrt{4\cdot 7}=\sqrt{28}$. c) $\frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{10\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}$; $\frac{9}{\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$.

3. (5p – câte 1,25p pe subpunct: 0,25p răspunsul + 1p justificarea) a) F – $\sqrt{121}=11$, număr natural (deci rațional), nu irațional. b) A – $\sqrt{3}\cdot \sqrt{12}=\sqrt{36}=6$. c) F – $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$, iar $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$; radicalul unei sume nu este egal cu suma radicalilor. d) A – $\sqrt{5}\approx 2,24$, deci $-\sqrt{5}\approx -2,24$; cum $-2,24<-2$, afirmația este adevărată.

4. (4p – 2p + 2p) a) $3\sqrt{2}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{18}$ și $2\sqrt{5}=\sqrt{4\cdot 5}=\sqrt{20}$. Cum $18<20$, rezultă $3\sqrt{2}<2\sqrt{5}$. b) $7^2=49\le 50<64=8^2$, deci $7<\sqrt{50}<8$, adică $\left[\sqrt{50}\right]=7$.

Subiectul II

5. (6p – 2p + 2p + 2p) a) $2(x+3)-4=5x-7\Rightarrow 2x+6-4=5x-7\Rightarrow 2x+2=5x-7\Rightarrow -3x=-9\Rightarrow x=3$. (Verificare: $2\cdot 6-4=8$ și $5\cdot 3-7=8$.) b) Înmulțim cu 6: $2x+3(x-2)=24\Rightarrow 2x+3x-6=24\Rightarrow 5x=30\Rightarrow x=6$. (Verificare: $\frac{6}{3}+\frac{4}{2}=2+2=4$.) c) $x^2=45\Rightarrow x=\pm \sqrt{45}=\pm 3\sqrt{5}$. Soluțiile: $\mathbf{x}\in \{-3\sqrt{5},3\sqrt{5}\}$.

6. (6p – 3p + 3p) a) Adunând ecuațiile: $(3x+2y)+(x-2y)=16+0\Rightarrow 4x=16\Rightarrow x=4$; din a doua, $2y=x=4\Rightarrow y=2$. Soluția: $(\mathbf{x},\mathbf{y})=(4,2)$. (Verificare: $3\cdot 4+2\cdot 2=16$.) b) Înlocuim $y=2x-1$ în a doua: $3x+(2x-1)=14\Rightarrow 5x-1=14\Rightarrow 5x=15\Rightarrow x=3$, deci $y=2\cdot 3-1=5$. Soluția: $(\mathbf{x},\mathbf{y})=(3,5)$. (Verificare: $3\cdot 3+5=14$.)

7. (5p – 2p sistemul + 3p rezolvarea) a) $\{\begin{array}{l}3c+2p=23\\ 2c+5p=30\end{array}$ b) Înmulțim prima cu 5 și a doua cu 2: $\{\begin{array}{l}15c+10p=115\\ 4c+10p=60\end{array}$; scădem: $11c=55\Rightarrow c=5$, apoi din prima $2p=23-15=8\Rightarrow p=4$. Un caiet costă 5 lei, un pix 4 lei. (Verificare: $2\cdot 5+5\cdot 4=10+20=30$.)

8. (5p – 3p ecuația + 2p dimensiunile și aria) a) Lățimea $x$, lungimea $3x$; perimetrul: $2(x+3x)=48\Rightarrow 2\cdot 4x=48\Rightarrow 8x=48\Rightarrow x=6$. b) Lățimea $=6$ m, lungimea $=18$ m, aria $=6\cdot 18=108{\text{ m}}^2$.

9. (6p – 2p + 2p + 2p) a) $A(-2,-1)$ – cadranul III ($x<0$, $y<0$); $B(4,-1)$ – cadranul IV; $C(4,3)$ – cadranul I. b) $AB$ este orizontal ($y=-1$ la ambele): $AB=|4-(-2)|=6$; $BC$ este vertical ($x=4$ la ambele): $BC=|3-(-1)|=4$. Cum $AB\parallel Ox$ și $BC\parallel Oy$, avem $AB\perp BC$, deci triunghiul este dreptunghic în $B$. c) Aria $=\frac{AB\cdot BC}{2}=\frac{6\cdot 4}{2}=12$ (unități de arie). Mijlocul lui $AC$: $M\left(\frac{-2+4}{2},\frac{-1+3}{2}\right)=(1,1)$.

10. (4p – 2p + 1p + 1p) a) Media $=\frac{12+15+10+18+15+20+15}{7}=\frac{105}{7}=15$. b) Modul (valoarea cea mai frecventă) $=15$ (apare de $3$ ori, mai des decât orice altă valoare). c) Amplitudinea $=20-10=10$.

Subiectul III

11. (5p – 3p + 2p) a) Aria $=\frac{(AB+CD)}{2}\cdot h=\frac{(10+6)}{2}\cdot 4=8\cdot 4=32{\text{ cm}}^2$; linia mijlocie $=\frac{AB+CD}{2}=\frac{10+6}{2}=8\text{ cm}$. b) La trapezul isoscel, proiecția laturii laterale pe baza mare este $\frac{AB-CD}{2}=\frac{10-6}{2}=2$ cm. Latura laterală $=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\text{ cm}$ (≈ $4,47$ cm).

12. (6p – 2p + 2p + 2p) a) Lungimea cercului $=2\pi R=2\pi \cdot 10=20\pi \text{ cm}$; aria discului $=\pi R^2=\pi \cdot 10^2=100\pi {\text{ cm}}^2$. b) La hexagonul regulat înscris, latura este egală cu raza: $\ell =R=10$ cm; perimetrul $=6\cdot 10=60\text{ cm}$. c) $90^{\circ }$ reprezintă $\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$ din cerc. Arcul $=\frac{1}{4}\cdot 20\pi =5\pi \text{ cm}$; aria sectorului $=\frac{1}{4}\cdot 100\pi =25\pi {\text{ cm}}^2$.

13. (5p – 3p + 2p) a) Teorema lui Thales ($MN\parallel BC$): $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}\Rightarrow \frac{6}{4}=\frac{9}{NC}\Rightarrow NC=\frac{9\cdot 4}{6}=6\text{ cm}$. b) $△AMN\sim △ABC$, cu raportul $\frac{AM}{AB}=\frac{6}{6+4}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$. Atunci $\frac{MN}{BC}=\frac{3}{5}\Rightarrow MN=\frac{3}{5}\cdot 20=12\text{ cm}$.

14. (6p – 2p + 2p + 2p) a) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\text{ cm}$. b) Din egalitatea ariei ($AD\cdot BC=AB\cdot AC$): $AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{9\cdot 12}{15}=\frac{108}{15}=7,2\text{ cm}$. c) Teorema catetei: $A{B}^2=BD\cdot BC\Rightarrow 81=BD\cdot 15\Rightarrow BD=\frac{81}{15}=5,4\text{ cm}$; atunci $DC=BC-BD=15-5,4=9,6\text{ cm}$. (Verificare: $A{C}^2=DC\cdot BC\Rightarrow 144=9,6\cdot 15$.)

15. (5p – 1p + 3p + 1p) a) $AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\text{ cm}$. b) Față de unghiul $A$: cateta opusă este $BC=8$, cea alăturată este $AC=6$, ipotenuza $AB=10$. $\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$; $\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$; $\mathrm{tg}A=\frac{BC}{AC}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$; $\mathrm{ctg}A=\frac{AC}{BC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$. c) ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A={\left(\frac{4}{5}\right)}^2+{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=\frac{25}{25}=1$.

16. (4p – 2p explicația + 2p calculul corect) a) Greșeala: radicalul nu se distribuie peste o sumă, adică $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne \sqrt{a+b}$. Elevul a „adunat" în mod greșit $20+5$ sub radical; trebuia mai întâi să simplifice fiecare radical. b) Corect: $\sqrt{20}+\sqrt{5}=\sqrt{4\cdot 5}+\sqrt{5}=2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}$ (≈ $6,71$).

17. (6p – 2p + 2p + 2p) a) În triunghiul dreptunghic format, $h$ este cateta opusă unghiului de $60^{\circ }$, iar scara este ipotenuza: $h=5\cdot \sin 60^{\circ }=5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\approx 4,33\text{ m}$. b) $d$ este cateta alăturată unghiului de $60^{\circ }$: $d=5\cdot \cos 60^{\circ }=5\cdot \frac{1}{2}=2,5\text{ m}$. c) $h^2+d^2={\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{75}{4}+\frac{25}{4}=\frac{100}{4}=25=5^2$. Egalitatea se verifică (Pitagora). $✓$

Total: 90 de puncte (itemi) + 10 puncte (oficiu) = 100 de puncte.

Pentru părinți și profesori

Acest test final de an este o lucrare de tip examen care acoperă integrat toate domeniile clasei a VII-a (programa OMEN 3393/2017): mulțimea numerelor reale și operațiile cu radicali (scoaterea/introducerea factorilor sub radical, raționalizarea numitorului de forma $a\sqrt{b}$, ecuația $x^2=a$), ecuațiile și sistemele liniare cu probleme aplicate, organizarea și reprezentarea datelor și reperul cartezian, patrulatere și cerc, asemănarea (teorema lui Thales), precum și relațiile metrice și trigonometria în triunghiul dreptunghic. Itemii sunt așezați în contexte realiste și au dificultate gradată. Testul poate fi folosit ca simulare înainte de teza semestrială sau ca recapitulare finală.

• Structură: 17 itemi grupați pe trei subiecte (I – itemi scurți de calcul; II – ecuații, sisteme, date; III – geometrie plană).
• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 100 de minute, în format de examen, fără calculator.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, notând toate calculele și justificările pe foaie; la itemii de geometrie se cere și o figură corect notată. Se recomandă gestionarea timpului: itemii de calcul primii, problemele cu justificare la final. Răspunsurile fără justificare nu primesc punctaj integral.
• Notă orientativă: se adună punctele și se împart la 10 (ex.: 85 de puncte ≈ nota 8,50). După rezolvare, comparați cu Baremul și răspunsurile de la final și discutați doar itemii greșiți, cu atenție la greșelile frecvente semnalate.