Test: Formule de calcul prescurtat

Clasa a VIII-a · Matematică · Calcul algebric. Formule de calcul prescurtat

Exerciții

Partea I — Aplicarea directă a formulelor

Exercițiul 1 — Pătratul unei sume (6 puncte)

Dezvoltă, folosind formula $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ :

a) $(x + 4)^{2}$ (1,5 p) b) $(2 a + 3)^{2}$ (1,5 p) c) $(3 x + 5 y)^{2}$ (1,5 p) d) $(5 + 2 b)^{2}$ (1,5 p)

Exercițiul 2 — Pătratul unei diferențe (6 puncte)

Dezvoltă, folosind formula $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ :

a) $(x - 6)^{2}$ (1,5 p) b) $(3 a - 2)^{2}$ (1,5 p) c) $(4 x - 5 y)^{2}$ (1,5 p) d) $(2 m - 7)^{2}$ (1,5 p)

Exercițiul 3 — Produsul sumei cu diferența (6 puncte)

Calculează, folosind formula $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ :

a) $(x - 7) (x + 7)$ (1,5 p) b) $(2 a + 3) (2 a - 3)$ (1,5 p) c) $(5 - x) (5 + x)$ (1,5 p) d) $(3 m + 4 n) (3 m - 4 n)$ (1,5 p)

Partea a II-a — Calcul numeric rapid

Exercițiul 4 — Pătrate calculate mintal (6 puncte)

Scrie fiecare număr ca o sumă sau o diferență convenabilă și calculează folosind o formulă de calcul prescurtat (arată pașii, fără să faci înmulțirea „clasică"):

a) $10 1^{2}$ (1,5 p) b) $9 9^{2}$ (1,5 p) c) $103 \cdot 97$ (1,5 p) d) $5 2^{2}$ (1,5 p)

Exercițiul 5 — Diferențe de pătrate (5 puncte)

Calculează rapid, folosind $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ :

a) $2 5^{2} - 2 4^{2}$ (1,5 p) b) $3 7^{2} - 1 3^{2}$ (1,5 p) c) $998 \cdot 1002$ (2 p)

Partea a III-a — Adevărat/Fals și termeni lipsă

Exercițiul 6 — Completează termenul lipsă (5 puncte)

Determină numărul sau expresia care lipsește (notată cu $□$ ), astfel încât egalitatea să fie adevărată:

a) $(x + □)^{2} = x^{2} + 14 x + 49$ (1 p) b) $(2 a - □)^{2} = 4 a^{2} - 12 a + 9$ (1 p) c) $(□ + 3)^{2} = 25 x^{2} + 30 x + 9$ (1 p) d) $(x - 4) (x + 4) = x^{2} - □$ (1 p) e) $x^{2} - □ = (x - 9) (x + 9)$ (1 p)

Exercițiul 7 — Adevărat sau Fals, cu motivare (5 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F). Pentru fiecare afirmație falsă, scrie forma corectă. (1 p / afirmație)

a) $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ b) $(a - b)^{2} = (b - a)^{2}$ c) $(3 - x) (3 + x) = x^{2} - 9$ d) $x^{2} - 10 x + 25 = (x - 5)^{2}$ e) $(a + b) (a - b) = (a - b) (a + b)$

Partea a IV-a — Raționament și demonstrații

Exercițiul 8 — Sume și diferențe de pătrate (5 puncte)

Se dau expresiile $A = (x + 3)^{2} + (x - 3)^{2}$ și $B = (x + 3)^{2} - (x - 3)^{2}$ .

a) Adu expresia $A$ la forma cea mai simplă. (2,5 p) b) Adu expresia $B$ la forma cea mai simplă. (2,5 p)

Exercițiul 9 — Arată că expresia este constantă (5 puncte)

Arată că, pentru orice număr real $x$ , valoarea expresiei $E = (2 x + 1)^{2} - 4 x (x + 1)$ nu depinde de $x$ și precizează această valoare.

Exercițiul 10 — Arată identitatea (5 puncte)

Arată că, pentru orice număr real $a$ , $(a + 5)^{2} - (a - 5)^{2} = 20 a .$ Rezolvă în două moduri: prin dezvoltarea pătratelor și prin formula diferenței de pătrate.

Exercițiul 11 — Pătrate consecutive (5 puncte)

Fie $n$ un număr natural.

a) Arată că $(n + 1)^{2} - n^{2} = 2 n + 1$ . (3 p) b) Folosind rezultatul de la a), calculează rapid $2 n + 1$ pentru $n = 500$ , adică diferența $50 1^{2} - 50 0^{2}$ . (2 p)

Partea a V-a — Aplicații

Exercițiul 12 — Ecuații rezolvate prin descompunere (6 puncte)

Rezolvă în mulțimea numerelor reale, aducând fiecare ecuație la un produs egal cu zero:

a) $x^{2} - 16 = 0$ (3 p) b) $x^{2} + 6 x + 9 = 0$ (3 p)

(Indicație: folosește formulele de calcul prescurtat pentru a scrie membrul stâng ca produs, apoi „un produs este nul dacă și numai dacă cel puțin un factor este nul".)

Exercițiul 13 — Sumă și diferență cunoscute (6 puncte)

Despre două numere reale $a$ și $b$ se știe că $a + b = 7$ și $a - b = 3$ .

a) Calculează $a^{2} - b^{2}$ fără a afla mai întâi $a$ și $b$ . (2 p) b) Calculează $a^{2} + b^{2}$ , folosind $(a + b)^{2}$ și $(a - b)^{2}$ . (2 p) c) Calculează produsul $ab$ . (2 p)

Exercițiul 14 — Aria unui pătrat mărit (6 puncte)

Un pătrat are latura de $a$ metri. Fiecare latură a pătratului se mărește cu $3$ metri, obținând un pătrat mai mare.

a) Scrie aria pătratului mare ca $(a + 3)^{2}$ și dezvolt-o. (2 p) b) Cu cât este mai mare aria pătratului nou față de aria pătratului inițial? Exprimă creșterea în funcție de $a$ . (2 p) c) Calculează creșterea de arie pentru $a = 10$ m. (2 p)

Exercițiul 15 — Ramă pătrată (diferență de pătrate) (5 puncte)

Dintr-o placă pătrată cu latura $a$ cm se decupează, din centru, un pătrat cu latura $b$ cm (cu $a > b$ ). Rămâne o ramă.

a) Scrie aria ramei ca o diferență de două pătrate și apoi ca un produs. (3 p) b) Calculează aria ramei pentru $a = 12$ cm și $b = 8$ cm. (2 p)

Exercițiul 16 — De la pătrat la dreptunghi (5 puncte)

Un teren are formă de pătrat cu latura de $x$ metri (cu $x > 2$ ). Proprietarul mărește o latură cu $2$ m și micșorează latura perpendiculară cu $2$ m, obținând un teren dreptunghiular.

a) Scrie aria terenului dreptunghiular ca produs și adu-o la forma cea mai simplă. (3 p) b) Comparând cu aria pătratului inițial, arată că aria scade și precizează cu câți metri pătrați. (2 p)

Exercițiul 17 — Pătrat perfect (3 puncte)

Se dă expresia $E = x^{2} + 8 x + 16$ .

a) Scrie $E$ sub forma unui pătrat perfect. (2 p) b) Explică de ce $E \geq 0$ pentru orice număr real $x$ și precizează pentru ce valoare a lui $x$ expresia ia valoarea minimă. (1 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p (itemi) + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1 (6 p)

a) $(x + 4)^{2} = x^{2} + 8 x + 16$ b) $(2 a + 3)^{2} = 4 a^{2} + 12 a + 9$ c) $(3 x + 5 y)^{2} = 9 x^{2} + 30 x y + 25 y^{2}$ d) $(5 + 2 b)^{2} = 25 + 20 b + 4 b^{2}$

Câte 1,5 p / subpunct. Se acordă parțial dacă lipsește doar termenul $2 ab$ .

Exercițiul 2 (6 p)

a) $(x - 6)^{2} = x^{2} - 12 x + 36$ b) $(3 a - 2)^{2} = 9 a^{2} - 12 a + 4$ c) $(4 x - 5 y)^{2} = 16 x^{2} - 40 x y + 25 y^{2}$ d) $(2 m - 7)^{2} = 4 m^{2} - 28 m + 49$

Câte 1,5 p / subpunct. Atenție la semnul „ $-$ " al termenului din mijloc.

Exercițiul 3 (6 p)

a) $(x - 7) (x + 7) = x^{2} - 49$ b) $(2 a + 3) (2 a - 3) = 4 a^{2} - 9$ c) $(5 - x) (5 + x) = 25 - x^{2}$ d) $(3 m + 4 n) (3 m - 4 n) = 9 m^{2} - 16 n^{2}$

Câte 1,5 p / subpunct.

Exercițiul 4 (6 p)

a) $10 1^{2} = (100 + 1)^{2} = 10000 + 200 + 1 = 10201$ b) $9 9^{2} = (100 - 1)^{2} = 10000 - 200 + 1 = 9801$ c) $103 \cdot 97 = (100 + 3) (100 - 3) = 10000 - 9 = 9991$ d) $5 2^{2} = (50 + 2)^{2} = 2500 + 200 + 4 = 2704$

Câte 1,5 p / subpunct: 0,5 p pentru scrierea convenabilă, 1 p pentru rezultat. Rezultatul corect fără folosirea formulei = doar 0,5 p.

Exercițiul 5 (5 p)

a) $2 5^{2} - 2 4^{2} = (25 - 24) (25 + 24) = 1 \cdot 49 = 49$ b) $3 7^{2} - 1 3^{2} = (37 - 13) (37 + 13) = 24 \cdot 50 = 1200$ c) $998 \cdot 1002 = (1000 - 2) (1000 + 2) = 1000000 - 4 = 999996$

a), b) câte 1,5 p; c) 2 p.

Exercițiul 6 (5 p)

a) $□ = 7$ (deoarece $2 \cdot x \cdot 7 = 14 x$ și $7^{2} = 49$ ) b) $□ = 3$ (deoarece $2 \cdot 2 a \cdot 3 = 12 a$ și $3^{2} = 9$ ) c) $□ = 5 x$ (deoarece $(5 x)^{2} = 25 x^{2}$ și $2 \cdot 5 x \cdot 3 = 30 x$ ) d) $□ = 16$ e) $□ = 81$

Câte 1 p / subpunct.

Exercițiul 7 (5 p)

a) F. Corect: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ (contraexemplu: $a = b = 1 \Rightarrow (1 + 1)^{2} = 4 \neq = 1^{2} + 1^{2} = 2$ ). b) A. $(a - b)^{2} = (- (b - a))^{2} = (b - a)^{2}$ . c) F. Corect: $(3 - x) (3 + x) = 9 - x^{2}$ . d) A. $x^{2} - 10 x + 25 = (x - 5)^{2}$ . e) A. Înmulțirea este comutativă; ambele produse dau $a^{2} - b^{2}$ .

Câte 1 p / afirmație: 0,5 p pentru A/F, 0,5 p pentru motivare / forma corectă.

Exercițiul 8 (5 p)

a) $A = (x^{2} + 6 x + 9) + (x^{2} - 6 x + 9) = 2 x^{2} + 18$ . b) $B = (x^{2} + 6 x + 9) - (x^{2} - 6 x + 9) = 12x$ .

Câte 2,5 p / subpunct. La b) se punctează schimbarea corectă a semnelor la scădere.

Exercițiul 9 (5 p)

$E = (2 x + 1)^{2} - 4 x (x + 1) = (4 x^{2} + 4 x + 1) - (4 x^{2} + 4 x) = 1$ . Expresia este constantă (nu depinde de $x$ ), valoarea ei fiind $1$ .

3 p pentru dezvoltarea corectă, 2 p pentru concluzie.

Exercițiul 10 (5 p)

Metoda 1 (dezvoltare): $(a + 5)^{2} - (a - 5)^{2} = (a^{2} + 10 a + 25) - (a^{2} - 10 a + 25) = 20 a .$ Metoda 2 (diferență de pătrate): $(a + 5)^{2} - (a - 5)^{2} = [(a + 5) - (a - 5)] [(a + 5) + (a - 5)] = 10 \cdot 2 a = 20 a .$

2,5 p / metodă. Este suficientă o metodă corectă completă pentru 3 p; a doua metodă aduce restul.

Exercițiul 11 (5 p)

a) $(n + 1)^{2} - n^{2} = (n^{2} + 2 n + 1) - n^{2} = 2 n + 1$ . (3 p) b) Pentru $n = 500$ : $50 1^{2} - 50 0^{2} = 2 \cdot 500 + 1 = 1001$ . (2 p)

Exercițiul 12 (6 p)

a) $x^{2} - 16 = 0 \Rightarrow (x - 4) (x + 4) = 0 \Rightarrow x - 4 = 0$ sau $x + 4 = 0 \Rightarrow x \in {- 4, 4}$ . (3 p) b) $x^{2} + 6 x + 9 = 0 \Rightarrow (x + 3)^{2} = 0 \Rightarrow x + 3 = 0 \Rightarrow x = - 3$ (soluție dublă). (3 p)

Câte 1,5 p pentru descompunere și 1,5 p pentru soluții. La b) se punctează observația că soluția este unică.

Exercițiul 13 (6 p)

a) $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b) = 7 \cdot 3 = 21$ . (2 p) b) $(a + b)^{2} = 49$ și $(a - b)^{2} = 9$ ; prin adunare: $2 (a^{2} + b^{2}) = 58 \Rightarrow a^{2} + b^{2} = 29$ . (2 p) c) Prin scădere: $(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = 4 ab = 49 - 9 = 40 \Rightarrow ab = 10$ . (2 p)

Verificare (opțional): $a = 5, b = 2$ .

Exercițiul 14 (6 p)

a) Aria pătratului mare: $(a + 3)^{2} = a^{2} + 6 a + 9$ (m²). (2 p) b) Aria inițială este $a^{2}$ , deci creșterea este $(a^{2} + 6 a + 9) - a^{2} = 6a + 9$ (m²). (2 p) c) Pentru $a = 10$ : $6 \cdot 10 + 9 = 69$ m². (2 p)

La c) se acceptă și $(10 + 3)^{2} - 1 0^{2} = 169 - 100 = 69$ .

Exercițiul 15 (5 p)

a) Aria ramei $= a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ . (3 p) b) Pentru $a = 12$ , $b = 8$ : $(12 - 8) (12 + 8) = 4 \cdot 20 = 80$ cm². (2 p)

La b) se acceptă și $1 2^{2} - 8^{2} = 144 - 64 = 80$ .

Exercițiul 16 (5 p)

a) Aria dreptunghiului $= (x + 2) (x - 2) = x^{2} - 4$ (m²). (3 p) b) Aria pătratului inițial este $x^{2}$ ; diferența $x^{2} - (x^{2} - 4) = 4$ , deci aria scade cu 4 m². (2 p)

Exercițiul 17 (3 p)

a) $E = x^{2} + 8 x + 16 = (x + 4)^{2}$ . (2 p) b) $(x + 4)^{2} \geq 0$ pentru orice $x$ real (un pătrat este nenegativ), deci $E \geq 0$ ; valoarea minimă $0$ se atinge când $x + 4 = 0$ , adică pentru $x = - 4$ . (1 p)

Greșeli tipice de evitat: uitarea termenului $2 ab$ la ridicarea la pătrat; confuzia $(a - b) (a + b)$ cu $(a - b)^{2}$ ; semnul greșit la scăderea a două paranteze; scrierea $(3 - x) (3 + x) = x^{2} - 9$ în loc de $9 - x^{2}$ .

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică unitatea „Calcul algebric. Formule de calcul prescurtat" din programa clasei a VIII-a (OMEN 3393/2017), an de Evaluare Națională. Itemii sunt gradați ca dificultate, în contexte de calcul, raționament și aplicații reale (arii, terenuri, calcul mintal), și acoperă:

Cele trei formule de bază – pătratul unei sume $(a + b)^{2}$ , pătratul unei diferențe $(a - b)^{2}$ și produsul sumei cu diferența $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ , aplicate la expresii cu litere.
Calculul numeric rapid – folosirea formulelor pentru a calcula mintal pătrate și produse (de exemplu $10 1^{2}$ , $9 9^{2}$ , $103 \cdot 97$ ).
Raționament și justificare – identificarea greșelilor tipice (adevărat/fals cu motivare), completarea termenilor lipsă, demonstrarea unor identități.
Aplicații – arii de figuri, descompuneri în factori, ecuații simple rezolvate prin produs nul, probleme aplicate.

Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
Punctaj total: 100 de puncte, dintre care 10 puncte din oficiu. Cei 17 itemi însumează 90 de puncte.
Cum se aplică: elevul lucrează individual, cu toate calculele scrise. La cerințele „justifică", „arată că" și „adevărat/fals cu motivare" se punctează raționamentul, nu doar rezultatul final. Calculatorul nu este necesar.
Interpretarea notei (orientativ): 90–100 p → foarte bine; 70–89 p → bine; 45–69 p → satisfăcător; sub 45 p → se reia unitatea.

Formulele folosite: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} (a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} (a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ „De două ori produsul" $2 ab$ este termenul care lipsește din greșeala frecventă $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ .