Test: Formule trigonometrice avansate

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Formule trigonometrice avansate

Exerciții

Partea I – Cotangentă, periodicitate și formulele de adunare

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Valoarea lui $\mathrm{ctg}\frac{\pi }{3}$ este: A. $\sqrt{3}$; B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$; C. $1$; D. $3$.

b) Perioada principală a funcției cotangentă este: A. $2\pi$; B. $\pi$; C. $\frac{\pi }{2}$; D. $\frac{\pi }{4}$.

c) Pentru orice numere reale $a$ și $b$, $\cos (a+b)$ este egal cu: A. $\cos a\cos b+\sin a\sin b$; B. $\cos a\cos b-\sin a\sin b$; C. $\cos a+\cos b$; D. $\sin a\cos b-\cos a\sin b$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Calculează, scriind de fiecare dată descompunerea folosită (câte 1,5 puncte): a) $\sin 75^{\circ }$; b) $\cos 105^{\circ }$; c) $\mathrm{tg}15^{\circ }$; d) $\mathrm{ctg}105^{\circ }$.

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „$\sin (a+b)=\sin a+\sin b$ pentru orice numere reale $a$ și $b$." b) „$\cos 2a=1-2{\sin }^{2}a$ pentru orice număr real $a$." c) „Funcția cotangentă este definită pentru orice număr real." d) „$\sin \frac{a}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos a}{2}}$, semnul fiind dat de cadranul în care se află $\frac{a}{2}$."

Exercițiul 4 (6 puncte)

a) Calculează, reducând la primul cadran, $\mathrm{ctg}\frac{2\pi }{3}$, $\mathrm{ctg}\frac{5\pi }{4}$ și $\mathrm{ctg}\frac{11\pi }{6}$. (3 p) b) Precizează domeniul de definiție al funcției cotangentă și explică de ce anume acele valori sunt excluse. (1,5 p) c) Demonstrează că $\mathrm{ctg}(x+\pi )=\mathrm{ctg}x$ pentru orice $x$ din domeniu. (1,5 p)

Partea a II-a – Unghiul dublu, unghiul pe jumătate, sume și produse

Exercițiul 5 (8 puncte)

Se știe că $\sin a=\frac{3}{5}$ și $a\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$. Calculează (câte 2 puncte): a) $\cos a$; b) $\sin 2a$; c) $\cos 2a$; d) $\mathrm{tg}2a$.

Exercițiul 6 (7 puncte)

Se știe că $\cos a=\frac{7}{25}$ și $a\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$. a) Calculează $\sin \frac{a}{2}$. (2 p) b) Calculează $\cos \frac{a}{2}$. (2 p) c) Calculează $\mathrm{tg}\frac{a}{2}$ în două moduri: ca raport al valorilor de la a) și b), apoi cu formula $\mathrm{tg}\frac{a}{2}=\frac{\sin a}{1+\cos a}$. (2 p) d) Justifică alegerea semnului la punctele a) și b). (1 p)

Exercițiul 7 (7 puncte)

a) Transformă în produs și calculează $\sin 75^{\circ }+\sin 15^{\circ }$. (1,5 p) b) Transformă în produs și calculează $\cos 75^{\circ }-\cos 15^{\circ }$. (1,5 p) c) Transformă în sumă și calculează $2\sin 75^{\circ }\cos 15^{\circ }$. (1 p) d) Demonstrează că, pentru orice $x$ pentru care expresia are sens, $$\frac{\sin 3x+\sin x}{\cos 3x+\cos x}=\mathrm{tg}2x,$$ și precizează condițiile de existență. (3 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

Simplifică, precizând condițiile de existență (câte 2 puncte): a) $\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}$; b) $\frac{1+\cos 2x}{\sin 2x}$; c) ${\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x$.

Exercițiul 9 (6 puncte)

Numerele $a$ și $b$ aparțin intervalului $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ și verifică $\mathrm{tg}a=2$, $\mathrm{tg}b=3$. a) Calculează $\mathrm{tg}(a+b)$ și deduce valoarea sumei $a+b$. (3 p) b) Calculează $\mathrm{tg}(a-b)$. (3 p)

Partea a III-a – Demonstrații și itemi de tip examen

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Deduce formula $$\mathrm{tg}(a+b)=\frac{\mathrm{tg}a+\mathrm{tg}b}{1-\mathrm{tg}a\mathrm{tg}b}$$ pornind numai de la formulele pentru $\sin (a+b)$ și $\cos (a+b)$. (5 p) b) Precizează condițiile în care formula are sens și verific-o pentru $a=b=\frac{\pi }{6}$. (3 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) a) Demonstrează identitatea $\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$, pentru orice număr real $x$. (5 p) b) Folosind identitatea, calculează $\sin \frac{\pi }{2}$ pornind de la $x=\frac{\pi }{6}$ și verifică rezultatul. (3 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Se consideră expresia $$E(x)={\cos }^{2}x+{\cos }^2\left(x+\frac{2\pi }{3}\right)+{\cos }^2\left(x-\frac{2\pi }{3}\right).$$ a) Demonstrează că $E(x)=\frac{3}{2}$ pentru orice număr real $x$. (5 p) b) Verifică rezultatul pentru $x=0$. (3 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat M1.) a) Arătați că $(1+\mathrm{tg}x)\left(1+\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{4}-x\right)\right)=2$, pentru orice $x$ pentru care expresia are sens. (4 p) b) Calculați $(1+\mathrm{tg}15^{\circ })(1+\mathrm{tg}30^{\circ })$. (4 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B. $\mathrm{ctg}\frac{\pi }{3}=\frac{\cos \frac{\pi }{3}}{\sin \frac{\pi }{3}}=\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. b) B. Ca și tangenta, cotangenta se repetă din $\pi$ în $\pi$: $\mathrm{ctg}(x+\pi )=\mathrm{ctg}x$, iar $\pi$ este cel mai mic număr pozitiv cu această proprietate. c) B. La cosinusul sumei, semnul din formulă este opus semnului din paranteză: $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$. Varianta A este $\cos (a-b)$, iar D este $\sin (a-b)$.

Exercițiul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p descompunerea, 1 p valoarea). a) $\sin 75^{\circ }=\sin (45^{\circ }+30^{\circ })=\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }+\cos 45^{\circ }\sin 30^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\boxed{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$. b) $\cos 105^{\circ }=\cos (60^{\circ }+45^{\circ })=\cos 60^{\circ }\cos 45^{\circ }-\sin 60^{\circ }\sin 45^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\boxed{\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}}$ (număr negativ, așa cum se cuvine pentru un unghi din cadranul al II-lea). c) $\mathrm{tg}15^{\circ }=\mathrm{tg}(45^{\circ }-30^{\circ })=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=\frac{(3-\sqrt{3}{)}^2}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}=\frac{12-6\sqrt{3}}{6}=\boxed{2-\sqrt{3}}$. d) $\mathrm{ctg}105^{\circ }=\frac{1}{\mathrm{tg}105^{\circ }}$, iar $\mathrm{tg}105^{\circ }=\mathrm{tg}(60^{\circ }+45^{\circ })=\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}=-(2+\sqrt{3})$. Prin urmare $\mathrm{ctg}105^{\circ }=-\frac{1}{2+\sqrt{3}}=-(2-\sqrt{3})=\boxed{\sqrt{3}-2}$. (Verificare de control: $\sqrt{3}-2\approx -0,268$, valoare negativă și mică în modul — corect pentru un unghi din cadranul al II-lea, apropiat de $90^{\circ }$.)

Exercițiul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea). a) F. Sinusul nu este aditiv. Contraexemplu: $a=b=\frac{\pi }{2}$ dă $\sin (a+b)=\sin \pi =0$, în timp ce $\sin a+\sin b=1+1=2$. Formula corectă este $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$. b) A. Din $\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$ și ${\cos }^{2}a=1-{\sin }^{2}a$ rezultă $\cos 2a=1-{\sin }^{2}a-{\sin }^{2}a=1-2{\sin }^{2}a$. c) F. Cotangenta este $\frac{\cos x}{\sin x}$, deci cere $\sin x\ne 0$, adică $x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. De exemplu $\mathrm{ctg}0$ nu există. d) A. Din $\cos a=1-2{\sin }^2\frac{a}{2}$ se obține ${\sin }^2\frac{a}{2}=\frac{1-\cos a}{2}$; extragerea radicalului dă valoarea până la semn, iar semnul se decide după cadranul lui $\frac{a}{2}$ (nu al lui $a$!).

Exercițiul 4. (6 p)

a) (3 p) — câte 1 punct pentru fiecare valoare. $\mathrm{ctg}\frac{2\pi }{3}=\frac{\cos \frac{2\pi }{3}}{\sin \frac{2\pi }{3}}=\frac{-1/2}{\sqrt{3}/2}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$; $\mathrm{ctg}\frac{5\pi }{4}=\frac{-\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2}=1$; $\mathrm{ctg}\frac{11\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}/2}{-1/2}=-\sqrt{3}$. (Semnele se pot verifica rapid pe cadrane: cotangenta este negativă în cadranele II și IV și pozitivă în I și III.)

b) (1,5 p) $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$. Sunt excluse exact numerele pentru care $\sin x=0$, adică punctele de pe cerc situate pe axa $Ox$ — acolo numitorul fracției $\frac{\cos x}{\sin x}$ s-ar anula.

c) (1,5 p) Pentru orice $x$ din domeniu: $$\mathrm{ctg}(x+\pi )=\frac{\cos (x+\pi )}{\sin (x+\pi )}=\frac{-\cos x}{-\sin x}=\frac{\cos x}{\sin x}=\mathrm{ctg}x.$$ Cele două semne minus se simplifică — de aceea perioada este $\pi$, nu $2\pi$.

Exercițiul 5. (8 p) — câte 2 puncte.

a) Din formula fundamentală, ${\cos }^{2}a=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, deci $\cos a=\pm \frac{4}{5}$. Cum $a$ este în cadranul al II-lea, cosinusul este negativ: $\cos a=-\frac{4}{5}$.

b) $\sin 2a=2\sin a\cos a=2\cdot \frac{3}{5}\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{24}{25}$.

c) $\cos 2a=1-2{\sin }^{2}a=1-2\cdot \frac{9}{25}=\frac{7}{25}$. (Se acceptă și $\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}$.)

d) $\mathrm{tg}2a=\frac{\sin 2a}{\cos 2a}=\frac{-24/25}{7/25}=-\frac{24}{7}$. (Verificare cu formula unghiului dublu: $\mathrm{tg}a=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}$, deci $\mathrm{tg}2a=\frac{2\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)}{1-\frac{9}{16}}=\frac{-\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}}=-\frac{24}{7}$ ✓.)

Exercițiul 6. (7 p)

a) (2 p) ${\sin }^2\frac{a}{2}=\frac{1-\cos a}{2}=\frac{1-\frac{7}{25}}{2}=\frac{\frac{18}{25}}{2}=\frac{9}{25}$, deci $\sin \frac{a}{2}=\frac{3}{5}$.

b) (2 p) ${\cos }^2\frac{a}{2}=\frac{1+\cos a}{2}=\frac{1+\frac{7}{25}}{2}=\frac{\frac{32}{25}}{2}=\frac{16}{25}$, deci $\cos \frac{a}{2}=\frac{4}{5}$.

c) (2 p) Primul mod: $\mathrm{tg}\frac{a}{2}=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}$ (1 p). Al doilea mod: cum $a$ este în cadranul I, $\sin a=\sqrt{1-\frac{49}{625}}=\sqrt{\frac{576}{625}}=\frac{24}{25}$, deci $$\mathrm{tg}\frac{a}{2}=\frac{\sin a}{1+\cos a}=\frac{\frac{24}{25}}{1+\frac{7}{25}}=\frac{\frac{24}{25}}{\frac{32}{25}}=\frac{24}{32}=\frac{3}{4}$$ ✓ (1 p).

d) (1 p) Din $a\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ rezultă $\frac{a}{2}\in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$, interval inclus în cadranul I, unde atât sinusul, cât și cosinusul sunt pozitive; de aceea s-a luat de fiecare dată semnul plus.

Exercițiul 7. (7 p)

a) (1,5 p) $\sin 75^{\circ }+\sin 15^{\circ }=2\sin \frac{75^{\circ }+15^{\circ }}{2}\cos \frac{75^{\circ }-15^{\circ }}{2}=2\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$.

b) (1,5 p) $\cos 75^{\circ }-\cos 15^{\circ }=-2\sin \frac{75^{\circ }+15^{\circ }}{2}\sin \frac{75^{\circ }-15^{\circ }}{2}=-2\sin 45^{\circ }\sin 30^{\circ }=-2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. (Rezultatul negativ era de așteptat: cosinusul este descrescător pe $[0^{\circ },180^{\circ }]$, deci $\cos 75^{\circ }<\cos 15^{\circ }$.)

c) (1 p) Aici mergem în sens invers, cu formula $2\sin a\cos b=\sin (a+b)+\sin (a-b)$, pentru $a=75^{\circ }$ și $b=15^{\circ }$: $$2\sin 75^{\circ }\cos 15^{\circ }=\sin 90^{\circ }+\sin 60^{\circ }=1+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{2}.$$

d) (3 p) Aplicăm formulele de transformare pentru $p=3x$ și $q=x$ (1 p): $$\sin 3x+\sin x=2\sin 2x\cos x,\cos 3x+\cos x=2\cos 2x\cos x.$$ Împărțind cele două relații (1 p): $$\frac{\sin 3x+\sin x}{\cos 3x+\cos x}=\frac{2\sin 2x\cos x}{2\cos 2x\cos x}=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\mathrm{tg}2x.$$ Condițiile de existență (1 p): $\cos x\ne 0$ și $\cos 2x\ne 0$, adică $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ și $x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. $■$

Exercițiul 8. (6 p) — câte 2 puncte (1,5 p simplificarea, 0,5 p condițiile).

a) $\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}=\frac{2\sin x\cos x}{2{\cos }^{2}x}=\mathrm{tg}x$, pentru $\cos x\ne 0$, adică $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$.

b) $\frac{1+\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{2{\cos }^{2}x}{2\sin x\cos x}=\mathrm{ctg}x$, pentru $\sin 2x\ne 0$, adică $x\ne \frac{k\pi }{2}$.

c) ${\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x=\left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)\left({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x\right)=\cos 2x\cdot 1=\cos 2x$, pentru orice număr real $x$ (nu apar numitori). S-a folosit diferența de pătrate, apoi formula fundamentală și formula unghiului dublu.

Exercițiul 9. (6 p)

a) (3 p) $\mathrm{tg}(a+b)=\frac{\mathrm{tg}a+\mathrm{tg}b}{1-\mathrm{tg}a\mathrm{tg}b}=\frac{2+3}{1-6}=\frac{5}{-5}=-1$ (2 p). Cum $a,b\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, avem $a+b\in (0,\pi )$; singurul număr din acest interval cu tangenta egală cu $-1$ este $\frac{3\pi }{4}$, deci $a+b=\frac{3\pi }{4}$ (1 p). (Verificare de control: $\mathrm{tg}a=2$ dă $a\approx 63,4^{\circ }$, iar $\mathrm{tg}b=3$ dă $b\approx 71,6^{\circ }$; suma este $135^{\circ }=\frac{3\pi }{4}$ ✓.)

b) (3 p) $\mathrm{tg}(a-b)=\frac{\mathrm{tg}a-\mathrm{tg}b}{1+\mathrm{tg}a\mathrm{tg}b}=\frac{2-3}{1+6}=-\frac{1}{7}$. (Semnul negativ este firesc: $\mathrm{tg}a<\mathrm{tg}b$ pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ înseamnă $a<b$, deci $a-b<0$.)

Exercițiul 10. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Prin definiție, $\mathrm{tg}(a+b)=\frac{\sin (a+b)}{\cos (a+b)}$, deci, folosind formulele de adunare (1 p): $$\mathrm{tg}(a+b)=\frac{\sin a\cos b+\cos a\sin b}{\cos a\cos b-\sin a\sin b}.$$ Împărțim numărătorul și numitorul la $\cos a\cos b\ne 0$ (2 p): $$\mathrm{tg}(a+b)=\frac{\frac{\sin a\cos b}{\cos a\cos b}+\frac{\cos a\sin b}{\cos a\cos b}}{\frac{\cos a\cos b}{\cos a\cos b}-\frac{\sin a\sin b}{\cos a\cos b}}=\frac{\mathrm{tg}a+\mathrm{tg}b}{1-\mathrm{tg}a\mathrm{tg}b}.$$ Simplificarea fiecărei fracții și scrierea finală: (2 p). $■$

b) (3 p) Formula are sens dacă există toate tangentele care apar și dacă numitorul nu se anulează (1 p): $$\cos a\ne 0,\cos b\ne 0,\cos (a+b)\ne 0(\text{echivalent cu }\mathrm{tg}a\mathrm{tg}b\ne 1).$$ Verificare pentru $a=b=\frac{\pi }{6}$ (2 p): membrul stâng este $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$, iar membrul drept este $$\frac{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}{1-{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}}=\sqrt{3}$$ ✓.

Exercițiul 11. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Scriem $3x=2x+x$ și aplicăm formula sinusului sumei (1 p): $$\sin 3x=\sin (2x+x)=\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x.$$ Înlocuim $\sin 2x=2\sin x\cos x$ și $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ (2 p): $$\sin 3x=2\sin x{\cos }^{2}x+\left(1-2{\sin }^{2}x\right)\sin x.$$ Folosim ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$ (1 p): $$\sin 3x=2\sin x\left(1-{\sin }^{2}x\right)+\sin x-2{\sin }^{3}x=2\sin x-2{\sin }^{3}x+\sin x-2{\sin }^{3}x,$$ de unde $\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$ (1 p). $■$

b) (3 p) Pentru $x=\frac{\pi }{6}$ avem $\sin x=\frac{1}{2}$, deci $$\sin \frac{\pi }{2}=\sin \left(3\cdot \frac{\pi }{6}\right)=3\cdot \frac{1}{2}-4\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$$ (2 p), ceea ce coincide cu valoarea cunoscută $\sin \frac{\pi }{2}=1$ ✓ (1 p).

Exercițiul 12. (8 p) — redactare completă.

a) (5 p) Folosim formula ${\cos }^{2}t=\frac{1+\cos 2t}{2}$ pentru fiecare dintre cei trei termeni (1,5 p): $$E(x)=\frac{1+\cos 2x}{2}+\frac{1+\cos \left(2x+\frac{4\pi }{3}\right)}{2}+\frac{1+\cos \left(2x-\frac{4\pi }{3}\right)}{2}=\frac{3}{2}+\frac{S}{2},$$ unde $S=\cos 2x+\cos \left(2x+\frac{4\pi }{3}\right)+\cos \left(2x-\frac{4\pi }{3}\right)$ (1 p). Transformăm ultimii doi termeni în produs (1,5 p): $$\cos \left(2x+\frac{4\pi }{3}\right)+\cos \left(2x-\frac{4\pi }{3}\right)=2\cos 2x\cos \frac{4\pi }{3}=2\cos 2x\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\cos 2x.$$ Prin urmare $S=\cos 2x-\cos 2x=0$, deci $E(x)=\frac{3}{2}$ pentru orice număr real $x$ (1 p). $■$

b) (3 p) Pentru $x=0$: $$E(0)={\cos }^{2}0+{\cos }^2\frac{2\pi }{3}+{\cos }^2\left(-\frac{2\pi }{3}\right)=1+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}$$ ✓. (S-a folosit paritatea cosinusului: $\cos \left(-\frac{2\pi }{3}\right)=\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$.)

Exercițiul 13. (8 p)

a) (4 p) Notăm $t=\mathrm{tg}x$ și calculăm, cu formula tangentei diferenței (1 p): $$\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{4}-x\right)=\frac{\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}-\mathrm{tg}x}{1+\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}\mathrm{tg}x}=\frac{1-t}{1+t}.$$ Atunci (2 p) $$(1+t)\left(1+\frac{1-t}{1+t}\right)=(1+t)\cdot \frac{(1+t)+(1-t)}{1+t}=(1+t)\cdot \frac{2}{1+t}=2.$$ Condiții de existență (1 p): $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ (ca să existe $\mathrm{tg}x$) și $\frac{\pi }{4}-x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, adică $x\ne -\frac{\pi }{4}+k\pi$ (ca să existe $\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{4}-x\right)$), $k\in \mathbb{Z}$. A doua condiție asigură automat și simplificarea cu $1+t$: dacă am avea $t=-1$, atunci $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$, valoare deja exclusă. (Observă că $-\frac{\pi }{4}+k\pi$ și $\frac{3\pi }{4}+k\pi$ descriu aceeași mulțime.) $■$

b) (4 p) Observăm că $15^{\circ }+30^{\circ }=45^{\circ }$, deci $30^{\circ }=45^{\circ }-15^{\circ }$; putem aplica identitatea de la a) pentru $x=15^{\circ }$ (2 p). Rezultă $$(1+\mathrm{tg}15^{\circ })(1+\mathrm{tg}30^{\circ })=2$$ (1 p). Verificare directă (1 p): $\mathrm{tg}15^{\circ }=2-\sqrt{3}$ (calculat la itemul 2) și $\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$, deci produsul este $$\left(1+2-\sqrt{3}\right)\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\left(3-\sqrt{3}\right)\cdot \frac{3+\sqrt{3}}{3}=\frac{9-3}{3}=\frac{6}{3}=2$$ ✓.

Pentru părinți și profesori

Acest test încheie unitatea în care trigonometria devine calcul, nu doar citire de valori pe cerc. Sunt evaluate patru lucruri. Primul: funcția cotangentă — definiția $\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$, domeniul ei ($x\ne k\pi$) și periodicitatea funcțiilor trigonometrice, cu perioada principală $2\pi$ pentru sinus și cosinus, dar $\pi$ pentru tangentă și cotangentă. Al doilea: formulele pentru sumă și diferență — $\sin (a\pm b)$, $\cos (a\pm b)$, $\mathrm{tg}(a\pm b)$ — care permit calculul unor valori care nu apar în tabel, cum sunt $\sin 75^{\circ }$ sau $\mathrm{tg}15^{\circ }$. Al treilea: formulele unghiului dublu și ale unghiului pe jumătate, cu grija cuvenită pentru semnul rezultat din cadranul lui $\frac{a}{2}$. Al patrulea: transformarea sumelor în produse și a produselor în sume, instrumentul cu care se simplifică expresii și, mai târziu, se rezolvă ecuații. Ultima parte cere demonstrații redactate complet: deducerea unei formule pornind de la altele și demonstrarea unei identități — exact tipul de cerință de la Bacalaureatul M1.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs); la itemii cu demonstrație se cer toate etapele scrise, nu doar rezultatul final.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, fără calculator. Rezultatele se lasă în formă exactă, cu radicali și cu numitorii raționalizați. La fiecare identitate se punctează și condițiile de existență (numitori nenuli, argumentele tangentei și ale cotangentei în domeniu). Acolo unde se extrage un radical dintr-un pătrat, semnul se justifică prin cadran.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe formulele de adunare și pe legătura dintre unghiul dublu și unghiul pe jumătate.
• Formule de reținut: cotangenta — $\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\mathrm{tg}x}$, definită pentru $x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Periodicitate: $\sin (x+2\pi )=\sin x$, $\cos (x+2\pi )=\cos x$ (perioadă principală $2\pi$), dar $\mathrm{tg}(x+\pi )=\mathrm{tg}x$ și $\mathrm{ctg}(x+\pi )=\mathrm{ctg}x$ (perioadă principală $\pi$). Sumă și diferență: $$\sin (a\pm b)=\sin a\cos b\pm \cos a\sin b,\cos (a\pm b)=\cos a\cos b\mp \sin a\sin b,$$ $$\mathrm{tg}(a\pm b)=\frac{\mathrm{tg}a\pm \mathrm{tg}b}{1\mp \mathrm{tg}a\mathrm{tg}b}.$$ Atenție la semnul „schimbat" de la cosinus: la $\cos (a+b)$ apare minus. Unghiul dublu: $\sin 2a=2\sin a\cos a$; $\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1=1-2{\sin }^{2}a$; $\mathrm{tg}2a=\frac{2\mathrm{tg}a}{1-{\mathrm{tg}}^{2}a}$. Unghiul pe jumătate: ${\sin }^2\frac{a}{2}=\frac{1-\cos a}{2}$, ${\cos }^2\frac{a}{2}=\frac{1+\cos a}{2}$, $\mathrm{tg}\frac{a}{2}=\frac{\sin a}{1+\cos a}$ (pentru $\cos a\ne -1$). Sume în produse: $$\sin p+\sin q=2\sin \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2},\sin p-\sin q=2\sin \frac{p-q}{2}\cos \frac{p+q}{2},$$ $$\cos p+\cos q=2\cos \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2},\cos p-\cos q=-2\sin \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}.$$ Produse în sume: $2\sin a\cos b=\sin (a+b)+\sin (a-b)$ și $2\cos a\cos b=\cos (a+b)+\cos (a-b)$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".