Test: Fracții algebrice - existență, amplificare și simplificare

Clasa a VIII-a · Matematică · Fracții algebrice

Exerciții

Exercițiul 1 (4 puncte)

Se dă fracția algebrică $\frac{7}{x-5}$. Scrieți condiția de existență și domeniul de definiție.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Aflați valorile reale ale lui $x$ pentru care nu există fiecare fracție (numitorul se anulează):

a) $\frac{2x}{x+4}$; b) $\frac{x-1}{2x-6}$; c) $\frac{10}{x^2-9}$.

Exercițiul 3 (4 puncte)

Se dă fracția $\frac{2x-6}{x+1}$.

a) Scrieți condiția de existență.

b) Aflați valoarea lui $x$ pentru care fracția este egală cu $0$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Completați numărătorul lipsă, prin amplificare:

a) $\frac{3}{x}=\frac{\square }{x^2}$; b) $\frac{2}{x-3}=\frac{\square }{x^2-9}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Simplificați fracțiile și precizați condițiile de existență:

a) $\frac{6x^2}{9x}$; b) $\frac{15a^{3}b}{20a{b}^2}$.

Exercițiul 6 (4 puncte)

Simplificați fracția $\frac{6x+9}{4x+6}$ (dați factor comun la numărător și la numitor) și scrieți condiția de existență.

Exercițiul 7 (6 puncte)

Simplificați, folosind formulele de calcul prescurtat, și scrieți condițiile de existență:

a) $\frac{x^2-25}{x-5}$; b) $\frac{x^2-49}{x+7}$; c) $\frac{x^2+10x+25}{x+5}$.

Exercițiul 8 (5 puncte)

Simplificați fracția $\frac{x^2-4}{x^2+4x+4}$ (descompuneți numărătorul și numitorul) și scrieți condiția de existență.

Exercițiul 9 (6 puncte)

Pentru fiecare afirmație, scrieți Adevărat sau Fals și justificați:

a) Fracția $\frac{x}{x-4}$ există pentru orice număr real $x$.

b) $\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$, pentru orice $x\ne 1$.

c) Fracția $\frac{x+2}{x+3}$ se simplifică prin $x$, obținându-se $\frac{2}{3}$.

d) $\frac{0}{x-1}=0$, pentru orice $x\ne 1$.

Exercițiul 10 (5 puncte)

Efectuați și aduceți la forma cea mai simplă (numitor comun deja identic):

a) $\frac{3x}{x+1}+\frac{3}{x+1}$; b) $\frac{5x}{x-2}-\frac{10}{x-2}$.

Exercițiul 11 (5 puncte)

Aduceți la același numitor prin amplificare, apoi efectuați:

a) $\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}$; b) $\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$.

Exercițiul 12 (5 puncte)

Efectuați și simplificați:

a) $\frac{2x}{5}\cdot \frac{15}{4x^2}$; b) $\frac{x+3}{x}:\frac{x+3}{2x}$.

Exercițiul 13 (4 puncte)

Ridicați la putere:

a) ${\left(\frac{3x}{4}\right)}^2$; b) ${\left(\frac{2}{x}\right)}^3$.

Exercițiul 14 (5 puncte)

Efectuați, respectând ordinea operațiilor, și aduceți la forma cea mai simplă: $$\frac{x^2-4}{x+3}\cdot \frac{x+3}{x-2}.$$ Precizați condițiile de existență.

Exercițiul 15 (6 puncte)

Aduceți la forma cea mai simplă: $$\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\cdot (x^2-1).$$ Precizați condițiile de existență.

Exercițiul 16 (5 puncte)

Un dreptunghi are aria $(x^2-4)$ cm² și lungimea $(x+2)$ cm.

a) Scrieți lățimea dreptunghiului ca fracție algebrică, apoi simplificați-o.

b) Calculați lățimea pentru $x=5$.

Exercițiul 17 (5 puncte)

Arătați, prin descompunere în factori, că fracția $\frac{x^2+2x}{x^2-4}$ se simplifică la $\frac{x}{x-2}$ și precizați valorile lui $x$ pentru care fracția inițială are sens.

Exercițiul 18 (5 puncte)

Aduceți la forma cea mai simplă: $$\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}:\frac{x-1}{x+1}.$$ Precizați condițiile de existență.

Barem și răspunsuri

Punctaj din oficiu: 10 puncte. Total itemi: 90 de puncte. La cerințele de justificare se punctează raționamentul corect chiar dacă rezultatul final are o eroare de calcul izolată, la latitudinea profesorului. La orice simplificare se acordă punctajul complet numai dacă sunt scrise condițiile de existență.

Exercițiul 1. (4 p) Fracția există când numitorul este nenul: $x-5\ne 0$, deci $x\ne 5$. $$\boxed{x\ne 5,D=\mathbb{R}\setminus \{5\}}$$ (2 p condiția, 2 p domeniul.)

Exercițiul 2. (6 p) Câte 2 p pe subpunct. Punem numitorul egal cu zero.

a) $x+4=0\Rightarrow \boxed{x=-4}$.

b) $2x-6=0\Rightarrow 2x=6\Rightarrow \boxed{x=3}$.

c) $x^2-9=0\Rightarrow (x-3)(x+3)=0\Rightarrow \boxed{x=3\text{ sau }x=-3}$.

Exercițiul 3. (4 p) Câte 2 p pe subpunct.

a) Condiția de existență: $x+1\ne 0$, deci $\boxed{x\ne -1}$.

b) Fracția este $0$ când numărătorul este $0$, iar numitorul nenul: $2x-6=0\Rightarrow x=3$. Pentru $x=3$, numitorul este $3+1=4\ne 0$, deci valoarea convine. $$\boxed{x=3}$$

Exercițiul 4. (5 p) Câte 2,5 p pe subpunct.

a) Amplificăm cu $x$: $\frac{3}{x}=\frac{3\cdot x}{x\cdot x}=\frac{3x}{x^2}$, deci numărătorul este $\boxed{3x}$.

b) Cum $x^2-9=(x-3)(x+3)$, amplificăm cu $(x+3)$: $\frac{2}{x-3}=\frac{2(x+3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{2x+6}{x^2-9}$, deci numărătorul este $\boxed{2x+6}$.

Exercițiul 5. (5 p) Câte 2,5 p pe subpunct (rezultat + condiții).

a) $\frac{6x^2}{9x}=\frac{6}{9}\cdot \frac{x^2}{x}=\boxed{\frac{2x}{3}}$, cu $x\ne 0$.

b) $\frac{15a^{3}b}{20a{b}^2}=\frac{15}{20}\cdot \frac{a^3}{a}\cdot \frac{b}{b^2}=\boxed{\frac{3a^2}{4b}}$, cu $a\ne 0$ și $b\ne 0$.

Exercițiul 6. (4 p) Dăm factor comun: $6x+9=3(2x+3)$ și $4x+6=2(2x+3)$. $$\frac{6x+9}{4x+6}=\frac{3(2x+3)}{2(2x+3)}=\boxed{\frac{3}{2}},x\ne -\frac{3}{2}.$$ (2 p descompunerea, 1 p simplificarea, 1 p condiția.)

Exercițiul 7. (6 p) Câte 2 p pe subpunct (simplificare + condiție).

a) $\frac{x^2-25}{x-5}=\frac{(x-5)(x+5)}{x-5}=\boxed{x+5}$, cu $x\ne 5$.

b) $\frac{x^2-49}{x+7}=\frac{(x-7)(x+7)}{x+7}=\boxed{x-7}$, cu $x\ne -7$.

c) $\frac{x^2+10x+25}{x+5}=\frac{(x+5{)}^2}{x+5}=\boxed{x+5}$, cu $x\ne -5$.

Exercițiul 8. (5 p) Descompunem: $x^2-4=(x-2)(x+2)$ și $x^2+4x+4=(x+2{)}^2$. $$\frac{x^2-4}{x^2+4x+4}=\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2{)}^2}=\boxed{\frac{x-2}{x+2}},x\ne -2.$$ (3 p descompunerile, 1 p simplificarea, 1 p condiția.)

Exercițiul 9. (6 p) Câte 1,5 p pe subpunct (verdict + justificare).

a) Fals. Fracția există doar dacă $x-4\ne 0$, deci $x\ne 4$ (pentru $x=4$ numitorul este $0$).

b) Adevărat. $\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$, simplificare validă pentru $x\ne 1$.

c) Fals. Nu se pot „tăia" termeni dintr-o sumă; se simplifică doar factori comuni. Numărătorul $x+2$ și numitorul $x+3$ nu au factor comun, deci fracția nu se simplifică.

d) Adevărat. Numărătorul este $0$, iar numitorul nenul ($x\ne 1$), deci fracția este $0$.

Exercițiul 10. (5 p) Câte 2,5 p pe subpunct.

a) $\frac{3x}{x+1}+\frac{3}{x+1}=\frac{3x+3}{x+1}=\frac{3(x+1)}{x+1}=\boxed{3}$, cu $x\ne -1$.

b) $\frac{5x}{x-2}-\frac{10}{x-2}=\frac{5x-10}{x-2}=\frac{5(x-2)}{x-2}=\boxed{5}$, cu $x\ne 2$.

Exercițiul 11. (5 p) Câte 2,5 p pe subpunct.

a) Numitor comun $x^2$; amplificăm prima fracție cu $x$: $$\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}=\frac{3x}{x^2}+\frac{2}{x^2}=\boxed{\frac{3x+2}{x^2}},x\ne 0.$$

b) Numitor comun $x(x+1)$: $$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)-x}{x(x+1)}=\boxed{\frac{1}{x(x+1)}},x\ne 0,x\ne -1.$$

Exercițiul 12. (5 p) Câte 2,5 p pe subpunct.

a) $\frac{2x}{5}\cdot \frac{15}{4x^2}=\frac{2x\cdot 15}{5\cdot 4x^2}=\frac{30x}{20x^2}=\boxed{\frac{3}{2x}}$, cu $x\ne 0$.

b) Împărțirea = înmulțire cu inversa: $\frac{x+3}{x}:\frac{x+3}{2x}=\frac{x+3}{x}\cdot \frac{2x}{x+3}=\frac{2x(x+3)}{x(x+3)}=\boxed{2}$, cu $x\ne 0$ și $x\ne -3$.

Exercițiul 13. (4 p) Câte 2 p pe subpunct.

a) ${\left(\frac{3x}{4}\right)}^2=\frac{(3x{)}^2}{4^2}=\boxed{\frac{9x^2}{16}}$.

b) ${\left(\frac{2}{x}\right)}^3=\frac{2^3}{x^3}=\boxed{\frac{8}{x^3}}$, cu $x\ne 0$.

Exercițiul 14. (5 p) Descompunem $x^2-4=(x-2)(x+2)$ și simplificăm factorii comuni $(x+3)$ și $(x-2)$: $$\frac{(x-2)(x+2)}{x+3}\cdot \frac{x+3}{x-2}=\boxed{x+2},x\ne -3,x\ne 2.$$ (3 p calculul, 2 p condițiile de existență.)

Exercițiul 15. (6 p) În paranteză, numitor comun $(x-1)(x+1)=x^2-1$: $$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2}{x^2-1}.$$ Înmulțim cu $(x^2-1)$: $\frac{2}{x^2-1}\cdot (x^2-1)=\boxed{2}$, cu $x\ne 1$ și $x\ne -1$. (4 p calculul, 2 p condițiile.)

Exercițiul 16. (5 p) Câte 2,5 p pe subpunct.

a) Lățimea $=\frac{\text{aria}}{\text{lungimea}}=\frac{x^2-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=\boxed{x-2}$ cm, cu $x\ne -2$ (geometric $x>2$).

b) Pentru $x=5$: lățimea $=5-2=\boxed{3}$ cm. (Verificare: aria $=25-4=21$ cm², lungimea $=7$ cm, lățimea $=21:7=3$ cm.)

Exercițiul 17. (5 p) Descompunem în factori: $$x^2+2x=x(x+2),x^2-4=(x-2)(x+2).$$ $$\frac{x^2+2x}{x^2-4}=\frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x}{x-2}.\text{q.e.d.}$$ Fracția inițială are sens când $x^2-4\ne 0$, deci $\boxed{x\ne 2\text{ și }x\ne -2}$. (3 p descompunerile și simplificarea, 2 p condițiile.)

Exercițiul 18. (5 p) Descompunem: $x^2-1=(x-1)(x+1)$ și $x^2+2x+1=(x+1{)}^2$. Împărțirea devine înmulțire cu inversa: $$\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1{)}^2}\cdot \frac{x+1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)(x+1)}{(x+1{)}^2(x-1)}=\boxed{1},x\ne -1,x\ne 1.$$ (3 p calculul, 2 p condițiile de existență.)

Punctaj total: 90 de puncte (itemi) + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică unitatea „Fracții algebrice" din programa clasei a VIII-a (OMEN 3393/2017), an de Evaluare Națională. Itemii pornesc de la condiții de existență și calcule directe și urcă spre simplificare cu formule, operații și raționament, acoperind:

1. Noțiunea de fracție algebrică și condițiile de existență – o fracție algebrică are sens (există) numai când numitorul este diferit de zero; mulțimea valorilor admise formează domeniul de definiție.
2. Amplificarea – înmulțirea numărătorului și a numitorului cu aceeași expresie nenulă, pentru a aduce fracțiile la un numitor comun.
3. Simplificarea – împărțirea numărătorului și a numitorului la un factor comun, obținut prin descompunere în factori și prin formulele de calcul prescurtat.
4. Operații cu fracții algebrice – adunare, scădere, înmulțire, împărțire, ridicare la putere și ordinea operațiilor, cu aducerea rezultatului la forma cea mai simplă.

• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Punctaj total: 100 de puncte, dintre care 10 puncte din oficiu. Cei 18 itemi însumează 90 de puncte.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, cu toate calculele scrise. La orice fracție algebrică se cer și condițiile de existență. La cerințele „justifică", „arată că" sau „adevărat/fals cu motivare" se punctează raționamentul, nu doar rezultatul.
• Interpretarea notei (orientativ): 90–100 p → foarte bine; 70–89 p → bine; 45–69 p → satisfăcător; sub 45 p → se reia unitatea de fracții algebrice.

Notație folosită: o fracție algebrică este un raport $\frac{A}{B}$, unde $A$ și $B$ sunt expresii algebrice, iar $B\ne 0$. Domeniul de definiție = mulțimea valorilor lui $x$ pentru care numitorul este nenul. La simplificare se împart numărătorul și numitorul la un factor comun (nu se „taie" termeni dintr-o sumă). Formule utile: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$, $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$.