Test: Frecvența și media aritmetică a unui set de date

Clasa a VIII-a · Matematică · Elemente de statistică

Exerciții

Partea I — Frecvența absolută și frecvența relativă

Exercițiul 1 — Tabel de frecvențe dintr-un șir de date (8 puncte)

O dirigintă a notat câți frați (sau surori) are fiecare dintre cei 20 de elevi din clasă. Datele culese sunt:

$0, 1, 2, 1, 0, 3, 1, 2, 1, 0, 2, 1, 1, 0, 2, 1, 3, 0, 1, 2$

a) Completează un tabel de frecvențe absolute pentru valorile $0, 1, 2, 3$ și verifică faptul că suma frecvențelor este $20$ . (3 p) b) Calculează frecvența relativă a fiecărei valori, exprimată ca procent. (3 p) c) Câți frați are, în medie, un elev din această clasă? (2 p)

Exercițiul 2 — Frecvența relativă în procente (5 puncte)

La un sondaj despre sportul preferat au răspuns 40 de elevi:

Sport	Fotbal	Baschet	Tenis	Înot
Frecvența absolută	16	10	6	8

a) Calculează frecvența relativă (în procente) pentru fiecare sport. (4 p) b) Verifică faptul că suma procentelor este $100%$ . (1 p)

Exercițiul 3 — Adevărat / Fals cu motivare (5 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și motivează pe scurt (câte 1 punct):

a) Suma tuturor frecvențelor absolute este egală cu numărul total de date din set. b) Frecvența relativă a unei valori poate fi mai mare decât $100%$ . c) Suma tuturor frecvențelor relative ale unui set de date este $1$ (adică $100%$ ). d) Frecvența absolută a unei valori arată de câte ori apare acea valoare în set. e) Media aritmetică a unui set de date este întotdeauna una dintre valorile setului.

Exercițiul 4 — De la procent la număr de date (5 puncte)

Un magazin online a chestionat 200 de clienți despre modul preferat de livrare. Rezultatele, în procente, sunt:

Livrare	Curier	Easybox	Poștă	Ridicare din magazin
Frecvența relativă	35%	25%	30%	10%

a) Află câți clienți au ales fiecare variantă (frecvența absolută). (4 p) b) Verifică faptul că suma numerelor obținute este $200$ . (1 p)

Partea a II-a — Media aritmetică

Exercițiul 5 — Media unui set de date (6 puncte)

Calculează media aritmetică a fiecărui set (câte 2 puncte):

a) $6, 8, 7, 9, 10$ b) $12, 15, 18, 11, 14$ c) $2, 4, 4, 6, 8, 12$

Exercițiul 6 — Media dintr-un tabel de frecvențe (6 puncte)

Notele obținute de cei 25 de elevi ai unei clase la un test sunt organizate astfel:

Nota ( $x_{i}$ )	5	6	7	8	9	10
Nr. de elevi ( $f_{i}$ )	2	3	6	7	5	2

a) Verifică faptul că numărul total de elevi este $25$ . (1 p) b) Calculează media clasei la acest test, folosind formula mediei dintr-un tabel de frecvențe. Rotunjește la două zecimale. (5 p)

Exercițiul 7 — Valoare lipsă dintr-un set (4 puncte)

Media aritmetică a cinci numere naturale este $12$ . Patru dintre numere sunt $10, 14, 9$ și $15$ .

Află al cincilea număr, arătând raționamentul (pornește de la suma totală a celor cinci numere).

Exercițiul 8 — Problemă aplicată: nota necesară (5 puncte)

Andrei are la matematică notele $8, 7, 9$ și $6$ . Mai are de dat o singură evaluare.

a) Ce notă trebuie să obțină la a cincea evaluare pentru ca media celor cinci note să fie exact $8$ ? (3 p) b) Poate Andrei să obțină media $9$ după această a cincea notă? Justifică (nota maximă este $10$ ). (2 p)

Exercițiul 9 — Frecvență lipsă într-un tabel (6 puncte)

Într-un studiu, valorile măsurate și frecvențele lor sunt trecute în tabelul de mai jos, în care o frecvență este necunoscută ( $x$ ):

Valoarea	4	7	9
Frecvența	3	$x$	2

Se știe că media setului de date este $6, 5$ .

a) Scrie, în funcție de $x$ , suma valorilor și numărul total de date. (2 p) b) Determină valoarea lui $x$ . (3 p) c) Verifică rezultatul, recalculând media. (1 p)

Partea a III-a — Mediana, modul și amplitudinea

Exercițiul 10 — Indicatorii unui set (număr impar de date) (6 puncte)

Se dă setul de date:

$3, 7, 5, 9, 5, 8, 10$

a) Ordonează crescător datele. (1 p) b) Determină mediana. (2 p) c) Determină modul. (1 p) d) Determină amplitudinea. (1 p) e) Calculează media aritmetică (rotunjită la două zecimale). (1 p)

Exercițiul 11 — Mediana pentru un număr par de date (4 puncte)

Se dă setul de date:

$12, 15, 10, 18, 14, 20$

a) Ordonează crescător datele și calculează mediana. (3 p) b) Calculează amplitudinea setului. (1 p)

Exercițiul 12 — Mod și amplitudine dintr-un tabel (6 puncte)

Un chestionar aplicat în 20 de familii a înregistrat numărul de copii din fiecare familie:

Nr. de copii	0	1	2	3	4
Nr. de familii	3	8	6	2	1

a) Determină modul (numărul de copii cel mai frecvent). (2 p) b) Determină amplitudinea datelor. (2 p) c) Calculează numărul mediu de copii pe familie. (2 p)

Exercițiul 13 — Interpretarea indicatorilor: media vs. mediana (6 puncte)

Salariile lunare (în mii de lei) ale celor 5 angajați ai unei firme mici sunt:

$3, 3, 4, 4, 36$

(cei $36$ reprezintă salariul patronului).

a) Calculează media salariilor. (2 p) b) Calculează mediana salariilor. (2 p) c) Care dintre cei doi indicatori descrie mai bine „salariul obișnuit" al unui angajat? Justifică, făcând referire la valoarea extremă. (2 p)

Exercițiul 14 — Adevărat / Fals: mediană, mod, amplitudine (5 puncte)

Stabilește A sau F și motivează pe scurt (câte 1 punct):

a) Mediana este valoarea aflată la mijlocul unui set de date ordonat crescător. b) Un set de date are întotdeauna un singur mod. c) Amplitudinea este diferența dintre valoarea maximă și valoarea minimă a setului. d) Când setul are un număr par de valori, mediana este media celor două valori din mijloc. e) Amplitudinea unui set de date poate fi un număr negativ.

Exercițiul 15 — Problemă aplicată: temperaturile săptămânii (8 puncte)

Temperaturile înregistrate la ora $12 : 00$ , în cele 7 zile ale unei săptămâni, exprimate în grade Celsius, au fost:

$18, 20, 22, 19, 21, 20, 20$

a) Calculează temperatura medie a săptămânii. (2 p) b) Determină mediana temperaturilor. (2 p) c) Determină modul. (2 p) d) Determină amplitudinea temperaturilor. (2 p)

Exercițiul 16 — Citirea unei diagrame cu bare (5 puncte)

Cărți citite / număr de elevi

Diagrama arată câte cărți au citit într-o lună cei 30 de elevi ai unei clase.

a) Câți elevi au citit cel puțin 2 cărți? (1 p) b) Care este frecvența relativă (în procente, rotunjită la o zecimală) a valorii „2 cărți"? (1 p) c) Calculează numărul mediu de cărți citite de un elev (rotunjit la două zecimale). (2 p) d) Care este modul acestei distribuții? (1 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj: 16 itemi = 90 p + 10 p din oficiu = 100 p. Rezultatele au fost verificate prin calcul.

Exercițiul 1 (8 p)

a) Numărând aparițiile fiecărei valori: (3 p)

Nr. de frați	0	1	2	3	Total
Frecvența absolută	5	8	5	2	20

Suma: $5 + 8 + 5 + 2 = 20$ ✓ b) Frecvențe relative (împărțim la $20$ ): (3 p) $0 \to \frac{5}{20} = 25%$ ; $1 \to \frac{8}{20} = 40%$ ; $2 \to \frac{5}{20} = 25%$ ; $3 \to \frac{2}{20} = 10%$ . (Sumă: $25% + 40% + 25% + 10% = 100%$ .) c) Media: $\overline{x} = \frac{0 \cdot 5 + 1 \cdot 8 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 2}{20} = \frac{0 + 8 + 10 + 6}{20} = \frac{24}{20} = 1, 2$ frați. (2 p)

Exercițiul 2 (5 p)

a) Împărțim fiecare frecvență la $40$ : (4 p, câte 1 p) Fotbal: $\frac{16}{40} = 40%$ ; Baschet: $\frac{10}{40} = 25%$ ; Tenis: $\frac{6}{40} = 15%$ ; Înot: $\frac{8}{40} = 20%$ . b) $40% + 25% + 15% + 20% = 100%$ ✓ (1 p)

Exercițiul 3 (5 p — câte 1 p)

a) A — prin definiție, frecvențele absolute numără toate datele, deci se însumează la numărul total. b) F — frecvența relativă este o parte din întreg, deci este cel mult $1$ ( $100%$ ). c) A — părțile adunate reconstituie întregul: suma frecvențelor relative este $1$ . d) A — aceasta este chiar definiția frecvenței absolute. e) F — de exemplu, media setului ${1, 2}$ este $1, 5$ , care nu apare în set (vezi și itemul 1, media $1, 2$ ).

Exercițiul 4 (5 p)

a) Calculăm procentul din $200$ : (4 p, câte 1 p) Curier: $35% \cdot 200 = 70$ ; Easybox: $25% \cdot 200 = 50$ ; Poștă: $30% \cdot 200 = 60$ ; Ridicare: $10% \cdot 200 = 20$ . b) $70 + 50 + 60 + 20 = 200$ ✓ (1 p)

Exercițiul 5 (6 p — câte 2 p)

a) $\frac{6 + 8 + 7 + 9 + 10}{5} = \frac{40}{5} = 8$ b) $\frac{12 + 15 + 18 + 11 + 14}{5} = \frac{70}{5} = 14$ c) $\frac{2 + 4 + 4 + 6 + 8 + 12}{6} = \frac{36}{6} = 6$

Exercițiul 6 (6 p)

a) $2 + 3 + 6 + 7 + 5 + 2 = 25$ elevi ✓ (1 p) b) Suma $x_{i} f_{i}$ : (5 p) $5 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + 7 \cdot 6 + 8 \cdot 7 + 9 \cdot 5 + 10 \cdot 2 = 10 + 18 + 42 + 56 + 45 + 20 = 191.$ Media: $\overline{x} = \frac{191}{25} = 7, 64$ .

Exercițiul 7 (4 p)

Suma celor cinci numere: $5 \cdot 12 = 60$ . (2 p) Suma celor patru cunoscute: $10 + 14 + 9 + 15 = 48$ . (1 p) Al cincilea număr: $60 - 48 = 12$ . (1 p) (Verificare: $\frac{10 + 14 + 9 + 15 + 12}{5} = \frac{60}{5} = 12$ ✓.)

Exercițiul 8 (5 p)

a) Pentru media $8$ la cinci note, suma trebuie să fie $5 \cdot 8 = 40$ . Suma actuală: $8 + 7 + 9 + 6 = 30$ . Nota necesară: $40 - 30 = 10$ . (3 p) b) Pentru media $9$ ar fi nevoie de suma $5 \cdot 9 = 45$ , deci de o notă de $45 - 30 = 15$ , imposibil (nota maximă este $10$ ). Nu poate. (2 p)

Exercițiul 9 (6 p)

a) Suma valorilor: $4 \cdot 3 + 7 \cdot x + 9 \cdot 2 = 12 + 7 x + 18 = 30 + 7 x$ . Numărul total de date: $3 + x + 2 = 5 + x$ . (2 p) b) Media $= 6, 5$ : $\frac{30 + 7 x}{5 + x} = 6, 5$ . (3 p) $30 + 7 x = 6, 5 (5 + x) = 32, 5 + 6, 5 x \Rightarrow 7 x - 6, 5 x = 32, 5 - 30 \Rightarrow 0, 5 x = 2, 5 \Rightarrow x = 5 .$ c) Verificare cu $x = 5$ : total $= 5 + 5 = 10$ date; suma $= 30 + 7 \cdot 5 = 30 + 35 = 65$ ; media $= \frac{65}{10} = 6, 5$ ✓ (1 p)

Exercițiul 10 (6 p)

a) Ordonat: $3, 5, 5, 7, 8, 9, 10$ . (1 p) b) Sunt $7$ valori; mediana este a $4$ -a: 7. (2 p) c) Modul (valoarea cea mai frecventă): 5 (apare de două ori). (1 p) d) Amplitudinea: $10 - 3 = 7$ . (1 p) e) Media: $\frac{3 + 7 + 5 + 9 + 5 + 8 + 10}{7} = \frac{47}{7} \approx 6, 71$ . (1 p)

Exercițiul 11 (4 p)

a) Ordonat: $10, 12, 14, 15, 18, 20$ . Sunt $6$ valori (număr par); mediana este media valorilor din mijloc (a $3$ -a și a $4$ -a): $\frac{14 + 15}{2} = 14, 5$ . (3 p) b) Amplitudinea: $20 - 10 = 10$ . (1 p)

Exercițiul 12 (6 p)

a) Modul: valoarea cu cea mai mare frecvență este $1$ (apare la $8$ familii) $\Rightarrow$ modul = 1 copil. (2 p) b) Amplitudinea: $4 - 0 = 4$ . (2 p) c) Media: $\frac{0 \cdot 3 + 1 \cdot 8 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1}{20} = \frac{0 + 8 + 12 + 6 + 4}{20} = \frac{30}{20} = 1, 5$ copii. (2 p)

Exercițiul 13 (6 p)

a) Media: $\frac{3 + 3 + 4 + 4 + 36}{5} = \frac{50}{5} = 10$ (mii lei). (2 p) b) Ordonat: $3, 3, 4, 4, 36$ ; mediana este a $3$ -a valoare: 4 (mii lei). (2 p) c) Mediana descrie mai bine salariul obișnuit. Valoarea extremă $36$ (salariul patronului) „trage" media în sus la $10$ , deși $4$ dintre cei $5$ angajați câștigă cel mult $4$ mii lei; niciun angajat obișnuit nu are un salariu apropiat de $10$ . Mediana ( $4$ ) nu este afectată de această valoare extremă. (2 p)

Exercițiul 14 (5 p — câte 1 p)

a) A — aceasta este definiția medianei pentru un set ordonat. b) F — un set poate avea două (sau mai multe) moduri, ori niciun mod dacă toate valorile apar o singură dată. c) A — amplitudinea $=$ valoarea maximă $-$ valoarea minimă. d) A — pentru un număr par de valori, mediana este media celor două valori centrale. e) F — maximul este cel puțin egal cu minimul, deci amplitudinea este $\geq 0$ ; nu poate fi negativă.

Exercițiul 15 (8 p — câte 2 p)

a) Media: $\frac{18 + 20 + 22 + 19 + 21 + 20 + 20}{7} = \frac{140}{7} = 20^{\circ} C$ . b) Ordonat: $18, 19, 20, 20, 20, 21, 22$ ; sunt $7$ valori, mediana este a $4$ -a: 20 °C. c) Modul: valoarea $20$ apare de trei ori $\Rightarrow$ modul = 20 °C. d) Amplitudinea: $22 - 18 = 4^{\circ} C$ .

Exercițiul 16 (5 p)

a) „Cel puțin 2 cărți" înseamnă $2$ , $3$ sau $4$ cărți: $8 + 6 + 3 = 17$ elevi. (1 p) b) Frecvența relativă a valorii „2 cărți": $\frac{8}{30} \approx 0, 267 = 26, 7%$ . (1 p) c) Numărul mediu de cărți: (2 p) $\overline{x} = \frac{0 \cdot 4 + 1 \cdot 9 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 3}{30} = \frac{0 + 9 + 16 + 18 + 12}{30} = \frac{55}{30} \approx 1, 83 .$ d) Modul: valoarea cu cea mai mare frecvență este $1$ (apare la $9$ elevi) $\Rightarrow$ modul = 1 carte. (1 p)

Total: 90 p (itemi) + 10 p (oficiu) = 100 p.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică unitatea „Elemente de statistică" din programa clasei a VIII-a (OMEN 3393/2017), an de Evaluare Națională. Itemii sunt așezați în contexte reale (note, sport, familii, temperaturi, cărți citite) și acoperă:

Frecvența absolută și frecvența relativă – organizarea datelor în tabele de frecvențe, exprimarea frecvenței relative ca fracție și ca procent, reconstruirea numărului de date din procente.
Media aritmetică – media unui set de date, media dintr-un tabel de frecvențe și probleme cu valori sau frecvențe lipsă.
Mediana, modul și amplitudinea – calculul lor și interpretarea indicatorilor tendinței centrale (când media este „trasă" de o valoare extremă).

Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
Punctaj total: 100 de puncte, dintre care 10 puncte din oficiu. Cei 16 itemi însumează 90 de puncte.
Cum se aplică: elevul lucrează individual, cu toate calculele scrise. La cerințele „justifică", „interpretează" sau „adevărat/fals cu motivare" se punctează raționamentul, nu doar rezultatul final. Se acceptă folosirea calculatorului simplu doar pentru împărțiri, nu pentru raționament.
Interpretarea notei (orientativ): 90–100 p → foarte bine; 70–89 p → bine; 45–69 p → satisfăcător; sub 45 p → se reia unitatea de statistică.

Notație folosită: frecvența absolută a unei valori = de câte ori apare valoarea în set; frecvența relativă = frecvența absolută împărțită la numărul total de date (se scrie ca fracție, zecimală sau procent); media aritmetică a numerelor $x_{1}, \dots, x_{n}$ este $\overline{x} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}$ . Pentru un tabel de frecvențe cu valorile $x_{i}$ și frecvențele $f_{i}$ : $\overline{x} = \frac{\sum x _{i} f _{i}}{\sum f _{i}}$ .