Test: Funcția afină — grafic și monotonie

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Funcția afină

Exerciții

Partea I – Noțiunea de funcție și lectura graficului

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-3x+5$, valoarea $f(-2)$ este: A. $-1$; B. $11$; C. $-11$; D. $1$.

b) Funcția afină $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$, este strict descrescătoare dacă și numai dacă: A. $a>0$; B. $a<0$; C. $b<0$; D. $a=0$.

c) Graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-7$, intersectează axa $Oy$ în punctul: A. $(0,-7)$; B. $\left(\frac{7}{2},0\right)$; C. $(0,7)$; D. $(-7,0)$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Graficul funcției $f:[-4,5]\to \mathbb{R}$ este linia frântă care unește, în această ordine, punctele $$(-4,1),(-2,5),(1,-1),(3,-1),(5,3).$$

a) Citește de pe grafic valorile $f(-2)$, $f(1)$ și $f(3)$. (1,5 p) b) Determină toate valorile lui $x$ pentru care $f(x)=3$. (2 p) c) Precizează intervalele de monotonie ale funcției $f$. (1,5 p) d) Determină imaginea funcției, $\mathrm{Im}f$. (1 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Corespondența care asociază fiecărui număr real $x$ numărul real $2x-1$ este o funcție definită pe $\mathbb{R}$." b) „Dacă o dreaptă verticală taie graficul unei corespondențe în două puncte, atunci corespondența nu este funcție." c) „Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x+4$, este strict crescătoare." d) „Graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-6$, intersectează axa $Ox$ în punctul $(2,0)$."

Exercițiul 4 (6 puncte)

Se știe că funcția afină $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$, verifică $f(1)=5$ și $f(4)=-1$. a) Determină numerele reale $a$ și $b$. (3 p) b) Precizează monotonia funcției $f$, justificând pe baza semnului lui $a$. (1 p) c) Determină coordonatele punctelor în care graficul lui $f$ taie axele de coordonate. (2 p)

Partea a II-a – Funcția afină: grafic, monotonie, semn

Exercițiul 5 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-6$. a) Determină coordonatele punctelor $A$ și $B$ în care graficul funcției intersectează axa $Ox$, respectiv axa $Oy$. (2 p) b) Trasează graficul funcției într-un reper cartezian, folosind punctele $A$ și $B$. (2 p) c) Alcătuiește tabelul de semn al funcției $f$ și precizează mulțimea valorilor lui $x$ pentru care $f(x)<0$. (2 p) d) Calculează aria triunghiului $OAB$, unde $O$ este originea reperului. (2 p)

Exercițiul 6 (7 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-4x+9$. a) Demonstrează, folosind definiția monotoniei (pornind de la două numere reale $x_1<x_2$), că $f$ este strict descrescătoare. (3 p) b) Compară numerele $f\left(\sqrt{2}\right)$ și $f\left(\sqrt{3}\right)$ fără a le calcula, folosind monotonia. (2 p) c) Rezolvă în $\mathbb{R}$ inecuația $f(x)\ge 1$. (2 p)

Exercițiul 7 (7 puncte)

O firmă de taxi percepe o taxă de pornire de $6$ lei și, în plus, $2,50$ lei pentru fiecare kilometru parcurs. Notăm cu $C(x)$ costul, în lei, al unei curse de $x$ kilometri. a) Scrie formula funcției $C$ și precizează un domeniu cu sens practic. (2 p) b) Calculează costul unei curse de $12$ km. (2 p) c) Un client a plătit $41$ de lei. Câți kilometri a parcurs? (2 p) d) Explică ce reprezintă, în această situație, coeficientul $a$ și termenul liber $b$ ai funcției afine. (1 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

Graficul funcției afine $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ trece prin punctele $M(-2,7)$ și $N(3,-3)$. a) Determină expresia funcției $f$. (3 p) b) Verifică dacă punctul $C(5,-7)$ aparține graficului funcției. (1,5 p) c) Verifică dacă punctul $D(-1,4)$ aparține graficului funcției. (1,5 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(m-3)x+2m+1$, unde $m$ este un număr real. a) Determină valorile lui $m$ pentru care $f$ este strict crescătoare. (2 p) b) Determină $m$ astfel încât graficul funcției să treacă prin punctul $P(1,5)$. (2 p) c) Determină $m$ pentru care funcția $f$ este constantă și precizează valoarea constantă. (2 p)

Partea a III-a – Probleme, demonstrații și itemi de tip examen

Exercițiul 10 (8 puncte)

Un rezervor conține la momentul inițial $500$ de litri de apă. Printr-un robinet apa curge afară cu debit constant, iar după $8$ minute în rezervor au mai rămas $340$ de litri. Notăm cu $V(t)$ cantitatea de apă, în litri, rămasă după $t$ minute, și presupunem că $V$ este o funcție afină. a) Determină formula funcției $V$. (3 p) b) După câte minute se golește complet rezervorul? (2 p) c) Precizează domeniul cu sens fizic al funcției $V$. (1 p) d) Câți litri sunt în rezervor după $12$ minute? (1 p) e) După câte minute în rezervor sunt exact $200$ de litri? (1 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$, o funcție afină. a) Demonstrează, folosind definiția monotoniei, că dacă $a>0$ atunci $f$ este strict crescătoare. (4 p) b) Folosind rezultatul de la punctul a), compară $f\left(2\sqrt{2}\right)$ și $f(3)$ pentru funcția $f(x)=5x-1$. (2 p) c) Arată că, dacă $a>0$, atunci $f(x)>0$ dacă și numai dacă $x>-\frac{b}{a}$. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:[-3,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2x+3$. a) Calculează $f(-3)$ și $f(4)$. (2 p) b) Arată că $f$ este strict descrescătoare și deduce de aici imaginea funcției, $\mathrm{Im}f$. (3 p) c) Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care ecuația $f(x)=m$ are cel puțin o soluție în domeniul funcției. (2 p) d) Determină mulțimea valorilor lui $x$ din domeniu pentru care $f(x)>0$. (1 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-3$. a) Arătați că $f(1)+f(2)=0$. (2 p) b) Determinați numărul real $m$ pentru care punctul $A(m,m+1)$ aparține graficului funcției $f$. (3 p) c) Determinați numerele reale $x$ pentru care $f(x)\le x+1$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte. a) B. $f(-2)=-3\cdot (-2)+5=6+5=11$. (Greșeala tipică este $-3\cdot (-2)=-6$, care duce la varianta $A$.) b) B. Monotonia funcției afine este decisă exclusiv de semnul coeficientului $a$: dacă $a<0$, funcția scade. Termenul liber $b$ mută dreapta în sus sau în jos, dar nu îi schimbă „înclinarea". c) A. Intersecția cu $Oy$ se obține pentru $x=0$: $f(0)=2\cdot 0-7=-7$, deci punctul este $(0,-7)$. Varianta $B$ este intersecția cu $Ox$, iar $D$ inversează coordonatele.

Exercițiul 2. (6 p)

a) (1,5 p) $f(-2)=5$, $f(1)=-1$, $f(3)=-1$ (câte $0,5$ p fiecare). Se citește ordonata punctului de pe grafic care are abscisa cerută; ultimele două valori sunt egale pentru că segmentul dintre $(1,-1)$ și $(3,-1)$ este orizontal.

b) (2 p) Se trasează dreapta orizontală $y=3$ și se caută toate intersecțiile cu graficul. Ea taie linia frântă în trei puncte:

• pe segmentul dintre $(-4,1)$ și $(-2,5)$, unde $f(x)=2x+9$, din $2x+9=3$ rezultă $x=-3$;
• pe segmentul dintre $(-2,5)$ și $(1,-1)$, unde $f(x)=-2x+1$, din $-2x+1=3$ rezultă $x=-1$;
• în capătul din dreapta al graficului, $x=5$, unde $f(5)=3$.

Așadar $x\in \{-3,-1,5\}$. (1 p pentru identificarea celor trei intersecții, 1 p pentru valorile exacte; $1,5$ p dacă se găsesc doar două dintre ele.)

c) (1,5 p) Funcția este strict crescătoare pe $[-4,-2]$, strict descrescătoare pe $[-2,1]$, constantă pe $[1,3]$ și din nou strict crescătoare pe $[3,5]$.

d) (1 p) Cea mai mică valoare atinsă este $-1$ (pe palierul orizontal), iar cea mai mare este $5$ (în punctul $(-2,5)$). Graficul fiind o linie continuă, sunt atinse toate valorile intermediare, deci $\mathrm{Im}f=[-1,5]$.

Exercițiul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) A. Pentru fiecare număr real $x$ se obține un singur număr $2x-1$, deci corespondența asociază fiecărui element al domeniului exact o valoare — exact definiția funcției. b) A. Dreapta verticală $x=a$ adună toate perechile care au prima componentă $a$. Dacă ea taie graficul în două puncte, înseamnă că lui $a$ i-au fost asociate două valori diferite, ceea ce contrazice definiția funcției. c) F. Aici $a=-1<0$, deci funcția este strict descrescătoare. Verificare numerică: $f(0)=4$, iar $f(1)=3<4$ — argumentul a crescut, valoarea a scăzut. d) A. $f(2)=3\cdot 2-6=0$, deci punctul $(2,0)$ este pe grafic și se află pe axa $Ox$. Într-adevăr, rădăcina este $x_0=-\frac{b}{a}=-\frac{-6}{3}=2$.

Exercițiul 4. (6 p)

a) (3 p) Din $f(1)=5$ și $f(4)=-1$ obținem sistemul $$\{\begin{array}{l}a+b=5\\ 4a+b=-1\end{array}$$ (1 p) Scăzând prima ecuație din a doua: $3a=-6$, deci $a=-2$ (1 p), iar din prima ecuație $b=5-a=7$ (0,5 p). Deci $f(x)=-2x+7$. Verificare: $f(4)=-8+7=-1$ ✓ (0,5 p).

b) (1 p) Cum $a=-2<0$, funcția este strict descrescătoare.

c) (2 p) Cu $Oy$: $f(0)=7$, deci punctul $(0,7)$ (1 p). Cu $Ox$: $-2x+7=0$ dă $x=\frac{7}{2}$, deci punctul $\left(\frac{7}{2},0\right)$ (1 p).

Exercițiul 5. (8 p)

a) (2 p) Cu $Ox$: $3x-6=0\Rightarrow x=2$, deci $A(2,0)$ (1 p). Cu $Oy$: $f(0)=-6$, deci $B(0,-6)$ (1 p).

b) (2 p) Se marchează $A(2,0)$ și $B(0,-6)$ și se trasează dreapta care le unește, prelungită în ambele sensuri (1 p pentru cele două puncte corect marcate, 1 p pentru dreapta trasată). Un al treilea punct pentru control: $f(3)=3$, deci $(3,3)$ trebuie să cadă pe dreaptă.

c) (2 p) Rădăcina este $x_0=2$, iar $a=3>0$, deci înainte de rădăcină funcția are semn contrar lui $a$, iar după rădăcină semnul lui $a$ (1 p):

Așadar $f(x)<0$ pentru $x\in (-\infty ,2)$ (1 p).

d) (2 p) Triunghiul $OAB$ este dreptunghic în $O$, cu catetele pe axe: $OA=|2|=2$ și $OB=|-6|=6$ (1 p). Prin urmare $${\mathcal{A}}_{OAB}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{2\cdot 6}{2}=6\text{(unita˘ți de arie)}\text{(1 p)}.$$

Exercițiul 6. (7 p)

a) (3 p) Fie $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ cu $x_1<x_2$ (0,5 p). Înmulțim inegalitatea cu $-4<0$, ceea ce schimbă sensul: $-4x_1>-4x_2$ (1,5 p). Adunând $9$ în ambii membri (adunarea nu schimbă sensul): $-4x_1+9>-4x_2+9$, adică $f(x_1)>f(x_2)$ (1 p). Din $x_1<x_2$ am obținut $f(x_1)>f(x_2)$, deci $f$ este strict descrescătoare. $■$

b) (2 p) Cum $2<3$, avem $\sqrt{2}<\sqrt{3}$ (1 p). Funcția fiind strict descrescătoare, inegalitatea dintre valori se inversează: $$f\left(\sqrt{2}\right)>f\left(\sqrt{3}\right)\text{(1 p)}.$$

c) (2 p) $-4x+9\ge 1⟺-4x\ge -8$ (1 p). Împărțim la $-4<0$ și schimbăm sensul: $x\le 2$, deci $x\in (-\infty ,2]$ (1 p). (Se scade 1 p dacă nu se schimbă sensul inegalității.)

Exercițiul 7. (7 p)

a) (2 p) $C(x)=2,5x+6$, unde $x$ este numărul de kilometri (1,5 p). Domeniul cu sens practic este $[0,+\infty )$ — distanța nu poate fi negativă (0,5 p).

b) (2 p) $C(12)=2,5\cdot 12+6=30+6=36$ lei.

c) (2 p) Rezolvăm $2,5x+6=41$, deci $2,5x=35$ (1 p) și $x=\frac{35}{2,5}=14$ km (1 p). Verificare: $2,5\cdot 14+6=35+6=41$ ✓.

d) (1 p) Coeficientul $a=2,5$ este tariful pe kilometru (cu cât crește costul la fiecare kilometru în plus), iar termenul liber $b=6$ este taxa de pornire, costul plătit chiar dacă mașina nu s-ar deplasa deloc ($C(0)=6$).

Exercițiul 8. (6 p)

a) (3 p) Din $f(-2)=7$ și $f(3)=-3$: $$a=\frac{-3-7}{3-(-2)}=\frac{-10}{5}=-2\text{(1,5 p)}.$$ Din $7=-2\cdot (-2)+b=4+b$ rezultă $b=3$ (1 p), deci $f(x)=-2x+3$. Verificare: $f(3)=-6+3=-3$ ✓ (0,5 p). (Se acceptă și rezolvarea prin sistemul $-2a+b=7$, $3a+b=-3$.)

b) (1,5 p) $f(5)=-2\cdot 5+3=-7$, egal cu ordonata lui $C$, deci $C(5,-7)$ aparține graficului.

c) (1,5 p) $f(-1)=-2\cdot (-1)+3=5\ne 4$, deci $D(-1,4)$ nu aparține graficului (punctul de pe grafic cu abscisa $-1$ este $(-1,5)$).

Exercițiul 9. (6 p)

a) (2 p) Funcția afină este strict crescătoare exact când coeficientul lui $x$ este strict pozitiv (1 p): $m-3>0$, deci $m\in (3,+\infty )$ (1 p).

b) (2 p) Condiția $f(1)=5$ se scrie $(m-3)\cdot 1+2m+1=5$, adică $3m-2=5$ (1 p), de unde $m=\frac{7}{3}$ (1 p). Verificare: pentru $m=\frac{7}{3}$, $f(x)=-\frac{2}{3}x+\frac{17}{3}$, iar $f(1)=-\frac{2}{3}+\frac{17}{3}=\frac{15}{3}=5$ ✓.

c) (2 p) Funcția este constantă când coeficientul lui $x$ este nul: $m-3=0$, deci $m=3$ (1 p). Atunci $f(x)=2\cdot 3+1=7$ pentru orice $x$, adică funcția constantă $f(x)=7$ (1 p).

Exercițiul 10. (8 p)

a) (3 p) Fie $V(t)=at+b$. La momentul $t=0$ avem $V(0)=b=500$ (1 p). Din $V(8)=340$: $$8a+500=340⟹8a=-160⟹a=-20\text{(1,5 p)}.$$ Deci $V(t)=-20t+500$ (0,5 p). (Coeficientul $-20$ înseamnă că se pierd $20$ de litri pe minut.)

b) (2 p) Rezervorul este gol când $V(t)=0$: $-20t+500=0$, deci $t=25$ de minute.

c) (1 p) Domeniul cu sens fizic este $[0,25]$: înainte de $t=0$ nu are sens, iar după $25$ de minute formula ar da valori negative, imposibile pentru o cantitate de apă.

d) (1 p) $V(12)=-20\cdot 12+500=-240+500=260$ de litri.

e) (1 p) $-20t+500=200\Rightarrow 20t=300\Rightarrow t=15$ minute.

Exercițiul 11. (8 p) — redactare completă.

a) (4 p) Fie $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ cu $x_1<x_2$ (0,5 p). Calculăm diferența valorilor: $$f(x_2)-f(x_1)=(a{x}_2+b)-(a{x}_1+b)=a(x_2-x_1)\text{(2 p)}.$$ Din $x_1<x_2$ rezultă $x_2-x_1>0$, iar prin ipoteză $a>0$; produsul a două numere strict pozitive este strict pozitiv (1 p), deci $$f(x_2)-f(x_1)>0⟹f(x_1)<f(x_2).$$ Am arătat că din $x_1<x_2$ rezultă $f(x_1)<f(x_2)$ pentru orice pereche de numere reale, adică $f$ este strict crescătoare (0,5 p). $■$

b) (2 p) Pentru $f(x)=5x-1$ avem $a=5>0$, deci $f$ este strict crescătoare (0,5 p). Comparăm argumentele: $2\sqrt{2}=\sqrt{8}$ și $3=\sqrt{9}$, iar $\sqrt{8}<\sqrt{9}$, deci $2\sqrt{2}<3$ (1 p). Prin monotonie, $$f\left(2\sqrt{2}\right)<f(3)\text{(0,5 p)}.$$

c) (2 p) $f(x)>0⟺ax+b>0⟺ax>-b$ (1 p). Cum $a>0$, împărțirea la $a$ păstrează sensul inegalității, deci $x>-\frac{b}{a}$; toți pașii sunt echivalențe, deci și reciproc (1 p). Geometric: dreapta „urcă", așa că este deasupra axei $Ox$ exact la dreapta rădăcinii. $■$

Exercițiul 12. (8 p)

a) (2 p) $f(-3)=-2\cdot (-3)+3=6+3=9$ (1 p); $f(4)=-8+3=-5$ (1 p).

b) (3 p) Coeficientul este $a=-2<0$, deci $f$ este strict descrescătoare pe tot domeniul (1 p). O funcție strict descrescătoare pe un interval închis $[-3,4]$ își atinge valoarea maximă în capătul din stânga și valoarea minimă în capătul din dreapta (1 p): $$\max f=f(-3)=9,\min f=f(4)=-5.$$ Fiind o funcție afină (deci „fără sărituri"), ea ia toate valorile intermediare, așa că $\mathrm{Im}f=[-5,9]$ (1 p).

c) (2 p) Ecuația $f(x)=m$ are soluție în domeniu dacă și numai dacă $m$ este o valoare efectiv atinsă, adică $m\in \mathrm{Im}f=[-5,9]$ (1 p). Explicit, soluția este $x=\frac{3-m}{2}$, iar condiția $-3\le \frac{3-m}{2}\le 4$ conduce la aceeași concluzie (1 p).

d) (1 p) $-2x+3>0⟺x<\frac{3}{2}$; intersectând cu domeniul, $x\in \left[-3,\frac{3}{2}\right)$.

Exercițiul 13. (8 p)

a) (2 p) $f(1)=2\cdot 1-3=-1$ și $f(2)=2\cdot 2-3=1$ (1 p), deci $f(1)+f(2)=-1+1=0$ (1 p).

b) (3 p) Punctul $A(m,m+1)$ aparține graficului dacă și numai dacă $f(m)=m+1$ (1 p), adică $$2m-3=m+1⟹m=4\text{(1,5 p)}.$$ Verificare: pentru $m=4$, punctul este $A(4,5)$, iar $f(4)=8-3=5$ ✓ (0,5 p).

c) (3 p) $f(x)\le x+1⟺2x-3\le x+1$ (1 p). Trecem termenii cu $x$ într-un membru: $x\le 4$ (1,5 p). Mulțimea soluțiilor este $(-\infty ,4]$ (0,5 p).

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică primul contact serios cu funcțiile, așa cum îl cere programa de liceu. Sunt evaluate trei lucruri: noțiunea de funcție (domeniu, codomeniu, valoare într-un punct) și lectura graficului — a citi de pe desen valoarea $f(a)$, soluțiile ecuației $f(x)=m$, intervalele de monotonie și imaginea funcției; funcția afină $f(x)=ax+b$, cu tot ce decurge din coeficienții ei — graficul ca dreaptă, monotonia dată de semnul lui $a$, semnul funcției și intersecțiile cu axele; și, în final, modelarea: situații reale (consum, cost, tarif) descrise printr-o funcție afină. Sunt acoperite lecțiile Ce este o funcție: domeniu, codomeniu, valori, Graficul unei funcții și citirea lui, Funcția afină f(x) = ax + b, Monotonia funcției afine și Semnul funcției afine și intersecțiile cu axele. Rezolvarea grafică a ecuațiilor și inecuațiilor face obiectul testului următor al unității.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie de matematică, cu riglă și fără calculator. Fracțiile se lasă în formă ireductibilă (de exemplu $\frac{7}{2}$, nu $3,5$). La itemii în care se cere trasarea unui grafic se punctează și alegerea a două puncte corecte, nu doar desenul. La final se compară rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe legătura dintre semnul lui $a$ și monotonie și pe citirea graficului.
• Formule de reținut: o funcție $f:D\to C$ asociază fiecărui element $x$ din domeniul $D$ exact un element $f(x)$ din codomeniul $C$; graficul este mulțimea punctelor $(x,f(x))$ cu $x\in D$, iar imaginea este $\mathrm{Im}f=\{f(x)\mid x\in D\}$. O corespondență este funcție dacă și numai dacă orice dreaptă verticală taie graficul în cel mult un punct. Funcția afină are forma $f(x)=ax+b$, iar graficul ei este o dreaptă, determinată de două puncte. Dacă $a>0$, funcția este strict crescătoare; dacă $a<0$, este strict descrescătoare; dacă $a=0$, funcția este constantă. Pentru $a\ne 0$, rădăcina funcției este $x_0=-\frac{b}{a}$, graficul taie axa $Ox$ în $\left(-\frac{b}{a},0\right)$ și axa $Oy$ în $(0,b)$. Tabelul de semn: pentru $a>0$, $f(x)<0$ pe $\left(-\infty ,-\frac{b}{a}\right)$ și $f(x)>0$ pe $\left(-\frac{b}{a},+\infty \right)$; pentru $a<0$ semnele se inversează (regula „semn contrar lui $a$ înainte de rădăcină, semnul lui $a$ după").

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".