Test: Funcția exponențială și creșterea exponențială

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Funcția exponențială și funcția logaritmică

Exerciții

Partea I – Funcția exponențială: valori, grafic, monotonie

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Pentru funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=3^x$, valoarea $f(-2)$ este: A. $-9$; B. $\frac{1}{9}$; C. $-6$; D. $9$.

b) Funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$, este: A. strict crescătoare; B. strict descrescătoare; C. constantă; D. crescătoare pe $(-\infty ,0)$ și descrescătoare pe $(0,+\infty )$.

c) Graficul oricărei funcții exponențiale $f(x)=a^x$ (cu $a>0$, $a\ne 1$) intersectează axa $Oy$ în punctul: A. $(0,0)$; B. $(0,1)$; C. $(1,0)$; D. $(0,a)$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

În același reper cartezian sunt desenate graficele funcțiilor $f(x)=2^x$ și $g(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$.

a) Precizează care dintre cele două curbe este graficul lui $f$ și care este graficul lui $g$, justificând prin monotonie. (2 p) b) Citește de pe grafic valorile $f(0)$, $f(2)$ și $f(-1)$. (1,5 p) c) Determină, folosind graficul, valoarea lui $x$ pentru care $2^x=8$. (1,5 p) d) Precizează coordonatele punctului comun celor două grafice și explică de ce este comun. (1 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Pentru orice număr real $x$ are loc $2^x>0$." b) „Funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=(0,8{)}^x$, este strict crescătoare." c) „Numărul $e$ este cuprins între $2$ și $3$." d) „Dacă un capital crește cu $10\%$ în fiecare an, atunci după doi ani el a crescut, în total, cu $20\%$."

Exercițiul 4 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=2^x$. a) Calculează $f(0)$, $f(4)$ și $f(-3)$. (3 p) b) Arată că $f(5)=f(2)\cdot f(3)$. (2 p) c) Determină numărul real $x$ pentru care $f(x)=\frac{1}{16}$. (1 p)

Partea a II-a – Creșterea exponențială și modelele ei

Exercițiul 5 (8 puncte)

Într-un vas de laborator se află la începutul observației $500$ de bacterii, iar numărul lor se dublează în fiecare oră. Notăm cu $N(t)$ numărul de bacterii după $t$ ore.

a) Completează tabelul cu numărul de bacterii după $0$, $1$, $2$, $3$ și $4$ ore. (2 p)

b) Scrie formula funcției $N$. (2 p) c) Câte bacterii sunt după $8$ ore? (2 p) d) După câte ore numărul bacteriilor ajunge la $32000$? (2 p)

Exercițiul 6 (7 puncte)

O persoană depune $2000$ de lei într-un depozit cu dobândă de $5\%$ pe an, capitalizată anual (dobânda se adaugă la sumă și produce, la rândul ei, dobândă). Notăm cu $S(n)$ suma din cont, în lei, după $n$ ani.

a) Scrie formula funcției $S$. (2 p) b) Calculează suma din cont după $2$ ani. (2 p) c) Calculează suma din cont după $3$ ani. (2 p) d) Dacă banca ar fi plătit dobândă simplă de $5\%$ pe an (adică mereu $100$ de lei pe an, calculați la suma inițială), câți lei ar fi avut persoana după $3$ ani și cu cât este mai avantajoasă dobânda compusă? (1 p)

Exercițiul 7 (7 puncte)

Rezolvă folosind monotonia funcției exponențiale, fără calculator. a) Compară numerele $2^{3,1}$ și $2^{3,5}$. (2 p) b) Compară numerele ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2$ și ${\left(\frac{1}{3}\right)}^5$. (2 p) c) Arată că $3^x>1$ pentru orice $x>0$ și că $3^x<1$ pentru orice $x<0$. (3 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

Se consideră funcția $g:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $g(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$.

a) Alcătuiește tabelul de valori al funcției pentru $x\in \{-2,-1,0,1,2\}$. (2 p) b) Trasează graficul funcției într-un reper cartezian, folosind punctele obținute. (2 p) c) Precizează imaginea funcției și explică de ce graficul nu intersectează axa $Ox$. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

a) Precizează între ce numere întregi consecutive se află numărul $e$ și scrie valoarea lui aproximativă cu trei zecimale. (2 p) b) Pentru funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=e^x$, ordonează crescător numerele $f(-1)$, $f(0)$ și $f(1)$, justificând prin monotonie. (2 p) c) Explică de ce, pentru orice $x>0$, are loc $2^x<e^x<3^x$. (2 p)

Partea a III-a – Probleme, modelare și itemi de tip examen

Exercițiul 10 (8 puncte)

După administrarea unei doze de $200$ de miligrame dintr-un medicament, cantitatea rămasă în sânge se înjumătățește la fiecare 4 ore. Notăm cu $Q(t)$ cantitatea de medicament, în miligrame, rămasă după $t$ ore.

a) Calculează $Q(4)$, $Q(8)$ și $Q(12)$. (2 p) b) Scrie formula funcției $Q$. (2 p) c) După câte ore în sânge rămân exact $12,5$ mg? (2 p) d) Calculează cantitatea rămasă după $24$ de ore. (1 p) e) Explică de ce, potrivit acestui model, cantitatea de medicament nu ajunge niciodată exact la $0$. (1 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Doi elevi primesc, timp de mai multe zile, câte o sumă zilnică de bani, după două reguli diferite:

• oferta A: $100$ de lei în prima zi și, în fiecare zi următoare, cu $50$ de lei mai mult decât în ziua precedentă;
• oferta B: $1$ leu în prima zi și, în fiecare zi următoare, dublul sumei din ziua precedentă.

Notăm cu $A(n)$ și $B(n)$ sumele primite în ziua $n$.

a) Calculează suma primită în ziua a $10$-a la fiecare dintre cele două oferte. (3 p) b) Calculează suma primită în ziua a $12$-a la fiecare dintre cele două oferte. (2 p) c) Determină prima zi în care oferta B devine mai avantajoasă decât oferta A. (1 p) d) Explică de ce, de la un moment dat, oferta B rămâne definitiv mai avantajoasă, oricât de mare ar fi creșterea zilnică din oferta A. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Populația unui oraș este astăzi de $25000$ de locuitori și crește cu $20\%$ în fiecare an. Notăm cu $P(n)$ numărul de locuitori după $n$ ani.

a) Scrie formula funcției $P$. (2 p) b) Calculează numărul de locuitori după $2$ ani. (2 p) c) Calculează numărul de locuitori după $3$ ani. (2 p) d) Arată că populația orașului se dublează între al treilea și al patrulea an. (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=2^x$. a) Arătați că $f(3)-f(2)=f(2)$. (2 p) b) Determinați numărul real $x$ pentru care $f(x)=32$. (3 p) c) Arătați că $f(x)\cdot f(-x)=1$, pentru orice număr real $x$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. $f(-2)=3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$. Exponentul negativ nu face numărul negativ, ci îl răstoarnă: puterile lui $3$ rămân mereu pozitive. (Variantele $A$ și $C$ vin exact din această confuzie.)

b) B. Baza este $\frac{1}{2}$, iar $0<\frac{1}{2}<1$, deci funcția este strict descrescătoare: cu cât exponentul crește, cu atât valoarea se apropie de $0$. Verificare: $g(0)=1$, iar $g(1)=0,5<1$.

c) B. Pentru $x=0$ avem $f(0)=a^0=1$, indiferent de bază, deci toate graficele exponențiale trec prin $(0,1)$. Varianta $D$ ar fi corectă pentru $x=1$.

Exercițiul 2. (6 p)

a) (2 p) Curba care urcă de la stânga la dreapta este graficul lui $f(x)=2^x$, pentru că baza $2>1$ dă o funcție strict crescătoare (1 p); curba care coboară este graficul lui $g(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$, pentru că baza $\frac{1}{2}$ este subunitară, deci funcția este strict descrescătoare (1 p).

b) (1,5 p) $f(0)=1$, $f(2)=4$, $f(-1)=\frac{1}{2}=0,5$ (câte $0,5$ p fiecare).

c) (1,5 p) Se trasează dreapta orizontală $y=8$ și se caută intersecția cu curba crescătoare: ea are loc la $x=3$ (1 p). Verificare prin calcul: $2^3=8$ (0,5 p). Fiind strict crescătoare, funcția ia valoarea $8$ o singură dată.

d) (1 p) Punctul comun este $(0,1)$, deoarece $2^0=1$ și ${\left(\frac{1}{2}\right)}^0=1$ — orice număr nenul la puterea $0$ dă $1$.

Exercițiul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) A. Valorile funcției exponențiale sunt strict pozitive pentru orice exponent: pentru $x>0$ înmulțim numere pozitive, pentru $x=0$ obținem $1$, iar pentru $x<0$ obținem fracția $\frac{1}{2^{|x|}}$, tot pozitivă. De aceea codomeniul este $(0,+\infty )$, iar graficul nu coboară niciodată sub axa $Ox$.

b) F. Baza este $0,8$, iar $0<0,8<1$, deci funcția este strict descrescătoare. Verificare numerică: $f(1)=0,8$, iar $f(2)=0,64<0,8$ — exponentul a crescut, valoarea a scăzut.

c) A. $e$ este un număr irațional, $e\approx 2,718\dots$, deci $2<e<3$. Din acest motiv graficul lui $e^x$ „stă" între graficele lui $2^x$ și $3^x$.

d) F. Creșterile procentuale nu se adună, ci se înmulțesc: după doi ani capitalul devine $1,1\cdot 1,1=1,21$ din cel inițial, adică o creștere de $21\%$, nu de $20\%$. Diferența de $1\%$ este „dobânda la dobândă" — exact ceea ce face creșterea să fie exponențială, nu liniară.

Exercițiul 4. (6 p)

a) (3 p) $f(0)=2^0=1$ (1 p); $f(4)=2^4=16$ (1 p); $f(-3)=2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$ (1 p).

b) (2 p) $f(5)=2^5=32$ (0,5 p); $f(2)\cdot f(3)=2^2\cdot 2^3=4\cdot 8=32$ (1 p). Cele două rezultate coincid (0,5 p), ceea ce ilustrează regula $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$, cu $5=2+3$.

c) (1 p) $\frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=2^{-4}$, deci $x=-4$.

Exercițiul 5. (8 p)

a) (2 p) Fiecare valoare se obține din precedenta prin înmulțire cu $2$ (câte $0,4$ p pentru fiecare căsuță):

b) (2 p) Numărul inițial este $N_0=500$, iar factorul de creștere pe oră este $q=2$ (1 p), deci $$N(t)=500\cdot 2^t\text{(1 p)}.$$ Verificare: $N(3)=500\cdot 8=4000$ ✓, ca în tabel.

c) (2 p) $N(8)=500\cdot 2^8=500\cdot 256=128000$ de bacterii (1 p pentru $2^8=256$, 1 p pentru rezultat).

d) (2 p) Din $500\cdot 2^t=32000$ rezultă $2^t=\frac{32000}{500}=64$ (1 p). Cum $64=2^6$, obținem $t=6$ ore (1 p). (Se acceptă și rezolvarea prin dublări succesive în tabel: $8000\to 16000\to 32000$, adică încă două ore după $t=4$.)

Exercițiul 6. (7 p)

a) (2 p) Dobânda de $5\%$ înseamnă înmulțirea sumei, în fiecare an, cu $q=1+\frac{5}{100}=1,05$ (1 p), deci $$S(n)=2000\cdot (1,05{)}^n\text{(1 p)}.$$

b) (2 p) $S(2)=2000\cdot (1,05{)}^2=2000\cdot 1,1025=2205$ de lei (1 p pentru $(1,05{)}^2=1,1025$, 1 p pentru rezultat). Se poate calcula și pas cu pas: $2000\to 2100\to 2205$.

c) (2 p) $S(3)=2000\cdot (1,05{)}^3=2000\cdot 1,157625=2315,25$ lei (1 p pentru puterea a treia, 1 p pentru rezultat). Pas cu pas: $2205+5\%\cdot 2205=2205+110,25=2315,25$.

d) (1 p) Cu dobândă simplă ar fi avut $2000+3\cdot 100=2300$ de lei, deci dobânda compusă aduce în plus $2315,25-2300=15,25$ lei. Diferența pare mică după trei ani, dar crește tot mai repede cu trecerea timpului — acesta este efectul „dobânzii la dobândă".

Exercițiul 7. (7 p)

a) (2 p) Baza este $2>1$, deci funcția $x\mapsto 2^x$ este strict crescătoare (1 p). Cum $3,1<3,5$, rezultă $$2^{3,1}<2^{3,5}\text{(1 p)}.$$

b) (2 p) Baza este $\frac{1}{3}$, subunitară, deci funcția este strict descrescătoare, iar inegalitatea dintre exponenți se inversează la valori (1 p). Din $2<5$ rezultă $${\left(\frac{1}{3}\right)}^2>{\left(\frac{1}{3}\right)}^5\text{(1 p)}.$$ Verificare: $\frac{1}{9}>\frac{1}{243}$ ✓.

c) (3 p) Funcția $f(x)=3^x$ are baza $3>1$, deci este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, și $f(0)=3^0=1$ (1 p). Dacă $x>0$, din monotonie rezultă $f(x)>f(0)$, adică $3^x>1$ (1 p). Dacă $x<0$, tot din monotonie rezultă $f(x)<f(0)$, adică $3^x<1$ (1 p). $■$ Geometric: graficul trece prin $(0,1)$ și urcă, deci este deasupra dreptei $y=1$ la dreapta originii și sub ea la stânga.

Exercițiul 8. (6 p)

a) (2 p) Se folosește ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x=2^{-x}$ (câte $0,4$ p pentru fiecare valoare):

b) (2 p) Se marchează punctele $(-2,4)$, $(-1,2)$, $(0,1)$, $\left(1,\frac{1}{2}\right)$, $\left(2,\frac{1}{4}\right)$ (1 p) și se unesc printr-o curbă netedă, descrescătoare, care se apropie de axa $Ox$ spre dreapta fără să o atingă (1 p). (Se scade $1$ p dacă graficul este desenat ca linie frântă sau dacă atinge axa $Ox$.)

c) (2 p) $\mathrm{Im}g=(0,+\infty )$ (1 p). Graficul nu intersectează axa $Ox$ pentru că ecuația ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x=0$ nu are soluție: o putere cu bază strict pozitivă este întotdeauna strict pozitivă, oricât de mare ar fi exponentul (1 p). Valorile se apropie oricât de mult de $0$, dar nu îl ating — axa $Ox$ este asimptotă.

Exercițiul 9. (6 p)

a) (2 p) $e$ se află între $2$ și $3$ (1 p), iar $e\approx 2,718$ (1 p). Este un număr irațional, ca și $\pi$: scrierea lui zecimală este infinită și neperiodică.

b) (2 p) Baza $e\approx 2,718>1$, deci $f$ este strict crescătoare (1 p). Cum $-1<0<1$, rezultă $$f(-1)<f(0)<f(1),\text{adica˘}\frac{1}{e}<1<e\text{(1 p)}.$$ Aproximativ: $0,368<1<2,718$.

c) (2 p) Aici exponentul este același, iar bazele diferă: $2<e<3$ (1 p). Pentru un exponent strict pozitiv, cu cât baza este mai mare, cu atât puterea este mai mare, deci $2^x<e^x<3^x$ pentru orice $x>0$ (1 p). Verificare pentru $x=2$: $4<7,39\dots <9$. (Observație: pentru $x<0$ inegalitățile se inversează, iar pentru $x=0$ toate cele trei valori sunt egale cu $1$.)

Exercițiul 10. (8 p)

a) (2 p) La fiecare $4$ ore cantitatea se împarte la $2$: $Q(4)=100$ mg, $Q(8)=50$ mg, $Q(12)=25$ mg (câte $0,5$ p, plus $0,5$ p pentru raționamentul înjumătățirii succesive).

b) (2 p) Numărul de înjumătățiri după $t$ ore este $\frac{t}{4}$ (1 p), deci $$Q(t)=200\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{4}}\text{(1 p)}.$$ Verificare: $Q(8)=200\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=50$ ✓. (Se acceptă și scrierea echivalentă $Q(t)=200\cdot 2^{-\frac{t}{4}}$.)

c) (2 p) $\frac{200}{12,5}=16=2^4$, deci sunt necesare $4$ înjumătățiri (1 p). Fiecare durează $4$ ore, așadar $t=4\cdot 4=16$ ore (1 p). Verificare pe șir: $200\to 100\to 50\to 25\to 12,5$ ✓.

d) (1 p) După $24$ de ore au trecut $\frac{24}{4}=6$ înjumătățiri, deci $Q(24)=\frac{200}{2^6}=\frac{200}{64}=3,125$ mg.

e) (1 p) Fiindcă la fiecare pas cantitatea se împarte la $2$, ea rămâne mereu un număr strict pozitiv: jumătatea unui număr pozitiv nu este niciodată zero. Valorile se apropie oricât de mult de $0$ (axa timpului este asimptotă), fără să îl atingă.

Exercițiul 11. (8 p) — redactare completă.

a) (3 p) Oferta A crește cu același număr de lei în fiecare zi, deci este o progresie aritmetică cu $a_1=100$ și rația $r=50$: $$A(n)=100+50(n-1)=50n+50\text{(1 p)},A(10)=500+50=550\text{lei}\text{(0,5 p)}.$$ Oferta B se înmulțește cu același număr în fiecare zi, deci este o progresie geometrică cu $b_1=1$ și rația $q=2$: $$B(n)=2^{n-1}\text{(1 p)},B(10)=2^9=512\text{lei}\text{(0,5 p)}.$$ În ziua a $10$-a oferta A este încă mai bună.

b) (2 p) $A(12)=50\cdot 12+50=650$ de lei (1 p); $B(12)=2^{11}=2048$ de lei (1 p). În doar două zile, situația s-a inversat categoric.

c) (1 p) În ziua a $10$-a: $550>512$, deci A este încă mai bună; în ziua a $11$-a: $A(11)=600$, iar $B(11)=2^{10}=1024>600$. Prima zi în care oferta B este mai avantajoasă este ziua a $11$-a.

d) (2 p) Oferta A crește liniar: la fiecare pas se adună aceeași cantitate, deci sumele urmează o dreaptă (1 p). Oferta B crește exponențial: la fiecare pas se înmulțește cu $2$, iar creșterea de la o zi la alta este ea însăși din ce în ce mai mare (de la $1$ leu, la $2$, la $4$, la $512\dots$). Orice funcție exponențială cu baza supraunitară depășește, de la un rang încolo, orice funcție liniară și rămâne definitiv deasupra, oricât de mare ar fi rația adunată — pentru că înmulțirea repetată bate adunarea repetată (1 p).

Exercițiul 12. (8 p)

a) (2 p) O creștere de $20\%$ pe an înseamnă înmulțire cu $q=1+\frac{20}{100}=1,2$ în fiecare an (1 p), deci $$P(n)=25000\cdot (1,2{)}^n\text{(1 p)}.$$

b) (2 p) $P(2)=25000\cdot 1,44=36000$ de locuitori (1 p pentru $(1,2{)}^2=1,44$, 1 p pentru rezultat). Pas cu pas: $25000\to 30000\to 36000$.

c) (2 p) $P(3)=25000\cdot 1,728=43200$ de locuitori (1 p pentru $(1,2{)}^3=1,728$, 1 p pentru rezultat). Pas cu pas: $36000+20\%\cdot 36000=36000+7200=43200$.

d) (2 p) Dublul populației inițiale este $50000$. Avem $P(3)=43200<50000$ (1 p), iar $$P(4)=25000\cdot (1,2{)}^4=25000\cdot 2,0736=51840>50000\text{(1 p)},$$ deci momentul dublării se află între al treilea și al patrulea an. (Populația crește în fiecare an, deci pragul de $50000$ este depășit exact o dată, în acest interval.)

Exercițiul 13. (8 p)

a) (2 p) $f(3)=2^3=8$ și $f(2)=2^2=4$ (1 p), deci $f(3)-f(2)=8-4=4=f(2)$ (1 p). (Este cazul particular al observației că, la fiecare pas, funcția $2^x$ crește exact cu cât valorează în punctul precedent — de aceea se și „dublează".)

b) (3 p) Scriem $32$ ca putere a lui $2$: $32=2^5$ (1,5 p). Ecuația devine $2^x=2^5$, iar funcția exponențială fiind strict crescătoare, ia fiecare valoare cel mult o dată, deci $x=5$ (1,5 p).

c) (3 p) Pentru orice număr real $x$, $$f(x)\cdot f(-x)=2^x\cdot 2^{-x}\text{(1 p)}=2^{x+(-x)}\text{(1 p)}=2^0=1\text{(1 p)}.$$ $■$ (Se acceptă și varianta cu $2^{-x}=\frac{1}{2^x}$, urmată de simplificare — este esențial ca elevul să precizeze că $2^x\ne 0$, ceea ce face simplificarea legitimă.)

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică primul contact cu funcția exponențială, la nivel de trunchi comun. Sunt evaluate trei lucruri: funcția $f(x)=a^x$ în sine — calculul valorilor, forma graficului, faptul că toate valorile sunt strict pozitive și că monotonia depinde exclusiv de bază ($a>1$ înseamnă creștere, $0<a<1$ înseamnă descreștere); creșterea exponențială ca model al lumii reale — bacterii care se dublează, populații care cresc cu un procent fix, bani care produc dobândă compusă, medicamente care se elimină prin înjumătățire; și, în final, comparația dintre creșterea liniară și cea exponențială, adică motivul pentru care exponențiala „explodează". Sunt acoperite lecțiile Funcția exponențială f(x) = a^x, Creșterea exponențială: de ce «explodează» și Numărul irațional e și funcția e^x. Logaritmii — adică drumul invers, de la valoare înapoi la exponent — fac obiectul testului următor al unității.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie de matematică, cu riglă și fără calculator — toate numerele sunt alese astfel încât calculele să iasă exact. Rezultatele subunitare se lasă sub formă de fracție ireductibilă (de exemplu $\frac{1}{16}$) sau ca zecimală finită, când este mai natural (de exemplu $12,5$ mg). La itemii cu grafic se punctează și tabelul de valori, nu doar desenul. La final se compară rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe legătura dintre bază și monotonie și pe scrierea formulei unui model exponențial.
• Formule de reținut: funcția exponențială de bază $a$ (cu $a>0$ și $a\ne 1$) este $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=a^x$. Pentru orice $x$ real, $a^x>0$ — graficul se află în întregime deasupra axei $Ox$, pe care o are drept asimptotă, deci $\mathrm{Im}f=(0,+\infty )$. Fiindcă $a^0=1$, graficul trece întotdeauna prin punctul $(0,1)$. Monotonia: dacă $a>1$, funcția este strict crescătoare; dacă $0<a<1$, este strict descrescătoare. Reguli de calcul folosite: $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, ${\left(\frac{1}{a}\right)}^x=a^{-x}$. Modelul exponențial: o mărime care se înmulțește cu același număr $q$ în fiecare unitate de timp se scrie $N(t)=N_0\cdot q^t$, unde $N_0$ este valoarea inițială; la o creștere de $p\%$ pe perioadă avem $q=1+\frac{p}{100}$, iar la o scădere, $q=1-\frac{p}{100}$. Dobânda compusă: $S(n)=S_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$. Numărul $e$ este irațional, $e\approx 2,718$, deci $2<e<3$, iar $f(x)=e^x$ este funcția exponențială naturală, strict crescătoare.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".