Test: Funcția liniară și graficul ei

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Funcția liniară f(x) = ax + b

Exerciții

Partea I – Noțiuni de bază

Exercițiul 1 (4 puncte)

Completează definiția: o funcție $f : R \to R$ se numește funcție liniară (funcție de gradul I) dacă are forma $f (x) =$ , unde $a$ și $b$ sunt numere reale, iar $a$ $0$ . Numărul $a$ se numește ______, iar numărul $b$ se numește ordonata la origine.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se dă funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 3$ . Calculează: a) $f (0)$ ; b) $f (1)$ ; c) $f (- 2)$ ; d) $f (\frac{1}{2})$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Se dă funcția $f : R \to R$ , $f (x) = - x + 4$ . Completează tabelul de valori:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$

Exercițiul 4 (5 puncte)

Se dă funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x - 6$ . Determină: a) coordonatele punctului de intersecție al graficului cu axa Ox; b) coordonatele punctului de intersecție al graficului cu axa Oy.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Pentru fiecare funcție, precizează panta $a$ și ordonata la origine $b$ : a) $f (x) = 2 x + 5$ ; b) $f (x) = - 3 x$ ; c) $f (x) = 7 - x$ ; d) $f (x) = \frac{x}{2} - 1$ .

Partea a II-a – Raționament și grafice

Exercițiul 6 (5 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică printr-un calcul. Se dă $f (x) = 2 x - 1$ . a) Graficul funcției $f$ trece prin originea $O (0, 0)$ . b) Punctul $A (3, 5)$ aparține graficului funcției $f$ . c) Deoarece $a = 2 > 0$ , dreapta care reprezintă graficul lui $f$ este crescătoare.

Exercițiul 7 (6 puncte)

Reprezintă grafic funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x - 2$ . a) Completează un tabel cu cel puțin două valori și determină punctele de intersecție cu axele. b) Trasează dreapta.

Exercițiul 8 (6 puncte)

În figură este reprezentat graficul unei funcții liniare $f (x) = a x + b$ . Dreapta trece prin punctele $(0, 3)$ și $(3, 0)$ .

a) Citește de pe grafic ordonata la origine $b$ . b) Determină panta $a$ . c) Scrie expresia funcției $f (x)$ .

Exercițiul 9 (6 puncte)

Determină funcția liniară $f (x) = a x + b$ știind că $f (1) = 5$ și $f (- 2) = - 1$ .

Exercițiul 10 (6 puncte)

Graficul unei funcții liniare $f$ are panta $a = 2$ și trece prin punctul $A (1, 3)$ . a) Determină expresia funcției $f (x)$ . b) Determină coordonatele punctului în care graficul intersectează axa Oy.

Partea a III-a – Probleme aplicate

Exercițiul 11 (7 puncte)

O cursă de taxi costă o taxă de pornire de 5 lei, la care se adaugă 2 lei pentru fiecare kilometru parcurs. Notăm cu $x$ numărul de kilometri și cu $C (x)$ costul, în lei. a) Scrie funcția $C (x)$ care exprimă costul curse. b) Cât costă o cursă de $10$ km? c) Câți kilometri s-au parcurs dacă o cursă a costat $31$ lei? d) Ce reprezintă, în context, numerele $2$ și $5$ din expresia funcției?

Exercițiul 12 (6 puncte)

O lumânare are lungimea inițială de $20$ cm și arde uniform, scurtându-se cu $2$ cm în fiecare oră. Notăm cu $t$ timpul (în ore) și cu $L (t)$ lungimea lumânării (în cm). a) Scrie funcția $L (t)$ . b) Ce lungime are lumânarea după $3$ ore? c) După câte ore se consumă complet lumânarea?

Exercițiul 13 (6 puncte)

Se dau funcțiile $f (x) = 2 x - 1$ și $g (x) = - x + 5$ . Determină coordonatele punctului de intersecție al graficelor celor două funcții (punctul comun celor două drepte).

Partea a IV-a – Justificare și sinteză

Exercițiul 14 (6 puncte)

Se dau punctele $A (- 1, - 1)$ , $B (1, 3)$ și $C (2, 5)$ . a) Determină funcția liniară $f (x) = a x + b$ al cărei grafic trece prin punctele $A$ și $B$ . b) Verifică prin calcul dacă punctul $C$ aparține aceluiași grafic (adică dacă cele trei puncte sunt coliniare).

Exercițiul 15 (6 puncte)

Se dă funcția $f : R \to R$ , $f (x) = - 2 x + 6$ . a) Completează tabelul pentru $x \in {0, 1, 2, 3}$ . b) Determină punctele de intersecție ale graficului cu axele Ox și Oy. c) Calculează aria triunghiului determinat de grafic împreună cu axele de coordonate.

Exercițiul 16 (6 puncte)

Se dă funcția $f : R \to R$ , $f (x) = (m - 1) x + 3$ , unde $m$ este un parametru real. a) Determină valoarea lui $m$ știind că $f (2) = 7$ . b) Pentru valoarea găsită, determină punctele de intersecție ale graficului cu axele Ox și Oy. c) Precizează, justificat, dacă graficul obținut este o dreaptă crescătoare sau descrescătoare.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1 · 4 puncte $f (x) = ax + b$ (2 p); $a \neq = 0$ (1 p); $a$ se numește pantă (coeficient unghiular / panta dreptei) (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte — câte puncte pentru fiecare valoare corectă. a) $f (0) = 2 \cdot 0 - 3 = - 3$ (1 p); b) $f (1) = 2 \cdot 1 - 3 = - 1$ (1 p); c) $f (- 2) = 2 \cdot (- 2) - 3 = - 4 - 3 = - 7$ (1,5 p); d) $f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{2} - 3 = 1 - 3 = - 2$ (1,5 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte — câte 1 p pentru fiecare valoare. Se folosește $f (x) = - x + 4$ .

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$6$	$5$	$4$	$3$	$2$

(De exemplu $f (- 2) = - (- 2) + 4 = 2 + 4 = 6$ .)

Exercițiul 4 · 5 puncte a) Ox: rezolvăm $f (x) = 0 \Rightarrow 3 x - 6 = 0 \Rightarrow x = 2$ . Punctul $(2, 0)$ (3 p). b) Oy: $f (0) = 3 \cdot 0 - 6 = - 6$ . Punctul $(0, - 6)$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte — câte punctele pentru fiecare pereche corectă $(a, b)$ . a) $a = 2$ , $b = 5$ (1 p); b) $f (x) = - 3 x + 0 \Rightarrow a = - 3$ , $b = 0$ (1 p); c) $f (x) = - x + 7 \Rightarrow a = - 1$ , $b = 7$ (1,5 p); d) $f (x) = \frac{1}{2} x - 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$ , $b = - 1$ (1,5 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte — a) 1 p; b) și c) câte 2 p (valoare + justificare). a) F. $f (0) = 2 \cdot 0 - 1 = - 1 \neq = 0$ , deci graficul intersectează Oy în $(0, - 1)$ , nu trece prin origine. b) A. $f (3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5$ , egal cu ordonata punctului $A$ , deci $A (3, 5)$ aparține graficului. c) A. Panta $a = 2 > 0$ , deci la creșterea lui $x$ crește și $f (x)$ ; dreapta urcă de la stânga la dreapta (funcție crescătoare).

Exercițiul 7 · 6 puncte a) Tabel corect, de exemplu $f (0) = - 2$ și $f (2) = 0$ ; puncte de intersecție: cu Oy în $(0, - 2)$ și cu Ox în $(2, 0)$ (4 p). b) Dreapta trasată corect prin cele două puncte (2 p).

Exercițiul 8 · 6 puncte a) $b = 3$ (ordonata punctului de pe Oy) (2 p). b) $a = \frac{0 - 3}{3 - 0} = \frac{- 3}{3} = - 1$ (2 p). c) $f (x) = - x + 3$ (2 p).

Exercițiul 9 · 6 puncte Din $f (1) = 5$ : $a + b = 5$ . Din $f (- 2) = - 1$ : $- 2 a + b = - 1$ (2 p). Scădem ecuațiile: $(a + b) - (- 2 a + b) = 5 - (- 1) \Rightarrow 3 a = 6 \Rightarrow a = 2$ (2 p). Atunci $b = 5 - a = 5 - 2 = 3$ , deci $f (x) = 2x + 3$ (2 p). (Verificare: $f (- 2) = - 4 + 3 = - 1$ ✓.)

Exercițiul 10 · 6 puncte a) $a = 2 \Rightarrow f (x) = 2 x + b$ ; din $f (1) = 3$ : $2 \cdot 1 + b = 3 \Rightarrow b = 1$ , deci $f (x) = 2x + 1$ (4 p). b) Oy: $f (0) = 1$ , punctul $(0, 1)$ (2 p).

Exercițiul 11 · 7 puncte a) $C (x) = 2x + 5$ (2 p). b) $C (10) = 2 \cdot 10 + 5 = 25$ lei (2 p). c) $2 x + 5 = 31 \Rightarrow 2 x = 26 \Rightarrow x = 13$ km (2 p). d) $2$ = costul pe kilometru (panta), $5$ = taxa fixă de pornire (ordonata la origine) (1 p).

Exercițiul 12 · 6 puncte a) $L (t) = 20 - 2t$ (2 p). b) $L (3) = 20 - 2 \cdot 3 = 20 - 6 = 14$ cm (2 p). c) $20 - 2 t = 0 \Rightarrow 2 t = 20 \Rightarrow t = 10$ ore (2 p).

Exercițiul 13 · 6 puncte Punctul comun are aceeași valoare la ambele funcții: $2 x - 1 = - x + 5$ (2 p). $3 x = 6 \Rightarrow x = 2$ (2 p); $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$ (sau $g (2) = - 2 + 5 = 3$ ). Punctul de intersecție este $(2, 3)$ (2 p).

Exercițiul 14 · 6 puncte a) Panta: $a = \frac{3 - ( - 1 )}{1 - ( - 1 )} = \frac{4}{2} = 2$ ; din $f (1) = 3$ : $2 + b = 3 \Rightarrow b = 1$ , deci $f (x) = 2x + 1$ (4 p). b) $f (2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5$ , egal cu ordonata lui $C$ $\Rightarrow C (2, 5)$ aparține graficului, deci $A$ , $B$ , $C$ sunt coliniare (2 p).

Exercițiul 15 · 6 puncte — se folosește $f (x) = - 2 x + 6$ . a) Tabel (2 p):

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$6$	$4$	$2$	$0$

b) Ox: $- 2 x + 6 = 0 \Rightarrow x = 3$ , punctul $(3, 0)$ ; Oy: $f (0) = 6$ , punctul $(0, 6)$ (2 p). c) Triunghiul dreptunghic are catetele pe axe, de lungimi $3$ (pe Ox) și $6$ (pe Oy). Aria $= \frac{3 \cdot 6}{2} = \frac{18}{2} = 9$ (unități de arie) (2 p).

Exercițiul 16 · 6 puncte a) $f (2) = (m - 1) \cdot 2 + 3 = 7 \Rightarrow 2 (m - 1) = 4 \Rightarrow m - 1 = 2 \Rightarrow m = 3$ (2 p). b) Pentru $m = 3$ : $f (x) = (3 - 1) x + 3 = 2x + 3$ . Ox: $2 x + 3 = 0 \Rightarrow x = - \frac{3}{2}$ , punctul $(- \frac{3}{2}, 0)$ ; Oy: $f (0) = 3$ , punctul $(0, 3)$ (2 p). c) Panta $a = 2 > 0$ , deci graficul este o dreaptă crescătoare (2 p).

Recomandare: dacă elevul greșește la itemii 4, 8 sau 15, reluați regulile — intersecția cu Ox se află rezolvând $f (x) = 0$ , iar intersecția cu Oy se află calculând $f (0) = b$ . Pentru itemii 9, 10 și 14, exersați determinarea funcției din condiții date (puncte sau pantă).

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică dacă elevul stăpânește funcția liniară $f (x) = a x + b$ : definiția și forma generală, tabelul de valori, reprezentarea grafică (graficul este o dreaptă), punctele de intersecție cu axele Ox și Oy, interpretarea geometrică a pantei $a$ și a ordonatei la origine $b$ , lecturi grafice și aplicații din viața reală. Este potrivit pentru consolidare în an de Evaluare Națională.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute.
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe o foaie separată, cu creion și riglă pentru grafice; graficele pot fi trasate de mână pe caiet de matematică. La final, comparați rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea noțiunilor din unitate.
Sfat: pentru intersecția cu Ox se rezolvă ecuația $f (x) = 0$ ; pentru intersecția cu Oy se calculează $f (0) = b$ . Panta $a$ arată dacă dreapta urcă ( $a > 0$ ) sau coboară ( $a < 0$ ).

Notă: marcajele 🖼️ [Imagine: ...] descriu figura sau graficul ce însoțește itemul; elevul îl poate schița după descriere.