Test: Intersecția și reuniunea intervalelor

Clasa a VIII-a · Matematică · Intervale de numere reale

Exerciții

Partea I — Scrierea, clasificarea și apartenența

Exercițiul 1 — Tipul intervalului și reprezentarea pe axă (6 puncte)

Pentru fiecare interval, precizează tipul (deschis, închis sau semideschis) — câte 1 punct:

a) $A=[-1,4]$ b) $B=(0,5)$ c) $C=[2,6)$ d) $D=(-3,1]$

e) Reprezintă pe aceeași axă a numerelor intervalele $A$ și $B$, folosind bulină plină „●" pentru un capăt inclus și bulină goală „○" pentru un capăt exclus. (2 p)

Exercițiul 2 — De la o proprietate la scrierea cu intervale (6 puncte)

Scrie fiecare mulțime sub formă de interval:

a) $A=\{x\in \mathbb{R}\mid -1\le x<4\}$ (2 p) b) $B=\{x\in \mathbb{R}\mid x\ge 2\}$ (1 p) c) $C=\{x\in \mathbb{R}\mid x<5\}$ (1 p) d) $D=\{x\in \mathbb{R}\mid -3<x\le 0\}$ (2 p)

Exercițiul 3 — Apartenența la un interval (6 puncte)

Se dă intervalul $A=(-3,4]$. Pentru fiecare număr, stabilește dacă aparține sau nu aparține lui $A$ și scrie pe scurt de ce (câte 1 punct):

a) $x=-3$ b) $x=4$ c) $x=0$ d) $x=-\pi$ (unde $-\pi \approx -3,14$) e) $x=\frac{7}{2}$ f) $x=4,5$

Partea a II-a — Intersecția intervalelor

Exercițiul 4 — Intersecție cu suprapunere (6 puncte)

Determină $A\cap B$ (câte 2 puncte). Recomandare: reprezintă mental sau pe ciornă intervalele pe axă și ia porțiunea comună.

a) $A=[-1,6]$, $B=[2,9]$ b) $A=(-4,3)$, $B=[0,7)$ c) $A=[1,8]$, $B=(4,10]$

Exercițiul 5 — Intersecție vidă și intersecție-punct (5 puncte)

Determină $A\cap B$; dacă rezultatul este $\varnothing$, explică de ce.

a) $A=[-5,-1]$, $B=[2,6]$ (2 p) b) $A=(-\infty ,2)$, $B=[2,+\infty )$ (2 p) c) $A=[0,4]$, $B=[4,9]$ (1 p)

Exercițiul 6 — Intersecție cu intervale nemărginite (5 puncte)

Determină $A\cap B$:

a) $A=(-\infty ,5]$, $B=[-3,+\infty )$ (2 p) b) $A=(-\infty ,4)$, $B=(1,+\infty )$ (2 p) c) $A=[2,+\infty )$, $B=(-\infty ,7)$ (1 p)

Partea a III-a — Reuniunea intervalelor

Exercițiul 7 — Reuniune cu suprapunere (6 puncte)

Determină $A\cup B$ (câte 2 puncte):

a) $A=[-2,4]$, $B=[1,7]$ b) $A=(-3,2]$, $B=[0,5)$ c) $A=[-1,6)$, $B=(3,+\infty )$

Exercițiul 8 — Reuniunea intervalelor disjuncte sau „lipite" (5 puncte)

Determină $A\cup B$. Atenție: dacă intervalele nu se suprapun, reuniunea rămâne scrisă ca reuniune de două intervale.

a) $A=[-4,-1]$, $B=[2,5]$ (2 p) b) $A=(-\infty ,0)$, $B=(3,+\infty )$ (2 p) c) $A=[1,2)$, $B=[2,4]$ (1 p)

Exercițiul 9 — Reuniune cu intervale nemărginite (5 puncte)

Determină $A\cup B$:

a) $A=(-\infty ,3]$, $B=[3,+\infty )$ (2 p) b) $A=(-\infty ,1)$, $B=(1,+\infty )$ (2 p) c) $A=(-\infty ,-2]$, $B=(0,+\infty )$ (1 p)

Partea a IV-a — Intersecție și reuniune împreună. Aplicații

Exercițiul 10 — Intersecția și reuniunea aceleiași perechi (6 puncte)

Se dau intervalele $A=[-3,4]$ și $B=[0,9]$.

a) Determină $A\cap B$. (2 p) b) Determină $A\cup B$. (2 p) c) Reprezintă pe axă intervalele $A$ și $B$ și marchează sub ele intersecția și reuniunea. (2 p)

Exercițiul 11 — Aplicație: reducere la bilete (reuniune) (5 puncte)

La un muzeu, biletul cu reducere se acordă copiilor cu vârsta $x\in [0,14]$ (ani) și seniorilor cu vârsta $x\in [65,120]$ (ani).

a) Scrie mulțimea vârstelor care beneficiază de reducere ca o reuniune de intervale. (3 p) b) Beneficiază de reducere o persoană de 14 ani? Dar una de 40 de ani? Dar una de 65 de ani? Justifică prin apartenență. (2 p)

Exercițiul 12 — Intersecție și reuniune pornind de la proprietăți (6 puncte)

Se dau mulțimile $A=\{x\in \mathbb{R}\mid x>-1\}$ și $B=\{x\in \mathbb{R}\mid x\le 4\}$.

a) Scrie $A$ și $B$ ca intervale nemărginite. (2 p) b) Determină $A\cap B$. (2 p) c) Determină $A\cup B$. (2 p)

Exercițiul 13 — Adevărat / Fals cu motivare (5 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și motivează pe scurt (câte 1 punct):

a) Intersecția a două intervale poate fi mulțimea vidă. b) Reuniunea a două intervale este întotdeauna tot un interval. c) $[2,5]\cap [5,8]=\{5\}$. d) $(-\infty ,3)\cup [3,+\infty )=\mathbb{R}$. e) Dacă $A\subseteq B$, atunci $A\cap B=A$.

Exercițiul 14 — Citirea intervalelor de pe axă (6 puncte)

Pornind de la figura de mai sus:

a) Scrie intervalele $A$ și $B$ folosind paranteze. (2 p) b) Determină $A\cap B$. (2 p) c) Determină $A\cup B$. (1 p) d) Numărul $1$ aparține intersecției? Dar reuniunii? (1 p)

Exercițiul 15 — Aplicație: fereastra de livrare (6 puncte)

Un magazin livrează comenzi numai în intervalul orar $A=[9,17]$ (ore), iar un client este acasă în intervalul $B=[14,20]$.

a) În ce interval orar poate avea loc livrarea (magazinul livrează și clientul este acasă)? Determină $A\cap B$. (2 p) b) Reprezintă pe axa timpului cele două intervale și marchează intersecția. (2 p) c) Dacă clientul ar fi acasă doar în intervalul $B^{\prime }=[18,20]$, mai este posibilă livrarea? Justifică prin intersecție. (2 p)

Exercițiul 16 — Intersecție și reuniune din mulțimi date printr-o proprietate (6 puncte)

Se dau mulțimile $A=\{x\in \mathbb{R}\mid -3\le x<2\}$ și $B=\{x\in \mathbb{R}\mid 0<x\le 5\}$.

a) Scrie $A$ și $B$ ca intervale. (2 p) b) Determină $A\cap B$. (2 p) c) Determină $A\cup B$. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj: 16 itemi = 90 p + 10 p din oficiu = 100 p. Toate rezultatele au fost verificate prin calcul.

Exercițiul 1 (6 p)

a) $A=[-1,4]$ — interval închis (conține ambele capete). (1 p) b) $B=(0,5)$ — interval deschis (nu conține niciun capăt). (1 p) c) $C=[2,6)$ — semideschis (închis la stânga, deschis la dreapta). (1 p) d) $D=(-3,1]$ — semideschis (deschis la stânga, închis la dreapta). (1 p) e) Reprezentare corectă: pentru $A=[-1,4]$ buline pline la $-1$ și $4$; pentru $B=(0,5)$ buline goale la $0$ și $5$; segmentele trasate între capete. (2 p)

Exercițiul 2 (6 p)

a) $A=[-1,4)$ (2 p) b) $B=[2,+\infty )$ (1 p) c) $C=(-\infty ,5)$ (1 p) d) $D=(-3,0]$ (2 p)

Exercițiul 3 (6 p — câte 1 p)

$A=(-3,4]$ înseamnă $-3<x\le 4$. a) $-3$: NU aparține — capătul $-3$ este exclus (paranteză rotundă). b) $4$: aparține — capătul $4$ este inclus (paranteză dreaptă). c) $0$: aparține — $-3<0\le 4$. d) $-\pi \approx -3,14$: NU aparține — este mai mic decât $-3$. e) $\frac{7}{2}=3,5$: aparține — $-3<3,5\le 4$. f) $4,5$: NU aparține — este mai mare decât $4$.

Exercițiul 4 (6 p — câte 2 p)

Intersecția = de la cel mai mare capăt din stânga până la cel mai mic capăt din dreapta. a) $A=[-1,6],B=[2,9]\Rightarrow A\cap B=[2,6]$ (la $2$ ambele închise, la $6$ $A$ închis). b) $A=(-4,3),B=[0,7)\Rightarrow A\cap B=[0,3)$ (la $0$ $B$ închis → inclus; la $3$ $A$ deschis → exclus). c) $A=[1,8],B=(4,10]\Rightarrow A\cap B=(4,8]$ (la $4$ $B$ deschis → exclus; la $8$ $A$ închis → inclus).

Exercițiul 5 (5 p)

a) $A=[-5,-1],B=[2,6]$: nu au niciun punct comun, deoarece $-1<2$. $A\cap B=\varnothing$. (2 p) b) $A=(-\infty ,2),B=[2,+\infty )$: $A$ conține numerele $<2$, $B$ pe cele $\ge 2$; numărul $2$ este doar în $B$, nu și în $A$. $A\cap B=\varnothing$. (2 p) c) $A=[0,4],B=[4,9]$: singurul punct comun este $4$. $A\cap B=\{4\}$ (adică $[4,4]$). (1 p)

Exercițiul 6 (5 p)

a) $A=(-\infty ,5](x\le 5),B=[-3,+\infty )(x\ge -3)\Rightarrow A\cap B=[-3,5]$. (2 p) b) $A=(-\infty ,4)(x<4),B=(1,+\infty )(x>1)\Rightarrow A\cap B=(1,4)$. (2 p) c) $A=[2,+\infty )(x\ge 2),B=(-\infty ,7)(x<7)\Rightarrow A\cap B=[2,7)$. (1 p)

Exercițiul 7 (6 p — câte 2 p)

Intervalele se suprapun, deci reuniunea este un singur interval: de la cel mai mic capăt din stânga la cel mai mare capăt din dreapta. a) $A=[-2,4],B=[1,7]\Rightarrow A\cup B=[-2,7]$. b) $A=(-3,2],B=[0,5)\Rightarrow A\cup B=(-3,5)$ (la $-3$ deschis, la $5$ deschis). c) $A=[-1,6),B=(3,+\infty )\Rightarrow A\cup B=[-1,+\infty )$.

Exercițiul 8 (5 p)

a) $A=[-4,-1],B=[2,5]$: disjuncte ($-1<2$), reuniunea rămâne în două bucăți: $A\cup B=[-4,-1]\cup [2,5]$. (2 p) b) $A=(-\infty ,0),B=(3,+\infty )$: disjuncte, $A\cup B=(-\infty ,0)\cup (3,+\infty )$. (2 p) c) $A=[1,2),B=[2,4]$: $A$ acoperă până la $2$ (exclusiv), iar $B$ pornește de la $2$ (inclusiv), deci se „lipesc" fără gol. $A\cup B=[1,4]$. (1 p)

Exercițiul 9 (5 p)

a) $A=(-\infty ,3](x\le 3),B=[3,+\infty )(x\ge 3)$: împreună acoperă toate numerele reale. $A\cup B=(-\infty ,+\infty )=\mathbb{R}$. (2 p) b) $A=(-\infty ,1)(x<1),B=(1,+\infty )(x>1)$: numărul $1$ nu este în niciunul. $A\cup B=(-\infty ,1)\cup (1,+\infty )=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. (2 p) c) $A=(-\infty ,-2],B=(0,+\infty )$: disjuncte, $A\cup B=(-\infty ,-2]\cup (0,+\infty )$. (1 p)

Exercițiul 10 (6 p)

$A=[-3,4],B=[0,9]$. a) $A\cap B=[0,4]$. (2 p) b) $A\cup B=[-3,9]$. (2 p) c) Reprezentare corectă pe axă a lui $A$ și $B$ cu buline pline, cu $[0,4]$ marcat ca porțiune comună (intersecția) și $[-3,9]$ ca porțiune totală (reuniunea). (2 p)

Exercițiul 11 (5 p)

a) Reducerea se acordă vârstelor din $[0,14]$ sau din $[65,120]$, adică reuniunii: $[0,14]\cup [65,120]$. (3 p) b) (2 p — câte $\approx$⅔ p) $14$ ani: DA, deoarece $14\in [0,14]$ (capăt inclus). $40$ de ani: NU, deoarece $40\notin [0,14]$ și $40\notin [65,120]$. $65$ de ani: DA, deoarece $65\in [65,120]$ (capăt inclus).

Exercițiul 12 (6 p)

a) $A=(-1,+\infty )$, $B=(-\infty ,4]$. (2 p) b) $A\cap B$: numerele cu $x>-1$ și $x\le 4$ $\Rightarrow (-1,4]$. (2 p) c) $A\cup B$: orice număr real fie este $\le 4$ (deci în $B$), fie este $>4$ (deci $>-1$, în $A$). Prin urmare $A\cup B=\mathbb{R}$. (2 p)

Exercițiul 13 (5 p — câte 1 p)

a) A — de exemplu $[0,1]\cap [3,4]=\varnothing$ (intervale disjuncte). b) F — dacă intervalele sunt disjuncte, reuniunea are două bucăți; de exemplu $[0,1]\cup [3,4]$ nu este un interval. c) A — singurul punct comun al intervalelor $[2,5]$ și $[5,8]$ este $5$. d) A — $x<3$ sau $x\ge 3$ acoperă toate numerele reale. e) A — dacă $A$ este inclusă în $B$, atunci toate elementele lui $A$ sunt și în $B$, deci partea comună este chiar $A$.

Exercițiul 14 (6 p)

a) $A=[-4,1]$ (buline pline → capete incluse), $B=(-1,5)$ (buline goale → capete excluse). (2 p) b) $A\cap B$: de la $\max (-4,-1)=-1$ (în $B$ deschis → exclus) la $\min (1,5)=1$ (în $A$ închis → inclus) $\Rightarrow (-1,1]$. (2 p) c) $A\cup B$: de la $\min (-4,-1)=-4$ (închis) la $\max (1,5)=5$ (deschis) $\Rightarrow [-4,5)$. (1 p) d) $1\in (-1,1]$ → da, aparține intersecției; $1\in [-4,5)$ → da, aparține și reuniunii. (1 p)

Exercițiul 15 (6 p)

a) $A\cap B=[9,17]\cap [14,20]=[14,17]$: livrarea poate avea loc între ora 14 și ora 17. (2 p) b) Reprezentare corectă pe axa timpului a lui $A=[9,17]$ și $B=[14,20]$, cu porțiunea comună $[14,17]$ hașurată. (2 p) c) $A\cap B^{\prime }=[9,17]\cap [18,20]=\varnothing$, deoarece $17<18$ (intervalele sunt disjuncte). Livrarea nu este posibilă: nu există nicio oră la care magazinul livrează și clientul este acasă. (2 p)

Exercițiul 16 (6 p)

a) $A=[-3,2)$ (din $-3\le x<2$), $B=(0,5]$ (din $0<x\le 5$). (2 p) b) $A\cap B$: de la $\max (-3,0)=0$ (în $B$ deschis → exclus) la $\min (2,5)=2$ (în $A$ deschis → exclus) $\Rightarrow (0,2)$. (2 p) c) $A\cup B$: intervalele se suprapun pe $(0,2)$, deci reuniunea este un singur interval, de la $-3$ (închis) la $5$ (închis) $\Rightarrow [-3,5]$. (2 p)

Total: 90 p (itemi) + 10 p (oficiu) = 100 p.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică unitatea „Intervale de numere reale" din programa clasei a VIII-a (OMEN 3393/2017), an de Evaluare Națională. Itemii sunt așezați în contexte reale (temperaturi, orare de livrare, reduceri de bilete) și acoperă:

1. Scrierea și clasificarea intervalelor – intervale mărginite (deschise, închise, semideschise), intervale nemărginite, trecerea de la o mulțime definită printr-o proprietate la scrierea cu paranteze și la reprezentarea pe axă.
2. Apartenența unui număr real la un interval.
3. Intersecția intervalelor – cazul suprapunerii, cazul intervalelor disjuncte (intersecție vidă) și cazul în care intersecția este un singur punct.
4. Reuniunea intervalelor – cazul suprapunerii, cazul intervalelor disjuncte (reuniunea rămâne formată din două intervale) și cazul intervalelor „lipite".

• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Punctaj total: 100 de puncte, dintre care 10 puncte din oficiu. Cei 16 itemi însumează 90 de puncte.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, cu toate justificările scrise. La cerințele „reprezintă pe axă", „justifică" și „adevărat/fals cu motivare" se punctează raționamentul, nu doar rezultatul final. Se recomandă folosirea unei rigle pentru reprezentările pe axă.
• Interpretarea notei (orientativ): 90–100 p → foarte bine; 70–89 p → bine; 45–69 p → satisfăcător; sub 45 p → se reia unitatea despre intervale.

Notație folosită: un interval închis conține capetele: $[a,b]=\{x\in \mathbb{R}\mid a\le x\le b\}$; unul deschis nu le conține: $(a,b)=\{x\in \mathbb{R}\mid a<x<b\}$; semideschisele sunt $[a,b)$ și $(a,b]$. Intervalele nemărginite se scriu cu $-\infty$ sau $+\infty$, care nu sunt niciodată incluse: de exemplu $[a,+\infty )=\{x\mid x\ge a\}$. Intersecția $A\cap B$ = numerele aflate și în $A$, și în $B$. Reuniunea $A\cup B$ = numerele aflate în $A$ sau în $B$ (măcar în unul dintre ele). Simbolul $\varnothing$ înseamnă mulțimea vidă.