Test: Linia mijlocie și centrul de greutate

Unitatea: Patrulaterul convex. Paralelogramul · Clasa a VII-a · Timp de lucru: 50 de minute

Exerciții

Exercițiul 1 (6 puncte)

Completează enunțurile cu termenii potriviți:

a) Segmentul care unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi se numește ................ a triunghiului. (2p)

b) Linia mijlocie este ................ cu a treia latură a triunghiului. (2p)

c) Punctul de intersecție al celor trei mediane ale unui triunghi se numește ................ . (2p)

Exercițiul 2 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt:

a) Linia mijlocie a unui triunghi are lungimea egală cu jumătate din latura cu care este paralelă.

b) Centrul de greutate împarte fiecare mediană în două părți egale.

c) Într-un triunghi se pot duce exact trei linii mijlocii.

Exercițiul 3 (6 puncte)

În triunghiul $ABC$, punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$, iar $N$ este mijlocul laturii $AC$.

a) Dacă $BC=14$ cm, calculează lungimea liniei mijlocii $MN$. (3p)

b) Dacă linia mijlocie $MN=6,5$ cm, află lungimea laturii $BC$. (3p)

Exercițiul 4 (6 puncte)

În triunghiul $ABC$ au fost duse toate cele trei linii mijlocii, ale căror capete sunt mijloacele laturilor: $M\in AB$, $N\in AC$, $P\in BC$. Se cunosc $AB=8$ cm, $BC=10$ cm și $CA=12$ cm.

a) Calculează lungimile celor trei linii mijlocii $MN$, $NP$ și $PM$. (3p)

b) Calculează perimetrul triunghiului median $MNP$. (3p)

Exercițiul 5 (6 puncte)

În triunghiul $ABC$, $AM$ este mediană ($M$ mijlocul laturii $BC$), iar $G$ este centrul de greutate. Se știe că $AM=18$ cm.

a) Calculează lungimea segmentului $AG$. (3p)

b) Calculează lungimea segmentului $GM$. (3p)

Exercițiul 6 (5 puncte)

În triunghiul $DEF$, medianele se intersectează în centrul de greutate $G$. Pe mediana $DP$ ($P$ mijlocul lui $EF$) se cunoaște $DG=10$ cm.

a) Calculează lungimea segmentului $GP$. (2p)

b) Calculează lungimea întregii mediane $DP$. (3p)

Exercițiul 7 (5 puncte)

În triunghiul $ABC$, $MN$ este linia mijlocie corespunzătoare laturii $BC$ ($M\in AB$, $N\in AC$), iar $m(\angle ABC)=50^{\circ }$. Calculează $m(\angle AMN)$, justificând răspunsul.

Exercițiul 8 (6 puncte)

Cele trei linii mijlocii ale unui triunghi îl împart în patru triunghiuri mici.

a) Câte dintre cele patru triunghiuri mici sunt congruente între ele? (2p)

b) Justifică, folosind teorema liniei mijlocii, de ce triunghiul median $MNP$ este congruent cu triunghiul $AMN$. (4p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se dau vârfurile triunghiului $A(2,1)$, $B(8,3)$ și $C(2,5)$.

a) Determină coordonatele punctului $M$, mijlocul laturii $BC$. (3p)

b) Se dă centrul de greutate $G(4,3)$. Verifică prin calcul că $G$ se află pe mediana $AM$, arătând că $AG=2\cdot GM$ (folosește lungimile segmentelor pe orizontală și verticală). (3p)

Exercițiul 10 (6 puncte)

Se dă un patrulater convex $ABCD$. Notăm cu $P$, $Q$, $R$, $S$ mijloacele laturilor $AB$, $BC$, $CD$, respectiv $DA$. Trasăm diagonala $AC$.

a) Arată că, în triunghiul $ABC$, segmentul $PQ$ este linie mijlocie, deci $PQ\parallel AC$ și $PQ=\frac{AC}{2}$. Procedează analog în triunghiul $ADC$ pentru segmentul $SR$. (4p)

b) Deduce că patrulaterul $PQRS$ este paralelogram, precizând condiția folosită. (2p)

Exercițiul 11 (6 puncte)

Un teren triunghiular are laturile de $60$ m, $80$ m și $100$ m. Un proiectant marchează mijloacele celor trei laturi și le unește prin trei alei drepte (liniile mijlocii ale triunghiului).

a) Ce lungime are fiecare dintre cele trei alei? (3p)

b) Ce lungime totală de alei se obține și cum se compară cu perimetrul terenului? (3p)

Exercițiul 12 (5 puncte)

În triunghiul $ABC$, medianele $AD$ ($D$ mijlocul lui $BC$) și $BE$ ($E$ mijlocul lui $AC$) se intersectează în centrul de greutate $G$. Se cunosc $GD=3$ cm și $BG=8$ cm.

a) Calculează lungimea medianei $AD$. (3p)

b) Calculează lungimea segmentului $GE$. (2p)

Exercițiul 13 (5 puncte)

Stabilește valoarea de adevăr (A/F) și justifică fiecare afirmație:

a) Dacă $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$ și $AM$ este o mediană, atunci $AG=2\cdot GM$.

b) Linia mijlocie a unui triunghi împarte triunghiul într-un triunghi mai mic și un trapez.

c) Centrul de greutate se poate afla în exteriorul triunghiului.

Exercițiul 14 (6 puncte)

În triunghiul $ABC$, $MN$ este linia mijlocie corespunzătoare laturii $BC$ ($M\in AB$, $N\in AC$). Aria triunghiului $ABC$ este de $48{\text{cm}}^2$.

a) Folosind faptul că cele trei linii mijlocii împart triunghiul în patru triunghiuri congruente, arată că aria triunghiului $AMN$ este a patra parte din aria lui $ABC$ și calculeaz-o. (4p)

b) Calculează aria trapezului $MBCN$. (2p)

Exercițiul 15 (5 puncte)

În triunghiul $ABC$, $G$ este centrul de greutate, iar $AM$ este mediana din $A$ ($M$ mijlocul lui $BC$). Se știe că $GM=4$ cm.

a) Calculează $AG$ și lungimea medianei $AM$. (3p)

b) Ce fracție din mediana $AM$ reprezintă segmentul $AG$? (2p)

Exercițiul 16 (5 puncte)

Un artist echilibrează o placă triunghiulară de metal sprijinind-o într-un singur punct. Placa stă în echilibru exact în centrul ei de greutate. Pentru a-l găsi, artistul trasează cele trei mediane.

a) Explică pe scurt de ce este suficient să traseze două mediane pentru a găsi punctul de sprijin. (3p)

b) Dacă una dintre mediane are $27$ cm, la ce distanță de latura corespunzătoare (adică față de mijlocul acelei laturi) se află punctul de sprijin? (2p)

Barem și răspunsuri

Oficiu: 10 puncte.

Exercițiul 1 (6p — câte 2p pe subpunct)

a) ... linie mijlocie (linia mijlocie). b) ... paralelă . c) ... centru de greutate (centrul de greutate, notat de obicei $G$).

Exercițiul 2 (6p — câte 2p: 1p răspuns + 1p justificare)

a) A — teorema liniei mijlocii: linia mijlocie este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătate din ea. b) F — centrul de greutate împarte fiecare mediană în raport $2:1$ (dinspre vârf), nu în părți egale. c) A — un triunghi are trei laturi, deci trei perechi de mijloace ce se pot uni → exact trei linii mijlocii.

Exercițiul 3 (6p)

a) (3p) $MN$ unește mijloacele laturilor $AB$ și $AC$, deci este linie mijlocie corespunzătoare lui $BC$: $MN=\frac{BC}{2}=\frac{14}{2}=7$ cm. b) (3p) Din $MN=\frac{BC}{2}$ rezultă $BC=2\cdot MN=2\cdot 6,5=13$ cm.

Exercițiul 4 (6p)

a) (3p — câte 1p) Fiecare linie mijlocie este jumătate din latura cu care este paralelă: $$MN=\frac{BC}{2}=5\text{ cm},NP=\frac{AB}{2}=4\text{ cm},PM=\frac{CA}{2}=6\text{ cm.}$$ b) (3p) $P_{MNP}=5+4+6=15$ cm. (Egal cu jumătate din perimetrul lui $ABC$: $\frac{8+10+12}{2}=15$ cm.)

Exercițiul 5 (6p)

a) (3p) Centrul de greutate se află la $\frac{2}{3}$ de vârf: $AG=\frac{2}{3}\cdot AM=\frac{2}{3}\cdot 18=12$ cm. b) (3p) $GM=\frac{1}{3}\cdot AM=\frac{1}{3}\cdot 18=6$ cm. (Verificare: $AG:GM=12:6=2:1$.)

Exercițiul 6 (5p)

a) (2p) $G$ împarte mediana în raport $2:1$ dinspre vârf, deci $DG=2\cdot GP$, de unde $GP=\frac{DG}{2}=\frac{10}{2}=5$ cm. b) (3p) $DP=DG+GP=10+5=15$ cm.

Exercițiul 7 (5p)

$MN$ este linie mijlocie, deci $MN\parallel BC$ (2p). Dreapta $AB$ este secantă a paralelelor $MN$ și $BC$; unghiurile $\angle AMN$ și $\angle ABC$ sunt corespondente, deci congruente (2p). Prin urmare $m(\angle AMN)=m(\angle ABC)=50^{\circ }$ (1p).

Exercițiul 8 (6p)

a) (2p) Toate patru triunghiurile mici sunt congruente între ele. b) (4p) Din teorema liniei mijlocii: $MN=\frac{BC}{2}=BP=PC$, $MP=\frac{AC}{2}=NC=AN$ și $NP=\frac{AB}{2}=AM=MB$. În triunghiurile $AMN$ și $MNP$ (2p pentru identificarea egalităților de laturi): $AM=NP$, $AN=MP$ și latura $MN$ este comună. Deci $△AMN\equiv △PNM$ prin cazul L.L.L. (2p).

Exercițiul 9 (6p)

a) (3p) Coordonatele mijlocului sunt media coordonatelor capetelor: $$M\left(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}\right)=M\left(\frac{8+2}{2},\frac{3+5}{2}\right)=M(5,4).$$ b) (3p) Pe mediana $AM$, de la $A(2,1)$ la $M(5,4)$: deplasarea totală este $3$ unități pe orizontală și $3$ pe verticală. De la $A(2,1)$ la $G(4,3)$: deplasarea este $4-2=2$ pe orizontală și $3-1=2$ pe verticală. De la $G(4,3)$ la $M(5,4)$: $5-4=1$ și $4-3=1$. Cum $2=2\cdot 1$ pe fiecare direcție, $G$ este pe segmentul $AM$ și $AG=2\cdot GM$ (raport $2:1$).

Exercițiul 10 (6p)

a) (4p) În triunghiul $ABC$, $P$ este mijlocul lui $AB$ și $Q$ mijlocul lui $BC$, deci $PQ$ este linie mijlocie: $PQ\parallel AC$ și $PQ=\frac{AC}{2}$ (2p). În triunghiul $ADC$, $S$ este mijlocul lui $DA$ și $R$ mijlocul lui $CD$, deci $SR$ este linie mijlocie: $SR\parallel AC$ și $SR=\frac{AC}{2}$ (2p). b) (2p) Rezultă $PQ\parallel SR$ și $PQ=SR$. Un patrulater care are două laturi opuse paralele și congruente este paralelogram, deci $PQRS$ este paralelogram.

Exercițiul 11 (6p)

a) (3p — câte 1p) Fiecare alee este o linie mijlocie, deci jumătate din latura cu care este paralelă: $$\frac{60}{2}=30\text{ m},\frac{80}{2}=40\text{ m},\frac{100}{2}=50\text{ m.}$$ b) (3p) Lungimea totală: $30+40+50=120$ m. Perimetrul terenului: $60+80+100=240$ m. Aleile însumează jumătate din perimetrul terenului ($120=\frac{240}{2}$).

Exercițiul 12 (5p)

a) (3p) Pe mediana $AD$, $G$ o împarte în raport $2:1$ dinspre $A$, deci $AG=2\cdot GD=2\cdot 3=6$ cm; atunci $AD=AG+GD=6+3=9$ cm. b) (2p) Pe mediana $BE$, $BG=2\cdot GE$, deci $GE=\frac{BG}{2}=\frac{8}{2}=4$ cm.

Exercițiul 13 (5p — a: 2p, b: 2p, c: 1p)

a) A — centrul de greutate se află la $\frac{2}{3}$ de vârf și $\frac{1}{3}$ de bază, deci $AG=2\cdot GM$. b) A — linia mijlocie taie din triunghi un triunghi mic (asemenea cu cel mare) și lasă un trapez (linia mijlocie e paralelă cu latura opusă → cele două baze paralele). c) F — medianele sunt interioare triunghiului, deci intersecția lor, centrul de greutate, este întotdeauna în interiorul triunghiului.

Exercițiul 14 (6p)

a) (4p) Cele trei linii mijlocii împart triunghiul $ABC$ în patru triunghiuri congruente (deci de arii egale). Triunghiul $AMN$ este unul dintre ele, prin urmare aria sa este $\frac{1}{4}$ din aria lui $ABC$: ${\mathcal{A}}_{AMN}=\frac{48}{4}=12{\text{cm}}^2$. b) (2p) Trapezul $MBCN$ conține celelalte trei triunghiuri congruente: ${\mathcal{A}}_{MBCN}=48-12=36{\text{cm}}^2$ (adică $\frac{3}{4}$ din arie).

Exercițiul 15 (5p)

a) (3p) $G$ este pe mediana $AM$ cu $GM=\frac{1}{3}AM$. Din $GM=4$ cm rezultă $AM=3\cdot 4=12$ cm, iar $AG=AM-GM=12-4=8$ cm (echivalent $AG=2\cdot GM=8$ cm). b) (2p) $AG=\frac{2}{3}$ din $AM$ (deoarece $AG=8$, $AM=12$, iar $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$).

Exercițiul 16 (5p)

a) (3p) Cele trei mediane sunt concurente (trec toate prin același punct). Deci intersecția a două mediane determină deja centrul de greutate; a treia ar trece obligatoriu prin același punct și nu aduce informație nouă. b) (2p) Punctul de sprijin este la $\frac{1}{3}$ de mijlocul laturii (capătul dinspre latură): $\frac{1}{3}\cdot 27=9$ cm.

Total: 90 de puncte (itemi) + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Pentru părinți și profesori

• Ce verifică testul: teorema liniei mijlocii în triunghi (paralelism și raportul $\frac{1}{2}$), împărțirea triunghiului în patru triunghiuri congruente de către liniile mijlocii, concurența celor trei mediane în centrul de greutate $G$ și raportul $2:1$ în care $G$ împarte fiecare mediană. Un item de sinteză leagă linia mijlocie de condiția ca un patrulater să fie paralelogram (patrulaterul lui Varignon), iar un item folosește reperul cartezian (mijlocul unui segment și poziția centrului de greutate).
• Cum se aplică: testul se rezolvă individual, pe foaie, cu instrumente de geometrie (riglă, echer). Este permis calculul cu radicali; nu este permis calculatorul programabil. Figurile sunt sugerate prin marcaje de imagine — elevul reface schița pe foaie.
• Punctaj total: 100 de puncte = 10 puncte din oficiu + 90 de puncte distribuite pe cei 16 itemi.
• Timp recomandat: 50 de minute.
• Scara de notare orientativă:
  • 90–100 p → nota 9–10
  • 75–89 p → nota 8
  • 60–74 p → nota 7
  • 45–59 p → nota 5–6
  • sub 45 p → se reia unitatea, pornind de la enunțul teoremei liniei mijlocii.
• Reper teoretic rapid: segmentul care unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi este paralel cu a treia latură și egal cu jumătate din ea. Cele trei mediane sunt concurente într-un punct $G$ (centrul de greutate), care se află pe fiecare mediană la $\frac{2}{3}$ de vârf și $\frac{1}{3}$ de mijlocul laturii opuse (raport $2:1$ dinspre vârf).