Test: linii importante și triunghiuri particulare

Exerciții

Din oficiu se acordă 10 puncte. Pentru rezolvări complete se punctează și raționamentul, conform baremului.

Partea I — Itemi cu răspuns scurt

Exercițiul 1 (4 puncte)

Completează spațiile libere: a) Punctul în care se intersectează cele trei mediane ale unui triunghi se numește ............... . b) Cele trei mediatoare ale unui triunghi se intersectează în centrul cercului ............... triunghiului.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Asociază fiecărei linii importante punctul de concurență corespunzător:

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește valoarea de adevăr a propozițiilor (A/F) și justifică pe scurt fiecare răspuns: a) Într-un triunghi echilateral, bisectoarea, mediatoarea, înălțimea și mediana din același vârf coincid. b) Centrul de greutate al unui triunghi se află totdeauna în interiorul triunghiului. c) Ortocentrul unui triunghi dreptunghic se află în vârful unghiului drept.

Partea II — Calcul și aplicații

Exercițiul 4 (5 puncte)

Într-un triunghi isoscel $ABC$ cu $AB=AC$, unghiul de la vârf are măsura $\angle A=40^{\circ }$. Calculează măsurile unghiurilor $\angle B$ și $\angle C$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Triunghiul $DEF$ are $\angle E=90^{\circ }$, $DE=6\text{cm}$ și $EF=8\text{cm}$. a) Calculează lungimea ipotenuzei $DF$. b) Calculează perimetrul triunghiului $DEF$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

În triunghiul $MNP$, mediana $MS$ (cu $S\in NP$) are lungimea $MS=12\text{cm}$, iar $G$ este centrul de greutate al triunghiului. a) Calculează lungimea segmentului $MG$. b) Calculează lungimea segmentului $GS$.

Exercițiul 7 (5 puncte)

Un triunghi echilateral are perimetrul de $27\text{cm}$. a) Cât măsoară fiecare unghi al triunghiului? b) Cât măsoară fiecare latură?

Exercițiul 8 (5 puncte)

În triunghiul dreptunghic $ABC$ cu $\angle A=90^{\circ }$, se duce mediana $AM$ către ipotenuza $BC$. Se știe că $BC=10\text{cm}$. a) Cât măsoară $AM$? Justifică folosind o proprietate a triunghiului dreptunghic. b) Ce fel de triunghi este $△ABM$? Justifică.

Exercițiul 9 (5 puncte)

Bisectoarea unghiului $\angle A$ al triunghiului $ABC$ împarte unghiul în două unghiuri congruente. Se știe că $\angle BAC=76^{\circ }$ și că $AD$ este bisectoare ($D\in BC$). a) Cât măsoară $\angle BAD$? b) Dacă în plus $\angle B=60^{\circ }$, calculează măsura unghiului $\angle ADB$.

Exercițiul 10 (5 puncte)

Mediatoarea unui segment $AB$ este dreapta perpendiculară pe $AB$ care trece prin mijlocul lui. Punctul $P$ se află pe mediatoarea segmentului $AB$, iar $PA=5\text{cm}$. a) Cât măsoară $PB$? Justifică folosind proprietatea mediatoarei. b) Dacă $AB=8\text{cm}$, iar $M$ este mijlocul lui $AB$, calculează lungimea $PM$.

Exercițiul 11 (5 puncte)

Triunghiul isoscel $ABC$ are $AB=AC=13\text{cm}$ și baza $BC=10\text{cm}$. Se duce înălțimea $AD$ din vârful $A$ ($D\in BC$). a) Explică de ce $D$ este mijlocul bazei $BC$. b) Calculează lungimea înălțimii $AD$.

Exercițiul 12 (5 puncte)

O placă metalică triunghiulară $ABC$ are forma unui triunghi dreptunghic cu $\angle C=90^{\circ }$, $AC=9\text{cm}$ și $BC=12\text{cm}$. Un muncitor vrea să fixeze un șurub exact în mijlocul laturii $AB$ (ipotenuza). a) Calculează lungimea laturii $AB$. b) La ce distanță de vârful $C$ se află șurubul? (distanța de la $C$ la mijlocul ipotenuzei)

Partea III — Raționament și probleme

Exercițiul 13 (5 puncte)

În triunghiul $ABC$, $\angle B=\angle C$. Demonstrează, folosind o proprietate studiată, că triunghiul este isoscel și precizează care sunt laturile congruente.

Exercițiul 14 (5 puncte)

Un teren are forma triunghiului $ABC$. Proprietarul vrea să sape o fântână egal depărtată de cele trei vârfuri $A$, $B$, $C$. a) Care linii importante trebuie construite pentru a găsi locul fântânii? Cum se numește acest punct? b) Acest punct este centrul cărui cerc asociat triunghiului?

Exercițiul 15 (5 puncte)

Un grădinar vrea să planteze un copac egal depărtat de cele trei laturi ale unei alei triunghiulare $ABC$, astfel încât un strat circular de iarbă din jurul copacului să atingă toate cele trei laturi. a) Care linii importante trebuie construite și cum se numește punctul lor de intersecție? b) Acest punct este centrul cărui cerc asociat triunghiului?

Exercițiul 16 (5 puncte)

În triunghiul $ABC$ avem $\angle A=90^{\circ }$ și $\angle B=30^{\circ }$. Cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este $AC=7\text{cm}$. a) Cât măsoară unghiul $\angle C$? b) Folosind o proprietate a triunghiului dreptunghic cu un unghi de $30^{\circ }$, calculează lungimea ipotenuzei $BC$.

Exercițiul 17 (5 puncte)

Triunghiul $ABC$ este echilateral cu latura de $6\text{cm}$. Se duce înălțimea $AD$ din vârful $A$. a) Calculează lungimea înălțimii $AD$. (Poți lăsa rezultatul cu radical.) b) Punctul $G$ (centrul de greutate) împarte mediana $AD$. Cât măsoară $GD$?

Exercițiul 18 (5 puncte)

Stabilește valoarea de adevăr (A/F) și justifică: a) Există un triunghi cu laturile $3\text{cm}$, $4\text{cm}$ și $5\text{cm}$ care este dreptunghic. b) Într-un triunghi oarecare, cele trei înălțimi se intersectează totdeauna în interiorul triunghiului.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 100 p (90 p pe itemi + 10 p din oficiu). La itemii cu justificare, răspunsul final fără raționament corect primește punctaj parțial.

Exercițiul 1 · 4 puncte — câte 2 p fiecare. a) centrul de greutate (sau baricentru). b) cercul circumscris triunghiului.

Exercițiul 2 · 5 puncte — toate cele 4 perechi corecte = 5 p; la punctare parțială, câte 1 p pentru fiecare pereche corectă. 1 → c) (bisectoarele → centrul cercului înscris); 2 → d) (mediatoarele → centrul cercului circumscris); 3 → a) (înălțimile → ortocentru); 4 → b) (medianele → centrul de greutate).

Exercițiul 3 · 6 puncte — a) 2 p, b) 2 p, c) 2 p (răspuns + justificare). a) A. În triunghiul echilateral, datorită simetriei, cele patru linii importante duse din același vârf se suprapun (coincid). b) A. Centrul de greutate este intersecția medianelor, iar medianele sunt mereu segmente interioare; deci $G$ este totdeauna în interior. c) A. Catetele unui triunghi dreptunghic sunt înălțimi (fiind perpendiculare), iar ele se întâlnesc în vârful unghiului drept, care este deci ortocentrul.

Exercițiul 4 · 5 puncte — relația 2 p, calcul 3 p. Suma unghiurilor: $\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ }$. Cum $AB=AC$, triunghiul este isoscel, deci $\angle B=\angle C$. $\angle B+\angle C=180^{\circ }-40^{\circ }=140^{\circ }\Rightarrow \angle B=\angle C=140^{\circ }:2=70^{\circ }$.

Exercițiul 5 · 5 puncte — a) 3 p, b) 2 p. a) Teorema lui Pitagora: $D{F}^2=D{E}^2+E{F}^2=6^2+8^2=36+64=100\Rightarrow DF=\sqrt{100}=10\text{cm}$. b) Perimetrul $=DE+EF+DF=6+8+10=24\text{cm}$.

Exercițiul 6 · 5 puncte — a) 3 p, b) 2 p. Centrul de greutate împarte fiecare mediană în raport $2:1$ dinspre vârf (deci $MG=\frac{2}{3}MS$, $GS=\frac{1}{3}MS$). a) $MG=\frac{2}{3}\cdot 12=8\text{cm}$. b) $GS=\frac{1}{3}\cdot 12=4\text{cm}$. (Verificare: $8+4=12$.)

Exercițiul 7 · 5 puncte — a) 2 p, b) 3 p. a) Toate unghiurile unui triunghi echilateral sunt egale: $180^{\circ }:3=60^{\circ }$ fiecare. b) Laturile sunt egale: $27:3=9\text{cm}$ fiecare.

Exercițiul 8 · 5 puncte — a) 3 p (proprietate + valoare), b) 2 p. a) Într-un triunghi dreptunghic, mediana din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză: $AM=\frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5\text{cm}$. b) Deoarece $M$ este mijlocul lui $BC$, avem $BM=\frac{BC}{2}=5\text{cm}$, deci $AM=BM=5\text{cm}$. Prin urmare $△ABM$ este isoscel (cu $AM=BM$).

Exercițiul 9 · 5 puncte — a) 2 p, b) 3 p. a) $AD$ bisectoare $\Rightarrow \angle BAD=\frac{\angle BAC}{2}=\frac{76^{\circ }}{2}=38^{\circ }$. b) În triunghiul $ABD$: $\angle ADB=180^{\circ }-\angle BAD-\angle B=180^{\circ }-38^{\circ }-60^{\circ }=82^{\circ }$.

Exercițiul 10 · 5 puncte — a) 2 p, b) 3 p. a) Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de capetele segmentului, deci $PB=PA=5\text{cm}$. b) $M$ este mijlocul lui $AB$, deci $AM=\frac{8}{2}=4\text{cm}$. Triunghiul $PMA$ este dreptunghic în $M$ (mediatoarea e perpendiculară pe $AB$). Cu Pitagora: $P{M}^2=P{A}^2-A{M}^2=5^2-4^2=25-16=9\Rightarrow PM=\sqrt{9}=3\text{cm}$.

Exercițiul 11 · 5 puncte — a) 2 p, b) 3 p. a) Triunghiul fiind isoscel ($AB=AC$), înălțimea din vârful $A$ coincide cu mediana din $A$, deci $D$ este mijlocul bazei $BC$. b) $BD=\frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5\text{cm}$. Triunghiul $ABD$ este dreptunghic în $D$. Cu Pitagora: $A{D}^2=A{B}^2-B{D}^2=13^2-5^2=169-25=144\Rightarrow AD=\sqrt{144}=12\text{cm}$.

Exercițiul 12 · 5 puncte — a) 3 p, b) 2 p. a) Pitagora: $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2=9^2+12^2=81+144=225\Rightarrow AB=\sqrt{225}=15\text{cm}$. b) Distanța de la $C$ la mijlocul ipotenuzei = mediana din unghiul drept = $\frac{AB}{2}=\frac{15}{2}=7,5\text{cm}$.

Exercițiul 13 · 5 puncte — raționament 3 p, concluzie 2 p. Reciproca proprietății triunghiului isoscel: dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt congruente ($\angle B=\angle C$), atunci laturile opuse lor sunt congruente. Latura opusă lui $\angle B$ este $AC$, iar latura opusă lui $\angle C$ este $AB$. Deci $AB=AC$, prin urmare $△ABC$ este isoscel, cu laturile congruente $AB$ și $AC$ (baza fiind $BC$).

Exercițiul 14 · 5 puncte — a) 3 p, b) 2 p. a) Trebuie construite cele trei mediatoare ale laturilor triunghiului; ele se intersectează în centrul cercului circumscris (uneori notat $O$). Acesta este egal depărtat de cele trei vârfuri. b) Este centrul cercului circumscris triunghiului (cercul care trece prin $A$, $B$, $C$).

Exercițiul 15 · 5 puncte — a) 3 p, b) 2 p. a) Trebuie construite cele trei bisectoare ale unghiurilor; ele se intersectează în centrul cercului înscris (notat de obicei $I$). Acesta este egal depărtat de cele trei laturi. b) Este centrul cercului înscris în triunghi (cercul tangent la cele trei laturi).

Exercițiul 16 · 5 puncte — a) 2 p, b) 3 p. a) $\angle C=180^{\circ }-90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$. b) Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză. Cateta opusă lui $\angle B=30^{\circ }$ este $AC=7\text{cm}$, deci $AC=\frac{BC}{2}\Rightarrow BC=2\cdot AC=2\cdot 7=14\text{cm}$.

Exercițiul 17 · 5 puncte — a) 3 p, b) 2 p. a) În triunghiul echilateral, înălțimea coincide cu mediana, deci $D$ este mijlocul lui $BC$: $BD=3\text{cm}$. Cu Pitagora în $△ABD$ ($\angle D=90^{\circ }$): $A{D}^2=A{B}^2-B{D}^2=6^2-3^2=36-9=27\Rightarrow AD=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\text{cm}\approx 5,2\text{cm}$. b) $G$ împarte mediana în raport $2:1$ dinspre vârf, deci $GD=\frac{1}{3}AD=\frac{1}{3}\cdot 3\sqrt{3}=\sqrt{3}\text{cm}\approx 1,73\text{cm}$.

Exercițiul 18 · 5 puncte — a) 2 p, b) 3 p (răspuns + justificare). a) A. Verificăm reciproca teoremei lui Pitagora: $3^2+4^2=9+16=25=5^2$. Cum pătratul celei mai mari laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două, triunghiul este dreptunghic (unghiul drept este opus laturii de $5\text{cm}$). b) F. Înălțimile se intersectează în interior doar la triunghiurile ascuțitunghice. La un triunghi obtuzunghic ortocentrul este în exterior, iar la cel dreptunghic este în vârful unghiului drept (pe triunghi). Deci afirmația „totdeauna în interior" este falsă.

Grilă de notare orientativă

Recomandare pentru recuperare: itemii 4, 7, 11, 16, 17 acoperă proprietățile-cheie ale triunghiurilor particulare; itemii 14 și 15 disting cercul înscris de cel circumscris — punctele cel mai des confundate.

Pentru părinți

Acest test verifică unitatea „Linii importante în triunghi și triunghiuri particulare" din programa de clasa a VI-a: bisectoare, mediatoare, înălțimi, mediane și punctele lor de concurență, cercul înscris și circumscris, precum și triunghiurile isoscel, echilateral și dreptunghic (inclusiv teorema lui Pitagora).

• Număr de itemi: 18
• Punctaj total: 100 de puncte (din care 10 puncte din oficiu)
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs)
• Cum se aplică: Elevul lucrează individual, fără calculator, cu instrumente geometrice (riglă, compas, echer). Pentru itemii de tip adevărat/fals și pentru cei cu justificare se punctează și motivarea, nu doar răspunsul final. La final, comparați cu secțiunea Barem și răspunsuri și discutați împreună itemii greșiți.

Notă: în acest test, prin „linie importantă" înțelegem una dintre cele patru linii — bisectoare, mediatoare, înălțime, mediană.