Test: Logaritmi și funcția logaritmică

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Funcția exponențială și funcția logaritmică

Exerciții

Partea I – Definiția logaritmului și calcule directe

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Valoarea numărului $lo g_{2} 8$ este: A. $2$ ; B. $3$ ; C. $4$ ; D. $16$ .

b) Valoarea numărului $l g 1000$ este: A. $3$ ; B. $10$ ; C. $30$ ; D. $100$ .

c) Graficul funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{2} x$ , intersectează axa $O x$ în punctul: A. $(0, 1)$ ; B. $(1, 0)$ ; C. $(0, 0)$ ; D. $(2, 0)$ .

Exercițiul 2 (6 puncte)

Calculează, folosind definiția logaritmului („la ce putere trebuie ridicată baza?"), următoarele numere (câte 1 punct):

a) $lo g_{3} 9$ b) $lo g_{5} 125$ c) $lo g_{2} \frac{1}{4}$ d) $l g 0, 01$ e) $lo g_{7} 1$ f) $lo g_{4} 4$

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „ $lo g_{2} 32 = 5$ ." b) „Numărul $lo g_{2} (- 8)$ este un număr real negativ." c) „Funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{\frac{1}{2}} x$ , este strict descrescătoare." d) „ $l g 100 = 10$ ."

Exercițiul 4 (6 puncte)

a) Scrie sub formă de logaritm fiecare dintre egalitățile (câte 1 punct): (3 p) $2^{6} = 64, 5^{- 2} = \frac{1}{25}, 1 0^{4} = 10 000.$

b) Scrie sub formă de putere fiecare dintre egalitățile (câte 1 punct): (3 p) $lo g_{3} 81 = 4, lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3, l g 0, 1 = - 1.$

Partea a II-a – Funcția logaritmică, graficul ei, ln și lg

Exercițiul 5 (8 puncte)

Se consideră funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{2} x$ .

a) Completează tabelul de valori. (3 p)

$x$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$
$f (x)$

b) Trasează graficul funcției într-un reper cartezian, folosind punctele obținute. (2 p) c) Precizează domeniul, imaginea și monotonia funcției $f$ . (2 p) d) Explică de ce graficul nu intersectează axa $O y$ . (1 p)

Exercițiul 6 (7 puncte)

În același reper cartezian sunt desenate graficele funcțiilor $g (x) = 2^{x}$ și $f (x) = lo g_{2} x$ , împreună cu dreapta $y = x$ .

a) Precizează care curbă este graficul funcției exponențiale și care este graficul funcției logaritmice, justificând prin domeniul fiecăreia. (2 p) b) Citește de pe grafic valorile $lo g_{2} 4$ și $2^{- 1}$ . (2 p) c) Explică de ce cele două grafice sunt simetrice față de dreapta $y = x$ . (2 p) d) Precizează coordonatele punctului în care graficul funcției logaritmice taie axa $O x$ . (1 p)

Exercițiul 7 (7 puncte)

a) Precizează ce bază are logaritmul notat $l g x$ și ce bază are logaritmul notat $ln x$ . (2 p) b) Calculează $l g 1$ , $l g 10$ , $l g 100$ și $l g 0, 001$ . (2 p) c) Calculează $ln 1$ și $ln e$ . (2 p) d) Calculează $ln (e^{3})$ . (1 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

a) Arată, fără calculator, că numărul $lo g_{2} 10$ este cuprins între $3$ și $4$ . (2 p) b) Arată, fără calculator, că numărul $l g 500$ este cuprins între $2$ și $3$ . (2 p) c) Compară numerele $lo g_{3} 20$ și $lo g_{3} 30$ fără a le calcula. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Aciditatea unei soluții se măsoară prin $pH = - l g [H^{+}]$ , unde $[H^{+}]$ este concentrația ionilor de hidrogen, exprimată în moli pe litru.

a) Sucul de lămâie are $[H^{+}] = 1 0^{- 2}$ mol/L. Calculează pH-ul lui. (2 p) b) Apa pură are $[H^{+}] = 1 0^{- 7}$ mol/L. Calculează pH-ul ei. (2 p) c) O soluție are $pH = 5$ . Determină concentrația $[H^{+}]$ . (2 p)

Partea a III-a – Scări logaritmice, probleme și itemi de tip examen

Exercițiul 10 (8 puncte)

Nivelul sonor se măsoară în decibeli, după formula $L = 10 \cdot l g \frac{I}{I _{0}}$ , unde $I$ este intensitatea sunetului, iar $I_{0} = 1 0^{- 12}$ W/m² este pragul de auzibilitate.

a) Un aspirator produce un sunet de intensitate $I = 1 0^{- 5}$ W/m². Calculează raportul $\frac{I}{I _{0}}$ și nivelul sonor, în decibeli. (3 p) b) O conversație obișnuită are intensitatea $I = 1 0^{- 6}$ W/m². Calculează nivelul ei sonor. (2 p) c) La un concert, nivelul sonor este de $110$ dB. Determină intensitatea sunetului. (2 p) d) De câte ori este mai intens sunetul de la concert decât cel al aspiratorului? (1 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Magnitudinea unui cutremur pe scara Richter se calculează cu formula $M = l g \frac{A}{A _{0}}$ , unde $A$ este amplitudinea măsurată de seismograf, iar $A_{0}$ este o amplitudine de referință.

a) Un cutremur are amplitudinea $A = 1 0^{5} \cdot A_{0}$ . Determină magnitudinea lui. (2 p) b) Un alt cutremur are magnitudinea $M = 7$ . Determină raportul $\frac{A}{A _{0}}$ pentru el. (2 p) c) De câte ori este mai mare amplitudinea cutremurului de magnitudine $7$ față de cea a cutremurului de magnitudine $5$ ? (2 p) d) Explică de ce o creștere de o singură unitate pe scara Richter înseamnă un cutremur mult mai puternic și de ce este utilă folosirea unei scări logaritmice. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Se consideră funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{3} x$ . a) Calculează $f (1)$ , $f (3)$ , $f (9)$ și $f (\frac{1}{3})$ . (2 p) b) Arată că $f (27) - f (9) = f (3)$ . (2 p) c) Arată că $f (x) < 0$ pentru orice $x \in (0, 1)$ și că $f (x) > 0$ pentru orice $x > 1$ . (3 p) d) Determină numărul real $x$ pentru care $f (x) = 4$ . (1 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) a) Arătați că $lo g_{2} 8 + lo g_{3} 9 = 5$ . (2 p) b) Determinați numărul real pozitiv $x$ pentru care $lo g_{5} x = 3$ . (3 p) c) Determinați numerele naturale $n$ , cu $1 \leq n \leq 20$ , pentru care $lo g_{2} n$ este număr natural. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 2 puncte.

a) B. Întrebarea este „la ce putere ridic pe $2$ ca să obțin $8$ ?". Cum $2^{3} = 8$ , avem $lo g_{2} 8 = 3$ . (Varianta $D$ confundă logaritmul cu puterea însăși.)

b) A. $l g$ înseamnă logaritm în baza $10$ , iar $1 0^{3} = 1000$ , deci $l g 1000 = 3$ . Logaritmul zecimal al unei puteri a lui $10$ este chiar numărul de zerouri.

c) B. Graficul taie axa $O x$ acolo unde $f (x) = 0$ , adică unde $lo g_{2} x = 0$ ; din $2^{0} = 1$ rezultă $x = 1$ , deci punctul este $(1, 0)$ . Varianta $A$ inversează coordonatele, iar $C$ ar cere $x = 0$ , care nici măcar nu face parte din domeniu.

Exercițiul 2. (6 p) — câte 1 punct (se acordă punctul integral doar dacă rezultatul este corect; justificarea prin puterea corespunzătoare este obligatorie la cerere).

a) $lo g_{3} 9 = 2$ , pentru că $3^{2} = 9$ . b) $lo g_{5} 125 = 3$ , pentru că $5^{3} = 125$ . c) $lo g_{2} \frac{1}{4} = - 2$ , pentru că $2^{- 2} = \frac{1}{4}$ . d) $l g 0, 01 = - 2$ , pentru că $1 0^{- 2} = 0, 01$ . e) $lo g_{7} 1 = 0$ , pentru că $7^{0} = 1$ (logaritmul lui $1$ este $0$ în orice bază). f) $lo g_{4} 4 = 1$ , pentru că $4^{1} = 4$ (logaritmul bazei este întotdeauna $1$ ).

Exercițiul 3. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,5 p răspunsul, 1 p justificarea).

a) A. $2^{5} = 32$ , deci exponentul căutat este într-adevăr $5$ .

b) F. Expresia $lo g_{2} (- 8)$ nu are sens: ar însemna un număr $x$ cu $2^{x} = - 8$ , imposibil, fiindcă orice putere a lui $2$ este strict pozitivă. Se pot logaritma doar numerele strict pozitive. (Confuzia frecventă: „logaritmul unui număr negativ este negativ" — de fapt logaritmul poate fi negativ, dar numărul logaritmat nu, ca în $lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3$ .)

c) A. Baza este $\frac{1}{2}$ , iar $0 < \frac{1}{2} < 1$ , deci funcția logaritmică este strict descrescătoare. Verificare: $lo g_{\frac{1}{2}} 2 = - 1$ , iar $lo g_{\frac{1}{2}} 4 = - 2 < - 1$ — argumentul a crescut, valoarea a scăzut.

d) F. $l g 100 = 2$ , pentru că $1 0^{2} = 100$ . Confuzia constă în a răspunde cu numărul logaritmat în loc de exponent.

Exercițiul 4. (6 p)

a) (3 p) Se folosește echivalența $a^{x} = b ⟺ lo g_{a} b = x$ (câte 1 p): $2^{6} = 64 ⟺ lo g_{2} 64 = 6; 5^{- 2} = \frac{1}{25} ⟺ lo g_{5} \frac{1}{25} = - 2; 1 0^{4} = 10000 ⟺ l g 10000 = 4.$

b) (3 p) Aceeași echivalență, citită în sens invers (câte 1 p): $lo g_{3} 81 = 4 ⟺ 3^{4} = 81; lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3 ⟺ 2^{- 3} = \frac{1}{8}; l g 0, 1 = - 1 ⟺ 1 0^{- 1} = 0, 1.$

Exercițiul 5. (8 p)

a) (3 p) Fiecare valoare este exponentul lui $2$ care produce numărul din tabel (câte $0, 5$ p):

$x$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$
$f (x)$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$

b) (2 p) Se marchează punctele $(\frac{1}{4}, - 2)$ , $(\frac{1}{2}, - 1)$ , $(1, 0)$ , $(2, 1)$ , $(4, 2)$ , $(8, 3)$ (1 p) și se unesc printr-o curbă netedă, crescătoare, care coboară abrupt spre axa $O y$ în apropierea lui $0$ , fără să o atingă (1 p). (Se scade 1 p dacă graficul este prelungit la stânga lui $x = 0$ .)

c) (2 p) Domeniul este $(0, + \infty)$ , imaginea este $R$ (1 p); baza fiind $2 > 1$ , funcția este strict crescătoare pe tot domeniul (1 p).

d) (1 p) Axa $O y$ are ecuația $x = 0$ , iar $x = 0$ nu aparține domeniului: nu există niciun exponent care să dea $2^{x} = 0$ . Valorile funcției scad nemărginit când $x$ se apropie de $0$ , deci axa $O y$ este asimptotă, nu punct de intersecție.

Exercițiul 6. (7 p)

a) (2 p) Curba definită pentru orice $x$ real, dar cu valori doar pozitive (deci aflată în întregime deasupra axei $O x$ ), este graficul funcției exponențiale $g (x) = 2^{x}$ (1 p). Curba desenată doar la dreapta axei $O y$ , dar care coboară sub axa $O x$ , este graficul funcției logaritmice $f (x) = lo g_{2} x$ — domeniul ei este $(0, + \infty)$ , iar imaginea este $R$ (1 p).

b) (2 p) $lo g_{2} 4 = 2$ (punctul $(4, 2)$ de pe curba logaritmică) (1 p); $2^{- 1} = \frac{1}{2} = 0, 5$ (punctul $(- 1; 0, 5)$ de pe curba exponențială) (1 p).

c) (2 p) Cele două funcții fac drumuri inverse: exponențiala duce exponentul în putere, iar logaritmul duce puterea înapoi în exponent (1 p). De aceea, dacă punctul $(u, v)$ se află pe graficul lui $2^{x}$ (adică $2^{u} = v$ ), atunci punctul $(v, u)$ se află pe graficul lui $lo g_{2} x$ (adică $lo g_{2} v = u$ ) — iar $(u, v)$ și $(v, u)$ sunt simetrice față de prima bisectoare $y = x$ (1 p). Exemplu de pe figură: $(2, 4)$ și $(4, 2)$ .

d) (1 p) Punctul $(1, 0)$ , deoarece $lo g_{2} 1 = 0$ .

Exercițiul 7. (7 p)

a) (2 p) $l g x = lo g_{10} x$ — logaritmul zecimal, în baza $10$ (1 p); $ln x = lo g_{e} x$ — logaritmul natural, în baza $e \approx 2, 718$ (1 p).

b) (2 p) $l g 1 = 0$ ; $l g 10 = 1$ ; $l g 100 = 2$ ; $l g 0, 001 = - 3$ (câte $0, 5$ p). Ultimul: $0, 001 = \frac{1}{1000} = 1 0^{- 3}$ .

c) (2 p) $ln 1 = 0$ , pentru că $e^{0} = 1$ (1 p); $ln e = 1$ , pentru că $e^{1} = e$ (1 p).

d) (1 p) $ln (e^{3}) = 3$ : exponentul la care trebuie ridicat $e$ pentru a obține $e^{3}$ este chiar $3$ .

Exercițiul 8. (6 p)

a) (2 p) Încadrăm numărul $10$ între două puteri consecutive ale lui $2$ : $2^{3} = 8 < 10 < 16 = 2^{4}$ (1 p). Funcția $lo g_{2}$ fiind strict crescătoare, inegalitățile se păstrează: $lo g_{2} 8 < lo g_{2} 10 < lo g_{2} 16, adic \overset{a}{˘} 3 < lo g_{2} 10 < 4 (1 p) .$ (Pentru control: $lo g_{2} 10 \approx 3, 32$ .)

b) (2 p) Analog, $1 0^{2} = 100 < 500 < 1000 = 1 0^{3}$ (1 p), iar $l g$ este strict crescătoare, deci $2 < l g 500 < 3$ (1 p). (Pentru control: $l g 500 \approx 2, 70$ .)

c) (2 p) Baza este $3 > 1$ , deci funcția $lo g_{3}$ este strict crescătoare (1 p). Din $20 < 30$ rezultă $lo g_{3} 20 < lo g_{3} 30 (1 p) .$

Exercițiul 9. (6 p)

a) (2 p) $pH = - l g 1 0^{- 2} = - (- 2) = 2$ (1 p pentru $l g 1 0^{- 2} = - 2$ , 1 p pentru rezultat). Valoarea mică arată o soluție puternic acidă.

b) (2 p) $pH = - l g 1 0^{- 7} = 7$ (2 p) — valoarea neutră a scării, cea a apei pure.

c) (2 p) Din $- l g [H^{+}] = 5$ rezultă $l g [H^{+}] = - 5$ (1 p), adică $[H^{+}] = 1 0^{- 5}$ mol/L (1 p). (Observație: soluția de la punctul a), cu pH $= 2$ , are concentrația $1 0^{- 2}$ , adică de $1000$ de ori mai mare — pe scara pH, o diferență de o unitate înseamnă un raport de $10$ la $1$ între concentrații.)

Exercițiul 10. (8 p)

a) (3 p) $\frac{I}{I _{0}} = \frac{1 0 ^{- 5}}{1 0 ^{- 12}} = 1 0^{7}$ (1,5 p), deci $L = 10 \cdot l g 1 0^{7} = 10 \cdot 7 = 70 dB (1,5 p) .$

b) (2 p) $\frac{I}{I _{0}} = \frac{1 0 ^{- 6}}{1 0 ^{- 12}} = 1 0^{6}$ (1 p), deci $L = 10 \cdot 6 = 60$ dB (1 p).

c) (2 p) Din $10 \cdot l g \frac{I}{I _{0}} = 110$ rezultă $l g \frac{I}{I _{0}} = 11$ , adică $\frac{I}{I _{0}} = 1 0^{11}$ (1 p). Atunci $I = 1 0^{11} \cdot 1 0^{- 12} = 1 0^{- 1} = 0, 1 W/m^{2} (1 p) .$

d) (1 p) $\frac{1 0 ^{- 1}}{1 0 ^{- 5}} = 1 0^{4} = 10000$ de ori. Deși pe scara decibelilor diferența pare modestă ( $110$ față de $70$ , adică $40$ dB), intensitatea reală este de zece mii de ori mai mare — exact acesta este rostul unei scări logaritmice.

Exercițiul 11. (8 p)

a) (2 p) $M = l g \frac{A}{A _{0}} = l g 1 0^{5} = 5$ (1 p pentru scrierea raportului, 1 p pentru rezultat).

b) (2 p) Din $l g \frac{A}{A _{0}} = 7$ rezultă, prin definiția logaritmului zecimal, $\frac{A}{A _{0}} = 1 0^{7}$ (2 p) — amplitudinea este de zece milioane de ori amplitudinea de referință.

c) (2 p) Raportul amplitudinilor este $\frac{1 0 ^{7} A _{0}}{1 0 ^{5} A _{0}} = 1 0^{2} = 100 ori (2 p) .$

d) (2 p) O creștere de o unitate a magnitudinii înseamnă înmulțirea amplitudinii cu $10$ , pentru că magnitudinea este exponentul lui $10$ , nu amplitudinea însăși (1 p). Scara logaritmică este utilă fiindcă „strânge" numere care se întind pe multe ordine de mărime (de la $A_{0}$ la milioane de $A_{0}$ ) într-un interval mic și comod, de la $1$ la $9$ , ușor de comparat și de comunicat (1 p).

Exercițiul 12. (8 p) — redactare completă.

a) (2 p) $f (1) = lo g_{3} 1 = 0$ ; $f (3) = lo g_{3} 3 = 1$ ; $f (9) = lo g_{3} 9 = 2$ (căci $3^{2} = 9$ ); $f (\frac{1}{3}) = lo g_{3} \frac{1}{3} = - 1$ (căci $3^{- 1} = \frac{1}{3}$ ) — câte $0, 5$ p.

b) (2 p) $f (27) = lo g_{3} 27 = 3$ , fiindcă $3^{3} = 27$ (1 p); $f (9) = 2$ și $f (3) = 1$ , deci $f (27) - f (9) = 3 - 2 = 1 = f (3) (1 p) .$

c) (3 p) Baza este $3 > 1$ , deci $f$ este strict crescătoare pe $(0, + \infty)$ , iar $f (1) = 0$ (1 p). Dacă $0 < x < 1$ , din monotonie rezultă $f (x) < f (1) = 0$ , adică $f (x) < 0$ (1 p). Dacă $x > 1$ , tot din monotonie rezultă $f (x) > f (1) = 0$ , adică $f (x) > 0$ (1 p). $■$ Geometric: graficul taie axa $O x$ exact în $(1, 0)$ și urcă, deci este sub axă la stânga acestui punct și deasupra ei la dreapta.

d) (1 p) $lo g_{3} x = 4 ⟺ x = 3^{4} = 81$ .

Exercițiul 13. (8 p)

a) (2 p) $lo g_{2} 8 = 3$ , pentru că $2^{3} = 8$ , și $lo g_{3} 9 = 2$ , pentru că $3^{2} = 9$ (1 p); prin urmare $lo g_{2} 8 + lo g_{3} 9 = 3 + 2 = 5$ (1 p). $■$

b) (3 p) Prin definiția logaritmului, egalitatea $lo g_{5} x = 3$ este echivalentă cu $5^{3} = x$ (1,5 p), deci $x = 125$ (1 p). Valoarea obținută este strict pozitivă, deci acceptabilă (0,5 p).

c) (3 p) $lo g_{2} n$ este număr natural exact atunci când $n$ este o putere naturală a lui $2$ (1 p): din $lo g_{2} n = k$ rezultă $n = 2^{k}$ . Puterile lui $2$ care nu depășesc $20$ sunt $2^{0} = 1$ , $2^{1} = 2$ , $2^{2} = 4$ , $2^{3} = 8$ , $2^{4} = 16$ (1,5 p), iar $2^{5} = 32 > 20$ . Așadar $n \in {1, 2, 4, 8, 16} (0,5 p) .$

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică înțelegerea logaritmului ca drum invers al puterii, la nivel de trunchi comun. Sunt evaluate trei lucruri: definiția — $lo g_{a} b$ este răspunsul la întrebarea „la ce putere trebuie ridicată baza $a$ pentru a obține numărul $b$ ?" — împreună cu trecerea, în ambele sensuri, între scrierea cu putere și cea cu logaritm; funcția logaritmică $f (x) = lo g_{a} x$ — domeniul, imaginea, monotonia dictată de bază, graficul și oglindirea lui față de graficul funcției exponențiale; și aplicațiile, adică scările logaritmice prin care oamenii de știință comprimă numere uriașe: pH-ul în chimie, decibelii în acustică, magnitudinea cutremurelor. Sunt acoperite lecțiile Logaritmul: întrebarea «la ce putere?», Funcția logaritmică și graficul ei, Logaritm natural și logaritm zecimal și Scări logaritmice: pH, decibeli, magnitudine. La acest nivel nu se cer ecuații logaritmice și nici calcule cu proprietățile logaritmului — tot ce apare se poate obține direct din definiție.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie de matematică, cu riglă și fără calculator — toți logaritmii ceruți au valori exacte, obținute din definiție. Se acceptă drept justificare scrierea puterii corespunzătoare (de exemplu „ $lo g_{2} 8 = 3$ pentru că $2^{3} = 8$ "), iar la itemii de încadrare se cere explicit inegalitatea dublă folosită. La final se compară rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe traducerea „putere ↔ logaritm" și pe citirea graficului funcției logaritmice.
Formule de reținut: pentru $a > 0$ , $a \neq = 1$ și $b > 0$ , logaritmul $lo g_{a} b$ este exponentul $x$ cu proprietatea $a^{x} = b$ ; cele două scrieri sunt echivalente: $lo g_{a} b = x ⟺ a^{x} = b$ . Consecințe imediate din definiție: $lo g_{a} 1 = 0$ (fiindcă $a^{0} = 1$ ), $lo g_{a} a = 1$ , $lo g_{a} (a^{n}) = n$ . Nu există logaritm pentru $b \leq 0$ , pentru că o putere cu bază pozitivă este mereu strict pozitivă. Funcția logaritmică este $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{a} x$ : domeniul este $(0, + \infty)$ , imaginea este $R$ , graficul trece întotdeauna prin punctul $(1, 0)$ și are axa $O y$ drept asimptotă. Monotonia: dacă $a > 1$ , funcția este strict crescătoare; dacă $0 < a < 1$ , este strict descrescătoare. Graficul lui $lo g_{a} x$ este simetricul graficului lui $a^{x}$ față de dreapta $y = x$ (prima bisectoare), pentru că cele două funcții fac drumuri inverse. Notații speciale: $l g x = lo g_{10} x$ (logaritm zecimal) și $ln x = lo g_{e} x$ (logaritm natural, cu $e \approx 2, 718$ ). Scări logaritmice: $pH = - l g [H^{+}]$ ; nivelul sonor $L = 10 \cdot l g \frac{I}{I _{0}}$ decibeli, cu $I_{0} = 1 0^{- 12}$ W/m²; magnitudinea $M = l g \frac{A}{A _{0}}$ .

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".