Test: Mediană, mod și amplitudine — Clasa a VIII-a

Unitatea: Elemente de statistică · Programa: clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017)

Exerciții

Exercițiul 1 (6 puncte)

Se dă setul de date: $3, 7, 5, 9, 5, 8, 5$ .

a) Ordonează datele crescător. (1p)
b) Determină mediana. (2p)
c) Determină modul. (1,5p)
d) Determină amplitudinea. (1,5p)

Exercițiul 2 (5 puncte)

La un magazin s-au măsurat, în 6 zile, cantitățile de pâine vândute (în kg): $12, 15, 11, 18, 14, 16$ .

a) Calculează mediana cantităților. (2,5p)
b) Calculează amplitudinea. (1,5p)
c) Are acest set mod? Justifică. (1p)

Exercițiul 3 (8 puncte)

Notele obținute de elevii unei clase la un test sunt trecute în tabelul de frecvențe:

Nota	5	6	7	8	9	10
Frecvența (nr. elevi)	2	4	5	6	2	1

a) Câți elevi are clasa? (1p)
b) Calculează frecvența relativă a notei 8 (procentual). (2p)
c) Care este modul notelor? (1,5p)
d) Care este amplitudinea? (1,5p)
e) Determină mediana notelor. (2p)

Exercițiul 4 (5 puncte)

Temperaturile (în °C) înregistrate la ora 8 dimineața, timp de o săptămână, au fost: $- 2, 3, 5, - 1, 4, 6, 0.$

a) Calculează amplitudinea temperaturilor. (2p)
b) Determină mediana. (2p)
c) Are setul mod? Justifică. (1p)

Exercițiul 5 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică printr-un exemplu sau o explicație. (câte 2p)

a) „Mediana unui set de date este întotdeauna una dintre valorile setului."
b) „Amplitudinea unui set de date poate fi egală cu 0."
c) „Un set de date are întotdeauna exact un singur mod."

Exercițiul 6 (5 puncte)

Cinci numere naturale, scrise în ordine crescătoare, sunt: $3, 7, x, 12, 15,$ iar mediana lor este 10.

a) Determină valoarea lui $x$ . (3p)
b) Calculează amplitudinea setului. (2p)

Exercițiul 7 (6 puncte)

Se consideră setul de date $A : 4, 6, 8, 10$ .

a) Calculează mediana și media aritmetică ale setului $A$ . (2p)
b) La set se adaugă valoarea 20, obținând setul $B : 4, 6, 8, 10, 20$ . Calculează mediana și media ale setului $B$ . (2p)
c) Care indicator (media sau mediana) este mai puternic influențat de valoarea extremă 20? Justifică pe baza calculelor. (2p)

Exercițiul 8 (8 puncte)

Notele obținute de doi elevi la 5 teste sunt:

Ana: $8, 8, 9, 9, 10$
Barbu: $6, 8, 9, 10, 10$
a) Determină mediana notelor fiecărui elev. (2p)
b) Calculează media aritmetică a notelor fiecărui elev. (2p)
c) Calculează amplitudinea notelor fiecărui elev. (2p)
d) Care dintre cei doi are rezultate mai constante (mai omogene)? Justifică folosind un indicator potrivit. (2p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Salariile lunare (în lei) ale celor 5 angajați ai unei firme mici sunt: $2500, 2800, 3000, 3200, 15000.$

a) Calculează media aritmetică a salariilor. (2p)
b) Determină mediana salariilor. (2p)
c) Care dintre cei doi indicatori descrie mai bine salariul „obișnuit" din firmă? Justifică. (2p)

Exercițiul 10 (7 puncte)

Diagrama cu bare de mai jos arată câte cărți au citit, într-o lună, elevii unei clase.

Cărți citite / număr de elevi

Nr. cărți citite	0	1	2	3	4
Nr. elevi	3	5	8	6	3

a) Câți elevi are clasa? (1p)
b) Care este modul (numărul de cărți cel mai frecvent)? (1,5p)
c) Calculează amplitudinea. (1,5p)
d) Determină mediana numărului de cărți citite. (2p)
e) Calculează media aritmetică a numărului de cărți citite. (1p)

Exercițiul 11 (5 puncte)

Se dă setul de date: $2, 3, 3, 5, 7, 7, 8$ .

a) Determină modul. (2p)
b) Calculează amplitudinea. (1,5p)
c) Determină mediana. (1,5p)

Exercițiul 12 (6 puncte)

Media aritmetică a numerelor $4, 8, 6, x, 12$ este egală cu 8.

a) Determină valoarea lui $x$ . (3p)
b) Determină mediana celor cinci numere. (2p)
c) Calculează amplitudinea. (1p)

Exercițiul 13 (5 puncte)

Un sondaj despre numărul de frați ai elevilor a dat rezultatele:

Nr. de frați	0	1	2	3
Nr. de elevi	3	4	2	1

a) Determină mediana numărului de frați. (2p)
b) Care este modul? (1,5p)
c) Calculează amplitudinea. (1,5p)

Exercițiul 14 (4 puncte)

Se consideră setul de date $5, 7, 9, 11, 13$ . Cea mai mare valoare, 13, este înlocuită cu 20, obținând setul $5, 7, 9, 11, 20$ .

Care dintre indicatorii medie, mediană, amplitudine NU își schimbă valoarea? Justifică prin calcul. (4p)

Exercițiul 15 (4 puncte)

Se dă setul de date: $14, 10, 14, 18, 14, 12$ .

a) Determină mediana. (1,5p)
b) Determină modul. (1,5p)
c) Calculează amplitudinea. (1p)

Exercițiul 16 (4 puncte)

Un magazin de încălțăminte a vândut într-o zi pantofi de următoarele mărimi: $39, 40, 40, 41, 40, 38, 40, 42, 39.$

a) Care este modul mărimilor vândute? (2p)
b) Ca să decidă ce mărime să comande în cantitatea cea mai mare, patronul se uită la mod, nu la medie sau la mediană. Explică de ce modul este indicatorul cel mai util în această situație. (2p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 100 de puncte = 90 de puncte (itemi) + 10 puncte din oficiu.

Exercițiul 1 (6p)

a) Ordonat: $3, 5, 5, 5, 7, 8, 9$ . (1p)
b) $n = 7$ (impar) → mediana este valoarea din mijloc (a 4-a): mediana $= 5$ . (2p)
c) Valoarea 5 apare de 3 ori (cel mai des): modul $= 5$ . (1,5p)
d) Amplitudinea $= 9 - 3 = 6$ . (1,5p)

Exercițiul 2 (5p)

a) Ordonat: $11, 12, 14, 15, 16, 18$ . $n = 6$ (par) → media celor două valori din mijloc: $\frac{14 + 15}{2} = 14, 5$ kg. (2,5p)
b) Amplitudinea $= 18 - 11 = 7$ kg. (1,5p)
c) Nu are mod: toate valorile apar o singură dată (toate frecvențele sunt 1). (1p)

Exercițiul 3 (8p)

a) $2 + 4 + 5 + 6 + 2 + 1 = 20$ elevi. (1p)
b) Frecvența relativă a notei 8: $\frac{6}{20} = 0, 3 = 30%$ . (2p)
c) Nota 8 are frecvența cea mai mare (6): modul $= 8$ . (1,5p)
d) Amplitudinea $= 10 - 5 = 5$ . (1,5p)
e) $n = 20$ (par) → media valorilor de pe pozițiile 10 și 11. Cumulat: nota 5 (poz. 1–2), 6 (3–6), 7 (7–11). Ambele poziții cad la nota 7 → mediana $= 7$ . (2p)

Exercițiul 4 (5p)

a) Amplitudinea $= 6 - (- 2) = 8^{\circ} C$ . (2p)
b) Ordonat: $- 2, - 1, 0, 3, 4, 5, 6$ . $n = 7$ → valoarea a 4-a: mediana $= 3^{\circ} C$ . (2p)
c) Nu are mod: toate temperaturile sunt diferite. (1p)

Exercițiul 5 (6p)

a) FALS. La un număr par de date mediana este media celor două valori din mijloc și poate să nu fie în set. Ex.: $2, 4$ → mediana $= \frac{2 + 4}{2} = 3$ , care nu apare în set. (2p)
b) ADEVĂRAT. Dacă toate valorile sunt egale, diferența dintre cea mai mare și cea mai mică este 0. Ex.: $5, 5, 5$ → amplitudinea $= 5 - 5 = 0$ . (2p)
c) FALS. Un set poate fi bimodal (două moduri, ex. $2, 2, 5, 5$ ) sau poate să nu aibă mod (toate valorile distincte). (2p)

Exercițiul 6 (5p)

a) $n = 5$ (impar) → mediana este a 3-a valoare, adică $x$ . Cum mediana $= 10$ , rezultă $x = 10$ (și $7 \leq 10 \leq 12$ , deci ordonarea se păstrează). (3p)
b) Amplitudinea $= 15 - 3 = 12$ . (2p)

Exercițiul 7 (6p)

a) $A : 4, 6, 8, 10$ . Mediana $= \frac{6 + 8}{2} = 7$ ; media $= \frac{4 + 6 + 8 + 10}{4} = \frac{28}{4} = 7$ . (2p)
b) $B : 4, 6, 8, 10, 20$ . Mediana (a 3-a valoare) $= 8$ ; media $= \frac{48}{5} = 9, 6$ . (2p)
c) Media este mai influențată: crește de la 7 la 9,6 (cu 2,6), în timp ce mediana crește doar de la 7 la 8 (cu 1). Valorile extreme afectează mai mult media decât mediana. (2p)

Exercițiul 8 (8p)

a) Ambele seturi sunt deja ordonate, $n = 5$ → valoarea a 3-a. Ana: mediana $= 9$ ; Barbu: mediana $= 9$ . (2p)
b) Ana: $\frac{8 + 8 + 9 + 9 + 10}{5} = \frac{44}{5} = 8, 8$ . Barbu: $\frac{6 + 8 + 9 + 10 + 10}{5} = \frac{43}{5} = 8, 6$ . (2p)
c) Ana: $10 - 8 = 2$ . Barbu: $10 - 6 = 4$ . (2p)
d) Ana are rezultate mai constante (omogene): amplitudinea ei (2) este mai mică decât a lui Barbu (4), deci notele sunt mai apropiate între ele. (2p)

Exercițiul 9 (6p)

a) Media $= \frac{2500 + 2800 + 3000 + 3200 + 15000}{5} = \frac{26500}{5} = 5300$ lei. (2p)
b) Ordonate crescător, $n = 5$ → valoarea din mijloc: mediana $= 3000$ lei. (2p)
c) Mediana (3000 lei) descrie mai bine salariul obișnuit. Media (5300 lei) este „trasă" în sus de salariul foarte mare de 15000 lei și nu reflectă cât câștigă cu adevărat majoritatea angajaților. (2p)

Exercițiul 10 (7p)

a) $3 + 5 + 8 + 6 + 3 = 25$ elevi. (1p)
b) Valoarea 2 cărți are frecvența cea mai mare (8): modul $= 2$ . (1,5p)
c) Amplitudinea $= 4 - 0 = 4$ . (1,5p)
d) $n = 25$ (impar) → valoarea de pe poziția 13. Cumulat: 0 (poz. 1–3), 1 (4–8), 2 (9–16). Poziția 13 cade la „2 cărți" → mediana $= 2$ . (2p)
e) Media $= \frac{0 \cdot 3 + 1 \cdot 5 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 3}{25} = \frac{0 + 5 + 16 + 18 + 12}{25} = \frac{51}{25} = 2, 04$ . (1p)

Exercițiul 11 (5p)

a) Valorile 3 și 7 apar fiecare de 2 ori → set bimodal: modurile sunt 3 și 7. (2p)
b) Amplitudinea $= 8 - 2 = 6$ . (1,5p)
c) Setul e ordonat, $n = 7$ → valoarea a 4-a: mediana $= 5$ . (1,5p)

Exercițiul 12 (6p)

a) Suma $= 8 \cdot 5 = 40$ . Cum $4 + 8 + 6 + 12 = 30$ , rezultă $x = 40 - 30 = 10$ . (3p)
b) Ordonate: $4, 6, 8, 10, 12$ ; $n = 5$ → valoarea a 3-a: mediana $= 8$ . (2p)
c) Amplitudinea $= 12 - 4 = 8$ . (1p)

Exercițiul 13 (5p)

a) $n = 3 + 4 + 2 + 1 = 10$ (par) → media valorilor de pe pozițiile 5 și 6. Cumulat: 0 frați (poz. 1–3), 1 frate (4–7). Ambele poziții cad la „1 frate" → mediana $= 1$ . (2p)
b) Valoarea „1 frate" are frecvența cea mai mare (4): modul $= 1$ . (1,5p)
c) Amplitudinea $= 3 - 0 = 3$ . (1,5p)

Exercițiul 14 (4p)

Mediana NU se schimbă. Ambele seturi sunt ordonate, $n = 5$ , iar valoarea din mijloc rămâne $9$ (mediana $= 9$ în ambele cazuri). Ceilalți se modifică: media trece de la $\frac{45}{5} = 9$ la $\frac{52}{5} = 10, 4$ , iar amplitudinea de la $13 - 5 = 8$ la $20 - 5 = 15$ . (4p)

Exercițiul 15 (4p)

a) Ordonat: $10, 12, 14, 14, 14, 18$ ; $n = 6$ → $\frac{14 + 14}{2} = 14$ . (1,5p)
b) Valoarea 14 apare de 3 ori: modul $= 14$ . (1,5p)
c) Amplitudinea $= 18 - 10 = 8$ . (1p)

Exercițiul 16 (4p)

a) Mărimea 40 apare de 4 ori (cel mai des): modul $= 40$ . (2p)
b) Patronul vrea să știe care mărime se cere cel mai des (se vinde în cele mai multe bucăți). Modul indică exact valoarea cu frecvența cea mai mare. Media ar putea da un număr care nici nu există ca mărime (ex. 39,8), iar mediana arată mărimea „de la mijloc", nu pe cea mai cerută — de aceea niciuna nu ajută la decizia de stoc la fel de bine ca modul. (2p)

Total: 90 de puncte + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică dacă elevul poate determina mediana (pentru un număr par și impar de date), modul și amplitudinea unui set de date, precum și dacă interpretează și compară indicatorii tendinței centrale (medie, mediană, mod) în situații practice. Sunt incluse și itemi despre frecvența absolută și relativă și citirea datelor dintr-o diagramă.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte pentru cei 16 itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 45–50 de minute.
Cum se aplică: elevul lucrează individual, fără calculator, arătând calculele. Fiecare item are punctajul trecut în paranteză. La itemii cu subpuncte, se acordă punctajul parțial. La final se verifică folosind ## Barem și răspunsuri.

Reamintește regula medianei: se ordonează întâi datele crescător. Dacă numărul de date $n$ este impar, mediana este valoarea din mijloc (poziția $\frac{n + 1}{2}$ ). Dacă $n$ este par, mediana este media aritmetică a celor două valori din mijloc.