Test: Modulul, compararea și axa numerelor reale

Exerciții

Exercițiul 1 (6 puncte) — Recunoașterea numerelor iraționale

Dintre numerele de mai jos, transcrie-le doar pe cele iraționale:

$$\sqrt{16},\sqrt{3},5,(27),\pi ,-\sqrt{8},\frac{7}{11},2,313113111\dots ,\sqrt{\frac{49}{100}}$$

(La numărul $2,313113111\dots$ numărul de cifre $1$ dintre cifrele $3$ crește mereu cu una.)

Exercițiul 2 (5 puncte) — Adevărat sau fals (incluziuni în ℝ)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt:

a) Orice număr întreg este număr rațional. b) $\sqrt{2}\in \mathbb{Q}$. c) $-3\in \mathbb{N}$. d) Orice număr rațional este număr real. e) $0,(3)\in \mathbb{Q}$.

Exercițiul 3 (6 puncte) — Calculul modulului

Scrie fiecare modul sub cea mai simplă formă (fără radical în care apare un modul):

a) $|-12|$ b) $|0|$ c) $|\sqrt{5}-3|$ d) $|\sqrt{11}-3|$ e) $|2-\sqrt{7}|$

Exercițiul 4 (6 puncte) — Ecuații cu modul

Determină toate numerele reale $x$ pentru care:

a) $|x|=6$ b) $|x|=0$ c) $|x|=-3$ d) $|x|=\sqrt{2}$

Exercițiul 5 (5 puncte) — Distanța dintre două numere

Calculează distanța pe axă dintre numerele date, folosind $d(a,b)=|a-b|$:

a) $3$ și $11$ b) $-4$ și $6$ c) $-2$ și $-9$ d) $\sqrt{2}$ și $\sqrt{8}$

Exercițiul 6 (6 puncte) — Puncte la distanță dată

Folosind interpretarea modulului ca distanță, determină toate valorile lui $x$:

a) distanța de la $x$ la $4$ este egală cu $3$; b) distanța de la $x$ la $-2$ este egală cu $5$.

Exercițiul 7 (6 puncte) — Ordonarea numerelor reale

Ordonează crescător numerele următoare, apoi scrie șirul cu semnele „$<$":

$$-3,\sqrt{5},\frac{22}{7},-\sqrt{2},0,\frac{5}{2},\pi$$

(Atenție la ultimele două: $\pi$ și $\frac{22}{7}$ sunt foarte apropiate.)

Exercițiul 8 (6 puncte) — Comparări cu justificare (fără calculator)

Compară fiecare pereche (pune $<$, $>$ sau $=$) și justifică prin ridicare la pătrat sau prin încadrare:

a) $\sqrt{50}$ și $7$ b) $3\sqrt{2}$ și $2\sqrt{3}$ c) $-\sqrt{8}$ și $-3$

Exercițiul 9 (6 puncte) — Aproximare și poziționare pe axă

Se dă numărul $\sqrt{30}$.

a) Între ce două numere naturale consecutive se află $\sqrt{30}$? Justifică. b) Găsește aproximările prin lipsă și prin adaos, cu o zecimală. c) Așază $\sqrt{30}$ pe axa de mai jos, la poziția aproximativă corectă.

Exercițiul 10 (5 puncte) — Problemă aplicată (distanță verticală)

Într-o măsurătoare din portul unui șantier, un submarin de cercetare se află la adâncimea de $180$ m sub nivelul mării (cotă $-180$ m), iar o dronă zboară la $60$ m deasupra nivelului mării (cotă $+60$ m), pe aceeași verticală.

a) Scrie, folosind modulul, expresia distanței verticale dintre dronă și submarin. b) Calculează această distanță.

Exercițiul 11 (5 puncte) — Punct pe axă (cu figură)

Pe axa numerelor, punctul $M$ are coordonata $x$ și se știe că $M$ se află la distanța $4$ de punctul de coordonată $-1$.

a) Scrie ecuația cu modul care descrie situația. b) Determină toate coordonatele posibile ale lui $M$.

Exercițiul 12 (6 puncte) — Proprietățile modulului (adevărat/fals)

Stabilește A/F. Dacă afirmația este falsă, dă un contraexemplu numeric:

a) $|a|\ge 0$ pentru orice număr real $a$. b) Dacă $|a|=|b|$, atunci $a=b$. c) $|a\cdot b|=|a|\cdot |b|$ pentru orice numere reale $a,b$. d) $|a+b|=|a|+|b|$ pentru orice numere reale $a,b$. e) $|-a|=|a|$ pentru orice număr real $a$.

Exercițiul 13 (5 puncte) — Expresii cu module

Calculează, eliminând corect modulele:

a) $E=|2-\sqrt{3}|+|\sqrt{3}-1|$ b) $F=|\sqrt{7}-3|+|2-\sqrt{7}|$

Exercițiul 14 (6 puncte) — Segment pe axă (cu figură)

Pe axa numerelor sunt date punctele $A$ de coordonată $-4$ și $B$ de coordonată $6$.

a) Calculează lungimea segmentului $AB$. b) Determină coordonata mijlocului $M$ al segmentului $AB$. c) Determină coordonata punctului $C$, simetricul lui $A$ față de $B$, și verifică prin calcul că $BC=AB$.

Exercițiul 15 (6 puncte) — Numere cu modul dat (întregi și reale)

a) Determină toate numerele întregi $n$ pentru care $|n|<4$. b) Determină toate numerele întregi $n$ pentru care $|n|\le 2$. c) Descrie toate numerele reale $x$ pentru care $|x|\le 3$ și reprezintă-le pe axă.

Exercițiul 16 (5 puncte) — Reprezentare prin aproximări pe axă

Reprezintă pe aceeași axă numerele $-\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ și $\sqrt{7}$, folosind pentru radicali aproximările prin lipsă cu o zecimală. Notează pentru fiecare aproximarea folosită.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Exercițiul 1 (6 p)

Iraționale: $\sqrt{3}$, $\pi$, $-\sqrt{8}$, $2,313113111\dots$

Explicație: $\sqrt{16}=4\in \mathbb{Q}$; $5,(27)$ este zecimală periodică $\Rightarrow$ rațional; $\frac{7}{11}$ este fracție ordinară $\Rightarrow$ rațional; $\sqrt{\frac{49}{100}}=\frac{7}{10}=0,7\in \mathbb{Q}$. Rămân iraționale $\sqrt{3}$, $\pi$, $-\sqrt{8}=-2\sqrt{2}$ (radical dintr-un număr care nu este pătrat perfect) și $2,313113111\dots$ (zecimală infinită neperiodică). (Câte 1,5 p pentru fiecare număr irațional corect identificat; se scade dacă sunt incluse și numere raționale.)

Exercițiul 2 (5 p — câte 1 p)

a) A — $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$ (orice întreg $k=\frac{k}{1}$). b) F — $\sqrt{2}$ este irațional, deci $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$. c) F — $\mathbb{N}$ conține doar numere naturale ($0,1,2,\dots$); $-3\in \mathbb{Z}$, dar $-3\notin \mathbb{N}$. d) A — $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$. e) A — $0,(3)$ este periodic și $0,(3)=\frac{1}{3}\in \mathbb{Q}$.

Exercițiul 3 (6 p)

a) $|-12|=12$ b) $|0|=0$ c) $\sqrt{5}\approx 2,24<3\Rightarrow \sqrt{5}-3<0\Rightarrow |\sqrt{5}-3|=3-\sqrt{5}$ d) $\sqrt{11}\approx 3,32>3\Rightarrow \sqrt{11}-3>0\Rightarrow |\sqrt{11}-3|=\sqrt{11}-3$ e) $\sqrt{7}\approx 2,65>2\Rightarrow 2-\sqrt{7}<0\Rightarrow |2-\sqrt{7}|=\sqrt{7}-2$ (Câte ~1,2 p; la c–e se punctează stabilirea corectă a semnului.)

Exercițiul 4 (6 p)

a) $|x|=6\Rightarrow x\in \{-6,6\}$ b) $|x|=0\Rightarrow x=0$ c) $|x|=-3$: un modul nu poate fi negativ $\Rightarrow$ nu există soluție ($x\in \varnothing$). d) $|x|=\sqrt{2}\Rightarrow x\in \{-\sqrt{2},\sqrt{2}\}$ (Câte 1,5 p; la c) se punctează justificarea „modulul $\ge 0$".)

Exercițiul 5 (5 p)

a) $|3-11|=|-8|=8$ b) $|-4-6|=|-10|=10$ c) $|-2-(-9)|=|7|=7$ d) $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, deci $|\sqrt{2}-\sqrt{8}|=|\sqrt{2}-2\sqrt{2}|=|-\sqrt{2}|=\sqrt{2}$ (Câte ~1,25 p.)

Exercițiul 6 (6 p — câte 3 p)

a) $|x-4|=3\Rightarrow x-4=3$ sau $x-4=-3\Rightarrow x=7$ sau $x=1$. b) $|x-(-2)|=5\Rightarrow |x+2|=5\Rightarrow x+2=5$ sau $x+2=-5\Rightarrow x=3$ sau $x=-7$.

Exercițiul 7 (6 p)

Valori aproximative: $-\sqrt{2}\approx -1,41$; $\sqrt{5}\approx 2,24$; $\frac{5}{2}=2,5$; $\pi \approx 3,1416$; $\frac{22}{7}\approx 3,1429$.

$$-3<-\sqrt{2}<0<\sqrt{5}<\frac{5}{2}<\pi <\frac{22}{7}$$

Observație: $\pi \approx 3,14159<3,14286\approx \frac{22}{7}$, deci $\pi <\frac{22}{7}$ ($\frac{22}{7}$ este doar o aproximare prin adaos a lui $\pi$). (4 p ordinea corectă; 2 p distincția $\pi <\frac{22}{7}$.)

Exercițiul 8 (6 p — câte 2 p)

a) $7=\sqrt{49}$ și $49<50\Rightarrow \sqrt{49}<\sqrt{50}\Rightarrow \boxed{\sqrt{50}>7}$. b) $(3\sqrt{2}{)}^2=9\cdot 2=18$; $(2\sqrt{3}{)}^2=4\cdot 3=12$. Cum $18>12$ și ambele sunt pozitive $\Rightarrow \boxed{3\sqrt{2}>2\sqrt{3}}$. c) $8<9\Rightarrow \sqrt{8}<3\Rightarrow -\sqrt{8}>-3$, deci $\boxed{-\sqrt{8}>-3}$ (la numere negative, cel cu modul mai mic este mai mare).

Exercițiul 9 (6 p)

a) $25<30<36\Rightarrow \sqrt{25}<\sqrt{30}<\sqrt{36}\Rightarrow 5<\sqrt{30}<6$. (2 p) b) $5,4^2=29,16<30$ și $5,5^2=30,25>30\Rightarrow$ aproximare prin lipsă $5,4$, prin adaos $5,5$ (rotunjit la zecimi: $5,5$). (2 p) c) $\sqrt{30}\approx 5,48$, marcat între $5,4$ și $5,5$, foarte aproape de $5,5$. (2 p)

Exercițiul 10 (5 p)

a) $d=|60-(-180)|$ (sau $|-180-60|$). (2 p) b) $d=|60+180|=|240|=240$ m. (3 p) Distanța verticală dintre dronă și submarin este de 240 de metri.

Exercițiul 11 (5 p)

a) $|x-(-1)|=4$, adică $|x+1|=4$. (2 p) b) $x+1=4$ sau $x+1=-4\Rightarrow x=3$ sau $x=-5$. Coordonatele posibile ale lui $M$ sunt $3$ și $-5$. (3 p)

Exercițiul 12 (6 p)

a) A — modulul este, prin definiție, o distanță, deci nenegativ. (1 p) b) F — contraexemplu: $a=3$, $b=-3$; atunci $|a|=|b|=3$, dar $a\ne b$. (Corect ar fi: $a=b$ sau $a=-b$.) (1,5 p) c) A — proprietatea modulului produsului: $|a\cdot b|=|a|\cdot |b|$. (1 p) d) F — contraexemplu: $a=3$, $b=-5\Rightarrow |a+b|=|-2|=2$, dar $|a|+|b|=3+5=8$; $2\ne 8$. (În general $|a+b|\le |a|+|b|$.) (1,5 p) e) A — $-a$ și $a$ sunt opuse, la aceeași distanță de $0$, deci au același modul. (1 p)

Exercițiul 13 (5 p)

a) $\sqrt{3}\approx 1,73$: $2-\sqrt{3}>0\Rightarrow |2-\sqrt{3}|=2-\sqrt{3}$; $\sqrt{3}-1>0\Rightarrow |\sqrt{3}-1|=\sqrt{3}-1$. $$E=(2-\sqrt{3})+(\sqrt{3}-1)=1.$$ b) $\sqrt{7}\approx 2,65$: $\sqrt{7}-3<0\Rightarrow |\sqrt{7}-3|=3-\sqrt{7}$; $2-\sqrt{7}<0\Rightarrow |2-\sqrt{7}|=\sqrt{7}-2$. $$F=(3-\sqrt{7})+(\sqrt{7}-2)=1.$$ (Câte 2,5 p; se punctează stabilirea corectă a semnelor.)

Exercițiul 14 (6 p — câte 2 p)

a) $AB=|6-(-4)|=|10|=10$. b) Mijlocul: $x_M=\frac{-4+6}{2}=\frac{2}{2}=1$, deci $M$ are coordonata $1$. c) $C$ simetricul lui $A$ față de $B$ $\Rightarrow B$ este mijlocul lui $AC$: $6=\frac{-4+x_C}{2}\Rightarrow x_C=16$. Verificare: $BC=|16-6|=10=AB$. ✓

Exercițiul 15 (6 p)

a) $|n|<4$, $n$ întreg $\Rightarrow n\in \{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$ (7 valori). (2 p) b) $|n|\le 2$, $n$ întreg $\Rightarrow n\in \{-2,-1,0,1,2\}$ (5 valori). (2 p) c) $|x|\le 3$, $x$ real $\Rightarrow$ toate numerele reale cuprinse între $-3$ și $3$, inclusiv capetele (segmentul de la $-3$ la $3$). (2 p)

Exercițiul 16 (5 p)

Aproximări prin lipsă la zecimi: $\sqrt{3}\approx 1,7$ (deoarece $1,7^2=2,89<3$); $\sqrt{7}\approx 2,6$ (deoarece $2,6^2=6,76<7$); $-\sqrt{2}$: $\sqrt{2}\approx 1,4$ (prin lipsă), deci $-\sqrt{2}\approx -1,4$.

Ordinea pe axă: $-\sqrt{2}(\approx -1,4)<\sqrt{3}(\approx 1,7)<\sqrt{7}(\approx 2,6)$.

(Câte ~1,7 p pentru fiecare număr poziționat corect, cu aproximarea notată.)

Total: 90 de puncte + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Grilă orientativă de notare

Pentru părinți și profesori

Acest test evaluează competențele din unitatea „Mulțimea numerelor reale ℝ": recunoașterea numerelor iraționale, incluziunile $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$, reprezentarea numerelor reale pe axă prin aproximări, modulul (valoarea absolută) cu proprietățile sale, modulul ca distanță pe axa numerelor, precum și compararea și ordonarea numerelor reale.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte pe itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute.
• Materiale permise: riglă și creion pentru desenele pe axă. Fără calculator — comparările se fac prin raționament (încadrare între numere, ridicare la pătrat).
• Cum se aplică: itemii sunt gradați ca dificultate, de la recunoaștere și calcul direct (1–5) spre raționament, justificare și probleme aplicate (11–16). La itemii de tip „adevărat/fals" și la comparări se punctează justificarea, nu doar răspunsul final. Pentru desenele pe axă se acceptă orice reprezentare corectă ca ordine și poziționare aproximativă.

Reamintim definiția folosită în tot testul:

$$|a|=\{\begin{array}{ll}a,& \text{daca˘ }a\ge 0\\ -a,& \text{daca˘ }a<0\end{array}$$

iar distanța dintre două numere reale $a$ și $b$, ca lungime pe axă, este $d(a,b)=|a-b|$.