Test: mulțimi, relații între mulțimi și cardinal

Exerciții

Exercițiul 1 (6 puncte) — Descriere și reprezentare

Fie mulțimea divizorilor naturali ai numărului 18: $$A=\{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ este divizor al lui }18\}.$$

a) Scrieți mulțimea $A$ prin enumerarea elementelor (descriere sintetică → desfășurată). b) Precizați $\mathrm{card}A$. c) Reprezentați mulțimea $A$ printr-o diagramă.

Exercițiul 2 (5 puncte) — Descriere cu condiție

Fie $B=\{x\in \mathbb{N}\mid 2\le x<9\}$.

a) Scrieți mulțimea $B$ prin enumerarea elementelor. b) Calculați $\mathrm{card}B$.

Exercițiul 3 (6 puncte) — Relația de incluziune (adevărat/fals cu motivare)

Se dau mulțimile $M=\{1,2,3\}$ și $N=\{1,2,3,4,5\}$. Stabiliți dacă fiecare afirmație este adevărată sau falsă și justificați pe scurt:

a) $M\subset N$ b) $N\subset M$ c) $3\in M$ d) $\{3\}\subset M$ e) $4\in M$

Exercițiul 4 (5 puncte) — Relația de egalitate

Fie $A=\{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ este divizor al lui }6\}$ și $B=\{1,2,3,6\}$.

Stabiliți dacă $A=B$ și justificați răspunsul.

Exercițiul 5 (6 puncte) — Mulțimi finite și infinite

Pentru fiecare mulțime de mai jos, precizați dacă este finită sau infinită. Pentru cele finite, scrieți și cardinalul.

a) $\mathbb{N}$ (mulțimea numerelor naturale) b) $P=\{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ este par și are o singura˘ cifra˘}\}$ c) $Q=\{x\in \mathbb{N}\mid x>100\}$ d) $D=\{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ este divizor al lui }20\}$

Exercițiul 6 (5 puncte) — Reuniunea

Fie $A=\{1,2,3,4,5\}$ și $B=\{4,5,6,7\}$.

a) Determinați $A\cup B$. b) Calculați $\mathrm{card}(A\cup B)$.

Exercițiul 7 (5 puncte) — Intersecția

Folosind mulțimile $A=\{1,2,3,4,5\}$ și $B=\{4,5,6,7\}$ de la itemul precedent:

a) Determinați $A\cap B$. b) Calculați $\mathrm{card}(A\cap B)$.

Exercițiul 8 (6 puncte) — Diferența

Pentru aceleași mulțimi $A=\{1,2,3,4,5\}$ și $B=\{4,5,6,7\}$:

a) Determinați $A\setminus B$. b) Determinați $B\setminus A$. c) Este adevărat că $A\setminus B=B\setminus A$? Justificați.

Exercițiul 9 (7 puncte) — Operații combinate

Se dau mulțimile: $$A=\{0,1,2,3,4,5,6\},B=\{2,4,6,8\},C=\{1,3,5,7\}.$$

Calculați, respectând ordinea (mai întâi parantezele):

a) $(A\cap B)\cup C$ b) $A\setminus (B\cup C)$

Exercițiul 10 (7 puncte) — Problemă de numărare cu diagramă Venn

Într-o clasă cu 30 de elevi, fiecare practică cel mult două sporturi la clubul școlii: 18 elevi joacă fotbal, 14 joacă baschet, iar 7 joacă atât fotbal, cât și baschet.

a) Câți elevi joacă doar fotbal? b) Câți elevi joacă doar baschet? c) Câți elevi nu joacă niciunul dintre cele două sporturi?

Exercițiul 11 (6 puncte) — Formula cardinalului reuniunii

Despre două mulțimi finite $A$ și $B$ se știe că: $$\mathrm{card}A=20,\mathrm{card}B=15,\mathrm{card}(A\cup B)=28.$$

a) Calculați $\mathrm{card}(A\cap B)$. b) Folosind rezultatul de la a), calculați $\mathrm{card}(A\setminus B)$.

Exercițiul 12 (6 puncte) — Mulțimi de puncte: segmente pe o dreaptă

Pe o dreaptă se află, în această ordine, punctele distincte $M$, $N$, $P$, $Q$.

Determinați următoarele mulțimi de puncte (segment, punct sau mulțimea vidă):

a) $[MP]\cap [NQ]$ b) $[MN]\cap [PQ]$ c) $[MP]\cup [NQ]$

Exercițiul 13 (5 puncte) — Mulțimi de puncte: semidrepte

Pe o dreaptă, punctul $O$ se află între punctele $A$ și $B$.

a) Determinați $[OA\cap [OB$ (intersecția celor două semidrepte cu originea $O$, orientate spre $A$, respectiv spre $B$). b) Determinați $[OA\cup [OB$.

Exercițiul 14 (6 puncte) — Mulțimi de numere întregi pe axă

Se dau mulțimile de numere întregi: $$A=\{x\in \mathbb{Z}\mid -3\le x\le 2\},B=\{x\in \mathbb{Z}\mid 0\le x\le 5\}.$$

a) Scrieți mulțimile $A$ și $B$ prin enumerarea elementelor. b) Determinați $A\cap B$. c) Reprezentați elementele mulțimii $A\cap B$ pe axa numerelor.

Exercițiul 15 (4 puncte) — Raționament

Despre două mulțimi finite $A$ și $B$ se știe că $A\subset B$.

Completați, justificând, cu rezultatul corect (în funcție de $A$ și $B$):

a) $A\cap B=?$ b) $A\cup B=?$

Exercițiul 16 (5 puncte) — Problemă aplicată cu diagramă Venn

La un cerc de lectură cu 40 de elevi, fiecare a citit cel puțin un gen literar din cele propuse: 25 au citit romane, 18 au citit poezie, iar 5 elevi nu au citit niciunul dintre cele două genuri.

Câți elevi au citit și romane, și poezie?

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 100 de puncte = 10 puncte din oficiu + 90 de puncte pe itemi.

Exercițiul 1 (6p)

a) $A=\{1,2,3,6,9,18\}$ — divizorii lui 18 (4p). b) $\mathrm{card}A=6$ (1p). c) Diagramă (curbă închisă) cu cele 6 elemente scrise în interior (1p). Explicație: divizorii lui 18 sunt numerele naturale care îl împart exact: $18=1\cdot 18=2\cdot 9=3\cdot 6$.

Exercițiul 2 (5p)

a) $B=\{2,3,4,5,6,7,8\}$ (3p) — atenție: $2$ se include ($2\le x$), iar $9$ nu ($x<9$). b) $\mathrm{card}B=7$ (2p).

Exercițiul 3 (6p) — câte 1,2p pe subpunct

a) Adevărat — orice element al lui $M$ ($1,2,3$) se află și în $N$. b) Fals — de exemplu $4\in N$, dar $4\notin M$. c) Adevărat — $3$ este element al mulțimii $M$. d) Adevărat — $\{3\}$ este o mulțime cu un singur element, $3$, care aparține lui $M$, deci $\{3\}\subset M$. e) Fals — $4$ nu este element al mulțimii $M$. (Răspuns corect 0,6p + justificare 0,6p la fiecare.)

Exercițiul 4 (5p)

$A=B$ (adevărat) (2p pentru concluzie). Justificare (3p): divizorii lui 6 sunt $1,2,3,6$, deci $A=\{1,2,3,6\}$; aceasta coincide cu $B$. Două mulțimi sunt egale dacă au exact aceleași elemente.

Exercițiul 5 (6p) — câte 1,5p pe subpunct

a) $\mathbb{N}$ — infinită. b) $P=\{0,2,4,6,8\}$ — finită, $\mathrm{card}P=5$ (0 este par și are o cifră). c) $Q$ — infinită (numerele $>100$ nu se termină). d) $D=\{1,2,4,5,10,20\}$ — finită, $\mathrm{card}D=6$.

Exercițiul 6 (5p)

a) $A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ (3p) — elementele comune ($4,5$) se scriu o singură dată. b) $\mathrm{card}(A\cup B)=7$ (2p).

Exercițiul 7 (5p)

a) $A\cap B=\{4,5\}$ (3p) — elementele aflate în ambele mulțimi. b) $\mathrm{card}(A\cap B)=2$ (2p).

Exercițiul 8 (6p)

a) $A\setminus B=\{1,2,3\}$ (2p) — elementele din $A$ care nu sunt în $B$. b) $B\setminus A=\{6,7\}$ (2p). c) Fals (2p): $A\setminus B=\{1,2,3\}\ne \{6,7\}=B\setminus A$; diferența mulțimilor nu este comutativă.

Exercițiul 9 (7p)

a) $A\cap B=\{2,4,6\}$; deci $(A\cap B)\cup C=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ (3,5p). b) $B\cup C=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$; elementele din $A$ care nu sunt aici: doar $0$. Deci $A\setminus (B\cup C)=\{0\}$ (3,5p).

Exercițiul 10 (7p)

„Ambele" $=7$. (Schemă: zona comună are 7.) a) Doar fotbal: $18-7=$ 11 elevi (2p). b) Doar baschet: $14-7=$ 7 elevi (2p). c) Practică cel puțin un sport: $11+7+7=25$; nu practică niciunul: $30-25=$ 5 elevi (3p).

Exercițiul 11 (6p)

a) Din $\mathrm{card}(A\cup B)=\mathrm{card}A+\mathrm{card}B-\mathrm{card}(A\cap B)$ rezultă $\mathrm{card}(A\cap B)=20+15-28=$ 7 (4p). b) $\mathrm{card}(A\setminus B)=\mathrm{card}A-\mathrm{card}(A\cap B)=20-7=$ 13 (2p).

Exercițiul 12 (6p)

Ordinea pe dreaptă: $M,N,P,Q$. a) $[MP]\cap [NQ]=$ $[NP]$ (2p) — porțiunea comună celor două segmente. b) $[MN]\cap [PQ]=$ $\varnothing$ (2p) — segmentele nu au puncte comune. c) $[MP]\cup [NQ]=$ $[MQ]$ (2p) — împreună acoperă tot, fiindcă se suprapun pe $[NP]$.

Exercițiul 13 (5p)

$O$ este între $A$ și $B$, deci $[OA$ și $[OB$ sunt semidrepte opuse cu originea comună $O$. a) $[OA\cap [OB=$ $\{O\}$ (doar originea comună) (3p). b) $[OA\cup [OB=$ dreapta $AB$ (cele două semidrepte opuse formează toată dreapta) (2p).

Exercițiul 14 (6p)

a) $A=\{-3,-2,-1,0,1,2\}$, $B=\{0,1,2,3,4,5\}$ (2p). b) $A\cap B=\{0,1,2\}$ (2p). c) Pe axă se îngroașă punctele $0,1,2$ (2p).

Exercițiul 15 (4p)

Deoarece $A\subset B$ (toate elementele lui $A$ sunt și în $B$): a) $A\cap B=A$ (2p) — elementele comune sunt exact cele ale lui $A$. b) $A\cup B=B$ (2p) — reuniunea nu adaugă nimic nou față de $B$.

Exercițiul 16 (5p)

Au citit cel puțin un gen: $40-5=35$ elevi (2p). Folosind $\mathrm{card}(R\cup P)=\mathrm{card}R+\mathrm{card}P-\mathrm{card}(R\cap P)$: $$35=25+18-\mathrm{card}(R\cap P)\Rightarrow \mathrm{card}(R\cap P)=43-35=8.$$ 8 elevi au citit și romane, și poezie (3p).

Total: 90 de puncte (itemi) + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Pentru părinți

Acest test verifică temeinic capitolul „Mulțimi și operații cu mulțimi": descrierea și reprezentarea mulțimilor, relațiile de incluziune și egalitate, mulțimi finite/infinite, cardinalul unei mulțimi finite, reuniunea, intersecția, diferența, operațiile combinate și problemele de numărare cu diagrame Venn, inclusiv legătura mulțimilor cu geometria.

• Punctaj total: 100 de puncte (10 puncte se acordă din oficiu; restul de 90 de puncte sunt repartizate pe cei 16 itemi).
• Timp recomandat: 50 de minute.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, în liniște, pe foaie separată, scriind toate calculele și justificările. Răspunsurile date fără justificare (acolo unde se cere) nu primesc punctaj integral.
• Cum se corectează: folosiți secțiunea Barem și răspunsuri de la final. Discutați împreună fiecare item greșit și refaceți raționamentul, nu doar răspunsul.

Notație folosită: ∈ (aparține), ∉ (nu aparține), ⊂ (inclusă), ∪ (reuniune), ∩ (intersecție), \ (diferență), ∅ (mulțimea vidă), |A| sau card A (cardinalul mulțimii A), ℕ (numere naturale), ℤ (numere întregi).