Test: Mulțimi și intervale de numere reale

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Intervale de numere reale

Exerciții

Partea I – Recunoaștere și scriere

Exercițiul 1 (4 puncte)

Completează, folosind semnele $<$, $\le$, $\ge$ sau $>$, definiția fiecărui interval (mulțime de numere reale $x$): a) intervalul deschis $(a,b)=\{x\in \mathbb{R}\mid a\underline{}x\underline{}b\}$; b) intervalul închis $[a,b]=\{x\in \mathbb{R}\mid a\underline{}x\underline{}b\}$; c) intervalul semideschis $[a,b)=\{x\in \mathbb{R}\mid a\underline{}x\underline{}b\}$; d) intervalul nemărginit $[a,\infty )=\{x\in \mathbb{R}\mid x\underline{}a\}$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Scrie prin enumerarea elementelor (între acolade) fiecare dintre mulțimile: a) $A=\{x\in \mathbb{N}\mid x\le 4\}$; b) $B=\{x\in \mathbb{Z}\mid -3<x\le 1\}$; c) $C=\{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ este numa˘r par și }x<10\}$.

Exercițiul 3 (6 puncte)

Scrie fiecare mulțime printr-o proprietate a elementelor ei (folosind $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ sau ${\mathbb{N}}^{\ast }$): a) $M=\{1,2,3,4,5,6\}$; b) $N=\{-2,-1,0,1,2\}$; c) $P=\{0,3,6,9,12\}$.

Exercițiul 4 (6 puncte)

Pentru fiecare interval de mai jos, precizează tipul (deschis, închis, semideschis sau nemărginit) și scrie-l cu ajutorul inegalităților (câte 1 punct pentru fiecare): $$(-2,5)[0,4](1,7][3,8)[-3,\infty )(-\infty ,2)$$

Partea a II-a – Reprezentare și apartenență

Exercițiul 5 (6 puncte)

Reprezintă pe axa numerelor fiecare interval (câte 2 puncte). Marchează cu cerc plin ($\bullet$) capetele incluse și cu cerc gol ($\circ$) capetele excluse: a) $[-2,3)$; b) $(1,\infty )$; c) $(-\infty ,0]$.

Exercițiul 6 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) $3\in (-2,3)$; b) $-2\in [-2,5]$; c) $\sqrt{2}\in (1,2)$; d) $0\in (0,\infty )$.

Exercițiul 7 (5 puncte)

a) Scrie toate numerele întregi care aparțin intervalului $[-3,2)$. (3 p) b) Scrie toate numerele naturale care aparțin intervalului $(0,5]$. (2 p)

Partea a III-a – Intersecție și reuniune

Exercițiul 8 (6 puncte)

Determină intersecția intervalelor (câte 2 puncte) și scrie rezultatul ca interval sau $\varnothing$: a) $(-2,5)\cap [1,8)$; b) $(-\infty ,4]\cap (0,\infty )$; c) $[-3,2]\cap (2,6)$.

Exercițiul 9 (6 puncte)

Determină reuniunea intervalelor (câte 2 puncte) și scrie rezultatul cât mai simplu: a) $[-1,3)\cup (2,5]$; b) $(-\infty ,0)\cup [0,\infty )$; c) $[1,2]\cup (4,6)$.

Exercițiul 10 (6 puncte)

Se dau intervalele $A=(-3,4]$ și $B=[1,7)$. a) Determină $A\cap B$. (3 p) b) Determină $A\cup B$. (3 p)

Partea a IV-a – Probleme aplicate și raționament

Exercițiul 11 (5 puncte)

Un frigider funcționează corect atunci când temperatura din interior este cel puțin $2^{\circ }\mathrm{C}$ și cel mult $8^{\circ }\mathrm{C}$ (ambele valori acceptate). a) Scrie sub formă de interval mulțimea temperaturilor la care frigiderul funcționează corect. (2 p) b) O temperatură de $8^{\circ }\mathrm{C}$ se încadrează în limitele corecte? Justifică. (1,5 p) c) O temperatură de $1,5^{\circ }\mathrm{C}$ se încadrează? Justifică. (1,5 p)

Exercițiul 12 (5 puncte)

La un tobogan de la parcul de distracții pot urca doar copiii cu înălțimea de cel puțin $1,10\mathrm{m}$, dar mai mică de $1,50\mathrm{m}$. a) Scrie sub formă de interval (în metri) mulțimea înălțimilor acceptate. (2 p) b) Un copil de $1,50\mathrm{m}$ poate urca? Justifică. (1,5 p) c) Un copil de $1,10\mathrm{m}$ poate urca? Justifică. (1,5 p)

Exercițiul 13 (5 puncte)

La un muzeu, biletul redus se acordă vizitatorilor cu vârsta de la $7$ ani (inclusiv) până la $18$ ani (exclusiv). a) Scrie sub formă de interval (în ani) mulțimea vârstelor care beneficiază de reducere. (2 p) b) O persoană care are exact $18$ ani beneficiază de reducere? Justifică. (1,5 p) c) De câte vârste întregi (număr întreg de ani împliniți) beneficiază reducerea? (1,5 p)

Exercițiul 14 (5 puncte)

Se consideră intervalul $[-4,3)$. a) Câte numere întregi conține acest interval? Scrie-le. (3 p) b) Calculează suma tuturor numerelor întregi din acest interval. (2 p)

Exercițiul 15 (7 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{R}$ inecuațiile și scrie mulțimea soluțiilor sub formă de interval: a) $2x-1\le 5$; (2 p) b) $3x+2>-4$; (2 p) c) Determină intersecția mulțimilor de soluții de la punctele a) și b). (3 p)

Exercițiul 16 (6 puncte)

Se dau mulțimile $A=\{x\in \mathbb{R}\mid -2\le x<4\}$ și $B=\{x\in \mathbb{R}\mid x>1\}$. a) Scrie mulțimile $A$ și $B$ sub formă de intervale. (2 p) b) Determină $A\cap B$. (2 p) c) Determină $A\cup B$. (1 p) d) Scrie trei numere reale care aparțin lui $A\cap B$. (1 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1 · 4 puncte — câte 1 punct pentru fiecare linie corect completată. a) $a<x<b$; b) $a\le x\le b$; c) $a\le x<b$; d) $x\ge a$.

Exercițiul 2 · 6 puncte — câte 2 puncte pentru fiecare mulțime. a) $A=\{0,1,2,3,4\}$ (numerele naturale $\le 4$; nu se uită $0$). b) $B=\{-2,-1,0,1\}$ (întregi cu $-3<x\le 1$: $-3$ este exclus, $1$ este inclus). c) $C=\{0,2,4,6,8\}$ (numere pare naturale mai mici decât $10$; $0$ este par).

Exercițiul 3 · 6 puncte — câte 2 puncte; se acceptă orice proprietate corectă echivalentă. a) $M=\{x\in \mathbb{N}\mid 1\le x\le 6\}$ (sau $\{x\in {\mathbb{N}}^{\ast }\mid x\le 6\}$). b) $N=\{x\in \mathbb{Z}\mid -2\le x\le 2\}$ (sau $\{x\in \mathbb{Z}\mid |x|\le 2\}$). c) $P=\{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ multiplu de }3\text{ și }x\le 12\}$.

Exercițiul 4 · 6 puncte — câte 1 punct (tip + inegalitate). $(-2,5)$: deschis, $-2<x<5$. $[0,4]$: închis, $0\le x\le 4$. $(1,7]$: semideschis (deschis la stânga, închis la dreapta), $1<x\le 7$. $[3,8)$: semideschis (închis la stânga, deschis la dreapta), $3\le x<8$. $[-3,\infty )$: nemărginit (la dreapta), $x\ge -3$. $(-\infty ,2)$: nemărginit (la stânga), $x<2$.

Exercițiul 5 · 6 puncte — câte 2 puncte pentru fiecare reprezentare corectă (porțiune + tip de capăt). a) $[-2,3)$: se hașurează de la $-2$ (cerc plin) până la $3$ (cerc gol). b) $(1,\infty )$: se hașurează de la $1$ (cerc gol) spre dreapta, cu săgeată spre $+\infty$. c) $(-\infty ,0]$: se hașurează de la $0$ (cerc plin) spre stânga, cu săgeată spre $-\infty$.

Exercițiul 6 · 6 puncte — câte 1,5 puncte (răspuns + justificare). a) F. Intervalul $(-2,3)$ este deschis la dreapta, deci $3$ nu aparține. b) A. Intervalul $[-2,5]$ este închis la stânga, deci $-2$ aparține. c) A. $\sqrt{2}\approx 1,41$, iar $1<1,41<2$, deci $\sqrt{2}\in (1,2)$. d) F. Intervalul $(0,\infty )$ este deschis la stânga, deci $0$ nu aparține.

Exercițiul 7 · 5 puncte a) Numerele întregi din $[-3,2)$: $\{-3,-2,-1,0,1\}$ ($2$ este exclus). (3 p) b) Numerele naturale din $(0,5]$: $\{1,2,3,4,5\}$ ($0$ este exclus, $5$ este inclus). (2 p)

Exercițiul 8 · 6 puncte — câte 2 puncte. a) $(-2,5)\cap [1,8)=[1,5)$ (capătul stâng $1$ inclus; capătul drept $5$ exclus). b) $(-\infty ,4]\cap (0,\infty )=(0,4]$ ($0$ exclus, $4$ inclus). c) $[-3,2]\cap (2,6)=\varnothing$ (nu există numere comune: $[-3,2]$ se termină la $2$ inclus, iar $(2,6)$ începe după $2$).

Exercițiul 9 · 6 puncte — câte 2 puncte. a) $[-1,3)\cup (2,5]=[-1,5]$ (intervalele se suprapun pe $(2,3)$, deci se unesc într-un singur interval de la $-1$ inclus la $5$ inclus). b) $(-\infty ,0)\cup [0,\infty )=\mathbb{R}$ (la $0$: $0$ este inclus în $[0,\infty )$, deci reuniunea acoperă toată axa). c) $[1,2]\cup (4,6)$ — rămâne reuniune de două intervale disjuncte (între $2$ și $4$ nu există numere comune, deci nu se pot uni).

Exercițiul 10 · 6 puncte — $A=(-3,4]$, $B=[1,7)$. a) $A\cap B=[1,4]$ (capătul stâng $1$ inclus din $B$; capătul drept $4$ inclus din $A$). (3 p) b) $A\cup B=(-3,7)$ (se suprapun pe $[1,4]$, deci se unesc: de la $-3$ exclus la $7$ exclus). (3 p)

Exercițiul 11 · 5 puncte a) $[2,8]$ (ambele capete incluse — „cel puțin" și „cel mult"). (2 p) b) Da, deoarece $8\in [2,8]$ ($8$ este inclus, fiind limita maximă acceptată). (1,5 p) c) Nu, deoarece $1,5<2$, deci $1,5\notin [2,8]$. (1,5 p)

Exercițiul 12 · 5 puncte a) $[1,10,1,50)$ ($1,10$ inclus — „cel puțin"; $1,50$ exclus — „mai mică decât"). (2 p) b) Nu, deoarece $1,50$ este exclus din interval ($1,50\notin [1,10,1,50)$). (1,5 p) c) Da, deoarece $1,10$ este inclus ($1,10\in [1,10,1,50)$). (1,5 p)

Exercițiul 13 · 5 puncte a) $[7,18)$ ($7$ inclus, $18$ exclus). (2 p) b) Nu, deoarece $18$ este exclus din interval. (1,5 p) c) Vârstele întregi sunt $7,8,9,\dots ,17$, adică $11$ vârste. (1,5 p)

Exercițiul 14 · 5 puncte a) Numerele întregi din $[-4,3)$ sunt $-4,-3,-2,-1,0,1,2$, adică $7$ numere ($3$ este exclus). (3 p) b) Suma: $(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2=-7$. (2 p)

Exercițiul 15 · 7 puncte a) $2x-1\le 5\Rightarrow 2x\le 6\Rightarrow x\le 3$, deci $S_1=(-\infty ,3]$. (2 p) b) $3x+2>-4\Rightarrow 3x>-6\Rightarrow x>-2$, deci $S_2=(-2,\infty )$. (2 p) c) $S_1\cap S_2=(-\infty ,3]\cap (-2,\infty )=(-2,3]$ (numerele mai mari decât $-2$ și cel mult egale cu $3$). (3 p)

Exercițiul 16 · 6 puncte — $A=\{x\in \mathbb{R}\mid -2\le x<4\}$, $B=\{x\in \mathbb{R}\mid x>1\}$. a) $A=[-2,4)$ și $B=(1,\infty )$. (2 p) b) $A\cap B=(1,4)$ (numere cu $x>1$ și $x<4$; $1$ exclus din $B$, $4$ exclus din $A$). (2 p) c) $A\cup B=[-2,\infty )$ (se suprapun pe $(1,4)$, deci se unesc de la $-2$ inclus spre $+\infty$). (1 p) d) Orice trei numere din $(1,4)$, de exemplu $1,5$; $2$; $3$. (1 p)

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică dacă elevul stăpânește noțiunile de mulțimi și intervale de numere reale: scrierea unei mulțimi printr-o proprietate a elementelor și trecerea de la proprietate la enumerare, recunoașterea tipurilor de intervale (deschise, închise, semideschise și nemărginite), reprezentarea intervalelor pe axa numerelor, apartenența unui număr real la un interval sau la o mulțime, precum și intersecția și reuniunea intervalelor. Este potrivit pentru consolidare în an de Evaluare Națională.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe o foaie separată, cu creion și riglă pentru reprezentările pe axă. La final, comparați rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea noțiunilor din unitate.
• Reamintiri utile: o paranteză rotundă ( sau ) înseamnă că capătul NU este inclus (interval deschis în acel capăt); o paranteză dreaptă [ sau ] înseamnă că capătul ESTE inclus (interval închis). La $\pm \infty$ se pune întotdeauna paranteză rotundă. La intersecție ($\cap$) se iau numerele comune ambelor intervale; la reuniune ($\cup$) se iau numerele din cel puțin unul dintre intervale.

Notă: marcajele 🖼️ [Imagine: ...] descriu reprezentarea pe axă ce însoțește itemul; elevul o poate schița după descriere.