Test: Numere iraționale și mulțimea ℝ

Clasa a VII-a · Matematică · Unitatea „Mulțimea numerelor reale ℝ"

Exerciții

Exercițiul 1 — Recunoașterea numerelor iraționale (8 puncte)

Se dă lista de numere: $$\sqrt{49},\sqrt{2},\frac{3}{7},\pi ,-5,\sqrt{0,25},2.(3),\sqrt{10},1+\sqrt{3}.$$

Scrie numai numerele iraționale din listă. Pentru fiecare număr rațional din listă, arată pe scurt de ce este rațional (indică valoarea sau fracția).

Exercițiul 2 — Încadrarea în submulțimi (8 puncte)

Copiază tabelul și bifează, pentru fiecare număr, toate submulțimile căruia îi aparține:

Exercițiul 3 — Adevărat / Fals cu motivare (incluziuni) (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și motivează în una–două propoziții:

a) $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$. b) $\sqrt{2}\in \mathbb{Q}$. c) Orice număr rațional se poate scrie sub forma $\frac{a}{b}$, cu $a\in \mathbb{Z}$, $b\in \mathbb{Z}$, $b\ne 0$. d) $\mathbb{R}\subset \mathbb{Q}$.

Exercițiul 4 — Calculul modulului (6 puncte)

Calculează, eliminând corect modulul (atenție la semnul expresiei din interior):

a) $|-3,5|$ b) $|\sqrt{5}-3|$ c) $|2-\sqrt{7}|$ d) $|-\sqrt{2}|$ e) $|1-\sqrt{3}|$

Exercițiul 5 — Modulul ca distanță pe axă (6 puncte)

a) Pe axa numerelor, punctul $A$ are coordonata $-3$, iar punctul $B$ are coordonata $4$. Calculează distanța $AB$ folosind modulul.

b) Rezolvă ecuația $|x-2|=5$ și precizează ce reprezintă geometric soluțiile (ca puncte pe axă).

Exercițiul 6 — Ordonarea numerelor reale (6 puncte)

Ordonează crescător numerele, arătând comparațiile prin aducere la forma  ​ acolo unde e util: $$2\sqrt{3},3\sqrt{2},\sqrt{11},5,\frac{7}{2}.$$

Exercițiul 7 — Aproximarea pe axă (5 puncte)

Se consideră numărul $\sqrt{7}$.

a) Între ce două numere naturale consecutive se află $\sqrt{7}$? Justifică prin ridicare la pătrat. b) Scrie aproximarea prin lipsă și prin adaos, cu o zecimală. c) 🖼️ [Imagine: axă a numerelor de la 2 la 3 împărțită în 10 diviziuni; se cere marcarea aproximativă a poziției lui √7] — indică între ce zecimi se plasează $\sqrt{7}$.

Exercițiul 8 — Geometrie: diagonala pătratului (6 puncte)

Un pătrat are latura de $3$ cm.

a) Calculează lungimea diagonalei, exprimată cu radical (folosește relația cunoscută din lecție: diagonala pătratului $=$ latura $\cdot \sqrt{2}$). b) Arată că lungimea diagonalei este un număr irațional. c) Dă o aproximare a diagonalei cu o zecimală.

Exercițiul 9 — Scoaterea factorilor de sub radical (6 puncte)

Scrie sub forma $a\sqrt{b}$, cu $b$ cât mai mic posibil (număr natural fără factori pătrați):

a) $\sqrt{50}$ b) $\sqrt{48}$ c) $\sqrt{200}$

Exercițiul 10 — Problemă aplicată: latura unei grădini (5 puncte)

O grădină pătrată are aria de $20{\text{m}}^2$.

a) Scrie lungimea laturii sub formă de radical simplificat ($a\sqrt{b}$). b) Este lungimea laturii un număr rațional sau irațional? Justifică. c) Dă o valoare aproximativă a laturii, în metri, cu două zecimale.

Exercițiul 11 — Proprietățile modulului: Adevărat / Fals (5 puncte)

Stabilește A sau F pentru fiecare proprietate ($a$, $b$ numere reale):

a) $|a|\ge 0$ pentru orice $a\in \mathbb{R}$. b) $|-a|=|a|$ pentru orice $a\in \mathbb{R}$. c) $|a|=a$ pentru orice $a\in \mathbb{R}$. d) Dacă $|x|=4$, atunci în mod obligatoriu $x=4$. e) $|a\cdot b|=|a|\cdot |b|$.

Exercițiul 12 — Ecuații de tip $x^2=a$ (5 puncte)

Rezolvă în $\mathbb{R}$, precizând de fiecare dată câte soluții reale există:

a) $x^2=7$ b) $x^2=16$ c) $x^2=0$ d) $x^2=-4$

Exercițiul 13 — Comparare cu justificare (5 puncte)

Compară numerele $3\sqrt{5}$ și $5\sqrt{3}$ (scrie semnul $<$, $>$ sau $=$). Justifică prin introducerea factorilor sub radical, fără a folosi valori aproximative de la calculator.

Exercițiul 14 — Cel mai depărtat de origine (4 puncte)

Pe axa numerelor sunt marcate punctele cu coordonatele: $$-\sqrt{10},3,-\frac{7}{2},\sqrt{8}.$$

Care dintre puncte este cel mai depărtat de origine? Folosește modulul ca distanță și justifică prin comparare.

Exercițiul 15 — Raționament: rațional și irațional (5 puncte)

Stabilește A sau F și dă câte un exemplu numeric care sprijină răspunsul:

a) Suma dintre un număr rațional și un număr irațional este întotdeauna irațională. b) Produsul dintre un număr rațional nenul și un număr irațional este întotdeauna irațional. c) Suma a două numere iraționale este întotdeauna irațională.

Exercițiul 16 — Aproximare în context de măsurare (4 puncte)

Un meșter taie o tijă metalică cu lungimea de $\sqrt{45}$ decimetri.

a) Scrie $\sqrt{45}$ sub forma $a\sqrt{b}$ (radical simplificat). b) Între ce două numere naturale consecutive se află lungimea tijei? Justifică prin ridicare la pătrat.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 16 itemi = 90 p + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1 (8 p)

Numere iraționale: $\sqrt{2}$, $\pi$, $\sqrt{10}$, $1+\sqrt{3}$. (4 p — câte 1 p)

Numerele raționale și motivarea: (4 p)

• $\sqrt{49}=7\in \mathbb{N}$ (pătrat perfect);
• $\frac{3}{7}$ este deja o fracție de numere întregi;
• $-5\in \mathbb{Z}$;
• $\sqrt{0,25}=0,5=\frac{1}{2}$;
• $2.(3)=2+\frac{3}{9}=\frac{7}{3}$ (zecimală periodică = rațional).

Explicație: un radical dă număr irațional doar când radicandul nu este pătrat perfect; zecimalele periodice sunt raționale.

Exercițiul 2 (8 p — câte 1 p pe linie)

Observații: $0\in \mathbb{N}$; $\sqrt{16}=4$ și $-\sqrt{9}=-3$ nu mai conțin radical; $\sqrt{5}$ și $\pi$ sunt iraționale (doar în $\mathbb{R}$).

Exercițiul 3 (6 p — câte 1,5 p)

a) A — orice număr natural este și întreg. b) F — $\sqrt{2}$ este irațional, deci nu aparține lui $\mathbb{Q}$. c) A — aceasta este chiar definiția numărului rațional. d) F — incluziunea corectă este $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$; $\mathbb{R}$ conține și iraționale, deci nu este inclus în $\mathbb{Q}$.

Exercițiul 4 (6 p)

a) $|-3,5|=3,5$ (1 p) b) $\sqrt{5}\approx 2,24<3\Rightarrow \sqrt{5}-3<0$, deci $|\sqrt{5}-3|=3-\sqrt{5}$ *(1,5 p)* c) $\sqrt{7}\approx 2,65>2\Rightarrow 2-\sqrt{7}<0$, deci $|2-\sqrt{7}|=\sqrt{7}-2$ *(1,5 p)* d) $|-\sqrt{2}|=\sqrt{2}$ *(1 p)* e) $\sqrt{3}\approx 1,73>1\Rightarrow 1-\sqrt{3}<0$, deci $|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$ (1 p)

Exercițiul 5 (6 p)

a) $AB=|4-(-3)|=|7|=7$. (3 p) b) $|x-2|=5\Rightarrow x-2=5$ sau $x-2=-5\Rightarrow x=7$ sau $x=-3$. (2 p) Geometric: sunt punctele situate la distanța $5$ față de punctul de coordonată $2$ (unul la dreapta, unul la stânga). (1 p)

Exercițiul 6 (6 p)

Aducem la radicali: $2\sqrt{3}=\sqrt{12}$, $3\sqrt{2}=\sqrt{18}$, $\frac{7}{2}=3,5=\sqrt{12,25}$, $5=\sqrt{25}$, $\sqrt{11}$. Comparăm radicandele: $11<12<12,25<18<25$. (4 p)

Ordinea crescătoare: $$\sqrt{11}<2\sqrt{3}<\frac{7}{2}<3\sqrt{2}<5.(2p)$$

Exercițiul 7 (5 p)

a) $2^2=4<7<9=3^2$, deci $2<\sqrt{7}<3$. (2 p) b) $2,6^2=6,76<7$ și $2,7^2=7,29>7$, deci $2,6<\sqrt{7}<2,7$: aproximare prin lipsă $2,6$, prin adaos $2,7$. (2 p) c) $\sqrt{7}\approx 2,65$, deci pe axă se plasează între diviziunile $2,6$ și $2,7$, aproximativ la jumătatea intervalului. (1 p)

Exercițiul 8 (6 p)

a) Cu relația diagonalei pătratului: $AC=3\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$ cm. (Echivalent, $AC=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$.) (3 p) b) $2$ nu este pătrat perfect $\Rightarrow \sqrt{2}$ este irațional; $3\sqrt{2}$ (rațional nenul × irațional) este irațional. (2 p) c) $3\sqrt{2}\approx 3\cdot 1,41=4,24$ cm. (1 p)

Exercițiul 9 (6 p — câte 2 p)

a) $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$ b) $\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$ c) $\sqrt{200}=\sqrt{100\cdot 2}=10\sqrt{2}$

Exercițiul 10 (5 p)

a) latura $=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}$ m. (2 p) b) Irațional: $5$ nu e pătrat perfect $\Rightarrow \sqrt{5}$ irațional, deci și $2\sqrt{5}$. (2 p) c) $2\sqrt{5}\approx 2\cdot 2,236=4,47$ m. (1 p)

Exercițiul 11 (5 p — câte 1 p)

a) A — modulul este mereu nenegativ. b) A — un număr și opusul lui au același modul. c) F — egalitatea $|a|=a$ este adevărată doar pentru $a\ge 0$ (ex.: $|-2|=2\ne -2$). d) F — $|x|=4\Rightarrow x=4$ sau $x=-4$. e) A — modulul unui produs este produsul modulelor.

Exercițiul 12 (5 p)

a) $x^2=7\Rightarrow x=\pm \sqrt{7}$ (două soluții reale). (1,5 p) b) $x^2=16\Rightarrow x=\pm 4$ (două soluții reale). (1,5 p) c) $x^2=0\Rightarrow x=0$ (o singură soluție). (1 p) d) $x^2=-4$ — nicio soluție reală (un pătrat nu poate fi negativ). (1 p)

Exercițiul 13 (5 p)

Introducem factorii sub radical: $3\sqrt{5}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{45}$ și $5\sqrt{3}=\sqrt{25\cdot 3}=\sqrt{75}$. (3 p) Cum $45<75$, rezultă $\sqrt{45}<\sqrt{75}$, deci: $$3\sqrt{5}<5\sqrt{3}.(2p)$$

Exercițiul 14 (4 p)

Distanțele față de origine (modulele): $|-\sqrt{10}|=\sqrt{10}$, $|3|=3=\sqrt{9}$, $\left|-\frac{7}{2}\right|=3,5=\sqrt{12,25}$, $|\sqrt{8}|=\sqrt{8}$. (2 p) Comparăm: $8<9<10<12,25$, deci cea mai mare distanță este $3,5$. Cel mai depărtat de origine: punctul de coordonată $-\frac{7}{2}$. (2 p)

Exercițiul 15 (5 p)

a) A — ex.: $2+\sqrt{2}$ este irațional. (Un rațional plus un irațional nu poate da rațional.) (2 p) b) A — ex.: $3\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$ este irațional. (2 p) c) F — nu întotdeauna; ex.: $\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$, care este rațional. (1 p)

Exercițiul 16 (4 p)

a) $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}$ dm. (2 p) b) $6^2=36<45<49=7^2\Rightarrow 6<\sqrt{45}<7$; lungimea este între $6$ și $7$ decimetri. (2 p)

Total: 90 p (itemi) + 10 p (oficiu) = 100 p.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică dacă elevul recunoaște numerele iraționale, încadrează corect numerele în submulțimile $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, înțelege incluziunile $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$, reprezintă numerele reale pe axă prin aproximări, folosește modulul (valoarea absolută) și compară/ordonează numere reale.

• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Punctaj total: 100 de puncte, dintre care 10 puncte din oficiu. Cele 16 cerințe însumează 90 de puncte.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, cu calcule scrise și justificări. Se acceptă doar rezultatele însoțite de raționament acolo unde cerința cere „justifică" sau „arată că". La itemii de geometrie se recomandă realizarea unei figuri.
• Interpretarea notei (aproximativ): 90–100 p → foarte bine; 70–89 p → bine; 45–69 p → satisfăcător; sub 45 p → se reia unitatea.

Notație folosită: $\sqrt{a}$ este radicalul (rădăcina pătrată) lui $a\ge 0$; $|a|$ este modulul (valoarea absolută) a lui $a$; $a.(b)$ înseamnă zecimală periodică (de ex. $2.(3)=2,333\dots$).