Test: Operații cu fracții algebrice

Clasa a VIII-a · Matematică · Fracții algebrice

Exerciții

Exercițiul 1 (6 puncte)

Stabiliți condițiile de existență (domeniul) pentru fiecare fracție algebrică:

a) $\frac{x+7}{x-2}$;

b) $\frac{3x}{x^2-25}$;

c) $\frac{x-1}{x^2+4}$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Amplificați fracția $\frac{3}{x+2}$ cu $(x-2)$ și scrieți rezultatul cu numitorul adus la forma $x^2-4$ (folosind o formulă de calcul prescurtat). Precizați condiția de existență.

Exercițiul 3 (6 puncte)

Simplificați fracția algebrică, precizând condițiile de existență: $$\frac{6x^{2}y}{9x{y}^3}.$$

Exercițiul 4 (6 puncte)

Simplificați, folosind formulele de calcul prescurtat (precizați condițiile de existență):

a) $\frac{x^2-9}{x+3}$;

b) $\frac{x^2-6x+9}{x^2-9}$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Efectuați adunarea și aduceți rezultatul la forma cea mai simplă: $$\frac{3x}{x+1}+\frac{3}{x+1}.$$

Exercițiul 6 (5 puncte)

Efectuați scăderea, aducând fracțiile la același numitor: $$\frac{5}{x-2}-\frac{3}{x+2}.$$

Exercițiul 7 (5 puncte)

Efectuați adunarea (numitori diferiți, cu litere): $$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}.$$

Exercițiul 8 (5 puncte)

Efectuați înmulțirea și simplificați rezultatul: $$\frac{x-2}{x+5}\cdot \frac{x^2-25}{x^2-4}.$$

Exercițiul 9 (5 puncte)

Efectuați împărțirea și aduceți rezultatul la forma cea mai simplă: $$\frac{x^2-4}{x}:\frac{x+2}{x^3}.$$

Exercițiul 10 (6 puncte)

Ridicați la putere:

a) ${\left(\frac{2a}{b}\right)}^3$;

b) ${\left(\frac{x+2}{3}\right)}^2$ (dezvoltați numărătorul).

Exercițiul 11 (5 puncte)

Pentru fiecare afirmație scrieți Adevărat sau Fals și justificați:

a) $\frac{x^2}{x}=x$ pentru orice număr real $x$;

b) $\frac{a+b}{a}=b$ (se „taie" $a$);

c) $\frac{x-3}{3-x}=-1$, pentru $x\ne 3$;

d) $\frac{2}{x}+\frac{3}{x}=\frac{5}{x}$.

Exercițiul 12 (6 puncte)

Efectuați, respectând ordinea operațiilor (întâi înmulțirea): $$\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x}\cdot \frac{x}{x-1}.$$

Exercițiul 13 (6 puncte)

Aduceți expresia la forma cea mai simplă: $$\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right):\frac{1}{x^2+x}.$$

Exercițiul 14 (7 puncte)

Un tren parcurge distanța dintre două orașe, de $120$ km, la dus cu viteza de $x$ km/h, iar la întors, pe același traseu, cu viteza de $(x+10)$ km/h ($x>0$). Se știe că timpul (în ore) este raportul dintre distanță și viteză.

a) Scrieți, sub forma unei sume de două fracții algebrice, timpul total (dus + întors).

b) Aduceți suma de la punctul a) la o singură fracție algebrică.

c) Calculați timpul total dacă la dus viteza este $x=40$ km/h.

Exercițiul 15 (6 puncte)

Se dă expresia $E(x)=\frac{x^2-4x+4}{x^2-4}$.

a) Stabiliți condițiile de existență.

b) Simplificați expresia, folosind formulele de calcul prescurtat.

c) Calculați valoarea expresiei pentru $x=3$.

Exercițiul 16 (6 puncte)

Arătați că, pentru orice $x\ne 1$ și $x\ne -1$, are loc egalitatea: $$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2}{x^2-1}.$$

Barem și răspunsuri

Punctaj din oficiu: 10 puncte. Total itemi: 90 de puncte. La cerințele de justificare se punctează raționamentul corect chiar dacă rezultatul final are o eroare de calcul izolată, la latitudinea profesorului. Se acceptă lipsa condițiilor de existență doar acolo unde enunțul nu le cere explicit.

Exercițiul 1. (6 p) Fracția există dacă numitorul este nenul. Câte 2 p pe subpunct.

a) $x-2\ne 0\Rightarrow \boxed{x\ne 2}$.

b) $x^2-25\ne 0\Rightarrow (x-5)(x+5)\ne 0\Rightarrow \boxed{x\ne 5\text{ și }x\ne -5}$.

c) $x^2+4>0$ pentru orice $x$ real (sumă de un pătrat și un număr pozitiv), deci fracția există pentru $\boxed{\text{orice }x\in \mathbb{R}}$.

Exercițiul 2. (5 p) Înmulțim numărătorul și numitorul cu $(x-2)$: $$\frac{3}{x+2}=\frac{3(x-2)}{(x+2)(x-2)}=\frac{3x-6}{x^2-4}.$$ $$\boxed{\frac{3x-6}{x^2-4}},x\ne -2.$$ (3 p amplificarea corectă, 1 p folosirea formulei la numitor, 1 p condiția de existență.)

Exercițiul 3. (6 p) Condiții de existență: $x\ne 0$ și $y\ne 0$. Simplificăm coeficienții și literele: $$\frac{6x^{2}y}{9x{y}^3}=\frac{6}{9}\cdot \frac{x^2}{x}\cdot \frac{y}{y^3}=\frac{2}{3}\cdot x\cdot \frac{1}{y^2}.$$ $$\boxed{\frac{2x}{3y^2}},x\ne 0,y\ne 0.$$ (2 p condițiile, 4 p simplificarea.)

Exercițiul 4. (6 p) Câte 3 p pe subpunct.

a) $\frac{x^2-9}{x+3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}=\boxed{x-3}$, pentru $x\ne -3$.

b) $\frac{x^2-6x+9}{x^2-9}=\frac{(x-3{)}^2}{(x-3)(x+3)}=\boxed{\frac{x-3}{x+3}}$, pentru $x\ne 3$ și $x\ne -3$.

Exercițiul 5. (5 p) Numitor comun, adunăm numărătorii: $$\frac{3x}{x+1}+\frac{3}{x+1}=\frac{3x+3}{x+1}=\frac{3(x+1)}{x+1}=\boxed{3},x\ne -1.$$ (3 p adunarea, 2 p simplificarea la 3.)

Exercițiul 6. (5 p) Numitor comun $(x-2)(x+2)=x^2-4$: $$\frac{5}{x-2}-\frac{3}{x+2}=\frac{5(x+2)-3(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{5x+10-3x+6}{x^2-4}.$$ $$\boxed{\frac{2x+16}{x^2-4}},x\ne \pm 2.$$ (2 p numitorul comun, 3 p numărătorul — atenție la semnul minus.)

Exercițiul 7. (5 p) Numitor comun $x(x+1)$: $$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)+x}{x(x+1)}=\boxed{\frac{2x+1}{x^2+x}},x\ne 0,x\ne -1.$$

Exercițiul 8. (5 p) Descompunem și simplificăm: $$\frac{x-2}{x+5}\cdot \frac{x^2-25}{x^2-4}=\frac{x-2}{x+5}\cdot \frac{(x-5)(x+5)}{(x-2)(x+2)}.$$ Simplificăm $(x-2)$ și $(x+5)$: $$\boxed{\frac{x-5}{x+2}},x\ne -5,x\ne 2,x\ne -2.$$

Exercițiul 9. (5 p) Împărțirea = înmulțire cu inversul: $$\frac{x^2-4}{x}:\frac{x+2}{x^3}=\frac{x^2-4}{x}\cdot \frac{x^3}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x}\cdot \frac{x^3}{x+2}.$$ Simplificăm $(x+2)$ și $\frac{x^3}{x}=x^2$: $$\boxed{x^2(x-2)}=x^3-2x^2,x\ne 0,x\ne -2.$$

Exercițiul 10. (6 p) Câte 3 p pe subpunct.

a) ${\left(\frac{2a}{b}\right)}^3=\frac{(2a{)}^3}{b^3}=\boxed{\frac{8a^3}{b^3}}$, pentru $b\ne 0$.

b) ${\left(\frac{x+2}{3}\right)}^2=\frac{(x+2{)}^2}{9}=\boxed{\frac{x^2+4x+4}{9}}$.

Exercițiul 11. (5 p) Câte $1,25$ p pe subpunct (verdict + justificare).

a) Fals. Simplificarea $\frac{x^2}{x}=x$ este valabilă doar pentru $x\ne 0$; pentru $x=0$ fracția nu există (numitor nul), deci egalitatea nu are loc „pentru orice $x$ real".

b) Fals. Nu se poate „tăia" $a$ dintr-o sumă. Corect: $\frac{a+b}{a}=1+\frac{b}{a}$ (de exemplu, pentru $a=b=1$: $\frac{2}{1}=2\ne 1$).

c) Adevărat. $3-x=-(x-3)$, deci $\frac{x-3}{3-x}=\frac{x-3}{-(x-3)}=-1$ (pentru $x\ne 3$).

d) Adevărat. Au același numitor: $\frac{2}{x}+\frac{3}{x}=\frac{2+3}{x}=\frac{5}{x}$.

Exercițiul 12. (6 p) Efectuăm întâi înmulțirea: $$\frac{3}{x}\cdot \frac{x}{x-1}=\frac{3}{x-1}.$$ Apoi adunarea (același numitor): $$\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x-1}=\boxed{\frac{5}{x-1}},x\ne 0,x\ne 1.$$ (3 p înmulțirea corectă înaintea adunării, 3 p adunarea.)

Exercițiul 13. (6 p) Paranteza (numitor comun $x(x+1)$): $$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)-x}{x(x+1)}=\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x^2+x}.$$ Împărțirea = înmulțire cu inversul: $$\frac{1}{x^2+x}:\frac{1}{x^2+x}=\frac{1}{x^2+x}\cdot (x^2+x)=\boxed{1},x\ne 0,x\ne -1.$$ (4 p paranteza adusă la $\frac{1}{x^2+x}$, 2 p împărțirea și rezultatul 1.)

Exercițiul 14. (7 p)

a) (2 p) Timp = distanță : viteză, deci timpul total este $$T=\frac{120}{x}+\frac{120}{x+10}\text{(ore)}.$$

b) (3 p) Numitor comun $x(x+10)$: $$T=\frac{120(x+10)+120x}{x(x+10)}=\frac{120x+1200+120x}{x^2+10x}=\boxed{\frac{240x+1200}{x^2+10x}},x>0.$$

c) (2 p) Pentru $x=40$: $T=\frac{120}{40}+\frac{120}{50}=3+2,4=\boxed{5,4\text{ ore}}$. (Verificare cu forma de la b): $\frac{240\cdot 40+1200}{40^2+400}=\frac{10800}{2000}=5,4$.)

Exercițiul 15. (6 p) Câte 2 p pe subpunct.

a) Condiții de existență: $x^2-4\ne 0\Rightarrow \boxed{x\ne 2\text{ și }x\ne -2}$.

b) $E(x)=\frac{x^2-4x+4}{x^2-4}=\frac{(x-2{)}^2}{(x-2)(x+2)}=\boxed{\frac{x-2}{x+2}}$.

c) Pentru $x=3$ (valoare din domeniu): $E(3)=\frac{3-2}{3+2}=\boxed{\frac{1}{5}}$.

Exercițiul 16. (6 p) Aducem membrul stâng la același numitor $(x-1)(x+1)=x^2-1$: $$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x+1-x+1}{x^2-1}=\frac{2}{x^2-1}.$$ Am obținut exact membrul drept, deci egalitatea este demonstrată pentru $x\ne \pm 1$. q.e.d. (2 p numitorul comun, 3 p numărătorul $=2$, 1 p concluzia.)

Punctaj total: 90 de puncte (itemi) + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică unitatea „Fracții algebrice" din programa clasei a VIII-a (OMEN 3393/2017), an de Evaluare Națională. Itemii pornesc de la determinarea domeniului și de la calcule directe și urcă spre ordinea operațiilor, aducerea la forme simple, justificare și probleme aplicate, acoperind:

1. Noțiunea de fracție algebrică și condițiile de existență – valorile pentru care numitorul nu se anulează (domeniul de definiție).
2. Amplificarea și simplificarea fracțiilor algebrice, inclusiv cu ajutorul formulelor de calcul prescurtat $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ și $(a\pm b{)}^2$.
3. Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice (același numitor și numitori diferiți).
4. Înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a fracțiilor algebrice.
5. Ordinea operațiilor și aducerea la forme mai simple a expresiilor cu fracții algebrice.

• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Punctaj total: 100 de puncte, dintre care 10 puncte din oficiu. Cei 16 itemi însumează 90 de puncte.
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, cu toate calculele scrise. Rezultatul unei operații cu fracții algebrice se dă întotdeauna în formă simplificată, iar acolo unde se cere, se precizează condițiile de existență. La cerințele „arată că", „justifică" sau „adevărat/fals cu motivare" se punctează raționamentul, nu doar rezultatul final.
• Interpretarea notei (orientativ): 90–100 p → foarte bine; 70–89 p → bine; 45–69 p → satisfăcător; sub 45 p → se reia unitatea de fracții algebrice.

Notație și reamintiri: o fracție algebrică este un raport $\frac{A}{B}$ în care $A$ și $B$ sunt expresii algebrice, iar $B\ne 0$. Condiția de existență (domeniul) = valorile variabilei pentru care numitorul nu se anulează. A amplifica = a înmulți numărătorul și numitorul cu aceeași expresie nenulă; a simplifica = a împărți numărătorul și numitorul la un factor comun. Formule utile: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, $(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$.