Test: Operații logice și tabele de adevăr

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Elemente de logică matematică

Exerciții

Partea I – Recunoaștere și valori de adevăr

Exercițiul 1 (6 puncte)

Stabilește care dintre enunțurile de mai jos sunt propoziții logice. Pentru cele care nu sunt, precizează pe scurt motivul (câte 1 punct): a) „$7$ este număr prim." b) „Deschide caietul la pagina $12$!" c) „$3+5=9$" d) „Câte diagonale are un pentagon?" e) „$2^{10}$ este un număr de patru cifre." f) „Matematica este cea mai frumoasă materie."

Exercițiul 2 (6 puncte)

Precizează valoarea de adevăr (A sau F) a fiecărei propoziții (câte 1 punct): a) $\sqrt{16}=4$; b) $0\in \mathbb{N}$; c) $-3\in \mathbb{N}$; d) $\sqrt{2}\in \mathbb{Q}$; e) $2^5=32$; f) „Numărul $17$ este divizibil cu $3$."

Exercițiul 3 (6 puncte)

Scrie negația fiecărei propoziții și precizează valoarea de adevăr a negației (câte 2 puncte): a) $p$: „$5>3$"; b) $q$: „Numărul $12$ este divizibil cu $5$."; c) $r$: „$\sqrt{9}\in \mathbb{Z}$".

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Propoziția $p\wedge q$ este adevărată: A. când cel puțin una dintre $p$, $q$ este adevărată; B. doar când ambele sunt adevărate; C. doar când ambele sunt false; D. când exact una este adevărată.

b) Propoziția $p\Rightarrow q$ este falsă: A. doar când $p$ este adevărată și $q$ falsă; B. doar când $p$ este falsă și $q$ adevărată; C. doar când ambele sunt false; D. niciodată.

c) Propoziția $p\vee q$ este falsă: A. doar când ambele sunt adevărate; B. când exact una este falsă; C. doar când ambele sunt false; D. întotdeauna.

d) Propoziția $p\iff q$ este adevărată: A. doar când ambele sunt adevărate; B. doar când ambele sunt false; C. când $p$ și $q$ au aceeași valoare de adevăr; D. când $p$ și $q$ au valori de adevăr diferite.

Partea a II-a – Calculul valorilor de adevăr și tabele

Exercițiul 5 (6 puncte)

Se știe că propoziția $p$ este adevărată, propoziția $q$ este falsă, iar propoziția $r$ este adevărată. Determină valoarea de adevăr a fiecărui enunț compus (câte 1 punct): a) $p\wedge q$; b) $p\vee q$; c) $q\Rightarrow p$; d) $p\Rightarrow q$; e) $\neg q\wedge r$; f) $(p\vee q)\iff r$.

Exercițiul 6 (6 puncte)

Alcătuiește tabelul de adevăr complet al enunțului $$E=(\neg p\vee q)\Rightarrow (p\wedge q),$$ trecând în tabel și coloanele intermediare $\neg p$, $\neg p\vee q$, $p\wedge q$ (câte 1,5 puncte pentru fiecare linie completată corect).

Exercițiul 7 (8 puncte)

Se consideră enunțul cu trei variabile $$F=(p\vee q)\wedge \neg r.$$ a) Alcătuiește tabelul de adevăr al lui $F$ (câte 0,75 puncte pentru fiecare dintre cele opt linii). (6 p) b) Precizează în câte dintre cele opt cazuri enunțul $F$ este adevărat. (2 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Dacă $p$ este falsă, atunci $p\Rightarrow q$ este adevărată, indiferent de valoarea lui $q$." b) „Dacă $p\vee q$ este adevărată, atunci cel puțin una dintre propozițiile $p$, $q$ este adevărată." c) „Propoziția $p\Rightarrow q$ are întotdeauna aceeași valoare de adevăr cu reciproca ei, $q\Rightarrow p$." d) „Dacă $p\wedge q$ este falsă, atunci ambele propoziții sunt false."

Exercițiul 9 (6 puncte)

Se consideră propoziția: „Dacă un număr natural se termină în cifra $0$, atunci el este divizibil cu $5$." a) Scrie reciproca acestei implicații și precizează valoarea ei de adevăr, cu justificare. (2 p) b) Scrie contrara reciprocei (adică $\neg q\Rightarrow \neg p$) și precizează valoarea ei de adevăr. (2 p) c) Precizează valoarea de adevăr a implicației directe, cu justificare. (2 p)

Partea a III-a – Raționament și probleme

Exercițiul 10 (8 puncte)

a) Alcătuiește tabelul de adevăr al enunțului $$T=(p\Rightarrow q)\iff (\neg q\Rightarrow \neg p)$$ și arată că este o tautologie (câte 1,5 puncte pentru fiecare linie). (6 p) b) Explică, într-o frază, ce înseamnă practic acest rezultat pentru o teoremă de forma „dacă…, atunci…". (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

a) Alcătuiește, în același tabel, coloanele enunțurilor $p\Rightarrow q$ și $\neg p\vee q$ și arată că cele două sunt echivalente logic (au aceeași coloană finală). (5 p) b) Folosind rezultatul de la a), rescrie fără cuvântul „dacă" propoziția: „Dacă plouă, atunci iau umbrela." (3 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Într-o clasă, despre o problemă grea se știu următoarele trei informații, toate adevărate:

1. „Ana a rezolvat problema sau Bogdan a rezolvat problema."
2. „Dacă Bogdan a rezolvat problema, atunci Carla a rezolvat problema."
3. „Carla nu a rezolvat problema."

a) Notează cu $a$, $b$, $c$ propozițiile „Ana a rezolvat problema", „Bogdan a rezolvat problema", „Carla a rezolvat problema" și scrie cele trei informații în limbaj simbolic. (3 p) b) Determină, cu justificare, cine a rezolvat problema și cine nu. (4 p) c) Numește regula de raționament folosită pentru a deduce valoarea de adevăr a lui $b$. (1 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră propozițiile $p$: „$\sqrt{25}=5$" și $q$: „$3^2+4^2=5^2$". a) Determină valorile de adevăr ale propozițiilor $p$ și $q$. (2 p) b) Determină valoarea de adevăr a enunțului $(p\wedge q)\Rightarrow (\neg p\vee \neg q)$. (3 p) c) Se consideră propoziția $r$: „$2^{10}>1000$". Determină valoarea de adevăr a lui $r$ și apoi a enunțului $(p\wedge q)\Rightarrow r$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct pentru fiecare enunț clasificat corect (cu motiv, acolo unde e cazul). a) Este propoziție logică, adevărată ($7$ are exact doi divizori: $1$ și $7$). b) Nu este propoziție logică — este un enunț imperativ (o poruncă), căruia nu i se poate atribui „adevărat" sau „fals". c) Este propoziție logică, falsă ($3+5=8$). d) Nu este propoziție logică — este un enunț interogativ (o întrebare). e) Este propoziție logică, adevărată: $2^{10}=1024$, care are patru cifre. f) Nu este propoziție logică — este un enunț subiectiv, de apreciere personală; nu i se poate atribui obiectiv o valoare de adevăr.

Exercițiul 2. (6 p) — câte 1 punct. a) A ($\sqrt{16}=4$, deoarece $4^2=16$ și $4>0$). b) A ($0$ este număr natural). c) F ($-3$ este întreg negativ, deci $-3\notin \mathbb{N}$). d) F ($\sqrt{2}$ este număr irațional). e) A ($2^5=32$). f) F (suma cifrelor este $1+7=8$, care nu se divide cu $3$; de altfel $17$ este prim).

Exercițiul 3. (6 p) — câte 2 puncte (1 p negația, 1 p valoarea de adevăr a negației). a) $\neg p$: „$5\le 3$". Cum $p$ este adevărată, $\neg p$ este falsă. b) $\neg q$: „Numărul $12$ nu este divizibil cu $5$". Cum $q$ este falsă, $\neg q$ este adevărată. c) $\neg r$: „$\sqrt{9}\notin \mathbb{Z}$". Cum $\sqrt{9}=3\in \mathbb{Z}$, $r$ este adevărată, deci $\neg r$ este falsă.

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) B — conjuncția este adevărată doar când ambii termeni sunt adevărați. b) A — singura linie pe care implicația este falsă este „adevărat $\Rightarrow$ fals". c) C — disjuncția este falsă doar când ambii termeni sunt falși. d) C — echivalența este adevărată exact când cele două propoziții au aceeași valoare de adevăr.

Exercițiul 5. (6 p) — câte 1 punct. ($p=A$, $q=F$, $r=A$.) a) $p\wedge q=\mathbf{F}$ (o conjuncție cu un termen fals este falsă). b) $p\vee q=\mathbf{A}$ (cel puțin un termen adevărat). c) $q\Rightarrow p=\mathbf{A}$ (din fals rezultă orice). d) $p\Rightarrow q=\mathbf{F}$ (singurul caz de implicație falsă: $A\Rightarrow F$). e) $\neg q\wedge r=\mathbf{A}$ (deoarece $\neg q=A$ și $r=A$). f) $(p\vee q)\iff r$: $p\vee q=A$ și $r=A$, deci echivalența este $\mathbf{A}$.

Exercițiul 6. (6 p) — câte 1,5 puncte pentru fiecare linie completă (coloane intermediare + coloana finală).

Observație: enunțul nu este tautologie — este adevărat exact atunci când $p$ este adevărată. Pe linia a doua implicația este adevărată pentru că ipoteza $\neg p\vee q$ este falsă.

Exercițiul 7. (8 p)

a) (6 p) — câte 0,75 puncte pentru fiecare linie.

b) (2 p) Enunțul $F$ este adevărat în 3 cazuri: cele în care $r$ este falsă, iar cel puțin una dintre $p$, $q$ este adevărată.

Exercițiul 8. (6 p) — câte 1,5 puncte (răspuns + justificare). a) A. Când $p$ este falsă, implicația $p\Rightarrow q$ este adevărată pe ambele linii corespunzătoare (implicația e falsă doar în cazul $A\Rightarrow F$). b) A. Disjuncția este falsă doar când ambii termeni sunt falși; fiind adevărată, cel puțin unul este adevărat. c) F. Contraexemplu: pentru $p$ adevărată și $q$ falsă, $p\Rightarrow q$ este falsă, iar $q\Rightarrow p$ este adevărată. d) F. Este suficient ca una dintre ele să fie falsă; de exemplu $p=A$, $q=F$ dau $p\wedge q=F$, deși $p$ este adevărată.

Exercițiul 9. (6 p) a) (2 p) Reciproca: „Dacă un număr natural este divizibil cu $5$, atunci el se termină în cifra $0$." Este falsă: contraexemplu $15$, care se divide cu $5$, dar se termină în $5$. b) (2 p) Contrara reciprocei: „Dacă un număr natural nu este divizibil cu $5$, atunci el nu se termină în cifra $0$." Este adevărată — are aceeași valoare de adevăr cu implicația directă (vezi Exercițiul 10). c) (2 p) Implicația directă este adevărată: un număr natural care se termină în cifra $0$ este de forma $10m$, cu $m\in \mathbb{N}$, iar $10m=5\cdot (2m)$, deci se divide cu $5$.

Exercițiul 10. (8 p)

a) (6 p) — câte 1,5 puncte pentru fiecare linie.

Coloana finală conține numai valoarea A, deci $T$ este tautologie.

b) (2 p) Practic: o teoremă „dacă $p$, atunci $q$" și contrara reciprocei ei „dacă nu $q$, atunci nu $p$" spun exact același lucru; prin urmare, o teoremă poate fi demonstrată în oricare dintre cele două forme — pe aceasta se sprijină demonstrațiile prin contrapoziție și, mai departe, reducerea la absurd.

Exercițiul 11. (8 p)

a) (5 p) — câte 1 punct pentru fiecare linie corectă a celor două coloane + 1 punct pentru concluzie.

Cele două coloane coincid linie cu linie, deci $p\Rightarrow q\equiv \neg p\vee q$ (enunțul $(p\Rightarrow q)\iff (\neg p\vee q)$ este tautologie).

b) (3 p) „Nu plouă sau iau umbrela." (Se acceptă și formularea „Ori nu plouă, ori iau umbrela", cu sensul de „sau" neexclusiv.)

Exercițiul 12. (8 p) a) (3 p) — câte 1 punct: (1) $a\vee b$; (2) $b\Rightarrow c$; (3) $\neg c$. b) (4 p) Din (2) și (3): dacă $b$ ar fi adevărată, din $b\Rightarrow c$ ar rezulta $c$ adevărată, în contradicție cu (3). Deci $b$ este falsă — Bogdan nu a rezolvat problema (2 p). Din (1), $a\vee b$ adevărată cu $b$ falsă, rezultă $a$ adevărată — Ana a rezolvat problema (2 p). Din (3), Carla nu a rezolvat. Concluzie: a rezolvat doar Ana. c) (1 p) Regula folosită este modus tollens (negarea consecventului): din $b\Rightarrow c$ și $\neg c$ rezultă $\neg b$. (Pasul al doilea folosește silogismul disjunctiv: din $a\vee b$ și $\neg b$ rezultă $a$.)

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) $p$ este adevărată ($\sqrt{25}=5$, căci $5^2=25$, $5>0$); $q$ este adevărată ($9+16=25$). b) (3 p) $p\wedge q=A$ (1 p). $\neg p=F$, $\neg q=F$, deci $\neg p\vee \neg q=F$ (1 p). Enunțul este $A\Rightarrow F$, deci fals (1 p). c) (3 p) $2^{10}=1024>1000$, deci $r$ este adevărată (1,5 p). Atunci $(p\wedge q)\Rightarrow r$ este $A\Rightarrow A$, deci adevărată (1,5 p).

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică dacă elevul stăpânește primul aparat de lucru al liceului: recunoașterea unei propoziții logice și a valorii ei de adevăr, cele cinci operații logice (negația $\neg$, conjuncția $\wedge$, disjuncția $\vee$, implicația $\Rightarrow$, echivalența $\iff$), construirea corectă a tabelului de adevăr al unui enunț compus cu două sau trei variabile și recunoașterea tautologiilor. Sunt acoperite lecțiile de la Propoziția logică și valoarea ei de adevăr până la Tabelul de adevăr al unui enunț compus. Predicatele, cuantificatorii și legile lui De Morgan se verifică în testul următor al unității.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie, cu riglă pentru tabelele de adevăr. Tabelele se completează pe coloane, nu „din memorie". La final se compară rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, în special a tabelelor de adevăr.
• Reguli de reținut: $\neg p$ are valoarea de adevăr opusă lui $p$. Conjuncția $p\wedge q$ este adevărată doar când ambele sunt adevărate. Disjuncția $p\vee q$ este falsă doar când ambele sunt false. Implicația $p\Rightarrow q$ este falsă doar în cazul „adevărat $\Rightarrow$ fals"; în particular, dintr-o propoziție falsă rezultă orice. Echivalența $p\iff q$ este adevărată exact când $p$ și $q$ au aceeași valoare de adevăr. Un enunț cu $n$ variabile are un tabel cu $2^n$ linii ($4$ linii la două variabile, $8$ la trei). Un enunț adevărat pe toate liniile se numește tautologie.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".