Test: Panta și ecuațiile dreptei

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Dreapta în planul cartezian

Exerciții

Partea I – Panta și citirea ecuației

Exercițiul 1 (6 puncte)

Calculează panta dreptei determinate de punctele date; dacă dreapta nu are pantă, precizează acest lucru și motivul (câte 1 punct): a) $A (1, 2)$ și $B (3, 8)$ ; b) $C (- 2, 5)$ și $D (4, - 7)$ ; c) $E (0, - 3)$ și $F (5, - 3)$ ; d) $G (2, 1)$ și $H (2, 9)$ ; e) $I (- 4, - 1)$ și $J (2, 3)$ ; f) $K (- 5, 4)$ și $L (3, 0)$ .

Exercițiul 2 (6 puncte)

Precizează panta $m$ și ordonata la origine $n$ pentru fiecare dreaptă (câte 1,5 puncte). Acolo unde este cazul, adu mai întâi ecuația la forma redusă $y = m x + n$ : a) $y = 3 x - 5$ ; b) $y = - \frac{1}{2} x + 4$ ; c) $2 x + y - 6 = 0$ ; d) $3 x - 4 y + 8 = 0$ .

Exercițiul 3 (6 puncte)

Scrie ecuația dreptei care trece prin punctul dat și are panta dată, sub forma $y = m x + n$ (câte 2 puncte): a) $A (2, 5)$ , $m = 3$ ; b) $B (- 1, 4)$ , $m = - 2$ ; c) $C (4, - 3)$ , $m = \frac{1}{2}$ .

Exercițiul 4 (8 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Panta dreptei determinate de punctele $A (- 1, 2)$ și $B (3, 10)$ este egală cu: A. $2$ ; B. $3$ ; C. $\frac{1}{2}$ ; D. $- 2$ .

b) Dreapta de ecuație $y = - 5$ este: A. verticală; B. orizontală; C. oblică; D. o dreaptă care trece prin origine.

c) Dreapta de ecuație $y = 2 x - 6$ intersectează axa $O x$ în punctul: A. $(0, - 6)$ ; B. $(3, 0)$ ; C. $(- 3, 0)$ ; D. $(6, 0)$ .

d) Despre dreapta de ecuație $x = 4$ se poate afirma că: A. are panta $0$ ; B. are panta $4$ ; C. nu are pantă; D. este paralelă cu axa $O x$ .

Partea a II-a – Ecuații, axe și aplicații

Exercițiul 5 (6 puncte)

Scrie ecuația dreptei determinate de cele două puncte, sub forma $y = m x + n$ (câte 3 puncte): a) $A (- 2, 1)$ și $B (4, 4)$ ; b) $C (1, - 3)$ și $D (5, 5)$ .

Exercițiul 6 (6 puncte)

Determină coordonatele punctelor în care fiecare dreaptă intersectează axele de coordonate (câte 2 puncte): a) $y = 3 x - 12$ ; b) $2 x - 5 y + 10 = 0$ ; c) $y = - \frac{3}{4} x + 3$ .

Exercițiul 7 (8 puncte)

O rampă de acces pentru cărucioare urcă în linie dreaptă de la baza ei, punctul $A (0, 0)$ , până la intrarea în clădire, punctul $B (8, 1)$ . Unitatea de pe ambele axe reprezintă $1$ metru.

a) Calculează panta rampei. (2 p) b) Exprimă panta în procente (în construcții, panta se dă de obicei procentual). (2 p) c) Scrie ecuația dreptei pe care se află rampa. (2 p) d) La ce distanță orizontală de baza rampei înălțimea acesteia este de $0, 75$ m? (2 p)

Exercițiul 8 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „O dreaptă paralelă cu axa $O x$ are panta egală cu $0$ ." b) „O dreaptă verticală are panta egală cu $0$ ." c) „Dacă panta unei drepte este negativă, atunci, pe măsură ce $x$ crește, valorile lui $y$ scad." d) „Dreptele de ecuații $y = 2 x + 1$ și $y = 2 x - 7$ intersectează axa $O y$ în același punct."

Exercițiul 9 (6 puncte)

a) Determină numărul real $a$ pentru care punctul $P (a, 7)$ aparține dreptei de ecuație $y = 2 x - 3$ . (3 p) b) Determină numărul real $m$ pentru care dreapta de ecuație $y = m x + 4$ trece prin punctul $Q (- 6, 1)$ . (3 p)

Partea a III-a – Probleme și aplicații

Exercițiul 10 (8 puncte)

Se consideră dreptele: $d_{1} : y = 3, d_{2} : x = - 2, d_{3} : y = x - 4, d_{4} : y = - 2 x + 6.$

a) Precizează poziția dreptei $d_{1}$ (orizontală, verticală, oblică crescătoare sau oblică descrescătoare). (1 p) b) Precizează poziția dreptei $d_{2}$ . (1 p) c) Precizează poziția dreptei $d_{3}$ . (1 p) d) Precizează poziția dreptei $d_{4}$ . (1 p) e) Reprezintă cele patru drepte în același reper cartezian. (2 p) f) Determină coordonatele punctului de intersecție al dreptelor $d_{1}$ și $d_{2}$ . (2 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

Un taxi percepe o taxă de pornire de $6$ lei, la care se adaugă $3$ lei pentru fiecare kilometru parcurs. Notăm cu $x$ numărul de kilometri și cu $C$ costul cursei, în lei.

a) Scrie formula care exprimă costul $C$ în funcție de $x$ . (2 p) b) Precizează panta acestei drepte și explică ce reprezintă ea în situația dată. (2 p) c) Calculează costul unei curse de $12$ km. (2 p) d) Un client a plătit $60$ de lei. Câți kilometri a parcurs? (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

Se consideră punctele $A (- 2, - 9)$ și $B (6, 3)$ .

a) Calculează panta dreptei $A B$ . (2 p) b) Scrie ecuația dreptei $A B$ sub forma $y = m x + n$ . (2 p) c) Determină coordonatele punctelor în care dreapta $A B$ intersectează axele de coordonate. (2 p) d) Verifică dacă punctele $C (10, 9)$ și $D (2, - 2)$ aparțin dreptei $A B$ . (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) În reperul cartezian $x O y$ se consideră dreapta $d$ de ecuație $y = - \frac{3}{4} x + 3$ .

a) Precizează panta și ordonata la origine ale dreptei $d$ . (2 p) b) Determină coordonatele punctelor $A$ și $B$ în care dreapta $d$ intersectează axa $O x$ , respectiv axa $O y$ . (2 p) c) Calculează lungimea segmentului $[A B]$ . (2 p) d) Calculează aria triunghiului $O A B$ , unde $O$ este originea reperului. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p) — câte 1 punct. a) $m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$ . b) $m = \frac{- 7 - 5}{4 - ( - 2 )} = \frac{- 12}{6} = - 2$ . c) $m = \frac{- 3 - ( - 3 )}{5 - 0} = \frac{0}{5} = 0$ (dreapta este orizontală, $y = - 3$ ). d) Punctele au aceeași abscisă ( $x = 2$ ), deci numitorul $x_{H} - x_{G}$ ar fi $0$ : dreapta nu are pantă, fiind verticală (ecuația ei este $x = 2$ ). e) $m = \frac{3 - ( - 1 )}{2 - ( - 4 )} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ . f) $m = \frac{0 - 4}{3 - ( - 5 )} = \frac{- 4}{8} = - \frac{1}{2}$ .

Exercițiul 2. (6 p) — câte 1,5 puncte (0,75 p panta, 0,75 p ordonata la origine). a) $m = 3$ , $n = - 5$ . b) $m = - \frac{1}{2}$ , $n = 4$ . c) $2 x + y - 6 = 0 \Rightarrow y = - 2 x + 6$ , deci $m = - 2$ , $n = 6$ . d) $3 x - 4 y + 8 = 0 \Rightarrow 4 y = 3 x + 8 \Rightarrow y = \frac{3}{4} x + 2$ , deci $m = \frac{3}{4}$ , $n = 2$ .

Exercițiul 3. (6 p) — câte 2 puncte (1 p scrierea $y - y_{A} = m (x - x_{A})$ , 1 p forma redusă). a) $y - 5 = 3 (x - 2) \Rightarrow y = 3 x - 6 + 5 \Rightarrow y = 3x - 1$ . Verificare: pentru $x = 2$ , $y = 6 - 1 = 5$ . ✓ b) $y - 4 = - 2 (x + 1) \Rightarrow y = - 2 x - 2 + 4 \Rightarrow y = - 2x + 2$ . Verificare: pentru $x = - 1$ , $y = 2 + 2 = 4$ . ✓ c) $y + 3 = \frac{1}{2} (x - 4) \Rightarrow y = \frac{1}{2} x - 2 - 3 \Rightarrow y = \frac{1}{2} x - 5$ . Verificare: pentru $x = 4$ , $y = 2 - 5 = - 3$ . ✓

Exercițiul 4. (8 p) — câte 2 puncte. a) A. $m = \frac{10 - 2}{3 - ( - 1 )} = \frac{8}{4} = 2$ . b) B. Ecuația $y = - 5$ descrie mulțimea punctelor cu ordonata constantă, deci o dreaptă orizontală (paralelă cu $O x$ ). c) B. Punem $y = 0$ : $0 = 2 x - 6 \Rightarrow x = 3$ , deci punctul este $(3, 0)$ . d) C. Dreapta $x = 4$ este verticală; toate punctele ei au aceeași abscisă, deci raportul care definește panta ar avea numitorul $0$ — panta nu există. (Nu este paralelă cu $O x$ , ci cu $O y$ .)

Exercițiul 5. (6 p) — câte 3 puncte (1 p panta, 1 p ecuația, 1 p forma redusă cu verificare). a) $m = \frac{4 - 1}{4 - ( - 2 )} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ . Atunci $y - 1 = \frac{1}{2} (x + 2) \Rightarrow y = \frac{1}{2} x + 2$ . Verificare: $A$ : $\frac{1}{2} \cdot (- 2) + 2 = 1$ ✓; $B$ : $\frac{1}{2} \cdot 4 + 2 = 4$ ✓. b) $m = \frac{5 - ( - 3 )}{5 - 1} = \frac{8}{4} = 2$ . Atunci $y + 3 = 2 (x - 1) \Rightarrow y = 2x - 5$ . Verificare: $C$ : $2 \cdot 1 - 5 = - 3$ ✓; $D$ : $2 \cdot 5 - 5 = 5$ ✓.

Exercițiul 6. (6 p) — câte 2 puncte (1 p pentru fiecare intersecție). a) Cu $O x$ ( $y = 0$ ): $3 x - 12 = 0 \Rightarrow x = 4$ , deci $(4, 0)$ . Cu $O y$ ( $x = 0$ ): $y = - 12$ , deci $(0, - 12)$ . b) Cu $O x$ : $2 x + 10 = 0 \Rightarrow x = - 5$ , deci $(- 5, 0)$ . Cu $O y$ : $- 5 y + 10 = 0 \Rightarrow y = 2$ , deci $(0, 2)$ . c) Cu $O x$ : $- \frac{3}{4} x + 3 = 0 \Rightarrow \frac{3}{4} x = 3 \Rightarrow x = 4$ , deci $(4, 0)$ . Cu $O y$ : $y = 3$ , deci $(0, 3)$ .

Exercițiul 7. (8 p) a) (2 p) $m = \frac{1 - 0}{8 - 0} = \frac{1}{8}$ (rampa urcă $1$ m pe fiecare $8$ m de deplasare orizontală). b) (2 p) $\frac{1}{8} = 0, 125 = 12, 5%$ . c) (2 p) Dreapta trece prin origine și are panta $\frac{1}{8}$ , deci $y = \frac{1}{8} x$ (ordonata la origine este $n = 0$ ). d) (2 p) Punem $y = 0, 75$ : $\frac{1}{8} x = 0, 75 \Rightarrow x = 8 \cdot 0, 75 = 6$ m.

Exercițiul 8. (6 p) — câte 1,5 puncte (răspuns + justificare). a) A. Două puncte de pe o dreaptă orizontală au aceeași ordonată, deci numărătorul $y_{B} - y_{A}$ este $0$ , iar $m = 0$ . b) F. O dreaptă verticală nu are pantă: punctele ei au aceeași abscisă, deci numitorul $x_{B} - x_{A}$ ar fi $0$ , iar împărțirea la $0$ nu este definită. Panta $0$ o au dreptele orizontale. c) A. Dacă $m < 0$ , funcția $y = m x + n$ este descrescătoare; grafic, dreapta „coboară" de la stânga la dreapta. d) F. Ordonatele la origine sunt $n_{1} = 1$ și $n_{2} = - 7$ , deci punctele de intersecție cu $O y$ sunt $(0, 1)$ , respectiv $(0, - 7)$ — diferite. Având aceeași pantă, cele două drepte sunt paralele.

Exercițiul 9. (6 p) a) (3 p) Punctul aparține dreptei, deci coordonatele lui verifică ecuația: $7 = 2 a - 3$ (1 p), de unde $2 a = 10$ (1 p) și $a = 5$ (1 p). Verificare: $2 \cdot 5 - 3 = 7$ ✓. b) (3 p) $1 = m \cdot (- 6) + 4$ (1 p), deci $- 6 m = - 3$ (1 p) și $m = \frac{1}{2}$ (1 p). Verificare: $\frac{1}{2} \cdot (- 6) + 4 = - 3 + 4 = 1$ ✓.

Exercițiul 10. (8 p) a) (1 p) $d_{1} : y = 3$ este orizontală (paralelă cu $O x$ ), cu panta $0$ . b) (1 p) $d_{2} : x = - 2$ este verticală (paralelă cu $O y$ ); nu are pantă. c) (1 p) $d_{3} : y = x - 4$ este oblică crescătoare, deoarece $m = 1 > 0$ . d) (1 p) $d_{4} : y = - 2 x + 6$ este oblică descrescătoare, deoarece $m = - 2 < 0$ . e) (2 p) Repere pentru trasare (câte două puncte pe fiecare dreaptă oblică): $d_{1}$ trece prin $(0, 3)$ și $(5, 3)$ ; $d_{2}$ trece prin $(- 2, 0)$ și $(- 2, 4)$ ; $d_{3}$ trece prin $(0, - 4)$ și $(4, 0)$ ; $d_{4}$ trece prin $(0, 6)$ și $(3, 0)$ . Se acordă câte 0,5 puncte pentru fiecare dreaptă trasată corect. f) (2 p) Punctul comun are abscisa impusă de $d_{2}$ și ordonata impusă de $d_{1}$ : $(- 2, 3)$ .

Exercițiul 11. (8 p) a) (2 p) $C = 3x + 6$ (funcție de gradul I, cu $x \geq 0$ ). b) (2 p) Panta este $m = 3$ (1 p); ea reprezintă costul unui kilometru, adică $3$ lei pentru fiecare kilometru în plus (1 p). Ordonata la origine, $n = 6$ , este taxa de pornire, plătită chiar și pentru $x = 0$ . c) (2 p) $C = 3 \cdot 12 + 6 = 36 + 6 = 42$ lei. d) (2 p) $3 x + 6 = 60 \Rightarrow 3 x = 54 \Rightarrow x = 18$ km.

Exercițiul 12. (8 p) a) (2 p) $m = \frac{3 - ( - 9 )}{6 - ( - 2 )} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ . b) (2 p) $y + 9 = \frac{3}{2} (x + 2) \Rightarrow y = \frac{3}{2} x + 3 - 9 \Rightarrow y = \frac{3}{2} x - 6$ . Verificare: pentru $x = 6$ , $y = 9 - 6 = 3$ ✓. c) (2 p) Cu $O x$ ( $y = 0$ ): $\frac{3}{2} x = 6 \Rightarrow x = 4$ , deci $(4, 0)$ (1 p). Cu $O y$ ( $x = 0$ ): $(0, - 6)$ (1 p). d) (2 p) Pentru $C (10, 9)$ : $\frac{3}{2} \cdot 10 - 6 = 15 - 6 = 9 = y_{C}$ , deci $C$ aparține dreptei (1 p). Pentru $D (2, - 2)$ : $\frac{3}{2} \cdot 2 - 6 = 3 - 6 = - 3 \neq = - 2$ , deci $D$ nu aparține dreptei (1 p).

Exercițiul 13. (8 p) a) (2 p) Ecuația este deja în forma redusă: panta este $m = - \frac{3}{4}$ (1 p), iar ordonata la origine este $n = 3$ (1 p). Dreapta este oblică descrescătoare. b) (2 p) Cu $O x$ : $- \frac{3}{4} x + 3 = 0 \Rightarrow x = 4$ , deci $A (4, 0)$ (1 p). Cu $O y$ : $x = 0 \Rightarrow y = 3$ , deci $B (0, 3)$ (1 p). c) (2 p) $A B = (0 - 4)^{2} + (3 - 0)^{2} = 16 + 9 = 25 = 5$ . d) (2 p) Triunghiul $O A B$ este dreptunghic în $O$ , catetele fiind $O A = 4$ (pe axa $O x$ ) și $O B = 3$ (pe axa $O y$ ) (1 p). Deci $A_{O A B} = \frac{O A \cdot O B}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 . (1 p)$

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică trecerea de la punct la dreaptă: elevul trebuie să calculeze panta unei drepte ca raport dintre creșterea pe verticală și creșterea pe orizontală, să scrie ecuația unei drepte pornind fie de la un punct și o pantă, fie de la două puncte, să determine intersecțiile cu axele și să recunoască poziția unei drepte (orizontală, verticală, oblică crescătoare sau descrescătoare). Sunt acoperite lecțiile Panta unei drepte, ca raport, Ecuația dreptei care trece printr-un punct și are panta dată, Ecuația dreptei determinate de două puncte, Intersecțiile dreptei cu axele de coordonate și Poziția unei drepte: orizontală, verticală, oblică. Coliniaritatea a trei puncte și intersecția a două drepte se verifică în testul următor al unității.

Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie de matematică, cu riglă. Fracțiile se lasă în formă ireductibilă (de exemplu $\frac{3}{2}$ , nu $1, 5$ ), iar la fiecare ecuație obținută se face verificarea: se înlocuiesc coordonatele punctelor date și trebuie să iasă egalitate. La final se compară rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, în special formula pantei și forma $y = m x + n$ .
Formule de reținut: panta dreptei determinate de $A (x_{A}, y_{A})$ și $B (x_{B}, y_{B})$ , cu $x_{A} \neq = x_{B}$ , este $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ . Ecuația dreptei care trece prin $A (x_{A}, y_{A})$ și are panta $m$ este $y - y_{A} = m (x - x_{A})$ , care se aduce la forma redusă $y = m x + n$ , unde $n$ este ordonata la origine (punctul de intersecție cu $O y$ este $(0, n)$ ). Intersecția cu $O x$ se află punând $y = 0$ , iar intersecția cu $O y$ punând $x = 0$ . O dreaptă orizontală are ecuația $y = k$ și panta $0$ ; o dreaptă verticală are ecuația $x = k$ și nu are pantă. Dacă $m > 0$ , dreapta „urcă"; dacă $m < 0$ , dreapta „coboară".

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".