Test: Parabola — vârf, axă, intersecții

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Funcția de gradul al doilea

Exerciții

Partea I – Recunoaștere, vârf și axă de simetrie

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alege litera corespunzătoare răspunsului corect (câte 2 puncte):

a) Ramurile parabolei asociate funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-3x^2+5x-1$, sunt orientate: A. în sus; B. în jos; C. spre stânga; D. spre dreapta.

b) Axa de simetrie a parabolei de ecuație $y=x^2-8x+3$ este dreapta: A. $x=-8$; B. $x=8$; C. $x=4$; D. $x=-4$.

c) Graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2-7x+5$, intersectează axa $Oy$ în punctul: A. $(0,5)$; B. $(5,0)$; C. $(0,-5)$; D. $(0,2)$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6x+5$. a) Calculează discriminantul și determină coordonatele vârfului $V$ al parabolei. (2 p) b) Scrie ecuația axei de simetrie și precizează orientarea ramurilor, cu justificare. (2 p) c) Determină coordonatele punctelor în care graficul intersectează axele de coordonate. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt (câte 1,5 puncte): a) „Graficul oricărei funcții de gradul al doilea intersectează axa $Oy$ în exact un punct." b) „Dacă $a>0$, atunci vârful parabolei este punctul cel mai de sus al graficului." c) „Există funcții de gradul al doilea al căror grafic nu intersectează axa $Ox$." d) „Atunci când parabola taie axa $Ox$ în două puncte, abscisa vârfului este media aritmetică a absciselor acestor două puncte."

Exercițiul 4 (6 puncte)

Pentru fiecare funcție, precizează orientarea ramurilor și coordonatele vârfului, cu calculul aferent (câte 2 puncte): a) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2-6x$; b) $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^2+4x+7$; c) $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $h(x)=-2x^2+4x+6$.

Partea a II-a – Forma canonică, intersecții și determinarea funcției

Exercițiul 5 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2-8x+6$. a) Scrie funcția sub formă canonică, arătând etapele restrângerii pătratului. (3 p) b) Citește din forma canonică vârful și axa de simetrie. (2 p) c) Determină intersecțiile graficului cu axele de coordonate. (3 p)

Exercițiul 6 (8 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x^2+4x-3$. a) Completează tabelul de valori pentru $x\in \{0,1,2,3,4\}$. (3 p) b) Determină vârful și axa de simetrie și explică ce simetrie observi în tabel. (2 p) c) Trasează schița graficului, marcând vârful, axa de simetrie și intersecțiile cu axele. (3 p)

Exercițiul 7 (7 puncte)

Parabola asociată funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=a{x}^2+bx+c$, are vârful $V(1,-4)$ și trece prin punctul $A(3,0)$. a) Scrie forma canonică a funcției, folosind coordonatele vârfului. (3 p) b) Determină $a$, $b$, $c$ și scrie funcția sub forma dezvoltată. (2 p) c) Determină al doilea punct în care graficul intersectează axa $Ox$. (2 p)

Exercițiul 8 (7 puncte)

Graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=a{x}^2+bx+c$, trece prin punctele $A(0,3)$, $B(1,0)$ și $C(-1,8)$. a) Scrie sistemul de ecuații care rezultă din cele trei condiții. (3 p) b) Rezolvă sistemul și scrie funcția. (2 p) c) Determină vârful parabolei obținute. (2 p)

Exercițiul 9 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x+m$, unde $m$ este un număr real. Discută, după valorile lui $m$, numărul punctelor în care graficul funcției intersectează axa $Ox$. În cazul în care există un singur punct, precizează coordonatele lui.

Partea a III-a – Aplicații, demonstrație și item de tip examen

Exercițiul 10 (8 puncte)

O minge de fotbal este șutată de la nivelul solului. Înălțimea ei, măsurată în metri, la distanța orizontală de $x$ metri față de punctul de lovire, este dată de funcția $$h(x)=-x^2+6x,x\in [0,6].$$ a) Determină înălțimea maximă atinsă de minge și distanța orizontală la care se întâmplă acest lucru. (3 p) b) La ce distanță de punctul de lovire atinge mingea din nou solul? (2 p) c) La ce distanțe orizontale se află mingea la înălțimea de $5$ metri? (3 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=a{x}^2+bx+c$, cu $a\ne 0$, și fie $x_V=-\frac{b}{2a}$ abscisa vârfului. Demonstrează că, pentru orice număr real $t$, $$f(x_V-t)=f(x_V+t),$$ adică graficul funcției este simetric față de dreapta verticală $x=x_V$.

Exercițiul 12 (6 puncte)

Determină numerele reale $m$ pentru care graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-(m+1)x+9$, are exact un punct comun cu axa $Ox$. Pentru fiecare valoare găsită, precizează coordonatele acelui punct.

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Item tip Bacalaureat.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+2x-8$. a) Determinați coordonatele vârfului $V$ al parabolei asociate funcției $f$. (2 p) b) Determinați coordonatele punctelor $A$ și $B$ în care graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$. (3 p) c) Calculați aria triunghiului $AVB$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p.

Exercițiul 1. (6 p)

a) B. (2 p) Coeficientul dominant este $a=-3<0$, deci ramurile sunt orientate în jos. (Variantele C și D nu au sens: o parabolă asociată unei funcții de gradul al doilea are ramurile fie în sus, fie în jos.)

b) C. (2 p) Axa de simetrie are ecuația $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\cdot 1}=4$.

c) A. (2 p) Intersecția cu $Oy$ se obține pentru $x=0$: $f(0)=5$, deci punctul este $(0,5)$. Este exact termenul liber al funcției.

Exercițiul 2. (6 p)

a) (2 p) $\Delta =(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16$. Atunci $$x_V=-\frac{b}{2a}=\frac{6}{2}=3,y_V=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{16}{4}=-4,$$ deci $V(3,-4)$. (Se acceptă și calculul direct $y_V=f(3)=9-18+5=-4$.)

b) (2 p) Axa de simetrie este dreapta $x=3$. Cum $a=1>0$, ramurile sunt orientate în sus, iar vârful este punctul cel mai de jos al graficului.

c) (2 p) Cu $Oy$: $f(0)=5$, deci punctul $(0,5)$. Cu $Ox$: rezolvăm $x^2-6x+5=0$; cu $\sqrt{\Delta }=4$ obținem $x_1=\frac{6-4}{2}=1$ și $x_2=\frac{6+4}{2}=5$, deci punctele $(1,0)$ și $(5,0)$.

Exercițiul 3. (6 p)

a) A. (1,5 p) Pentru $x=0$ obținem un singur $y$, anume $y=f(0)=c$. Graficul unei funcții taie o dreaptă verticală în cel mult un punct, iar axa $Oy$ este dreapta $x=0$; cum $0$ aparține domeniului $\mathbb{R}$, punctul există și este unic: $(0,c)$.

b) F. (1,5 p) Dacă $a>0$, ramurile sunt orientate în sus, deci vârful este punctul cel mai de jos: $f(x)\ge y_V$ pentru orice $x$ real. Afirmația ar fi adevărată pentru $a<0$.

c) A. (1,5 p) De exemplu $f(x)=x^2+x+1$ are $\Delta =1-4=-3<0$, deci ecuația $f(x)=0$ nu are soluții reale și graficul nu atinge axa $Ox$. (Din forma canonică: $f(x)={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$ pentru orice $x$.)

d) A. (1,5 p) Dacă $\Delta >0$, rădăcinile sunt $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$, deci $$\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{2a}=x_V.$$ Geometric: cele două puncte de pe $Ox$ sunt simetrice față de axa parabolei.

Exercițiul 4. (6 p)

a) (2 p) $f(x)=3x^2-6x$: $a=3>0$, deci ramurile sunt orientate în sus. $x_V=\frac{6}{2\cdot 3}=1$ și $y_V=f(1)=3-6=-3$, deci $V(1,-3)$.

b) (2 p) $g(x)=x^2+4x+7$: $a=1>0$, ramurile în sus. $x_V=-\frac{4}{2}=-2$ și $y_V=g(-2)=4-8+7=3$, deci $V(-2,3)$. (Observație: $\Delta =16-28=-12<0$, deci acest grafic nu taie axa $Ox$ — se află în întregime deasupra ei.)

c) (2 p) $h(x)=-2x^2+4x+6$: $a=-2<0$, ramurile în jos. $x_V=-\frac{4}{2\cdot (-2)}=1$ și $y_V=h(1)=-2+4+6=8$, deci $V(1,8)$.

Exercițiul 5. (8 p)

a) (3 p) Dăm factor comun pe $2$ și restrângem pătratul: $$f(x)=2x^2-8x+6=2(x^2-4x)+6=2[(x-2{)}^2-4]+6=2(x-2{)}^2-8+6,$$ deci $$\boxed{f(x)=2(x-2{)}^2-2.}$$ (Verificare cu formula: $\Delta =64-48=16$ și $-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{16}{8}=-2$ ✓.)

b) (2 p) Din forma canonică se citește direct vârful $V(2,-2)$ și axa de simetrie $x=2$. (Termenul $2(x-2{)}^2$ este $\ge 0$ și se anulează doar pentru $x=2$, deci valoarea minimă $-2$ se atinge în $x=2$.)

c) (3 p) Cu $Oy$: $f(0)=6$, deci punctul $(0,6)$. Cu $Ox$: din forma canonică, $2(x-2{)}^2-2=0\Rightarrow (x-2{)}^2=1\Rightarrow x-2=\pm 1$, deci $x_1=1$ și $x_2=3$; punctele sunt $(1,0)$ și $(3,0)$. (Aceleași valori se obțin din $\Delta =16$: $x_{1,2}=\frac{8\pm 4}{4}$.)

Exercițiul 6. (8 p)

a) (3 p) $f(0)=-3$; $f(1)=-1+4-3=0$; $f(2)=-4+8-3=1$; $f(3)=-9+12-3=0$; $f(4)=-16+16-3=-3$.

b) (2 p) $a=-1<0$, ramurile în jos; $x_V=-\frac{4}{2\cdot (-1)}=2$, $y_V=f(2)=1$, deci $V(2,1)$, iar axa de simetrie este $x=2$. În tabel se vede simetria față de coloana lui $x=2$: valorile din $x=1$ și $x=3$ sunt egale (ambele $0$), la fel cele din $x=0$ și $x=4$ (ambele $-3$).

c) (3 p) Schița: parabolă cu ramurile în jos, vârf în $V(2,1)$, axa punctată $x=2$, intersecțiile cu $Ox$ în $(1,0)$ și $(3,0)$, intersecția cu $Oy$ în $(0,-3)$. Se acordă punctajul dacă apar corect: orientarea ramurilor, vârful și cele trei intersecții.

Exercițiul 7. (7 p)

a) (3 p) Dacă vârful este $V(1,-4)$, forma canonică este $$f(x)=a(x-1{)}^2-4,a\ne 0.$$

b) (2 p) Din condiția $f(3)=0$: $a(3-1{)}^2-4=0\Rightarrow 4a=4\Rightarrow a=1$. Deci $$f(x)=(x-1{)}^2-4=x^2-2x+1-4=x^2-2x-3,$$ adică $a=1$, $b=-2$, $c=-3$.

c) (2 p) Rezolvăm $x^2-2x-3=0$: $\Delta =4+12=16$, $x_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}$, deci $x_1=-1$ și $x_2=3$. Al doilea punct de intersecție cu $Ox$ este $(-1,0)$. (Verificare cu simetria: $-1$ și $3$ sunt simetrice față de $x_V=1$ ✓.)

Exercițiul 8. (7 p)

a) (3 p) Impunem, pe rând, ca fiecare punct să verifice $y=a{x}^2+bx+c$: $$\{\begin{array}{ll}f(0)=3:& c=3\\ f(1)=0:& a+b+c=0\\ f(-1)=8:& a-b+c=8\end{array}$$

b) (2 p) Din prima ecuație $c=3$; înlocuind, obținem $a+b=-3$ și $a-b=5$. Adunând: $2a=2$, deci $a=1$, apoi $b=-4$. Funcția este $$f(x)=x^2-4x+3.$$ (Verificare: $f(0)=3$ ✓, $f(1)=1-4+3=0$ ✓, $f(-1)=1+4+3=8$ ✓.)

c) (2 p) $x_V=\frac{4}{2}=2$, $y_V=f(2)=4-8+3=-1$, deci $V(2,-1)$.

Exercițiul 9. (6 p)

Condiția de discuție (2 p). Numărul punctelor comune cu axa $Ox$ este numărul soluțiilor reale ale ecuației $x^2-2x+m=0$, adică depinde de semnul discriminantului (1 p): $$\Delta =(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot m=4-4m=4(1-m).$$ (1 p)

Cazul $\Delta >0$ (1,5 p). $4(1-m)>0\iff m<1$: graficul intersectează axa $Ox$ în două puncte distincte.

Cazul $\Delta =0$ (1,5 p). $m=1$: graficul are un singur punct comun cu axa $Ox$, care este chiar vârful. Atunci $f(x)=x^2-2x+1=(x-1{)}^2$, iar punctul este $(1,0)$.

Cazul $\Delta <0$ (1 p). $m>1$: graficul nu intersectează axa $Ox$; cum $a=1>0$, parabola se află în întregime deasupra axei.

Exercițiul 10. (8 p)

a) (3 p) $a=-1<0$, deci funcția are un maxim atins în vârf (1 p). $x_V=-\frac{6}{2\cdot (-1)}=3$ și $h(3)=-9+18=9$ (1,5 p). Deci înălțimea maximă este de $9$ metri, atinsă la $3$ metri distanță orizontală de punctul de lovire (0,5 p).

b) (2 p) Rezolvăm $h(x)=0$: $-x^2+6x=0\iff -x(x-6)=0$, deci $x=0$ (punctul de lovire) sau $x=6$. Mingea atinge din nou solul la $6$ metri.

c) (3 p) Rezolvăm $-x^2+6x=5$ (1 p), adică $x^2-6x+5=0$. Cu $\Delta =36-20=16$ obținem $x_1=1$ și $x_2=5$ (1,5 p). Ambele valori aparțin intervalului $[0,6]$, deci mingea se află la $5$ metri înălțime la distanțele de $1$ metru (la urcare) și $5$ metri (la coborâre) (0,5 p). (Verificare: $-1+6=5$ ✓ și $-25+30=5$ ✓.)

Exercițiul 11. (8 p) — redactare completă.

Forma canonică (3 p). Pornim de la $f(x)=a{x}^2+bx+c$ și restrângem pătratul: $$f(x)=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2}{4a}+c=a{\left(x-x_V\right)}^2+y_V,$$ unde $x_V=-\frac{b}{2a}$ și $y_V=c-\frac{b^2}{4a}=-\frac{\Delta }{4a}=f(x_V)$.

Calculul celor două valori (3 p). Fie $t$ un număr real oarecare. Înlocuind $x=x_V-t$, respectiv $x=x_V+t$, în forma canonică: $$f(x_V-t)=a((x_V-t)-x_V{)}^2+y_V=a(-t{)}^2+y_V=a{t}^2+y_V,$$ $$f(x_V+t)=a((x_V+t)-x_V{)}^2+y_V=a{t}^2+y_V.$$

Concluzia (2 p). Cele două rezultate coincid, deci $f(x_V-t)=f(x_V+t)$ pentru orice $t\in \mathbb{R}$. Prin urmare punctele $M(x_V-t,f(x_V-t))$ și $N(x_V+t,f(x_V+t))$ au aceeași ordonată și abscise simetrice față de $x_V$, adică sunt simetrice față de dreapta verticală $x=x_V$. Cum $t$ a fost ales arbitrar, întregul grafic este simetric față de această dreaptă, numită axa de simetrie a parabolei. $■$

Exercițiul 12. (6 p)

Condiția (2 p). Graficul are exact un punct comun cu axa $Ox$ dacă și numai dacă ecuația $x^2-(m+1)x+9=0$ are o singură soluție reală (rădăcină dublă), adică $\Delta =0$: $$\Delta =(-(m+1){)}^2-4\cdot 1\cdot 9=(m+1{)}^2-36.$$

Rezolvarea (2,5 p). $(m+1{)}^2=36\iff m+1=6$ sau $m+1=-6$, deci $$\mathbf{m}=5\text{sau}\mathbf{m}=-7.$$

Punctele de tangență (1,5 p). – Pentru $m=5$: $f(x)=x^2-6x+9=(x-3{)}^2$, cu rădăcina dublă $x=3$; punctul comun este $(3,0)$. – Pentru $m=-7$: $f(x)=x^2+6x+9=(x+3{)}^2$, cu rădăcina dublă $x=-3$; punctul comun este $(-3,0)$. În ambele cazuri punctul comun este chiar vârful parabolei, care se sprijină pe axa $Ox$. (Răspunsul care dă o singură valoare a lui $m$ primește cel mult $4$ puncte.)

Exercițiul 13. (8 p)

a) (2 p) $\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot (-8)=4+32=36$; $x_V=-\frac{2}{2}=-1$ și $y_V=f(-1)=1-2-8=-9$, deci $\mathbf{V}(-1,-9)$.

b) (3 p) Rezolvăm $x^2+2x-8=0$: cu $\sqrt{\Delta }=6$ obținem $x_1=\frac{-2-6}{2}=-4$ și $x_2=\frac{-2+6}{2}=2$. Deci $\mathbf{A}(-4,0)$ și $\mathbf{B}(2,0)$. (Verificare: $f(-4)=16-8-8=0$ ✓ și $f(2)=4+4-8=0$ ✓.)

c) (3 p) Latura $[AB]$ este pe axa $Ox$, deci $AB=|2-(-4)|=6$ (1 p). Înălțimea din $V$ pe $AB$ este distanța de la $V$ la axa $Ox$, adică $|y_V|=|-9|=9$ (1 p). Prin urmare $${\mathcal{A}}_{AVB}=\frac{AB\cdot |y_V|}{2}=\frac{6\cdot 9}{2}=27.$$ (1 p) (Triunghiul este isoscel, pentru că $V$ se află pe axa de simetrie $x=-1$, care trece prin mijlocul segmentului $[AB]$.)

Pentru părinți și profesori

Acest test verifică primul strat al unității: elevul trebuie să treacă de la formula $f(x)=a{x}^2+bx+c$ la desenul ei și înapoi. Sunt acoperite lecțiile Funcția de gradul al doilea f(x) = ax² + bx + c, Parabola: vârf, axă de simetrie, ramuri și Intersecțiile parabolei cu axele. Se evaluează trei deprinderi: citirea orientării ramurilor din semnul lui $a$; calculul vârfului și al axei de simetrie, inclusiv prin forma canonică; determinarea intersecțiilor cu axele și legătura dintre discriminant și numărul punctelor de pe axa $Ox$. Ultima parte adaugă ceea ce se cere la examen: determinarea funcției din condiții geometrice și o mică demonstrație a simetriei parabolei.

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp recomandat: 50 de minute (o oră de curs).
• Cum se aplică: elevul lucrează individual, pe foaie cu pătrățele, fără calculator. La itemii cu grafic se cere schița (vârf, axă, intersecții, orientarea ramurilor), nu un desen la scară perfectă. La final se compară rezolvările cu Baremul și răspunsurile.
• Interpretare: 90–100 p = foarte bine; 75–89 p = bine; 60–74 p = satisfăcător; sub 60 p = se recomandă reluarea lecțiilor unității, cu accent pe formula vârfului și pe diferența dintre „intersecția cu $Ox$" (rădăcini) și „intersecția cu $Oy$" (termenul liber).
• Formule de reținut: pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=a{x}^2+bx+c$ cu $a\ne 0$, discriminantul este $\Delta =b^2-4ac$. Forma canonică: $f(x)=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{\Delta }{4a}$. Vârful parabolei este $V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta }{4a}\right)$, iar axa de simetrie este dreapta verticală $x=-\frac{b}{2a}$. Ramurile sunt orientate în sus dacă $a>0$ și în jos dacă $a<0$. Intersecția cu $Oy$ este mereu punctul $(0,c)$. Intersecțiile cu $Ox$ se află rezolvând $f(x)=0$: două puncte distincte dacă $\Delta >0$, un singur punct (vârful, situat pe axă) dacă $\Delta =0$, niciun punct dacă $\Delta <0$.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul".